精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

高二数学期中考试 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 直线过点且与直线垂直，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出直线的斜率，然后利用点斜式可写出直线的方程，化为一般式可得出答案. 【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即. 故选：A. 【点睛】本题考查垂线方程的求解，一般要求出直线的斜率，也可以利用垂直直线系方程来求解，考查计算能力，属于基础题. 2. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，则的长轴长为（ ） A. B. C. 8 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用为等腰直角三角形求出，再由求出可得答案. 【详解】由题设知，，结合， 可知为等腰直角三角形， 所以，故， 所以，解得，所以的长轴长为． 故选：C. 3. 已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，P为椭圆上一点，的最大值为3，且，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，根据椭圆的定义可得，结合计算即可求解. 【详解】因为的最大值为3，所以． 因为，所以，即，所以，． 又，所以，所以椭圆的标准方程为 故选：B 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上位于第一象限内的一点，若，（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意判断为直角三角形，然后根据勾股定理列出方程，求得离心率. 【详解】如图， 由，得，， 其中，所以， 可得为直角三角形， ，且， 解得，， 再由勾股定理可得： 得，． 故选：D． 5. M点是圆上任意一点，为圆的弦，且，N为的中点.则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据弦长公式先求出，然后可知点N在以为圆心，1为半径的圆上，结合图形即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为. 如图，由弦长公式知，，解得， 所以，点N在以为圆心，1为半径的圆上， 由图可知，的最小值为. 故选：B 6. 椭圆的两个焦点为，，椭圆C上有一点P，则的周长为（ ） A. 12 B. 18 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合椭圆的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，，所以，故的周长为． 故选：C 7. 已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】先由根与系数的关系找到所满足的条件，再判断点与圆的位置关系. 【详解】因为是方程的两个不等实数根，且. 所以，. 所以点在圆外. 故选：C. 8. 若圆上点到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆方程确定圆心和半径，应用点到直线的距离公式求圆心到直线距离，结合已知求参数范围. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到已知直线的距离， 依题意得，即，解得. 故选：B 二､多选题（共3小题） 9. 已知空间向量，，，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，，故A正确， 对于B，由于，则，故，B正确， 对于C，，故与不垂直，故C错误， 对于D，，D正确， 故选：ABD 10. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过定点 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由直线的方程得横截距可判断A；把方程作为参数的恒等式求解得定点坐标可判断B；根据直线垂直或平行的条件求得参数值可判断CD． 【详解】对于A，令时，，则在轴上截距为，故A正确； 对于B，直线，当时，所以直线恒过，故B正确； 对于C，若，则且，故，故C错误； 对于D，等价于，解得，故D正确. 故选：ABD. 11. 若圆：与圆：的公共弦AB的长为1，则下列结论正确的有（ ） A. B. 直线AB的方程为 C. AB中点的轨迹方程为 D. 圆与圆公共部分的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】两圆方程相减求出直线AB的方程，进而根据弦长求得，即可判断AB选项；然后由圆的性质可知直线垂直平分线段,进而可得到直线的距离即为AB中点与点的距离，从而可求出AB中点的轨迹方程，因此可判断C选项；对应扇形的面积减去三角形的面积乘以2即可求出圆与圆公共部分的面积，即可判断D选项. 【详解】两圆方程相减可得直线AB的方程为，即， 因为圆的圆心为，半径为1，且公共弦AB的长为1，则到直线的距离为，所以，解得， 所以直线AB的方程为，故A错误，B正确； 由圆性质可知直线垂直平分线段,所以到直线的距离即为AB中点与点的距离，设AB中点坐标为，因此，即，故C正确； 因为，所以，即圆中弧所对的圆心角为，所以扇形的面积为，三角形的面积为，所以圆与圆公共部分的面积为，故D错误. 故选：BC. 【点睛】圆的弦长的常用求法： （1）几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则； （2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是相互独立事件，且，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据独立事件的乘法公式求出，再根据求解即可. 【详解】因为是相互独立事件， 所以， 则. 故答案为：. 13. 2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，为激发民众的爱国热情和民族自豪感，某地举办相关知识竞答活动.在决赛中，每轮活动由甲、乙各答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则两人在两轮活动中共答对3个问题的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据独立重复试验概率计算公式求得正确答案. 【详解】两人在两轮活动中共答对3个问题， 可能甲答对个、乙答对个，或甲答对个、乙答对个， 所以两人在两轮活动中共答对3个问题的概率为： . 故答案为： 14. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.6，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意得到必有第2个问题回答错误，第3、4个回答正确，第1个问题可对可错，计算概率得到答案； 【详解】根据题意，记“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为A， 若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第2个问题回答错误， 第3、4个回答正确，第1个问题可对可错，由此分两类，第1个答错与第1个答对； 由相互独立事件的概率公式得：. 故答案为： 四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某校高二年级半期考试后，为了解本次考试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求实数的值. （2）在样本中，采取按比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，问其中成绩在的学生有几名？ （3）根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分. 【答案】（1） （2）2 （3）98 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求的值. （2）根据分层抽样的方法求解. （3）利用频率分布直方图估计平均数即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图知： ， 解得. 【小问2详解】 采取分层抽样，[130,150]的学生个数为：， 即成绩在的学生有2名. 【小问3详解】 由频率分布直方图知：平均数为： 16. 已知直线经过点. （1）若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （2）若直线交轴的负半轴于点，交轴的负半轴于点为坐标原点，的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 【答案】（1）或 （2）； 【解析】 【分析】（1）根据题意，分直线的截距为0和截距不为0时，分别设出直线方程，将代入直线的方程，即可求解； （2）根据题意，设直线的方程为，其中，分别求得和，得到的面积为，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：当在坐标轴上的截距为0时，符合题意，直线过坐标原点，设直线的方程为. 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为，即； 当在坐标轴上的截距不为0时，设直线的方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为. 综上可得，直线的方程为或. 【小问2详解】 解：如图所示，可得直线的截距不为0，斜率存在且斜率， 设直线的方程为， 令，解得，则，所以； 令，解得，则，所以， 则的面积为 ，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为12，此时直线的方程为，即. 17. 已知点，，动点到点的距离是到点的距离的2倍，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程. （2）已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线，，切点分别为，，直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由. 【答案】（1） （2）是，定点为 【解析】 【分析】（1）设，根据两点距离公式得到方程，化简即可； （2）设，写出以为直径的圆的方程，再与圆方程做差即可得到直线方程，分析即可得到定点坐标. 【小问1详解】 由题意得，所以. 设，因为点，， 所以，化简得. 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，曲线是圆心为，半径的圆， 因为和是圆的两条切线，，为切点， 所以点，在以为直径的圆上，所以圆与圆相交， 因为点在直线上，所以设， 因为，所以， 所以， 所以圆的方程为， 化简得. 因为圆的方程为， 上面两圆方程做差得直线的方程为， 即. 解得，所以直线过定点 18. 在平面直角坐标系中，已知直线过点，且与，分别交于点A，B． （1）若点A在直线上，且的平分线为射线， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求点B的坐标． （2）若直线与轴负半轴及轴正半轴分别交于点M，N，求的最小值及取最小值时直线的方程． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2）4，． 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据题意求得点A的坐标，根据轴对称的两点的坐标关系，求得点A关于直线的对称点的坐标，即可求点m的值；（ⅱ）根据三点共线可得点的坐标； （2）用直线的倾斜角分别表示，进而得到.根据三角函数的最值求法，求得的最小值及取最小值时的倾斜角，从而得到直线的方程. 【小问1详解】 （ⅰ）由题意知，直线，均过坐标原点，直线的方程为， 因为点为直线与直线的交点，所以． 因为的平分线为射线，所以点关于直线的对称点在直线上， 设，则 解得，． （ⅱ）设，因为点，，共线，且直线斜率存在， 所以． 解得，所以． 【小问2详解】 设直线的倾斜角为，则． 由，得，， 所以， 当时取等号，此时直线的斜率为1，方程为，即． 19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，． （1）证明：． （2）若点，，，都在半径为的球的表面上． （ⅰ）求； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直证明平面，从而可求解； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，设出球心，再结合可得球心坐标，从而可求得点坐标；（ⅱ）利用面面角的向量法即可求解. 【小问1详解】 因为平面平面，，平面， 平面平面，所以平面， 又因为平面，所以. 故. 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，以，所在直线分别为，轴， 过点在平面内作的垂线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，， （ⅰ）设，由， 得， 解得，，所以， 设不同时为零，由，， 得且， 解得，，所以，则. （ⅱ）由（ⅰ）可得，，． 设平面的一个法向量为， 则，即 取，得． 设平面的一个法向量为， 则，即 取，得． 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学期中考试 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 直线过点且与直线垂直，则的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，则的长轴长为（ ） A. B. C. 8 D. 4 3. 已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，P为椭圆上一点，的最大值为3，且，则椭圆的标准方程为（ ） A B. C. D. 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上位于第一象限内的一点，若，（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. M点是圆上任意一点，为圆的弦，且，N为的中点.则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 椭圆的两个焦点为，，椭圆C上有一点P，则的周长为（ ） A. 12 B. 18 C. 16 D. 20 7. 已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法确定 8. 若圆上点到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（共3小题） 9. 已知空间向量，，，且，则下列说法正确的有（ ） A B. C. D. 10. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过定点 C. 若，则或 D. 若，则 11. 若圆：与圆：的公共弦AB的长为1，则下列结论正确的有（ ） A B. 直线AB的方程为 C. AB中点的轨迹方程为 D. 圆与圆公共部分的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是相互独立事件，且，则_____． 13. 2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，为激发民众的爱国热情和民族自豪感，某地举办相关知识竞答活动.在决赛中，每轮活动由甲、乙各答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则两人在两轮活动中共答对3个问题的概率为______. 14. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.6，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________. 四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某校高二年级半期考试后，为了解本次考试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求实数值. （2）在样本中，采取按比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，问其中成绩在的学生有几名？ （3）根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分. 16. 已知直线经过点. （1）若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （2）若直线交轴的负半轴于点，交轴的负半轴于点为坐标原点，的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 17. 已知点，，动点到点的距离是到点的距离的2倍，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程. （2）已知动点在直线上，过点作曲线两条切线，，切点分别为，，直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由. 18. 在平面直角坐标系中，已知直线过点，且与，分别交于点A，B． （1）若点A在直线上，且的平分线为射线， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求点B的坐标． （2）若直线与轴负半轴及轴正半轴分别交于点M，N，求的最小值及取最小值时直线的方程． 19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，． （1）证明：． （2）若点，，，都在半径为的球的表面上． （ⅰ）求； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $