精品解析：吉林省延边朝鲜族自治州延边第二中学2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题

延边第二中学2025—2026学年度第一学期期中考试 高一年级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，若集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是（ ） A. B. 菱形的两条对角线相等 C. D. 一次函数的图象是直线 3. 设全集，集合，则下图中的阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. 9 D. 6. 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 7. 设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为R，是偶函数，，在上单调递增，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 10. 已知是奇函数，则（ ） A. B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 的解集为 11. 已知正数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为______． 13. 若函数是幂函数，且满足，则的值为________. 14. 设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 16. 已知函数f（x）是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数f（x）在上的解析式； （2）画出函数f（x）的图像并根据图像写出函数的单调区间和值域； （3）解不等式xf（x）＞0． 17. 眼下正值金柚热销之时，某水果网店为促销金柚，提供了阶梯式购买方案，购买方案如下表： 购买的金柚重量 金柚单价/（元） 不超过5kg的部分 10 超过5kg但不超过10kg的部分 9 超过10kg的部分 8 记顾客购买的金柚重量为，消费额为元． （1）求函数的解析式． （2）已知甲、乙两人商量在这家网店购买金柚，甲、乙计划购买的金柚重量分别为，．请你为他们设计一种购买方案，使得甲、乙两人的消费总额最少，并求出此时的消费总额． 18. 已知函数，. （1）若函数是奇函数，求实数m的值； （2）当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； （3）当时，，求函数的最小值. 19. 定义符号函数为，已知，令. （1）若函数在区间上单调，求实数的取值范围； （2）当时，若函数与的图象有且仅有一个交点，求实数的取值范围； （3）若，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延边第二中学2025—2026学年度第一学期期中考试 高一年级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，若集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】当时，集合，，可得，满足充分性， 若，则或，不满足必要性， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 2. 下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是（ ） A. B. 菱形的两条对角线相等 C. D. 一次函数的图象是直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的特征,以及真命题即可结合选项求解. 【详解】对于A，为全称量词命题，但是，故是假命题，故A错误， 对于B，是全称量词命题，但是菱形的对角线不一定相等，故B错误， 对于C,是存在量词命题,故C错误， 对于D,既是全称量词命题也是真命题,故D正确， 故选：D 3. 设全集，集合，则下图中的阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，图中的阴影部分表示的集合为且 【详解】∵，， ∴且. 故选：C. 4. 已知，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用指数函数和的性质，即可求解. 【详解】因为是增函数，又，所以， 又是减函数，所以，则， 故选：C. 5. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可得，结合奇偶函数的定义计算即可求解. 【详解】由题意得，得， 当时，． 所以． 故选：B 6. 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的解集，可得是方程的根，得到的关系，再解可得答案. 【详解】不等式的解集为， 可得是方程的根， 所以，且，解得， 由不等式可得， 由得， 所以，解得， 则不等式的解集为. 故选：B. 7. 设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复合函数“同增异减”的性质，再由二次函数在区间上的单调性即可得结果. 【详解】根据题意可知是由指数函数和二次函数复合而成的， 由复合函数单调性可得只需使函数在区间上单调递减即可， 易知函数关于对称，所以可得，即； 即的取值范围是. 故选：D 8. 已知函数的定义域为R，是偶函数，，在上单调递增，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意判断出函数关于对称，结合函数的对称性与单调性求解不等式. 【详解】∵是偶函数，∴函数关于对称，∴，又∵在上单调递增，∴在单调递减，∴可化为，解得，∴不等式解集为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可得解. 【详解】对A，当时，，由不等式性质可得，故正确； 对于B，，可得，由不等式性质可得，故错误； 对于C，由可得，即，又，所以，故C正确； 对于D，因为在上单调递增，所以由可得， 也可由不等式的性质，当为奇数时，可得，故正确. 故选：ACD 10. 已知是奇函数，则（ ） A. B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用奇函数的定义求出的值，可判断A选项；利用指数函数值域结合不等式性质可得的值域，可判断B选项；利用复合函数法单调性可判断C选项；利用函数的单调性解不等式，可判断D选项. 【详解】对于A选项，对于函数，有，可得， 所以，函数的定义域为， 因为函数为奇函数，则， 且，则， 所以，，可得对任意的非零实数恒成立， 所以，，即，A对； 对于C选项，因为， 当时，， 因为内层函数在上为增函数，外层函数在上为减函数， 由复合函数法可知，函数在上为减函数，C错； 对于B选项，， 可得，则， 所以，函数的值域为，B对； 对于D选项，因为函数在上为减函数，且该函数为奇函数， 所以，函数在上为减函数，且， 由可得，解得， 所以，不等式的解集为，D对. 故选：ABD. 11. 已知正数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A、B；依题意可得，再由基本不等式判断C、D. 【详解】因为正数，满足， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 解得，所以，故的最大值为，故A正确； ， 即，又，所以， 所以的最小值为，当且仅当，即，时等号成立，故B正确； 由可得， 所以， 当且仅当时等号成立，此时，，又为正数，矛盾，故C错误； ，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负及分母不为得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数，则，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 13. 若函数是幂函数，且满足，则的值为________. 【答案】16 【解析】 【分析】设，根据 【详解】设，由可得可得. 故，则. 故答案为：16 14. 设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】对的范围分类讨论，结合分段函数的最小值求解. 【详解】因为, 当且时， 在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为，而不是，这与矛盾，不符合题意，所以. 因为二次函数的图象的对称轴为直线， 当，即时，则函数在上单调递增， 根据题意，有，此时，； 当，即时，当时，， 由题意可得，整理可得，解得，此时不存在. 综上所述，实数的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）利用根式及指数运算计算即得. （2）利用指数运算法则化简即得. （3）利用分数指数幂的运算计算即得. 【详解】（1）. （2）. （3）由，得，， 所以. 16. 已知函数f（x）是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数f（x）在上的解析式； （2）画出函数f（x）的图像并根据图像写出函数的单调区间和值域； （3）解不等式xf（x）＞0． 【答案】（1）； （2）图像： 单调递增区间是，单调减区间（-3，-1），（1,3）；值域 ；（3）. 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性即可求解. （2）作出函数图像，利用函数图像即可求出单调区间与值域. （3）由（1）中函数的解析式，讨论的取值范围即可求解. 【详解】解：（1）函数f（x）是定义在上的奇函数，所以当f（0）=0， 设，则，由时，f（x）＝x2+2x-1， 则，又函数为奇函数， 所以f（x）＝﹣x2+2x+1， 所以 （2）如图： 单调递增区间是，单调减区间（-3，-1），（1,3），值域是 . （3） 由，得， 由对称性得 由得或 由图得到不等式的解集是. 17. 眼下正值金柚热销之时，某水果网店为促销金柚，提供了阶梯式购买方案，购买方案如下表： 购买的金柚重量 金柚单价/（元） 不超过5kg的部分 10 超过5kg但不超过10kg的部分 9 超过10kg的部分 8 记顾客购买的金柚重量为，消费额为元． （1）求函数的解析式． （2）已知甲、乙两人商量在这家网店购买金柚，甲、乙计划购买的金柚重量分别为，．请你为他们设计一种购买方案，使得甲、乙两人的消费总额最少，并求出此时的消费总额． 【答案】（1）； （2）一起购买，111元. 【解析】 【分析】(1)根据表格即可列出各段函数解析式; (2)分别计算各自购买的金额和一起购买金额，作差即可得到节省金额, 【小问1详解】 当时，； 当时，； 当时，； 综上可得：； 【小问2详解】 当甲、乙两人各自购买时，消费总额为（元）； 当甲、乙两人一起购买时，消费总额为（元）； 故由上可知当甲、乙两人一起购买时比他们各自购买时节省了6元，此时消费总额是111元. 18. 已知函数，. （1）若函数是奇函数，求实数m的值； （2）当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； （3）当时，，求函数的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用得出，再利用奇函数的定义检验即可求解； （2）参变分离得在上有解，令，，则有解，利用二次函数性质求解值域即可得解； （3）首先化简，然后令，，则，进而讨论一元二次函数的单调性，求解最小值. 【小问1详解】 因为函数为奇函数，且定义域为， 所以，即，所以， 即，因为为奇函数，所以符合题意； 【小问2详解】 当时，，则存在，使得成立， 即，所以在上有解， 令，因为，所以，则有解， 故实数t的取值范围为函数的值域， 又，因为，所以， 所以，故实数t的取值范围为； 【小问3详解】 由题，， 令，显然在上单调递增，则， 则， 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，. 综上：. 19. 定义符号函数为，已知，令. （1）若函数在区间上单调，求实数的取值范围； （2）当时，若函数与的图象有且仅有一个交点，求实数的取值范围； （3）若，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先得到函数的图象的对称轴为，再根据函数在区间上单调求解； （2）易得，在同一坐标系中画出和的图象，利用数形结合法求解； （3）由时，求得的取值集合为，由时，求得的取值集合为，然后利用求解. 【小问1详解】 解：函数的图象是开口向上的抛物线且对称轴为. 若函数在区间上单调，则或， 实数的取值范围是； 【小问2详解】 当时，， 由题意得. 在同一坐标系中画出和的图象如下： 因为， 结合图象可知，实数的取值范围是：或； 【小问3详解】 当时，令的取值集合为， 当时，令的取值集合为， 则由题意得. ①时，， 在上单调递减， ②时，， 当时，在上单调递减， ，此时不可能有，不满足题意 当时， 在上单调递减，在上单调递增， 则，使得， 此时不可能有，不满足题意 当时，在区间上单调递增， ， 由，得，解得， ， 综上所述，实数的取值范围是：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $