专题18 数列通项公式讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习教案聚焦数列通项公式求法核心考点，涵盖Sn与an关系、累加法、累乘法、构造法等六大方法，按“基础方法—进阶技巧—综合应用”逻辑架构知识点，通过考点梳理明确适用范围，方法指导提炼解题要点，真题训练强化应用能力，帮助学生系统构建解题体系。 资料创新采用“方法归类+问题驱动”教学策略，如构造法中通过待定系数法转化an+1=pan+q型为等比数列，培养学生数学思维和抽象能力。设置基础例题、变式训练、综合应用三级练习，配合即时方法总结，确保高效突破难点，助力学生提升解题速度与准确率，为教师把握复习节奏提供清晰路径。

2026年高考数学一轮复习 专题18：数列的通项公式 知识点一：与型求通项公式 （1）使用范围：若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式，构造两式作差求解． （2）要点：用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 知识点二：累加法求通项公式 （1）使用范围：an＋1＝an＋f(n)，可变形为an＋1－an＝f(n) （2）要点：利用恒等式(n≥2，n∈N*)求解 可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： 知识点三：累乘法求通项公式 （1）使用范围：an＋1＝f(n)an，可变形为＝f(n) （2）要点：利用恒等式…(an≠0，n≥2，n∈N*)求解 可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 知识点四：构造法求通项公式（构造等差、等比数列） （1）使用范围：对于不满足an＋1＝an＋f(n)，an＋1＝f(n)an形式的递推关系，常采用构造法 （2）要点：对所给的递推公式进行变形构造等差数列或等比数列进行求解 知识点五：取倒数法求通项公式 （1）使用范围：an＋1＝(p，q，r是常数)，可变形为＝·＋ （2）要点：①若p＝r，则是等差数列，且公差为，可用公式求通项； ②若p≠r，则转化为an＋1＝san＋t型，再利用待定系数法构造新数列求解 知识点六：三项递推法求通项公式 （1）使用范围：适用于形如型的递推式 （2）要点：用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 构造法求通项的几种常见类型及技巧 1、形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 2、形如型的递推式： 递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：，再结合“”类型。 考点一 Sn与an型求通项公式 【例1】记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； 【变式1-1】已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； 【变式1-2】已知各项均为正数的数列前项和为，且． (1)求数列的通项公式； 【变式1-3】已知数列满足，，是数列的前项和，对任意，有 (1)求数列的通项公式； 考点二 累加法求通项公式 【例2】已知数列满足，（）． (1)求数列的通项公式； 【变式2-1】已知数列满足，，求． 【变式2-2】南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4个为1，3，7，13，则该数列的第13项为（ ） A．156 B．157 C．158 D．159 【变式2-3】已知定义数列为数列的“差数列”，若的“差数列”的第项为，则数列的前2026项和（ ） A． B． C． D． 考点三 累乘法求通项公式 【例3】记数列的前项和，对任意正整数，有 ，且 . (1)求数列的通项公式； 【变式3-1】已知数列满足，，则=（ ） A．2026 B．2027 C．4051 D．4053 【变式3-2】设数列的前项和为，满足. （1） 求数列的通项公式； 考点四 构造法求通项公式 【例4】已知数列满足，记． (1)求数列的通项公式； 【变式4-1】在数列中，，且，其中． (1)求的通项公式； 【变式4-2】在数列中,,,则（ ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等比数列 【变式4-3】已知数列满足，则数列的通项公式为 . 考点五 取倒数法求通项公式 【例5】数列中，，，则 ． 【变式5】已知数列满足,若，则= 考点六 三项递推构造求通项公式 【例6】已知数列满足：，，则（ ） A． B． C． D． 【变式6】数列满足，且，求通项. 1.若数列满足：，则数列的通项公式为（ ） A． B． C． D． 2.数列中，，，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3.已知数列的前n项和为，，对任意的都有，则=（ ） A． B． C． D． 4.已知数列的首项，其前项和为，若，则__________． 5.已知数列满足，，且=+-（n≥2），则数列的通项公式为_____________. 6.在数列中， ，当时，有，求数列的通项公式。 7.已知数列满足． (1)求； (2)证明：． 8.设数列满足，且． (1)求的通项公式； 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习 专题18：数列的通项公式 知识点一：与型求通项公式 （1）使用范围：若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式，构造两式作差求解． （2）要点：用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 知识点二：累加法求通项公式 （1）使用范围：an＋1＝an＋f(n)，可变形为an＋1－an＝f(n) （2）要点：利用恒等式(n≥2，n∈N*)求解 可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： 知识点三：累乘法求通项公式 （1）使用范围：an＋1＝f(n)an，可变形为＝f(n) （2）要点：利用恒等式…(an≠0，n≥2，n∈N*)求解 可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 知识点四：构造法求通项公式（构造等差、等比数列） （1）使用范围：对于不满足an＋1＝an＋f(n)，an＋1＝f(n)an形式的递推关系，常采用构造法 （2）要点：对所给的递推公式进行变形构造等差数列或等比数列进行求解 知识点五：取倒数法求通项公式 （1）使用范围：an＋1＝(p，q，r是常数)，可变形为＝·＋ （2）要点：①若p＝r，则是等差数列，且公差为，可用公式求通项； ②若p≠r，则转化为an＋1＝san＋t型，再利用待定系数法构造新数列求解 知识点六：三项递推法求通项公式 （1）使用范围：适用于形如型的递推式 （2）要点：用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 构造法求通项的几种常见类型及技巧 1、形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 2、形如型的递推式： 递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：，再结合“”类型。 考点一 Sn与an型求通项公式 【例1】记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； 【答案】(1) 【详解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. 【变式1-1】已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； 【答案】(1) 【详解】（1）因为,故，所以即故等比数列的公比为，故，故，故. 【变式1-2】已知各项均为正数的数列前项和为，且． (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【详解】（1）因为①，所以②，③， 由③得：，所以， ②-①得：，整理得：， 又因为各项均为正数，所以， 所以是公差的等差数列，． 【变式1-3】已知数列满足，，是数列的前项和，对任意，有 (1)求数列的通项公式； 【答案】(1)； 【分析】（1）根据作差得到，从而得到，结合等差数列的定义计算可得； 【详解】（1）由，，两式相减得，即，因为，所以，即， 故是首项为，公差为的等差数列，所以； 考点二 累加法求通项公式 【例2】已知数列满足，（）． (1)求数列的通项公式； 【答案】(1)，； 【分析】（1）根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前项和公式求解即得. 【详解】（1）数列中，当时，，即， 则 ，而满足上式， 所以数列的通项公式是，． 【变式2-1】已知数列满足，，求． 解析： 上述个等式相加可得： 【变式2-2】南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4个为1，3，7，13，则该数列的第13项为（ ） A．156 B．157 C．158 D．159 【答案】B【解析】设该二阶等差数列为，则；由二阶等差数列的定义可知，所以数列是以为首项，公差的等差数列，即，所以将所有上式累加可得，所以；即该数列的第13项为.故选：B 【变式2-3】已知定义数列为数列的“差数列”，若的“差数列”的第项为，则数列的前2026项和（ ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】依题意，，当时，， 而满足上式，因此，所以.故选：D 考点三 累乘法求通项公式 【例3】记数列的前项和，对任意正整数，有 ，且 . (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【分析】（1）由得出数列的递推关系，然后由连乘法求得通项； 【详解】（1）由，则，两式相减得：， 整理得：，即时，， 所以时， ， 又时，，得，也满足上式.故. 【变式3-1】已知数列满足，，则=（ ） A．2026 B．2027 C．4051 D．4053 【答案】C 【解析】，，即， 可得，.故选：C. 【变式3-2】设数列的前项和为，满足. （1）求数列的通项公式； 【答案】（1）； 【详解】（1）当时，，即， 当时，，即，因此， 所以 ，经检验，时成立，所以； 考点四 构造法求通项公式 【例4】已知数列满足，记． (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【详解】（1）由，则．又， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以． 所以． 【变式4-1】在数列中，，且，其中． (1)求的通项公式； 【答案】(1) 【详解】（1）由已知， 得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以， 所以； 【变式4-2】在数列中,,,则（ ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等比数列 【答案】B【解析】由题知,所以,又因为,所以是等比数列,且首项为4,公比为2.故选:B 【变式4-3】已知数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】解法一：设，整理得，可得， 即，且，则数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即； 解法二：(两边同除以) 两边同时除以得：，整理得，且，则数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即； 解法三：(两边同除以)两边同时除以得：，即，当时，则，故，显然当时，符合上式，故.故答案为：. 考点五 取倒数法求通项公式 【例5】数列中，，，则 ． 【答案】 【解析】由，，可得，所以，即(定值)， 故数列以为首项，为公差的等差数列，所以， 所以，所以．故答案为：． 【变式5】已知数列满足,若，则= 【答案】 考点六 三项递推构造求通项公式 【例6】已知数列满足：，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，由得，即， 所以数列是等比数列，仅比为4，首项为4，所以．故选：C． 【变式6】数列满足，且，求通项. 【答案】 【解析】因为，所以，又，所以， 由等比数列定义知，数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以， 累加法可得：，所以，又符合该式，故. 1.若数列满足：，则数列的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【详解】由①得，当时② 由①②得当时也满足上式故选：D 2. 数列中，，，若，则（ C ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3.已知数列的前n项和为，，对任意的都有，则=（ ） A． B． C． D． 【详解】数列满足，对任意的都有，则有，可得数列为常数列，有，得，得， 又由，所以． 故选：D 4.已知数列的首项，其前项和为，若，则__________． 【详解】因为，所以，两式相减得， 又因为，，得，所以数列从第二项开始成等比数列， 因此其通项公式为，所以，故答案为：96. 5.已知数列满足，，且=+-（n≥2），则数列的通项公式为_____________. 【详解】由题意，数列满足（），两侧同除，可得，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以 （），当时，适合上式，所以，所以数列的通项公式.故答案为： 6.在数列中， ，当时，有，求数列的通项公式。 解析：设，则 ，于是 是以为首项，以3为公比的等比数列。 7.已知数列满足． (1)求； (2)证明：． 【答案】(1)，；(2)证明见解析. 【分析】(1)将代入递推式求解即可；(2)用累加法求出数的通项公式即得证明. 【详解】（1）解：因为， 所以， ； （2）证明：因为， 所以，，，… ，将以上个式子相加，得. 也满足所以． 8.设数列满足，且． (1)求的通项公式； 【答案】(1) 【分析】（1）由已知可得，累乘法可求的通项公式； 【详解】（1）由题易知，且， 所以，所以， 所以也满足该式， 所以． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $