微专题：带电粒子在叠加场中运动（配速法）讲义-2026届高考物理一轮复习

努力必有收获，坚持必会成功，加油向未来！ 微专题带电粒子在叠加场中的运动 （配速法）常见几种模型 常见情况 处理方法 初速度为0，有重力 把初速度0，分解一个向左的速度v1和一个向右的速度v1 初速度为0，不计重力 把初速度0，分解一个向左的速度v1和一个向右的速度v1 初速度为0，有重力 把初速度0，分解一个斜向左下方的速度v1 和一个斜向右上方的速度v1 初速度为v0，有重力 把初速度v0，分解速度v1和速度v2 一．选择题（共2小题） 1．空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直于纸面（xOy平面）向里，电场的方向沿y轴正方向。一带正电的粒子在电场和磁场的作用下，从坐标原点O由静止开始运动。下列四幅图中，可能正确描述该粒子运动轨迹的是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，空间中存在着正交的匀强磁场和匀强电场，已知电场强度大小为E，方向竖直向下，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面。一电子由O点以一定初速度v0水平向右飞入其中，运动轨迹如图所示，其中O、Q和P分别为轨迹在一个周期内的最高点和最低点，不计电子的重力。下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度方向垂直纸面向外 B．电子的初速度v0小于 C．由O点至P点的运动过程中，电子的速度增大 D．将电子的初速度调整至合适值可以使其做直线运动 二．多选题（共2小题） 3．带电粒子在重力场中和磁场中的运动可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和在竖直平面内的匀速圆周运动。若正带电小球的初速度为零，可以分解为在水平方向上有两个大小相等、方向相反速度。水平向右的速度对应的洛伦兹力与小球的重力平衡，水平向左的速度对应的洛伦兹力提供小球匀速圆周运动向心力。设带电小球的质量为m、电量为+q，磁感应强度为B（范围无限大），重力加速度为g，小球由静止开始下落，则以下猜想正确的是（　　） A．MN两点间的距离为 B．小球在运动过程中机械能不守恒 C．小球下降的最大高度为 D．小球的加速度大小恒为g 4．如图所示，空间中有正交的匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，匀强电场方向竖直向下，将一质量为m，带电量为+q的粒子沿水平向左以速度v抛入复合场中，忽略粒子的重力。已知匀强电场的强度大小E＝Bv，在粒子之后运动的过程中，以下说法正确的是（　　） A．粒子偏离入射方向的最大距离为 B．粒子在轨迹最低点的曲率半径为 C．粒子从抛出到最低点的过程电势能的变化量为﹣4mv2 D．粒子运动过程中动能与电势能的总和是守恒的 三．解答题（共5小题） 5．霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。xOy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射，入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。 （1）求电场强度的大小E； （2）若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标y1； （3）若电子入射速度在0＜v＜v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标y2＝位置的电子数N占总电子数N0的百分比。 6．如图甲，空间存在﹣范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．让质量为m，电量为q（q＞0）的粒子从坐标原点O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到该磁场中。不计重力和粒子间的影响。 （1）若粒子以初速度v1沿y轴正向入射，恰好能经过x轴上的A（a，0）点，求v1的大小； （2）已知一粒子的初速度大小为v（v＞v1），为使该粒子能经过A（a，0）点，其入射角θ（粒子初速度与x轴正向的夹角）有几个？并求出对应的sinθ值； （3）如图乙，若在此空间再加入沿y轴正向、大小为E的匀强电场，一粒子从O点以初速度v0沿y轴正向发射。研究表明：粒子在xOy平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的x分量vx与其所在位置的y坐标成正比，比例系数与场强大小E无关。求该粒子运动过程中的最大速度值vm。 7．现代科学仪器中常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。如图所示，在x轴上方的平面内，有范围足够大的垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场和方向沿x轴正方向、电场强度为E的匀强电场。一质量为m，电荷量为q的带正电荷的粒子在O点由静止释放，则粒子运动的轨迹为一曲线，且曲线上离y轴最远的点的曲率半径为该点到y轴距离的两倍；当该粒子在O点以初速度v0沿x轴正方向射入，则粒子在xOy平面内做周期性运动，且任一时刻粒子速度的y分量与其到y轴的距离成正比，比例系数与电场强度E大小无关。粒子重力不计。求粒子在O点 （1）由静止释放，运动到坐标为（x0，y0）时的动量大小p； （2）由静止释放，在运动过程中第一次离开y轴最大的距离xm； （3）以初速度v0沿x轴正方向射入时，粒子运动过程中的最小速度vmin。 8．真空中有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，方向竖直向上，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外在此空间中建立竖直面内的直角坐标系xoy有一个质量为m、电量大小为e电子（重力不计），从坐标原点O由静止开始运动，如图甲所示，其运动轨迹为一条摆线，摆线的最低点为P，与x轴的第一个交点为Q.该运动可分解为竖直方向的逆时针方向的匀速圆周运动和水平向右方向的匀速直线运动两个分运动，如图乙所示。求： （1）摆线的最低点P到x轴的距离； （2）电子在摆线最低点P的速度大小； （3）每一段摆线的宽度大小。 9．在场强为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电q的小球在O静止释放，小球的运动曲线如图所示。已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，重力加速度为g。求： （1）小球运动到任意位置P（x，y）的速率v。 （2）小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym。 （3）当在上述磁场中加一竖直向上场强为E（E＞mg/q）的匀强电场时，小球从O静止释放后获得的最大速率vm。 学科网（北京）股份有限公司 $努力必有收获，坚持必会成功，加油向未来！ 微专题带电粒子在叠加场中的运动 （配速法）常见几种模型 常见情况 处理方法 初速度为0，有重力 把初速度0，分解一个向左的速度v1和一个向右的速度v1 初速度为0，不计重力 把初速度0，分解一个向左的速度v1和一个向右的速度v1 初速度为0，有重力 把初速度0，分解一个斜向左下方的速度v1 和一个斜向右上方的速度v1 初速度为v0，有重力 把初速度v0，分解速度v1和速度v2 一．选择题（共2小题） 1．空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直于纸面（xOy平面）向里，电场的方向沿y轴正方向。一带正电的粒子在电场和磁场的作用下，从坐标原点O由静止开始运动。下列四幅图中，可能正确描述该粒子运动轨迹的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：AC、在xOy平面内电场的方向沿y轴正方向，带正电粒子在坐标原点O受沿y轴正方向的电场力开始向y轴正方向运动，磁场的方向垂直于纸面（xOy平面）向里，根据左手定则可知，粒子沿y轴正方向运动的同时受到沿x轴负方向的洛伦兹力，根据曲线运动合外力指向轨迹凹侧可知，带电粒子应向x轴负方向偏转，故AC错误； BD、带电粒子运动过程中受电场力和洛伦兹力，电场力做正功，洛伦兹力时刻与速度方向垂直不做功。在xOy平面内电场的方向沿y轴正方向，x轴为匀强电场的等势面，从开始到带电粒子偏转再次回到x轴时，电场力做功为零，洛伦兹力不做功，根据动能定理知，带电粒子再次回到x轴时的速度为零，随后受电场力作用开始做周期性运动，故B正确，D错误； 故选：B。 2．如图所示，空间中存在着正交的匀强磁场和匀强电场，已知电场强度大小为E，方向竖直向下，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面。一电子由O点以一定初速度v0水平向右飞入其中，运动轨迹如图所示，其中O、Q和P分别为轨迹在一个周期内的最高点和最低点，不计电子的重力。下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度方向垂直纸面向外 B．电子的初速度v0小于 C．由O点至P点的运动过程中，电子的速度增大 D．将电子的初速度调整至合适值可以使其做直线运动 【解答】解：A.电子从O点开始轨迹向下运动，由于电场力方向向上，说明洛伦兹力方向向下，根据左手定则，磁感应强度方向垂直纸面向里，故A错误； B.电子从运动到P，合力方向指向轨迹凹侧，有qv0B＞qE，即，故B错误； C.电子由O至P点的过程中，电场力做负功，洛伦兹力不做功，根据动能定理，电子的速率减小，故C错误； D.当电子的初速度调整后，若满足qv0B＝qE，即电子的初速度调整至时，电场力与洛伦兹力平衡，电子做直线运动，故D正确。 故选：D。 二．多选题（共2小题） 3．带电粒子在重力场中和磁场中的运动可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和在竖直平面内的匀速圆周运动。若正带电小球的初速度为零，可以分解为在水平方向上有两个大小相等、方向相反速度。水平向右的速度对应的洛伦兹力与小球的重力平衡，水平向左的速度对应的洛伦兹力提供小球匀速圆周运动向心力。设带电小球的质量为m、电量为+q，磁感应强度为B（范围无限大），重力加速度为g，小球由静止开始下落，则以下猜想正确的是（　　） A．MN两点间的距离为 B．小球在运动过程中机械能不守恒 C．小球下降的最大高度为 D．小球的加速度大小恒为g 【解答】解：A、在水平方向上带电小球受力平衡，则有 mg＝qvB， 解得水平速度为v0＝， 竖直面内匀速圆周运动半径为 R＝， 周期为T＝， MN两点间距离为 s＝v0T＝， 故A错误； B、小球在运动过程中只有重力做功，洛伦兹力不做功，小球的机械能守恒，故B错误； C、小球下落的最大高度为2R＝，故C正确； D、小球在水平面内是匀速直线运动，竖直面内是匀速圆周运动，小球的加速度大小恒为a向＝，故D正确； 故选：CD。 4．如图所示，空间中有正交的匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，匀强电场方向竖直向下，将一质量为m，带电量为+q的粒子沿水平向左以速度v抛入复合场中，忽略粒子的重力。已知匀强电场的强度大小E＝Bv，在粒子之后运动的过程中，以下说法正确的是（　　） A．粒子偏离入射方向的最大距离为 B．粒子在轨迹最低点的曲率半径为 C．粒子从抛出到最低点的过程电势能的变化量为﹣4mv2 D．粒子运动过程中动能与电势能的总和是守恒的 【解答】解：A、根据题意，E＝Bv 得：qE＝qBv 将粒子以速度v水平抛入复合场中，根据“配速法”，粒子的初速度可以等效为一个水平向左的2v和一个水平向右的v，向右的速度v会产生一个竖直向上的洛伦兹力，其大小等于电场力，则粒子的一个分运动为水平向右的匀速直线运动，另一个分运动是水平向左沿逆时针方向的匀速圆周运动，速度大小为2v，则根据牛顿第二定律得： 解得： 粒子偏离入射方向的最大距离为 2R＝，故A错误； B、粒子在轨迹最低点速度大小为3v，方向水平向右 解得：，故B正确； C、粒子从抛出到最低点的过程中电场力做正功，电势能减小，电势能的变化量为 ﹣Eq×2R＝﹣4mv2，故C正确； D、粒子在复合场中运动过程中只有电场力做功，所以粒子的动能和电势能的总和是守恒的，故D正确； 故选：BCD。 三．解答题（共5小题） 5．霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。xOy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射，入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。 （1）求电场强度的大小E； （2）若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标y1； （3）若电子入射速度在0＜v＜v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标y2＝位置的电子数N占总电子数N0的百分比。 【解答】解：（1）电子入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动，可知电子受到的沿y轴正方向的电场力与沿y轴负方向的洛伦兹力大小相等，则有： eE＝eBv0 解得：E＝Bv0 （2）电子的入射速度为＜v0，电子的运动轨迹如题图中的虚线所示，电子运动过程中所受洛伦兹力不做功，只有电场力做功，根据动能定理得： eEy1＝m（）2﹣m（）2 解得：y1＝ （3）电子入射速度为v（0＜v＜v0），设电子在最高点时的速度大小为vm。 电子在最低点所受的合力大小为：F1＝eE﹣eBv 电子在最高点所受的合力大小为：F2＝eBvm﹣eE 由题意可得：F1＝F2 联立解得：vm＝2v0﹣v 设电子到达最高点的纵坐标为ym，同理，根据动能定理得： eEym＝﹣mv2 解得：ym＝ 由0＜v＜v0，可得：0＜ym＜，且ym与v成线性关系，可知电子在空间的轨迹分布是均匀的，能到达纵坐标y2＝位置的电子，其到达最高点的纵坐标在[，）区间。 则电子数N占总电子数N0的百分比为：η＝ 解得：η＝90% 答：（1）电场强度的大小E为Bv0； （2）若电子入射速度为，运动到速度为时位置的纵坐标y1为； （3）能到达纵坐标y2＝位置的电子数N占总电子数N0的百分比为90%。 6．如图甲，空间存在﹣范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．让质量为m，电量为q（q＞0）的粒子从坐标原点O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到该磁场中。不计重力和粒子间的影响。 （1）若粒子以初速度v1沿y轴正向入射，恰好能经过x轴上的A（a，0）点，求v1的大小； （2）已知一粒子的初速度大小为v（v＞v1），为使该粒子能经过A（a，0）点，其入射角θ（粒子初速度与x轴正向的夹角）有几个？并求出对应的sinθ值； （3）如图乙，若在此空间再加入沿y轴正向、大小为E的匀强电场，一粒子从O点以初速度v0沿y轴正向发射。研究表明：粒子在xOy平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的x分量vx与其所在位置的y坐标成正比，比例系数与场强大小E无关。求该粒子运动过程中的最大速度值vm。 【解答】解：（1）根据运动轨迹可以求出半径为： ① 洛伦兹力提供向心力有：qv1B＝m ② 联立①②解得： （2）根据题意可知：O、A两点处于同一圆周上，且圆心在x＝的直线上，半径为R．当给定一个初速度v时，有两个入射角，分别在第1、2象限，由此解得：。 （3）粒子在运动过程中仅有电场力做功，因此在轨道的最高点处速率最大，且此处速度方向水平。用ym表示该处的纵坐标，有： …①； 由题意vm＝kym…②， 且k与E的大小无关，因此可利用E＝0时的状况来求k，E＝0时洛伦兹力充当向心力，即 ，得， 其中的R0就是对应的纵坐标y0，因此得： ，此时代入②得： ，将此式代入①，整理后可得： ，解得：，舍弃负值，得： 答：（1）v1的大小为； （2）其入射角θ（粒子初速度与x轴正向的夹角）有2个，； （3）该粒子运动过程中的最大速度值。 7．现代科学仪器中常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。如图所示，在x轴上方的平面内，有范围足够大的垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场和方向沿x轴正方向、电场强度为E的匀强电场。一质量为m，电荷量为q的带正电荷的粒子在O点由静止释放，则粒子运动的轨迹为一曲线，且曲线上离y轴最远的点的曲率半径为该点到y轴距离的两倍；当该粒子在O点以初速度v0沿x轴正方向射入，则粒子在xOy平面内做周期性运动，且任一时刻粒子速度的y分量与其到y轴的距离成正比，比例系数与电场强度E大小无关。粒子重力不计。求粒子在O点 （1）由静止释放，运动到坐标为（x0，y0）时的动量大小p； （2）由静止释放，在运动过程中第一次离开y轴最大的距离xm； （3）以初速度v0沿x轴正方向射入时，粒子运动过程中的最小速度vmin。 【解答】解：（1）洛伦兹力不做功，由动能定理有：qEx0＝ 解得：v＝ 因此粒子运动到坐标为（x0，y0）点时的动量大小为：p＝mv 解得：p＝； （2）设粒子在运动过程中第一次离开y轴最大的距离时速度为v'，方向竖直向上，由动能定理有：qExm＝ 所需向心力由洛伦兹力和电场力提供，有：qv′B﹣Eq＝m 根据题意有：R＝2xm 联立解得：v′＝，xm＝； （3）设任一时刻粒子速度的y分量为：vy＝kx 比例系数k与电场强度E大小无关，则可知当电场强度E＝0时，洛伦兹力提供向心力，有： qv0B＝m 粒子离y轴最远的点应满足条件：v0＝kR 联立解得：k＝ 当存在匀强电场时，只有电场力做功，因此粒子运动过程具有最小速度时应在x轴负半轴上方某位置，且此时速度方向竖直向下，设该点的横坐标为﹣xm，由动能定理有： ﹣Eqxm＝﹣ 其中：vmin＝kxm＝ 联立解得：vmin＝。 答：（1）由静止释放，运动到坐标为（x0，y0）时的动量大小为； （2）由静止释放，在运动过程中第一次离开y轴最大的距离为； （3）以初速度v0沿x轴正方向射入时，粒子运动过程中的最小速度为。 8．真空中有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，方向竖直向上，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外在此空间中建立竖直面内的直角坐标系xoy有一个质量为m、电量大小为e电子（重力不计），从坐标原点O由静止开始运动，如图甲所示，其运动轨迹为一条摆线，摆线的最低点为P，与x轴的第一个交点为Q.该运动可分解为竖直方向的逆时针方向的匀速圆周运动和水平向右方向的匀速直线运动两个分运动，如图乙所示。求： （1）摆线的最低点P到x轴的距离； （2）电子在摆线最低点P的速度大小； （3）每一段摆线的宽度大小。 【解答】解：（1）令电子在原点O处具有沿x轴正方向的分速度v1和沿x轴负方向的分速度v2，且v1＝v2（两者合速度为零）。令分速度v1对应的竖直向上的洛伦兹力等于电场力，即eBv1＝eE，这样电子沿x轴正方向以分速度v1做匀速直线运动，而分速度v2在洛伦兹力eBv2的作用下做匀速圆周运动，则电子的运动分解为竖直方向的逆时针方向的匀速圆周运动和水平向右方向的匀速直线运动两个分运动。其运动轨迹为一条摆线，摆线的最低点为P。 设分运动匀速圆周运动的轨迹半径为r，则有： eBv2＝， 又有：eBv2＝eBv1＝eE 解得：r＝ 最低点P到x轴的距离y等于分运动匀速圆周运动的直径，即： y＝2r＝； （2）在最低点P两分运动的速度方向相同均沿x轴正方向，则电子的速度大小为： v＝v1+v2＝2v2＝； （3）电子的分运动匀速圆周运动完成一次完整的圆周运动，对应一段摆线的轨迹，则摆线的宽度大小等于分运动匀速直线运动在匀速圆周运动一个周期内的位移大小。 分运动匀速圆周运动的周期：T＝＝ 所以每一段摆线的宽度大小为：d＝。 答：（1）摆线的最低点P到x轴的距离为； （2）电子在摆线最低点P的速度大小为； （3）每一段摆线的宽度大小为。 9．在场强为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电q的小球在O静止释放，小球的运动曲线如图所示。已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，重力加速度为g。求： （1）小球运动到任意位置P（x，y）的速率v。 （2）小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym。 （3）当在上述磁场中加一竖直向上场强为E（E＞mg/q）的匀强电场时，小球从O静止释放后获得的最大速率vm。 【解答】解：（1）洛伦兹力不做功，由动能定理得： mgy＝mv2…① 得：v＝…② （2）设在最大距离ym处的速率为vm，根据圆周运动有： qvmB﹣mg＝m …③ 且由②知：…④ 由③④及R＝2ym得：…⑤ （3）小球运动如图所示，由动能定理 有： （qE﹣mg）|ym|＝…⑥ 由圆周运动有：qvmB+mg﹣qE＝m …⑦ 且由⑥⑦及R＝2|ym|解得：vm＝。 答：（1）小球运动到任意位置P（x，y）的速率v为。 （2）小球在运动过程中第一次下降的最大距离为。 （3）当在上述磁场中加一竖直向上场强为E（E＞mg/q）的匀强电场时，小球从O静止释放后获得的最大速率为。 学科网（北京）股份有限公司 $