专题16.1幂的运算（知识点总结+12大题型举一反三+同步练习）易错重难点培优同步讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

16.1幂的运算 【题型1】同底数幂的乘法直接运算（含符号化简） 1.核心知识点总结 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，符号语言：（、为正整数）。 符号语言 文字语言 推导过程 （为任意非零数或代数式，都是正整数) 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 一般地，对于任意底数与任意正整数： 1.根据乘方的意义： ，； 2.根据乘法结合律，将两个幂的乘积展开并合并： ； 3.再根据乘方的意义，合并后的形式可表示为： ； 综上，。 推广：多个同底数幂相乘，法则仍成立，即（、、为正整数）。 注意：底数可表示单项式、多项式，单独一个字母或数的指数为“1”（省略不写）。 2.高频考点梳理 基础计算：直接应用法则计算，如、（2024苏州中考真题考点）。 符号融合：含负号的同底数幂运算，如、。 3.易错点警示 忽略指数“1”：如误算为，正确结果为。 符号判断错误：负号在括号内时，需根据指数奇偶性定符号，如，而非。 4.解题技巧拆解 第一步：判断是否为同底数幂，底数互为相反数时先转化（后续题型详解）。 第二步：保持底数不变，将指数相加（含“1”的指数不可漏）。 第三步：化简符号，负号的奇次幂为负，偶次幂为正。 【例题1】．（25-26八年级上·四川泸州·阶段练习）计算 ． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中） ． 【变式题1-2】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中） ． 【变式题1-3】．（25-26八年级上·广东广州·期中）计算：． 【题型2】幂的乘方直接运算（含系数处理） 1.核心知识点总结 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，符号语言：（、为正整数）。 符号语言 文字语言 推导过程 （为任意非零数、单项式或多项式，均为正整数) 幂的乘方，底数不变，指数相乘 一般地，对于任意底数与任意正整数，推导步骤如下： 1.根据乘方的意义：表示个相乘，即； 2.应用同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变、指数相加，因此； 3.简化指数：个相加的结果为(即)，因此； 综上，。 推广：多层幂的乘方，如（、、为正整数）。 系数处理：系数的乘方独立计算，如。 2.高频考点梳理 直接计算：如、（2024河南中考真题考点）。 含负号运算：如、。 3.易错点警示 法则混淆：误将指数相加，如，正确为。 漏算系数乘方：如误算为，正确为。 4.解题技巧拆解 区分运算类型：先判断是“幂的乘方”（指数相乘）还是“同底数幂乘法”（指数相加）。 分层计算：先算外层幂的乘方，再处理内层，含系数时先算系数的乘方。 符号化简：括号内有负号时，先根据外层指数奇偶性定整体符号。 【例题2】．（25-26七年级上·上海·期中）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】．（25-26八年级上·北京海淀·期中）计算： ． 【变式题2-2】．（25-26八年级上·广东广州·期中）计算： ． 【变式题2-3】．（25-26八年级上·北京·期中）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型3】积的乘方直接运算（含多因式拓展） 1.核心知识点总结 法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，符号语言：（为正整数）。 符号语言 文字语言 推导过程 （、可为非零数、单项式或多项式，为正整数） 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘（注：原“幕”修正为数学标准术语“幂”） 一般地，对于任意底数、与任意正整数，推导步骤如下： 1.根据乘方的意义：表示个相乘，即； 2.应用乘法交换律与结合律：将所有含的因式和含的因式分别归类，得； 3.根据乘方的意义化简：，； 综上，。 推广：多个因式的积的乘方，如（为正整数）。 2.高频考点梳理 基础计算：如（2024上海中考真题考点）、。 多因式拓展：如、。 3.易错点警示 漏乘某个因式的乘方：如误算为，正确为。 符号处理失误：如误算为，正确为。 4.解题技巧拆解 分解因式：将积中的每个单项式、多项式视为独立因式。 分别乘方：对每个因式按乘方法则运算，系数、字母、多项式分别处理。 结果相乘：将各因式乘方后的结果相乘，合并符号。 【例题3】．（25-26八年级上·海南海口·阶段练习）计算： ． 【变式题3-1】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若，则 ． 【变式题3-2】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： ． 【变式题3-3】．（25-26八年级上·广东广州·期中）计算： ． 【题型4】幂的运算符号专项突破 1.核心知识点总结 符号公式：。 2.高频考点梳理 单一负号运算：如、。 相反数底数运算：如、。 3.易错点警示 符号与指数关系混淆：如（错误），正确为。 相反数底数未转化直接运算：如误算为，正确为。 4.解题技巧拆解 定符号：先根据指数奇偶性确定单个因式的符号。 统一底数：将相反数底数转化为相同底数（优先选含字母顺序的底数，如）。 再运算：统一底数后应用相应乘方法则计算。 【例题4】．（2025八年级上·全国·专题练习） ． 【变式题4-1】．（25-26七年级上·上海闵行·期中）计算： 【变式题4-2】．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式题4-3】．（25-26八年级上·西藏林芝·期中） ． 【题型5】幂的运算性质逆用（求值/求关系）（提升） 1.核心知识点总结 同底数幂乘法逆用：（、为正整数）。 幂的乘方逆用：（、为正整数）。 积的乘方逆用：（为正整数）。 2.高频考点梳理 求值问题：已知、，求或的值。 关系推导：已知、，推导、的数量关系。 3.易错点警示 逆用公式不熟练：如已知，不会转化。 指数拆分错误：如误拆为（无此法则），正确逆用为（同底数幂除法）。 4.解题技巧拆解 目标转化：将所求代数式的指数拆分为已知指数的和、积形式。 公式匹配：根据指数特征选择对应逆用公式（和→乘法逆用，积→乘方逆用）。 整体代入：将已知幂的值作为整体代入计算。 【例题5】．（25-26八年级上·青海西宁·期中）若，则等于（　　）． A．5 B．3 C．6 D．10 【变式题5-1】．（25-26八年级上·广东广州·期中）若，，则 【变式题5-2】．（25-26八年级上·福建福州·期中）计算： ． 【变式题5-3】．（25-26八年级上·甘肃金昌·期中）已知，求的值． 【题型6】底数互为相反数的幂的运算（提升） 1.核心知识点总结 核心原则：先将底数统一为相同形式，再应用幂的运算性质。 关键转化：利用与的符号关系（奇负偶正）。 相反数底数转化：。 2.高频考点梳理 直接运算：如、。 混合运算：如。 3.易错点警示 未统一底数直接运算：如误算为，符号错误。 多次转化符号混乱：如，多次转化后符号出错。 4.解题技巧拆解 统一底数：选择一个固定底数（如），将所有相反数底数转化为该形式。 符号统一：根据每个因式的指数奇偶性确定符号，再合并计算。 简化运算：统一后按同底数幂乘法法则计算，最后可还原为原底数形式（可选）。 【例题6】．（25-26七年级上·上海闵行·期中）计算：（结果用幂的形式表示）． 【变式题6-1】．（25-26七年级上·上海·阶段练习）计算： ．（结果用幂的形式表示） 【变式题6-2】．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ．（结果用幂的形式表示） 【变式题6-3】．（25-26七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 【题型7】幂的混合运算（含同类项合并）（提升） 1.核心知识点总结 运算顺序：先算积的乘方，再算幂的乘方、同底数幂的乘除，最后算加减（有括号先算括号内）。 同类项合并：只有底数相同、指数也相同的幂才是同类项，可合并系数。 2.高频考点梳理 基础混合：如、。 多项式底数混合：如。 3.易错点警示 运算顺序颠倒：先算同底数幂乘法，后算积的乘方，如误算为。 同类项判断错误：如与视为同类项，强行合并。 4.解题技巧拆解 分步运算：按“积的乘方→幂的乘方→同底数幂乘法→加减合并”步骤进行。 整体代换：多项式底数（如）视为一个整体，按单项式底数法则运算。 合并同类项：只合并系数，底数和指数保持不变。 【例题7】．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【变式题7-1】．（25-26八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算： (1)． (2)________． 【变式题7-2】．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题7-3】．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 【题型8】利用幂的运算求字母参数值（提升） 1.核心知识点总结 关键依据：同底数幂相等（底数且），则指数相等；幂的形式相同，则各因式对应相等。 常用方法：化为同底数幂或同指数幂，建立方程求解。 2.高频考点梳理 同底数幂型：已知，求；已知，求。 积的乘方型：已知，求、、。 3.易错点警示 未化为同底数直接列方程：如，直接得（错误），需先化为。 忽略底数限制：如，直接得(正确)，但需转化为(底数为正)。 4.解题技巧拆解 统一形式：将等式两边化为同底数幂或同指数幂(优先同底数)。 建立方程：根据“底数相同则指数相等”“系数相等”“指数对应相等”列方程。 求解验证：解出参数后代入原等式验证，确保符合幂的定义。 【例题8】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）阅读材料：若（，），则．请利用上面的结论解决问题： (1)，求x的值； (2)，求x的值． 【变式题8-1】．（23-24七年级下·全国·阶段练习）在幂的运算中规定：若且，、是正整数），则．利用上面结论解答下列问题：已知，，若，求m，n满足的数量关系． 【变式题8-2】．（25-26八年级上·北京海淀·期中）计算： (1)． (2)已知，，求的值． 【变式题8-3】．（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段练习）若（且，，是正整数），则． (1)如果，求的值； (2)已知满足，求的值． 【题型9】新定义运算与幂的结合(培优) 1.核心知识点总结 本质：新定义运算的规则通常基于幂的运算性质，需先理解定义，再转化为幂的运算。 常见定义：如规定表示，或。 2.高频考点梳理 定义应用：如规定表示，计算。 定义证明：如证明。 3.易错点警示 理解定义偏差：混淆新定义符号的含义，如将误解为。 转化不彻底：未将新定义运算完全转化为熟悉的幂的运算，导致无法求解。 4.解题技巧拆解 翻译定义：将新定义的符号语言转化为幂的运算等式(如)。 套用性质：根据转化后的幂的形式，应用幂的运算性质计算或证明。 回归定义：结果需符合新定义的表达形式(若题目要求)。 【例题9】．（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段练习）【概念学习】 我们规定a，b两数之间的一种运算，记作，如果，那么；例如，记作． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果： ； ； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有，例如． 小颖发现也成立，并证明如下： 设，，则，， 因为，所以， 所以， （2）仿照以上证明，计算，写出计算过程． 【变式题9-1】．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以．根据上述规定： (1)填空： ， ； (2)记，试说明：． 【变式题9-2】．（2025·安徽·模拟预测）初中学习过指数的运算，在指数的基础上，作另一种运算——对数运算．给出对数的定义：如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数（），记作：，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．∵，∴；∵，∴；∵，∴；∵，∴； (1) ； __________； (2)由题目给出的运算，猜想：__________（且，，），并证明你的猜想． (3)根据（2）的探究，直接写出__________． 【变式题9-3】．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． (3)若，，用含m的代数式表示 ． 【题型10】跨学科应用：科学记数法与幂运算(培优) 1.核心知识点总结 科学记数法：(，为整数)。 运算关联：科学记数法的乘除、乘方运算可转化为幂的运算。 2.高频考点梳理 体积/容量计算：如计算棱长为的正方体快递盒总体积(2025原创题)。 单位换算：如计算机存储容量，换算为。 3.易错点警示 单位换算错误：如记错换算关系，导致结果数量级错误。 科学记数法运算失误：如误算为(正确)，但误算为(正确为)。 4.解题技巧拆解 分离运算：将科学记数法的系数和的幂分别运算。 幂的运算：对的幂应用积的乘方、同底数幂乘法法则。 结果规范：运算后将结果整理为标准科学记数法形式()。 【例题10】．（24-25七年级上·全国·课后作业）共建“一带一路”已成为当今世界规模最大的国际合作平台．数据显示，2013-2022年，中国与共建国家进出口总额累计19.1万亿美元，年均增长；与共建国家双向投资累计超过3800亿美元．其中，中国对外直接投资超过2400亿美元．用科学记数法表示这三个金额． 【变式题10-1】．（25-26八年级上·上海·阶段练习）有资料显示，一个人每次在刷牙的过程中，如果及时关闭水龙头，将节约7杯水（每杯水约有）．按此数据估算，如果某市某日早晨有100万人在刷牙的过程中都及时关闭水龙头，那么将节约多少毫升水？（结果用科学记数法表示） 【变式题10-2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）月球距离地球大约，一架飞机的速度约为．若乘飞机飞行这么远的距离，大约需要多少天？ 【变式题10-3】．（23-24七年级下·河北唐山·期中）某种电子计算机每秒可进行次运算． (1)它工作秒，可进行多少次运算？（结果用科学记数法表示） (2)该计算机进行次运算需要多少秒？ 【题型11】幂的大小比较(多方法综合)(培优) 1.核心知识点总结 同底数法：底数相同()，指数越大，幂越大；底数，指数越大，幂越小。 同指数法：指数相同(指数>0)，底数越大，幂越大。 中间量法：通过中间值(如、)间接比较。 2.高频考点梳理 不同底不同指数：比较、、的大小(2025上海徐汇期中真题)。 含字母比较：已知、，比较、的大小。 3.易错点警示 直接比较错误：未转化直接比较与，无法得出结论。 指数转化失误：如将转化为时，指数计算错误()。 4.解题技巧拆解 观察特征：判断底数、指数是否有公因数或最小公倍数。 选择方法：有公因数→同指数法(如、公因数为)；无公因数→中间量法。 转化计算：转化为同底数或同指数后，比较底数或指数大小。 【例题11】．（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段练习）逆向运用幂的运算可以得到等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，求的值； (2)比较大小：若，则的大小关系是什么？ 【变式题11-1】．（2023七年级下·广东深圳·竞赛）比较整数与的大小，结果为（    ） A． B． C． D． 【变式题11-2】．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小 解：∵，且， ∴，即． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小， 【方法运用】 (1)比较______的大小（填“＞”或者“＜”）； (2)已知，，比较a、b的大小； (3)比较与的大小． 【变式题11-3】．（25-26八年级上·福建泉州·阶段练习）阅读与思考 请阅读以下材料并解答相应的问题． 小丽在学习了“幂的运算法则”后，总结了两种幂的比较大小的方法： 方法一：化同指数幂比较底数大小． 例如：若，，则，的大小关系是____．（填“”或“”） 解：，，且， ， ． 方法二：化同底数幂比较指数大小． 例如：比较，，的大小． 解：，，，且， ． (1)上述求解过程中，逆用幂的运算性质是____．（填选项） A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较与的大小． 已知，，．则，，之间是否存在等量关系？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 【题型12】规律探究：幂的运算规律推导(培优) 1.核心知识点总结 常见规律：幂的循环规律(如的周期性)、求和规律(如)。 探究方法：通过特殊值计算→猜想规律→验证规律→应用规律。 2.高频考点梳理 循环规律：如探究、(虚数单位)的循环周期。 求和规律：如观察，推导的和(2024广西南宁期中真题)。 3.易错点警示 规律总结片面：仅通过1-2个特殊值猜想规律，未验证更多情况导致错误。 应用规律失误：如循环周期为，计算时，余数判断错误(，应为)。 4.解题技巧拆解 特殊值计算：计算前5-6个特殊值，寻找重复特征或递推关系。 规律提炼：用含的代数式表示规律(循环规律注明周期，求和规律注明通项)。 验证应用：用第个值验证规律，再应用规律求解目标问题。 【例题12】．（25-26七年级上·吉林长春·期中）若按一定规律排列的单项式为，，，，，…，则第个单项式为（   ） A． B． C． D． 【变式题12-1】．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）按一定规律排列的一列数：2026，若表示这列数中的连续三个数，猜想满足的关系式是 ． 【变式题12-2】．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）观察下列各式： ………………①； ………………②； ………………③； …… 探索以上式子的规律： (1)写出第5个等式：_________； (2)试写出第n个等式，并说明第n个等式成立； (3)计算． 【变式题12-3】．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）探究与应用 ●探究规律：计算下列各式 （1）；（2）；（3）都是正整数） 描述你发现的规律：__________________________________． ●提出猜想：根据你发现的规律，如果m，n都是正整数，那么_____________． ●验证规律： 请补充上述证明过程． ●应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3） 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·云南大理·期中）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，为实数，，，则（   ） A． B．1 C． D． 3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若，，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（25-26七年级上·上海·期中）计算：等于（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·北京·期中）在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 二、填空题 6．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）已知，则的值为 ． 7．（25-26八年级上·青海西宁·期中） ． 8．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： ． 9．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： ． 10．（25-26七年级上·吉林长春·期中）若，，则 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·四川内江·阶段练习）计算： (1) (2) 12．（25-26八年级上·北京·期中）计算：． 13．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1)； (2)． 14．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知 (1)求的值． (2)求的值． 15．（25-26八年级上·北京海淀·期中）对于有理数a，b定义一种幂的新运算：．其中m，n是正整数，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)的值为_____； (2)若，求t的值； (3)这种运算是否满足结合律，即成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请举一个反例． 16．（25-26七年级上·北京·期中）【概念学习】 定义：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的下次方”，记作，读作“的下次方”．一般地，把记作，读作“的下次方”． (1)直接写出计算结果：______， ______． (2)【深入探究】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： 类比上面的算式，将一个非零有理数的下次方写成幂的形式是：_____．（直接写出结果） (3)【结论应用】 已知同底数幂乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例如：． 请根据同底数幂乘法公式和以上探究结论，计算的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.1幂的运算 【题型1】同底数幂的乘法直接运算（含符号化简） 1.核心知识点总结 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，符号语言：（、为正整数）。 符号语言 文字语言 推导过程 （为任意非零数或代数式，都是正整数) 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 一般地，对于任意底数与任意正整数： 1.根据乘方的意义： ，； 2.根据乘法结合律，将两个幂的乘积展开并合并： ； 3.再根据乘方的意义，合并后的形式可表示为： ； 综上，。 推广：多个同底数幂相乘，法则仍成立，即（、、为正整数）。 注意：底数可表示单项式、多项式，单独一个字母或数的指数为“1”（省略不写）。 2.高频考点梳理 基础计算：直接应用法则计算，如、（2024苏州中考真题考点）。 符号融合：含负号的同底数幂运算，如、。 3.易错点警示 忽略指数“1”：如误算为，正确结果为。 符号判断错误：负号在括号内时，需根据指数奇偶性定符号，如，而非。 4.解题技巧拆解 第一步：判断是否为同底数幂，底数互为相反数时先转化（后续题型详解）。 第二步：保持底数不变，将指数相加（含“1”的指数不可漏）。 第三步：化简符号，负号的奇次幂为负，偶次幂为正。 【例题1】．1．（25-26八年级上·四川泸州·阶段练习）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，解题关键是掌握“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，易错点是混淆幂的运算规则，解题思路为：直接应用同底数幂的乘法法则计算指数和． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则，，所以 ； 故答案为 ． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中） ． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算性质，包括负号的处理和同底数幂的乘法法则，正确计算是解题的关键．先根据乘方的符号法则，再根据有理数的乘法法则和同底数幂的乘法法则运算即可． 【详解】原式 = ， ， ， ， 故答案为：． 【变式题1-2】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中） ． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式题1-3】．（25-26八年级上·广东广州·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法、乘方运算等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据同底数幂乘法法则计算，然后再运用乘方化简即可． 【详解】解：． 【题型2】幂的乘方直接运算（含系数处理） 1.核心知识点总结 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，符号语言：（、为正整数）。 符号语言 文字语言 推导过程 （为任意非零数、单项式或多项式，均为正整数) 幂的乘方，底数不变，指数相乘 一般地，对于任意底数与任意正整数，推导步骤如下： 1.根据乘方的意义：表示个相乘，即； 2.应用同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变、指数相加，因此； 3.简化指数：个相加的结果为(即)，因此； 综上，。 推广：多层幂的乘方，如（、、为正整数）。 系数处理：系数的乘方独立计算，如。 2.高频考点梳理 直接计算：如、（2024河南中考真题考点）。 含负号运算：如、。 3.易错点警示 法则混淆：误将指数相加，如，正确为。 漏算系数乘方：如误算为，正确为。 4.解题技巧拆解 区分运算类型：先判断是“幂的乘方”（指数相乘）还是“同底数幂乘法”（指数相加）。 分层计算：先算外层幂的乘方，再处理内层，含系数时先算系数的乘方。 符号化简：括号内有负号时，先根据外层指数奇偶性定整体符号。 【例题2】．5．（25-26七年级上·上海·期中）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的乘法运算，解题的关键是熟练掌握幂的运算性质． 分别根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法法则对每个选项进行计算，然后判断对错． 【详解】解：A、根据幂的乘方法则，，所以，错误； B、根据积的乘方法则，，所以，正确； C、根据积的乘方法则，，错误； D、根据同底数幂的乘法法则，，所以，错误． 故选：B． 【变式题2-1】．（25-26八年级上·北京海淀·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查积的乘方和幂的乘方，利用积的乘方和幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式题2-2】．（25-26八年级上·广东广州·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方、幂的乘方运算等知识，先根据积的乘方法则进行计算，再进行幂的乘方运算即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 【变式题2-3】．（25-26八年级上·北京·期中）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方及幂的乘方运算法则逐项判断即可求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类项，不能合并，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算正确，符合题意； 故选：． 【题型3】积的乘方直接运算（含多因式拓展） 1.核心知识点总结 法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，符号语言：（为正整数）。 符号语言 文字语言 推导过程 （、可为非零数、单项式或多项式，为正整数） 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘（注：原“幕”修正为数学标准术语“幂”） 一般地，对于任意底数、与任意正整数，推导步骤如下： 1.根据乘方的意义：表示个相乘，即； 2.应用乘法交换律与结合律：将所有含的因式和含的因式分别归类，得； 3.根据乘方的意义化简：，； 综上，。 推广：多个因式的积的乘方，如（为正整数）。 2.高频考点梳理 基础计算：如（2024上海中考真题考点）、。 多因式拓展：如、。 3.易错点警示 漏乘某个因式的乘方：如误算为，正确为。 符号处理失误：如误算为，正确为。 4.解题技巧拆解 分解因式：将积中的每个单项式、多项式视为独立因式。 分别乘方：对每个因式按乘方法则运算，系数、字母、多项式分别处理。 结果相乘：将各因式乘方后的结果相乘，合并符号。 【例题3】．9．（25-26八年级上·海南海口·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的相关运算法则是解题的关键． 应用积的乘方和幂的乘方法则进行计算． 【详解】解：根据积的乘方法则，， 幂的乘方法则，， 可得：． 故答案为：． 【变式题3-1】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查积的乘方，根据积的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：6． 【变式题3-2】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方运算，根据积的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式题3-3】．（25-26八年级上·广东广州·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查积的乘方运算法则，即一个积的乘方等于每个因式分别乘方后再相乘．由于指数为偶数，负数的偶次幂结果为正数． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型4】幂的运算符号专项突破 1.核心知识点总结 符号公式：。 2.高频考点梳理 单一负号运算：如、。 相反数底数运算：如、。 3.易错点警示 符号与指数关系混淆：如（错误），正确为。 相反数底数未转化直接运算：如误算为，正确为。 4.解题技巧拆解 定符号：先根据指数奇偶性确定单个因式的符号。 统一底数：将相反数底数转化为相同底数（优先选含字母顺序的底数，如）。 再运算：统一底数后应用相应乘方法则计算。 【例题4】．13．（2025八年级上·全国·专题练习） ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方． 先计算积的乘方，再利用同底数幂相乘的法则进行运算． 【详解】 ． 故答案为：． 【变式题4-1】．（25-26七年级上·上海闵行·期中）计算： 【答案】9 【分析】此题考查了幂的运算法则与合并同类项等知识，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等运算法则是解答此题的关键． 根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方化简，然后再合并同类项，即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式题4-2】．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】本题考查了积的乘方，绝对值，有理数的乘方，根据积的乘方，绝对值及相反数的性质逐一判断各选项是否恒成立． 【详解】解：A：，平方运算中符号不影响结果，恒成立． B：，为非正数，绝对值后为，等式恒成立． C：，奇次幂符号保留，等式恒成立． D：，双重负号得正，恒成立． 综上，所有选项均一定成立． 故选：ABCD． 【变式题4-3】．（25-26八年级上·西藏林芝·期中） ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方法则，根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（为正整数）． 【详解】解： ． 故答案为：． 【题型5】幂的运算性质逆用（求值/求关系）（提升） 1.核心知识点总结 同底数幂乘法逆用：（、为正整数）。 幂的乘方逆用：（、为正整数）。 积的乘方逆用：（为正整数）。 2.高频考点梳理 求值问题：已知、，求或的值。 关系推导：已知、，推导、的数量关系。 3.易错点警示 逆用公式不熟练：如已知，不会转化。 指数拆分错误：如误拆为（无此法则），正确逆用为（同底数幂除法）。 4.解题技巧拆解 目标转化：将所求代数式的指数拆分为已知指数的和、积形式。 公式匹配：根据指数特征选择对应逆用公式（和→乘法逆用，积→乘方逆用）。 整体代入：将已知幂的值作为整体代入计算。 【例题5】．17．（25-26八年级上·青海西宁·期中）若，则等于（　　）． A．5 B．3 C．6 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，根据逆用同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【变式题5-1】．（25-26八年级上·广东广州·期中）若，，则 【答案】 【分析】利用指数运算法则，将 分解为，再结合已知条件代入求解．本题考查了同底数幂运算法则：，熟练掌握同底数幂运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴ ， 又∵ ， ∴ ． 故答案为 ：． 【变式题5-2】．（25-26八年级上·福建福州·期中）计算： ． 【答案】3 【分析】本题主要考查积的乘方逆运算，将原式变形为，利用积的乘方逆运算求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：3． 【变式题5-3】．（25-26八年级上·甘肃金昌·期中）已知，求的值． 【答案】 1 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据相关运算法则解题即可． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【题型6】底数互为相反数的幂的运算（提升） 1.核心知识点总结 核心原则：先将底数统一为相同形式，再应用幂的运算性质。 关键转化：利用与的符号关系（奇负偶正）。 相反数底数转化：。 2.高频考点梳理 直接运算：如、。 混合运算：如。 3.易错点警示 未统一底数直接运算：如误算为，符号错误。 多次转化符号混乱：如，多次转化后符号出错。 4.解题技巧拆解 统一底数：选择一个固定底数（如），将所有相反数底数转化为该形式。 符号统一：根据每个因式的指数奇偶性确定符号，再合并计算。 简化运算：统一后按同底数幂乘法法则计算，最后可还原为原底数形式（可选）。 【例题6】．21．（25-26七年级上·上海闵行·期中）计算：（结果用幂的形式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方、幂的乘方和同底数幂的乘法，先将转化为，再根据积的乘方、幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行计算． 【详解】解： ． 【变式题6-1】．（25-26七年级上·上海·阶段练习）计算： ．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，掌握其运算法则是关键，把原式化为，再计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式题6-2】．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ．（结果用幂的形式表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查的就是同底数幂的乘法计算法则，属于基础题型．首先转化为同底数，然后根据同底数幂的乘法计算法则即可得出答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式题6-3】．（25-26七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方运算，先理解题意，整理得，再把看作整体，再运算幂的乘方运算，然后运算同底数幂相乘，即可作答． 【详解】解： 故答案为： 【题型7】幂的混合运算（含同类项合并）（提升） 1.核心知识点总结 运算顺序：先算积的乘方，再算幂的乘方、同底数幂的乘除，最后算加减（有括号先算括号内）。 同类项合并：只有底数相同、指数也相同的幂才是同类项，可合并系数。 2.高频考点梳理 基础混合：如、。 多项式底数混合：如。 3.易错点警示 运算顺序颠倒：先算同底数幂乘法，后算积的乘方，如误算为。 同类项判断错误：如与视为同类项，强行合并。 4.解题技巧拆解 分步运算：按“积的乘方→幂的乘方→同底数幂乘法→加减合并”步骤进行。 整体代换：多项式底数（如）视为一个整体，按单项式底数法则运算。 合并同类项：只合并系数，底数和指数保持不变。 【例题7】．25．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式运算法则是解题的关键．先运算积和幂的乘方运算法则，再运用同底数幂相乘运算法则计算，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 【变式题7-1】．（25-26八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算： (1)． (2)________． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了幂的混合运算和积的乘方的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． （1）利用积的乘方和同底数幂乘法计算后，再计算减法即可； （2）逆用积的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 故答案为： 【变式题7-2】．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的混合运算，幂的乘方和积的乘方． （1）先算乘方，然后再算乘法； （2）先算乘方和乘法，再算加法； （3）先算乘法和乘方，再算加减法； （4）先算积的乘方，再算加法． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式题7-3】．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了幂的混合运算，代数式求值，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可求出，根据幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法运算可将式子变形为，整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，将代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ； （2）∵， ∴ ． 【题型8】利用幂的运算求字母参数值（提升） 1.核心知识点总结 关键依据：同底数幂相等（底数且），则指数相等；幂的形式相同，则各因式对应相等。 常用方法：化为同底数幂或同指数幂，建立方程求解。 2.高频考点梳理 同底数幂型：已知，求；已知，求。 积的乘方型：已知，求、、。 3.易错点警示 未化为同底数直接列方程：如，直接得（错误），需先化为。 忽略底数限制：如，直接得(正确)，但需转化为(底数为正)。 4.解题技巧拆解 统一形式：将等式两边化为同底数幂或同指数幂(优先同底数)。 建立方程：根据“底数相同则指数相等”“系数相等”“指数对应相等”列方程。 求解验证：解出参数后代入原等式验证，确保符合幂的定义。 【例题8】．29．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）阅读材料：若（，），则．请利用上面的结论解决问题： (1)，求x的值； (2)，求x的值． 【答案】(1)8 (2)4 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方等幂的运算性质，熟练掌握这些运算性质并能灵活运用，将不同底数的幂转化为相同底数的幂是解题的关键． （1）先把、都转化为以为底的幂，再根据同底数幂乘法法则计算左边，最后利用已知结论列方程求解． （2）先把转化为以为底的幂，再根据幂的乘方法则计算左边，然后利用已知结论列方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ 解得； （2）解：∵， ∴， ， ， 解得：． 【变式题8-1】．（23-24七年级下·全国·阶段练习）在幂的运算中规定：若且，、是正整数），则．利用上面结论解答下列问题：已知，，若，求m，n满足的数量关系． 【答案】 【分析】题目主要考查有理数的乘方运算，幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据题意得出，再由同底数幂相乘即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题8-2】．（25-26八年级上·北京海淀·期中）计算： (1)． (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题考查同底数幂的运算，合并同类项，解题的关键是熟练运用同底数幂的运算法则． （1）根据同底数幂的运算法则和合并同类项即可求出答案． （2）根据同底数幂的运算法则即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ，， ． 【变式题8-3】．（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段练习）若（且，，是正整数），则． (1)如果，求的值； (2)已知满足，求的值． 【答案】(1)2 (2)1 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、幂的乘方法则和解一元一次方程． （1）将全部写成底数为2的幂的形式，得到关于的方程，解方程求出即可； （2）先把等式写成，提取公因式，得到关于的方程，解方程求出即可． 【详解】（1）解：， , 解得， 故的值为2． （2）， 即， ， ， ， ， 解得， 故的值为1． 【题型9】新定义运算与幂的结合(培优) 1.核心知识点总结 本质：新定义运算的规则通常基于幂的运算性质，需先理解定义，再转化为幂的运算。 常见定义：如规定表示，或。 2.高频考点梳理 定义应用：如规定表示，计算。 定义证明：如证明。 3.易错点警示 理解定义偏差：混淆新定义符号的含义，如将误解为。 转化不彻底：未将新定义运算完全转化为熟悉的幂的运算，导致无法求解。 4.解题技巧拆解 翻译定义：将新定义的符号语言转化为幂的运算等式(如)。 套用性质：根据转化后的幂的形式，应用幂的运算性质计算或证明。 回归定义：结果需符合新定义的表达形式(若题目要求)。 【例题9】．33．（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段练习）【概念学习】 我们规定a，b两数之间的一种运算，记作，如果，那么；例如，记作． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果： ； ； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有，例如． 小颖发现也成立，并证明如下： 设，，则，， 因为，所以， 所以， （2）仿照以上证明，计算，写出计算过程． 【答案】（1）4，；（2）32 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法及题意是解题的关键． （1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）设，，则，，然后根据同底数的乘法可进行求解． 【详解】解 ：（1），， 又如果，那么 ； 故答案为：4，； （2）设，， 则，， ， 又如果，那么， ； 故答案为：32． 【变式题9-1】．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以．根据上述规定： (1)填空： ， ； (2)记，试说明：． 【答案】(1)3,4 (2)见解析 【分析】本题主要考查了新定义运算，乘方运算，同底数幂的乘法运算，解题的关键掌握各运算法则． （1）利用新定义运算法则进行计算即可； （2）利用新定义法则进行整理，然后利用同底数幂的乘法法则进行证明即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∴； ， ∴； 故答案为：3,4； （2）解：∵， ∴； ∵ ， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴． 【变式题9-2】．（2025·安徽·模拟预测）初中学习过指数的运算，在指数的基础上，作另一种运算——对数运算．给出对数的定义：如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数（），记作：，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．∵，∴；∵，∴；∵，∴；∵，∴； (1) ； __________； (2)由题目给出的运算，猜想：__________（且，，），并证明你的猜想． (3)根据（2）的探究，直接写出__________． 【答案】(1)5，5 (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是弄清对数与乘方之间的关系，并熟练运用． （1）根据对数与乘方之间的关系求解可得结论； （2）根据所得结论进行推导可得结论； （3）根据之前的探究，可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ， ， 故答案为：5，5； （2）解：， 验证：设， 则， ， ， ， 故答案为：； （3）解：根据之前的探究，可得． 验证：设， 则， ， ， ， 故答案为：． 【变式题9-3】．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． (3)若，，用含m的代数式表示 ． 【答案】(1)6 (2)3 (3) 【分析】本题考查幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）利用幂的乘方的逆运算将变形为，再根据题目中的规定即可求解； （2）将变形为，计算出，即可求解； （3）由得，再将变形为即可求解． 【详解】（1）解： ，， ， ； （2）解： ， ， ， ， ， ； （3）解： ， ， ， 故答案为：． 【题型10】跨学科应用：科学记数法与幂运算(培优) 1.核心知识点总结 科学记数法：(，为整数)。 运算关联：科学记数法的乘除、乘方运算可转化为幂的运算。 2.高频考点梳理 体积/容量计算：如计算棱长为的正方体快递盒总体积(2025原创题)。 单位换算：如计算机存储容量，换算为。 3.易错点警示 单位换算错误：如记错换算关系，导致结果数量级错误。 科学记数法运算失误：如误算为(正确)，但误算为(正确为)。 4.解题技巧拆解 分离运算：将科学记数法的系数和的幂分别运算。 幂的运算：对的幂应用积的乘方、同底数幂乘法法则。 结果规范：运算后将结果整理为标准科学记数法形式()。 【例题10】．37．（24-25七年级上·全国·课后作业）共建“一带一路”已成为当今世界规模最大的国际合作平台．数据显示，2013-2022年，中国与共建国家进出口总额累计19.1万亿美元，年均增长；与共建国家双向投资累计超过3800亿美元．其中，中国对外直接投资超过2400亿美元．用科学记数法表示这三个金额． 【答案】美元，美元，美元 【分析】根据科学记数法表示即可． 本题考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的形式及单位换算规则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，19.1万亿美元美元， 3800亿美元美元， 2400亿美元美元． 【变式题10-1】．（25-26八年级上·上海·阶段练习）有资料显示，一个人每次在刷牙的过程中，如果及时关闭水龙头，将节约7杯水（每杯水约有）．按此数据估算，如果某市某日早晨有100万人在刷牙的过程中都及时关闭水龙头，那么将节约多少毫升水？（结果用科学记数法表示） 【答案】将节约毫升水． 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，为整数，正确确定的值以及的值即可． 【详解】解：（毫升）． 答：将节约毫升水． 【变式题10-2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）月球距离地球大约，一架飞机的速度约为．若乘飞机飞行这么远的距离，大约需要多少天？ 【答案】大约需要20天 【分析】本题考查了单项式除法的实际应用，依据题意，正确列出运算式子是解题关键．根据题意列出运算式子，再计算单项式除以单项式即可得答案． 【详解】解：由题意得：， 答：乘飞机飞行这么远的距离需20天. 【变式题10-3】．（23-24七年级下·河北唐山·期中）某种电子计算机每秒可进行次运算． (1)它工作秒，可进行多少次运算？（结果用科学记数法表示） (2)该计算机进行次运算需要多少秒？ 【答案】(1)次运算 (2)5秒 【分析】本题主要考查科学记数法—表示较大的数，有理数混合运算，读懂题意是解题的关键． （1）根据工作总量工作效率工作时间，即可作答； （2）根据工作时间工作总量工作效率，即可作答． 【详解】（1）解：（次， 答：它工作秒，可进行次运算． （2）解：（秒， 答：该计算机进行次运算需要5秒． 【题型11】幂的大小比较(多方法综合)(培优) 1.核心知识点总结 同底数法：底数相同()，指数越大，幂越大；底数，指数越大，幂越小。 同指数法：指数相同(指数>0)，底数越大，幂越大。 中间量法：通过中间值(如、)间接比较。 2.高频考点梳理 不同底不同指数：比较、、的大小(2025上海徐汇期中真题)。 含字母比较：已知、，比较、的大小。 3.易错点警示 直接比较错误：未转化直接比较与，无法得出结论。 指数转化失误：如将转化为时，指数计算错误()。 4.解题技巧拆解 观察特征：判断底数、指数是否有公因数或最小公倍数。 选择方法：有公因数→同指数法(如、公因数为)；无公因数→中间量法。 转化计算：转化为同底数或同指数后，比较底数或指数大小。 【例题11】．41．（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段练习）逆向运用幂的运算可以得到等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，求的值； (2)比较大小：若，则的大小关系是什么？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方及其逆用，有理数大小比较，掌握相应的运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方进行计算； （2）把、、换算成同指数幂，再按照有理数大小比较方法进行比较． 【详解】（1）解： ∵， ， ∴ ， ； （2）解：依题意， ∵ ∴ ． 【变式题11-1】．（2023七年级下·广东深圳·竞赛）比较整数与的大小，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方、有理数的大小比较，将和化成同指数幂的形式，再比较底数的大小即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ， ∵， ∴，即， 故选：B． 【变式题11-2】．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小 解：∵，且， ∴，即． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小， 【方法运用】 (1)比较______的大小（填“＞”或者“＜”）； (2)已知，，比较a、b的大小； (3)比较与的大小． 【答案】(1)＞ (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、实数的大小比较，解答本题的关键是明确实数的大小比较方法． （1）由，，再比较大小即可； （2）由，，再仿照材料中的例题，比较大小即可； （3）由，，再比较大小即可． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴，即， 故答案为：＞． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， 又∵， ∴． （3）解：， ， ∵， ∴， 即． 【变式题11-3】．（25-26八年级上·福建泉州·阶段练习）阅读与思考 请阅读以下材料并解答相应的问题． 小丽在学习了“幂的运算法则”后，总结了两种幂的比较大小的方法： 方法一：化同指数幂比较底数大小． 例如：若，，则，的大小关系是____．（填“”或“”） 解：，，且， ， ． 方法二：化同底数幂比较指数大小． 例如：比较，，的大小． 解：，，，且， ． (1)上述求解过程中，逆用幂的运算性质是____．（填选项） A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较与的大小． 已知，，．则，，之间是否存在等量关系？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)C (2)； ，，之间存在等量关系，证明见解析 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可． （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，即可得答案；根据 ，可得，利用幂的乘方运算和同底数幂的乘法运算法则即可得到，，之间存在等量关系． 【详解】（1）解：上述求解过程中，逆用幂的乘方运算性质， 故选：C． （2）解：，，且， ． ，，之间存在等量关系． 证明：，，，， ， ， ， ． 【题型12】规律探究：幂的运算规律推导(培优) 1.核心知识点总结 常见规律：幂的循环规律(如的周期性)、求和规律(如)。 探究方法：通过特殊值计算→猜想规律→验证规律→应用规律。 2.高频考点梳理 循环规律：如探究、(虚数单位)的循环周期。 求和规律：如观察，推导的和(2024广西南宁期中真题)。 3.易错点警示 规律总结片面：仅通过1-2个特殊值猜想规律，未验证更多情况导致错误。 应用规律失误：如循环周期为，计算时，余数判断错误(，应为)。 4.解题技巧拆解 特殊值计算：计算前5-6个特殊值，寻找重复特征或递推关系。 规律提炼：用含的代数式表示规律(循环规律注明周期，求和规律注明通项)。 验证应用：用第个值验证规律，再应用规律求解目标问题。 【例题12】．45．（25-26七年级上·吉林长春·期中）若按一定规律排列的单项式为，，，，，…，则第个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，单项式的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．由题意知，可推导一般性规律为：第n个单项式为，然后作答即可． 【详解】解： 第1项：， 第2项：， 第3项：， 第4项：， 第5项：， 第n项为． 故选A． 【变式题12-1】．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）按一定规律排列的一列数：2026，若表示这列数中的连续三个数，猜想满足的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律、同底数相乘等知识点，灵活运用同底数幂乘法的运算法则成为解题的关键． 经观察这一列数的底数相同，连续的三个数的指数满足前两个之和等于第三个的指数，再结合同底数幂相乘的运算法则即可解答． 【详解】解：观察发现：该列数的底数相同，连续的三个数的指数满足前两个之和等于第三个的指数，则这列数中的连续三个数满足的关系为：． 故答案为：． 【变式题12-2】．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）观察下列各式： ………………①； ………………②； ………………③； …… 探索以上式子的规律： (1)写出第5个等式：_________； (2)试写出第n个等式，并说明第n个等式成立； (3)计算． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，善于思考总结规律是解题的关键． （1）观察题目中的规律可知第五个等式为； （2）根据同底数幂的乘法法则可知，再利用提公因式法即可解答； （3）根据（1）（2）的结论可知化简即可解答． 【详解】（1）解：∵………………①； ………………②； ………………③； …… ∴第个等式是； （2）解： 依题意，第n个等式：， ∴成立； （3）解：由(2)得 ． 【变式题12-3】．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）探究与应用 ●探究规律：计算下列各式 （1）；（2）；（3）都是正整数） 描述你发现的规律：__________________________________． ●提出猜想：根据你发现的规律，如果m，n都是正整数，那么_____________． ●验证规律： 请补充上述证明过程． ●应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3） 【答案】探究规律：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；提出猜想：；验证规律：见详解；应用规律：（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法有关的规律问题，正确理解题意找到规律是解题的关键． 探究规律：根据乘方的意义计算每个小题即可得到规律； 提出猜想：根据得到的规律即可得到答案； 验证规律：根据乘方的意义计算即可得到答案； 应用规律：根据发现的规律进行计算即可． 【详解】解：探究规律： ； ； ，发现的规律是：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 故答案为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 提出猜想：根据发现的规律可得： ； 故答案为：； 验证规律：； 应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3）． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·云南大理·期中）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算性质，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、幂的乘方以及同类项的概念． 根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同类项的合并规则，对每个选项进行分析判断． 【详解】解：A、与不是同类项，不能直接合并，所以，该选项错误； B、与不是同类项，不能直接合并，所以，该选项错误； C、根据幂的乘方法则，，该选项错误； D、根据同底数幂的乘法法则，，该选项正确． 故选：D． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，为实数，，，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方，巧妙利用指数运算性质，将乘积关系转化为指数相加，简化计算．通过指数运算，将已知等式转化为合适的指数形式，利用指数求解． 【详解】解：，，， ，. . 则此时 ， 故选：B． 3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若，，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则． 利用同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可． 【详解】解：∵ , ， ∴ . 故选：C． 4．（25-26七年级上·上海·期中）计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，把看作一个整体，先计算幂的乘方，再根据同底数幂乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：C． 5．（25-26八年级上·北京·期中）在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，一元一次方程的应用，列出方程是解题得关键． 通过跟踪每次操作后各袋球数的变化，根据最终三袋球数相同列出方程，求解出和的值，再利用指数运算性质计算． 【详解】∵ 总球数为，且最终三袋球数相同， ∴ 每袋有 个球， 操作后： 甲袋：， ； 丙袋：， ； 乙袋：，符合， ∴ ． 故选：D． 二、填空题 6．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）已知，则的值为 ． 【答案】72 【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方的逆运算．先利用幂的乘方求出和的值，再通过同底数幂的乘法公式计算即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ， ∴ ． 故答案为：72． 7．（25-26八年级上·青海西宁·期中） ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方逆用，运用积的乘方法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 9．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方法则，解决此题的关键是正确的计算；根据法则按照步骤计算即可 【详解】解：根据积的乘方法则，，以及幂的乘方法则，， 可得 ． 故答案为 ． 10．（25-26七年级上·吉林长春·期中）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘除运算，解题的关键是掌握幂的乘方和同底数幂的除法法则． 利用指数运算的性质，将转化为，再代入已知条件计算． 【详解】解：由指数运算性质，．已知，，代入得． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·四川内江·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算，积的乘方计算，幂的乘方及同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，立方根，算术平方根，化简绝对值，再加减即可； （2）先计算幂的乘方、积的乘方，再同底数幂的乘法，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（25-26八年级上·北京·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方），解题关键是熟练掌握幂的各种运算法则，准确进行每一步的运算． 先分别根据同底数幂的乘法法则计算，幂的乘方法则计算，积的乘方法则计算，再将所得结果进行合并同类项运算． 【详解】 ， ． 13．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)0 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算幂的乘方，再合并即可； （2）原式先计算同底数幂的乘法，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知 (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则． （1）根据同底数幂乘法的逆运算进行求解即可； （2）根据同底数幂的乘法的逆运算和幂的乘方的逆运算进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）∵，， ∴． 15．（25-26八年级上·北京海淀·期中）对于有理数a，b定义一种幂的新运算：．其中m，n是正整数，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)的值为_____； (2)若，求t的值； (3)这种运算是否满足结合律，即成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请举一个反例． 【答案】(1)7 (2)1 (3)不成立 【分析】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂乘法的逆运算，正确理解利用新运算规则是解题的关键， （1）根据新运算规则计算，即可求解； （2）根据新运算规则原式可变形得出即可求解； （3）取，计算验证即可． 【详解】（1）， ， 故答案为：7； （2）， ， ，解得， 所以t的值为1； （3）不成立， 例：， 由（1）知， ， ， ， 所以， 故不成立． 16．（25-26七年级上·北京·期中）【概念学习】 定义：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的下次方”，记作，读作“的下次方”．一般地，把记作，读作“的下次方”． (1)直接写出计算结果：______， ______． (2)【深入探究】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： 类比上面的算式，将一个非零有理数的下次方写成幂的形式是：_____．（直接写出结果） (3)【结论应用】 已知同底数幂乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例如：． 请根据同底数幂乘法公式和以上探究结论，计算的值． 【答案】(1)，． (2)． (3)． 【分析】本题考查了除方的定义、除方与乘方的转化以及同底数幂乘法公式的应用，解题关键是理解除方的定义，掌握除方转化为乘方的方法，并能结合同底数幂乘法公式进行运算． （1）根据除方定义直接计算： ， ． （2）将除方转化为乘法，推导得 ． （3）先将按结论转化，再结合同底数幂乘法公式，提取公因式计算． 【详解】（1）解： ． ． （2）解： ． （3）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $