精品解析：贵州省贵阳市观山湖区第一高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

贵阳市观山湖区第一高级中学2025-2026学年度第一学期 期中考试高二数学试卷 考试时间：2025年11月10日 18:20-20:20 考试时长：120分钟 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，本卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框．回答非选择题时，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题卡区域书写的答案无效，在试题卷、草稿上作答无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 打靶3次，事件表示“共击中发”，其中，那么表示（ ） A. “全部击中” B. “至少击中1次” C. “至多脱靶2次” D. “至少击中2次” 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 4. 直线，圆，则与在同一坐标系中的图形可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知为定义在上的奇函数，当时，，那么时，（ ） A. B. C. D. 6. 圆锥的母线长为，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥表面积为 A. B. C. D. 7. 在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点的坐标为，则的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数中是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 若直线经过第三象限，则， C. 存在使得直线与直线垂直 D. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 11. 如图所示，已知正方体的棱长为4,分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法正确的是（　　） A. 平面截正方体所得的截面可能是五边形 B. 一定是锐角三角形 C. 当与点重合时，取为正方形内（含边界）一点满足平面平面，则的最小值 D. 的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设且集合若则______. 13. 过点与圆相切的直线方程为_______. 14. “若点P为椭圆上的一点，，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点P处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一.已知椭圆，点P是椭圆上的点，在点P处的切线为直线l，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间三点A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，设a=，b=. (1)设|c|=3，c//，求c. (2)若ka+b与ka-2b互相垂直，求k. 16. 某农科所在同一块试验田种植了，两个品种的小麦，成熟后，分别从这两个品种的小麦中均随机选取100份，每份含1千粒小麦，测量其重量（g），按，，，，，分为6组（每份重量（g）均在内），两个品种小麦的频率分布直方图如图所示，两个品种的小麦千粒重相互独立. （1）求的值及品种小麦千粒重的中位数； （2）用频率估计概率，从，两个品种的小麦中各抽取一份，估计这两份的重量恰有一个不低于45g的概率. 17. 已知向量，设函数， （1）求函数的单调增区间； （2）若在在上有解，求m的取值范围； 18. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点A，B距离之比为（且）的点P的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.已知两定点，，若动点P满足，动点P轨迹为圆C. （1）求圆C的方程； （2）过点的直线l与圆C交于D、E两点，若弦长，求直线l的方程； （3）若Q是x轴上的动点，，与圆C相切，切点分别为F，G，试问直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标：若不是，请说明理由. 19. 已知椭圆，点P为C的上顶点． （1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆上动点T到点P的距离的最大值； （3）设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市观山湖区第一高级中学2025-2026学年度第一学期 期中考试高二数学试卷 考试时间：2025年11月10日 18:20-20:20 考试时长：120分钟 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，本卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框．回答非选择题时，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题卡区域书写的答案无效，在试题卷、草稿上作答无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简复数，可得，可得的虚部. 【详解】由=， 则， 所以，的虚部为. 故选：A 2. 打靶3次，事件表示“共击中发”，其中，那么表示（ ） A. “全部击中” B. “至少击中1次” C. “至多脱靶2次” D. “至少击中2次” 【答案】D 【解析】 【分析】由事件的运算即可求解. 【详解】“击中2发或3发”，对比选项可知，只有D正确. 故选：D． 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】结合诱导公式和特殊角的余弦值，根据分段函数解析式求值即可. 【详解】. 故选：C 4. 直线，圆，则与在同一坐标系中的图形可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出圆M的圆心和半径，可排除B，C选项，再由圆心的位置可得其横纵坐标的正负，从而可判断直线的位置． 【详解】解：由x2＋y2－2ax＋2by＝0，得， 所以圆心，半径为， 由此可知圆过坐标原点，所以排除B，C， 由选项A，D可知， 所以直线l：ax－y＋b＝0过一、三、四象限， 故选：A． 5. 已知为定义在上的奇函数，当时，，那么时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由奇函数的性质进行求解即可． 【详解】当时，得， 因为为定义在上的奇函数，所以， 则当时，， 故选：B 6. 圆锥的母线长为，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥表面积为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆锥展开图为半径为的半圆，得出其弧长等于圆锥的底面圆周长，可得出圆锥底面圆的半径，然后利用圆锥的表面积公式可计算出圆锥的表面积. 【详解】一个圆锥的母线长为，它的侧面展开图为半圆， 半圆的弧长为，即圆锥的底面周长为， 设圆锥的底面半径是，则得到，解得，这个圆锥的底面半径是， 圆锥的表面积为．故选B． 【点睛】本题考查圆锥表面积的计算，计算时要结合已知条件列等式计算出圆锥的相关几何量，考查运算求解能力，属于中等题. 7. 在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点到直线的距离的向量公式即可求解． 【详解】由题意可得与同向的单位向量 点到直线的距离． 故选：D 8. 在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点的坐标为，则的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求出点所在直线方程，再求关于直线的对称点，转化为求的最小值即可得解. 【详解】如图，在直线上， 设点关于直线的对称点为，设所在直线为， 代入点，可得，解得，故所在直线为， 联立，解得， 故直线与直线交点为，则点关于直线的对称点的坐标为， ， 因为，所以的最小值是. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数中是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用两函数相等则定义域与对应法则相同，即可判断出答案. 【详解】对于A选项：由可得的定义域为，由可得的定义域为，故与不是同一个函数，A错误； 对于B选项：与的定义域与对应法则都相同，为同一个函数，B正确； 对于C选项：由可得的定义域为，由可得的定义域为，故与不是同一个函数，C错误； 对于D选项：因为，，故与是同一个函数，D正确； 故选：BD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 若直线经过第三象限，则， C. 存在使得直线与直线垂直 D. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，将方程转化为点斜式方程求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可判断；对于B，取特例判断即可；对于C，根据直线一般式方程下垂直的关系直接列示求解即可；对于D，根据点的位置关系，结合直线斜率公式求解即可. 【详解】解：A选项，对于直线，将其化为斜截式，斜率, 因为倾斜角,且，所以,故A选项正确； B选项，取，此时直线为，过第三象限，满足，，与矛盾，故B选项错误 C选项，若直线与直线垂直，则，即，此时直线为与，满足题意，故C选项正确； D选项，对于点，，由于，， 因为直线与线段有交点，且 所以直线的斜率的取值范围是，即，故D选项正确. 故选：ACD 11. 如图所示，已知正方体的棱长为4,分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法正确的是（　　） A. 平面截正方体所得的截面可能是五边形 B. 一定是锐角三角形 C. 当与点重合时，取为正方形内（含边界）一点满足平面平面，则的最小值 D. 的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据平面与正方体的各面的相交情况作图可判断；对于B，选择点的特殊位置通过余弦定理判断角的余弦值正负即可；对于C，依题建系，写出相关点的坐标，设，表示出两平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算求得，计算，利用二次函数的性质即可判断；对于D，将线段转化到一个平面上结合“将军饮马”计算两点间距离即可． 【详解】 对于A，如图，当点与两点不重合时，将线段向两端延长，分别交的延长线于点， 连接分别交于两点，连接，此时截面为五边形，所以A正确； 对于B，考虑，当点与点重合时，， 此时，，故是钝角，故B错误； 对于C，如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 因点为正方形内（含边界）一点，可设， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取； 又， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因平面平面，则，解得，故， 则，当时，的最小值，故C正确； 对于D，取的中点，连接，在的延长线上取点，使得， 连接交于点，连接，易得， 因平面，平面，故. 此时，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设且集合若则______. 【答案】 【解析】 【分析】由题得=，=-1，解之即得a,b的值，即得a+b的值. 【详解】因为AB，所以=，=-1，所以b=-2,a=． 故答案为 【点睛】本题主要考查集合的关系，考查对数指数方程的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 13. 过点与圆相切的直线方程为_______. 【答案】或 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，然后分类讨论直线斜率存在和斜率不存在两种情况，由圆心到直线距离等于圆的半径即可求解. 【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径， 过点，斜率不存在的直线方程为，圆心到直线的距离为2，该直线为圆的切线； 过点的直线斜率存在时，设直线方程为，即， 当直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，即，解得， 此时切线方程为. 故答案为：或 14. “若点P为椭圆上的一点，，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点P处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一.已知椭圆，点P是椭圆上的点，在点P处的切线为直线l，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的光学性质，结合等腰三角形三线合一的推论与中位线定理分析得点的轨迹为圆，再利用点到圆上点的距离的最值求法即可得解. 【详解】因为椭圆，所以，，即， 如图，延长、交于点，由题意可知， 又因为，则为的中点，且， 所以， 又因为为的中点，则， 故点的轨迹为以为原点，为半径的圆，圆的方程为， 易知点到圆心的距离为， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用椭圆的性质分析得点的轨迹是圆，从而得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间三点A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，设a=，b=. (1)设|c|=3，c//，求c. (2)若ka+b与ka-2b互相垂直，求k. 【答案】（1）；（2）k=2或 【解析】 【分析】（1）先求得的坐标，然后利用两个向量平行的性质，得到含有未知数的的坐标，利用列方程，解方程求得未知数，由此求得.（2）先求得的坐标，然后利用两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值. 【详解】(1)因为且c//， 所以设 得, 解得 即 (2)因为, 所以 又因为所以 即 解得k=2或 【点睛】本小题主要考查空间向量的坐标运算，包括加法和减法以及数量积的运算，考查两个向量平行和垂直的坐标表示.如果两个向量平行，那么有.如果两个向量垂直，那么有.要注意的是，零向量和任何的向量都是平行的.在向量中，平行和共线是一样的. 16. 某农科所在同一块试验田种植了，两个品种的小麦，成熟后，分别从这两个品种的小麦中均随机选取100份，每份含1千粒小麦，测量其重量（g），按，，，，，分为6组（每份重量（g）均在内），两个品种小麦的频率分布直方图如图所示，两个品种的小麦千粒重相互独立. （1）求的值及品种小麦千粒重的中位数； （2）用频率估计概率，从，两个品种的小麦中各抽取一份，估计这两份的重量恰有一个不低于45g的概率. 【答案】（1），品种千粒重的中位数为43.75g； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图求出及中位数. （2）求出千粒重不低于45g的概率，再利用互斥事件、相互独立事件的概率公式计算即得. 【小问1详解】 由品种小麦的频率分布直方图，得，所以； 设品种小麦千粒重的中位数为，由品种小麦的频率分布直方图， 得，，则， 于是，解得，即品种千粒重的中位数为43.75g. 【小问2详解】 设事件，分别表示从，两个品种中取出的小麦的千粒重不低于45g， 事件表示两个样本小麦的千粒重恰有一个不低于45g，则， 用频率估计概率，则，， 由，相互独立，所以 . 17. 已知向量，设函数， （1）求函数的单调增区间； （2）若在在上有解，求m的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积公式、结合两角差的正弦公式、辅助角公式，化简可得解析式，根据正弦函数的单调增区间，代入计算，即可得答案. （2）根据x的范围，可得的范围，整理可得，根据二次函数的性质，分析计算，即可得答案. 【小问1详解】 由题意 ， 令 解得， 的单调增区间为 【小问2详解】 ，， ，则，即， ， 又 当时，m取最大值， 又，， m的取值范围是. 18. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点A，B距离之比为（且）的点P的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.已知两定点，，若动点P满足，动点P轨迹为圆C. （1）求圆C的方程； （2）过点的直线l与圆C交于D、E两点，若弦长，求直线l的方程； （3）若Q是x轴上的动点，，与圆C相切，切点分别为F，G，试问直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标：若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）或 （3）过定点， 【解析】 【分析】（1）直接法求轨迹，设，代入坐标化简即可； （2）待定系数法求直线方程，设出直线方程，直线与圆相交弦长问题转化为弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形勾股定理问题，解方程即可求得； （3）设，用表示出切点弦方程，根据方程可知过定点． 【小问1详解】 设，则由可得， 即， 则点P的轨迹方程为：； 【小问2详解】 易知，直线l的斜率不存在时，直线与圆相离，不满足题意； 故直线l存在斜率，设直线l为， 则点到直线l的距离为 则 则 所以或 直线l为或 【小问3详解】 设，则以为直径的圆的圆心为， 记，半径为， 则此圆的方程为， 即，记此圆为圆P. 因为直线为圆C与圆P的相交弦所在直线， 所以两圆方程作差可得直线FG的方程为， 即. 由，解得 所以直线恒过定点，定点坐标为. 19. 已知椭圆，点P为C的上顶点． （1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆上动点T到点P的距离的最大值； （3）设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）过定点， 【解析】 【分析】（1）根据方程确定的值，再求离心率的值. （2）利用两点间的距离公式，结合椭圆的范围和二次函数在给定区间上值域的求法求最大值. （3）设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出，，根据列式，化简可得的关系，再确定直线是否过定点. 【小问1详解】 由题，，． 所以离心率． 【小问2详解】 由题可知，设， 则，． 由于， 所以当时，PT取到最大值为． 【小问3详解】 如图： 设，，． 因为直线l与椭圆C交于异于P的两点和，所以. 所以，故，则， ， 即． 故，所以或（因为，故舍去）． 当，，过定点. 因此直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $