精品解析：广东省深圳市福田区红岭教育集团华富中学2025-2026学年上学期九年级期中考试数学试卷

2025年初三年级期中质量检测 数学（11月） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共24分，第Ⅱ卷为9-20题，共76分．全卷共计100分．考试时间为90分钟． 注意事项： 1．答题前，请将学校、姓名、班级、考场和座位号写在答题卡指定位置，将条形码贴在答题卡指定位置． 2．选择题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动请用2B橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上．非选择题，答题不能超出题目指定区域． 3．考试结束，监考人员将答题卡收回． 第Ⅰ卷（本卷共计24分） 一、选择题：（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共计24分） 1. 下列式子是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、不一元二次方程，故本选项不符合题意； C、不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键． 2. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 详解】解：∵， ∴设，（）， ∴， 故选：． 3. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(　　) A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直； 平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分； ∴菱形具有而一般平行四边形不具有性质是：对角线互相垂直． 故选D． 考点：菱形的性质；平行四边形的性质． 4. 如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（　　） A. EG=4GC B. EG=3GC C. EG=GC D. EG=2GC 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到答案． 【详解】∵DE∥FG∥BC，DB=4FB， ∴=3． 故选B． 【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．根据平行线分线段成比例定理解答是解题的关键． 5. 黄金分割是汉字结构最基本的规律，如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．已知线段，点恰好是线段的黄金分割点（），则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，由点恰好是线段的黄金分割点，，则，然后代入得，整理得，然后求解即可，掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：∵点恰好是线段的黄金分割点，， ∴， ∴，整理得：， 解得：（负值已舍去）， 故选：． 6. 如图，在下面的三个矩形中，相似的是（ ） A. 甲、乙和丙 B. 甲和乙 C. 甲和丙 D. 乙和丙 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查相似图形性质，关键要找出矩形相邻两边的比例．甲图形长宽比为，乙图形长宽比为，丙图形长宽比为，然后观察比较就可得出答案． 【详解】解：由于三个图形都为矩形，所以角都是，只看它们的边长比例即可， 甲图形长宽比为，乙图形长宽比为，丙图形长宽比为， ∴相似的是甲和丙， 故选：C． 7. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）有不相等的实数根时，必须满足．利用此条件转化即可解得参数的范围． 【详解】解：依题意列得， 解得且． 故选：C． 8. 如图，菱形的边长为，边在轴上，，对角线相交于点，点在线段上，且，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，过作轴于点，过作轴于点，证明，则，由四边形是菱形，所以，，，由直角三角形的性质，勾股定理求出，，然后代入得，求出，即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：． 第Ⅱ卷（本卷共计76分） 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 9. 若，且，则_______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据等比性质，可得答案． 【详解】， 由等比性质，得， 所以． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了比例的性质，利用了等比性质． 10. 关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值是______． 【答案】6 【解析】 【分析】由题意可把x=2代入一元二次方程即可求解． 【详解】解：由题意把x=2代入一元二次方程得： ，解得：a=6， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解一元二次方程的解的概念是解题的关键． 11. 如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据频率估算概率，概率公式的计算，理解图②中的频率得到相应的概率，掌握概率的计算公式是解题的关键． 根据图②可得频率稳定在，则概率为，计算出长为，宽为的长方形，由不规则图形的面积除以长方形的面积等于，由此即可求解． 【详解】解：根据图②可得频率稳定在，则概率为， 长为，宽为的长方形的面积为，设不规则图案的面积为， ∴， 解得，， ∴不规则图案的面积大约为， 故答案为： ． 12. 如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿上长为时，它离地面的高度为，则坝高为__________． 【答案】2.7 【解析】 【分析】根据，可得，进而得出即可． 【详解】解：如图，过作于，则， ∴，即， 解得， 故答案为：2.7 【点睛】本题考查了相似三角形应用，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质． 13. 如图，在矩形中，，点E在直线上，从点A出发向右运动，速度为每秒，点F在直线上，从点B出发向右运动，速度为每秒2cm，相交于点G，则的最小值为 __cm． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，找出点G的运动路径是解题的关键，先找出点G的运动路线是平行于，且到的距离为4的直线，再利用将军饮马模型即可求出的最小值． 【详解】解：∵点E在直线上，从点A出发向右运动，速度为每秒，点F在直线上，从点B出发向右运动，速度为每秒， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴点G到的距离与点G到的距离之比为， ∵， ∴点G到的距离为， 过点G作直线平行，分别交于点M，N， 即点G的运动路线为直线， 作点B关于的对称点，连接，， 则，， ∴， ∴的最小值为的长； 在中， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：10． 三、解答题：（本题共7小题，其中第14题8分，第15题8分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题10分，第20题10分，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）配方法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 解得，； 【小问2详解】 ， ， ， ， 解得，． 15. 在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：；B档：；C档：；D档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： ①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5； ②图1和图2是两幅不完整的统计图． 根据以上信息解答问题： （1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整； （2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数； （3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率． 【答案】（1）40人，补全图形见解析；（2）480人；（3） 【解析】 分析】（1）用A档和D档所有数据数减去D档人数即可得到A档人数，用A档人数除以所占百分比即可得到总人数；用总人数减去A档，B档和D档人数，即可得到C档人数，从而可补全条统计图； （2）先求出B档所占百分比，再乘以1200即可得到结论； （3）分别用A，B，C，D表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可. 【详解】（1）由于A档和D档共有12个数据，而D档有4个， 因此A档共有：12-4=8人， 8÷20%=40人， 补全图形如下： （2）1200×（人） 答：全校B档的人数为480人， （3）用A表示七年级学生，用B 表示八年级学生，用C和D分别表示九年级学生，画树状图如下， 所以P（2名学生来自不同年级）= 【点睛】本题考查条形统计图以及树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将向下平移个单位得到，请画出； （2）以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为； （3）与关于点位似，请写出点坐标． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了位似变换、平移变换，找位似中心，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平移方式得到，，，，然后描点连线得到即可； （）把的横纵坐标都乘以得到，，，然后描点连线即可； （）对比，，，，，，即可得到点坐标． 【小问1详解】 解：如图，将向下平移个单位得到， ∴即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图， ∵，，，，，， ∴． 17. 活动课上，老师给同学们发了一张平行四边形的纸片（），要求利用尺规作图，在上各找一点，使四边形为矩形． （1）某数学小组想出以下两种方法，请选择其中一种作法，证明其正确性． 思路一 思路二 作图步骤 过点作于点，在上作．则四边形即为所求． 连接交于点，以点为圆心，以为半径画弧，分别交边于点．则四边形为所求． 作图痕迹 我选择思路，理由如下： （2）数学小组将作出的矩形纸片，剪下来，提出了一个新问题： 如图，点是矩形对角线的交点，过点作分别交于点，连接，若，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析； （2）四边形的周长为． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，尺规作图，菱形的判定与性质，勾股定理知识点，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据作图和矩形的判定方法即可求解； （）由四边形是矩形，得，，，，证明，则，故有四边形是平行四边形，从而可得四边形是菱形，所以，设，则，然后通过勾股定理求出的值即可． 【小问1详解】 解：思路一： 由作图可知，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 思路二：如图，连接，， 由作图可知，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点三点共线， ∴， ∴四边形是矩形， 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴四边形的周长为． 18. 根据材料，解决下列问题： 信息一 美的风扇灯，风扇和灯一体的双功能家用电器，既可照明又可降温，物美价廉深受民众的喜爱． 信息二 该电器风扇功能：风速分三级：一档，二档，三档，风速与风扇转速有关，其中一档风是转分，三档风为转分，后一档转速与前一档转速相比增长率均相同． 信息三 一家网上电器商店，进货这种商品，进购价为元件，售价元件，每天可以售件，当每降价元时，多售件． （1）求一档至三档转速平均增长率． （2）要使该电器每天的利润达到元，应降价多少元？ 【答案】（1）一档至三档转速的平均增长率为； （2）使该电器每天的利润达到元，应降价元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键． （）设一档至三档转速的平均增长率为，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）设应降价元，根据题意得，然后解方程即可． 【小问1详解】 解：设一档至三档转速的平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 答：一档至三档转速的平均增长率为； 【小问2详解】 解：设应降价元， 根据题意得，， 整理得：， 解得：， 答：使该电器每天的利润达到元，应降价元． 19. 阅读以下材料： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如 ∵， ∴， 因此，代数式有最小值， 根据以上材料，解决下列问题： （1）代数式的最小值为 ； （2）试比较与的大小关系，并说明理由； （3）如图，在直角坐标系中，点和点在轴上，点在轴负半轴上，，当线段最长时，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法的应用． （）仿照题例进行配方可得最值； （）作差并配方，可进行大小比较； （）由点和点，则，通过配方得有最小值，然后通过三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：由 ∵， ∴， ∴代数式有最小值， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由 ， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵点和点， ∴ ， ∵， ∴， ∴有最小值， ∵， ∴线段最长为， ∴点的坐标为． 20. 如图，P为正方形对角线上的一点，连接并延长交于点E，过P作分别交，于M，N． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点F与点C关于直线对称，连接并延长交直线于点G，连接． ①设的度数为x，求的度数； ②猜想与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）①，②，证明见解析 【解析】 【分析】（1）作于点，交于点，得到四边形为矩形，利用矩形性质，正方形性质，三角形内角和定理证明，即可得到； （2）①利用正方形性质得到，利用对称的性质得到，，利用等腰三角形性质和三角形内角和定理进而可得，再利用三角形外角性质即可得到的度数； ②连接、，证明为等腰直角三角形，结合勾股定理得到，利用正方形性质和勾股定理得到，证明，利用相似三角形性质得到，即可解题． 【小问1详解】 证明：作于点，交于点， 四边形为正方形， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①， 四边形为正方形， ，， ， 点F与点C关于直线对称， ，， ， ， ． ②，证明如下： 连接、， 由对称性可知，，， 为等腰直角三角形， ， ， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形性质，矩形判定与性质，三角形全等判定与性质，轴对称性质，等腰直角三角形，三角形外角性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握相关性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初三年级期中质量检测 数学（11月） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共24分，第Ⅱ卷为9-20题，共76分．全卷共计100分．考试时间为90分钟． 注意事项： 1．答题前，请将学校、姓名、班级、考场和座位号写在答题卡指定位置，将条形码贴在答题卡指定位置． 2．选择题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动请用2B橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上．非选择题，答题不能超出题目指定区域． 3．考试结束，监考人员将答题卡收回． 第Ⅰ卷（本卷共计24分） 一、选择题：（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共计24分） 1. 下列式子是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的值是（ ） A B. C. D. 3. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(　　) A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 4. 如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（　　） A. EG=4GC B. EG=3GC C. EG=GC D. EG=2GC 5. 黄金分割是汉字结构最基本的规律，如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．已知线段，点恰好是线段的黄金分割点（），则线段的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在下面的三个矩形中，相似的是（ ） A. 甲、乙和丙 B. 甲和乙 C. 甲和丙 D. 乙和丙 7. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，菱形的边长为，边在轴上，，对角线相交于点，点在线段上，且，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（本卷共计76分） 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 9. 若，且，则_______． 10. 关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值是______． 11. 如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为____________． 12. 如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿上长为时，它离地面的高度为，则坝高为__________． 13. 如图，在矩形中，，点E在直线上，从点A出发向右运动，速度为每秒，点F在直线上，从点B出发向右运动，速度为每秒2cm，相交于点G，则的最小值为 __cm． 三、解答题：（本题共7小题，其中第14题8分，第15题8分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题10分，第20题10分，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 14 解方程： （1）； （2）． 15. 在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：；B档：；C档：；D档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： ①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5； ②图1和图2是两幅不完整的统计图． 根据以上信息解答问题： （1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整； （2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档人数； （3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将向下平移个单位得到，请画出； （2）以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为； （3）与关于点位似，请写出点坐标． 17. 活动课上，老师给同学们发了一张平行四边形的纸片（），要求利用尺规作图，在上各找一点，使四边形为矩形． （1）某数学小组想出以下两种方法，请选择其中一种作法，证明其正确性． 思路一 思路二 作图步骤 过点作于点，在上作．则四边形即为所求． 连接交于点，以点为圆心，以为半径画弧，分别交边于点．则四边形为所求． 作图痕迹 我选择思路，理由如下： （2）数学小组将作出的矩形纸片，剪下来，提出了一个新问题： 如图，点是矩形对角线的交点，过点作分别交于点，连接，若，，求四边形的周长． 18. 根据材料，解决下列问题： 信息一 美的风扇灯，风扇和灯一体的双功能家用电器，既可照明又可降温，物美价廉深受民众的喜爱． 信息二 该电器风扇功能：风速分三级：一档，二档，三档，风速与风扇转速有关，其中一档风是转分，三档风为转分，后一档转速与前一档转速相比增长率均相同． 信息三 一家网上电器商店，进货这种商品，进购价为元件，售价元件，每天可以售件，当每降价元时，多售件． （1）求一档至三档转速的平均增长率． （2）要使该电器每天的利润达到元，应降价多少元？ 19. 阅读以下材料： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如 ∵， ∴， 因此，代数式有最小值， 根据以上材料，解决下列问题： （1）代数式最小值为 ； （2）试比较与的大小关系，并说明理由； （3）如图，在直角坐标系中，点和点在轴上，点在轴负半轴上，，当线段最长时，求点的坐标． 20. 如图，P为正方形对角线上的一点，连接并延长交于点E，过P作分别交，于M，N． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点F与点C关于直线对称，连接并延长交直线于点G，连接． ①设的度数为x，求的度数； ②猜想与之间数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $