第1章 专题2 本章重难点-【教与学·学导练】2025-2026学年八年级上册数学同步课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件是北师大版八年级上册第一章勾股定理的单元复习资料，系统梳理了勾股定理与阴影面积计算、定理验证、逆定理及应用、实际问题解决等核心内容，通过专题模块（含例题解析与对点训练）构建知识网络，清晰呈现知识点间的逻辑联系。 其亮点在于专题化例题与分层训练结合，如“无字证明”图形验证勾股定理培养几何直观（数学眼光），供气站管道方案等实际应用题发展模型意识（数学语言），不同难度习题满足分层需求，助力学生巩固知识，也为教师提供精准复习教学支持。

数学 八年级 上册 配北师大版 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 第一章 勾股定理 专题二　本章重难点 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 【例1】如图Z1－2－1，所有阴影部分的四边形都是正方形，所 有三角形都是直角三角形，若正方形A，B，D的面积依次为5， 13，30，则正方形C的面积为（　A　） 图Z1－2－1 A. 12 B. 18 C. 10 D. 20 A 一、勾股定理与阴影部分的面积 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 1. 如图Z1－2－2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，分别以这个三角 形三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＋ S1－S2=26，则阴影部分的面积为（　B　） 图Z1－2－2 B 【对点训练】 A. 6 B. C. 12 D. 13 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 二、验证勾股定理 【例2】我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学 规律和公式，这种方法称之为“无字证明”，它比严谨的数学证 明更为优雅与有条理.如图Z1－2－3是用三块全等的直角三角形 移、拼、补所形成的“无字证明”图形.已知直角三角形直角边长 分别为a，b，斜边长为c，图Z1－2－3①和②的面积相等，请你根 据此图验证勾股定理. 图Z1－2－3 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解：图Z1－2－3①的面积为S1=ab×3＋a2＋b2， 图Z1－2－3②的面积为S2=ab×3＋c2. 因为两图的面积相等， 所以ab×3＋a2＋b2=ab×3＋c2. 所以a2＋b2=c2. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 2. 清朝数学家梅文鼎在其著作《勾股举隅》一书中给出多种勾股 定理的证明方式，如图Z1－2－4为书中其中一幅图.已知△ABC， △BDE，△AGH，△DFG为四个全等的直角三角形，点F，G，H 在同一直线上，延长BC分别交AG，HG于 点M，N，四边形ABDG，ACNH，DENF 为正方形.据此验证勾股定理. 【对点训练】 图Z1－2－4 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解：设AC=BE=GF=AH=a，BC=ED=FD=HG=b， AB=BD=GD=AG=c. 因为S阴影=S正方形ABDG－S△ABC－S△BDE=c2－ab－ab=c2－ab， S阴影=S正方形ACNH＋S正方形DENF－S△AHG－S△DFG=a2＋b2－ab－ ab=a2＋b2－ab， 所以 c2－ab=a2＋b2－ab. 所以 a2＋b2=c2. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 三、勾股定理的逆定理及其应用 【例3】下面选项中是勾股数的一组是（　D　） A. 32，42，52 B. 20，28，35 C. 1.5，5，2.5 D. 7，24，25 D 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 【例4】如图Z1－2－5，在正方形ABCD中，取AB=4，AE=2， DF=1，图中共有直角三角形（　D　） 图Z1－2－5 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 D 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 【例5】如图Z1－2－6，在5×5的正方形网格中，从在格点上的 点A，B，C，D中任取三点，所构成三角形不是直角三角形的是 （　C　） A. △ABD B. △ADC C. △BCD D. △ABC C 图Z1－2－6 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 【例6】已知△ABC的三边长分别为BC=，AC=， AB=. （1）△ABC是直角三角形吗？请说明理由； 解：（1）△ABC是直角三角形. 理由如下： 因为BC2＋AC2=2＋2=75， AB2=2=75， 所以BC2＋AC2=AB2. 所以△ABC是直角三角形，∠C=90°. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 （2）如果一个正方形的面积与△ABC的面积相等，求这个正 方形的周长. 解：（2）设正方形的边长为x. 由（1）可知BC，AC为Rt△ABC的两直角边， 所以S△ABC=BC∙AC=××=18. 因为正方形的面积与△ABC的面积相等， 所以x2=18. 解得x=3. 所以4x=12. 所以这个正方形的周长为12. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 【对点训练】 3. 下面各组数：①3，4，5；②0.3，0.4，0.5；③7，24，25；④ 9，40，41；⑤13，84，－85；⑥15，100，101.其中，能组成一 组勾股数的个数有（　B　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 B 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 4. 如图Z1－2－7，在△ABC中，D是BC上一点，已知AB=15， AD=12，AC=13，CD=5，则BC的长为（　A　） 图Z1－2－7 A. 14 B. 13 C. 12 D. 9 A 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 5. 在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三 角形，下列选项中，不是直角三角形的是（　C　） C 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 6. 如图Z1－2－8，在四边形ABCD中，∠B=90°，AC为对角线， DE⊥AC于点E，AB=8，BC=6，CD=2，AD=2. （1）求∠ADC的度数； 图Z1－2－8 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8， BC=6，由勾股定理，得 AC2=AB2＋BC2=82＋62=100. 因为CD=2，AD=2， 所以CD2＋AD2=（2）2＋（2）2=60＋ 40=100. 所以CD2＋AD2=AC2. 所以△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 （2）求线段DE的长. 解：（2）因为S△ACD=AC∙DE=AD∙DC， 所以DE===2. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 【例7】如图Z1－2－9，A，B两村庄相距3 km，C为供气站， AC=2.4 km，BC=1.8 km，为了方便供气，现有两种方案铺设管道. 方案一：从供气站C直接铺设管道分别到A村和B村； 方案二：过点C作AB的垂线，垂足为H，先从C铺设管道到点 H处，再从点H处分别向A，B两村铺设. （1）试判断△ABC的形状，并说明理由； 图Z1－2－9 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解：（1）△ABC是直角三角形. 理由如下： 因为AC2＋BC2=2.42＋1.82=9， AB2=32=9， 所以AC2＋BC2=AB2. 所以△ABC是直角三角形. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 （2）两种方案中，哪一种方案铺设的管道较短？请通过计算 说明. （2）因为S△ABC=AB∙CH=AC∙BC， 所以CH===1.44 （m）. 因为AC＋BC=2.4＋1.8=4.2 （m）， CH＋AB=1.44＋3=4.44 （m）， 4.2＜4.44， 所以方案一铺设的管道较短. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 7. 如图Z1－2－10，某森林公园内共有2条路可以从A景点抵达B景 点，其中A→C→B路线为柏油公路，已知AC=3 km，CD=4 km； A→D→B路线为全长为5 km的木制栈道和2 km的柏油公路.现公园 拟铺设一条从A景点直达B景点的石子路AB，若点B，C，D在同一 直线上. （1）求∠C的度数； 图Z1－2－10 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解：（1）由题意，可得AD=5 km，BD=2 km. 在△ACD中，CD2＋AC2=42＋32=25，AD2=52=25， 所以CD2＋AC2=AD2. 所以△ACD是直角三角形，∠C=90°. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 （2）求石子路AB的长. 解：（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3 km， BC=CD＋BD=4＋2=6（km）， 由勾股定理，得 AB===3（km）. 答：石子路AB的长为3 km. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 四、勾股定理的应用 【例8】如图Z1－2－11，一根竹子长为16 m，折断后竹子顶端落 在离竹子的底端8 m处，折断处离地面的高度是（　D　） 图Z1－2－11 D A. 10 m B. 9 m C. 7 m D. 6 m 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 8. 将一支铅笔按如图Z1－2－12所示的方式先后放入两个直径相 同的圆柱形笔筒，笔筒的高度分别是8 cm和12 cm，两个铅笔露在 笔筒外面的部分分别为3 cm和1 cm，则铅笔的长是（　D　） 图Z1－2－12 A. 19 cm B. 20 cm C. 21 cm D. 22 cm D 【对点训练】 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 【例9】如图Z1－2－13，小明和小华同时从P处分别向北偏东 60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3 m/s和4 m/s，则 10 s后他们之间的距离为（　C　） 图Z1－2－13 C A. 30 m B. 40 m C. 50 m D. 60 m 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 【例10】如图Z1－2－14，将边长为8的正方形纸片ABCD折叠， 使点D落在BC中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段DN 的长是（　D　） 图Z1－2－14 D A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 【例11】如图Z1－2－15，在△ABC中，AB=2，BC=6，AC=5，求 边BC上的高. 图Z1－2－15 解：如答图Z1－2－1，过点A作 AD⊥BC于点D. 设BD=x，则CD=6－x. 根据勾股定理，得 AB2－BD2=AD2=AC2－CD2， 即22－x2=52－（6－x）2. 答图Z1－2－1 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解得x=. 所以AD===， 即边BC上的高是. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 9. 如图Z1－2－16，在一次军事演习中，两艘航母护卫舰从同一 港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12 n mile/h的速度航 行，二号舰以16 n mile/h速度航行，离开港口1.5 h后它们分别到达 A，B两点，相距30 n mile，则二号舰航行的方向是（　C　） 图Z1－2－16 C A. 南偏东30° B. 北偏东30° C. 南偏东 60° D. 南偏西 60° 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 10. 如图Z1－2－17，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，B′C与AD交 于点E. 若AB=2，BC=4，则AE的长是（　C　） 图Z1－2－17 A. 2 B. 3 C. D. 5 C 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 11. 如图Z1－2－18，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，BC的 垂直平分线分别交AC，BC于点D，E. 求CD的长. 　 图Z1－2－18　 解：如答图Z1－2－2，连接DB. 在△ABC中，AB=6， AC=8， BC=10， 所以AB2＋AC2=62＋82=100， BC2 =102 =100. 所以AB2＋AC2=BC2. 所以△ABC是直角三角形，∠A=90°. 因为DE垂直平分BC， 所以DC=DB. 设DC=DB=x，则AD=8－x. 答图Z1－2－2 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 在Rt△ABD中，根据勾股定理，得 AB2＋AD2=BD2，即62＋（8－x）2=x2. 解得x=. 所以CD的长为. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 【例12】如图Z1－2－19，曲臂高空作业车AG对离地面12 m的点 B进行作业，已知AG=2 m，臂长AB=26 m，作业完成后，对位于 点B正上方14 m的点D继续进行作业，若保持臂长不变（即CD=26 m），则作业车需要水平前进多少米？ 图Z1－2－19 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解：由题意，可得EF=AG=2 m， 所以BE=BF－EF=12－2=10（m）. 在Rt△ABE中，AB=26 m，由勾股定理，得 AE===24（m）. 因为BD=14 m， 所以DE=BD＋BE=14＋10=24（m）. 在Rt△CDE中，CD=26 m，由勾股定理，得 CE===10（m）. 所以AC=AE－CE=24－10=14（m）. 答：作业车需水平前进14 m. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 12. 如图Z1－2－20，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同 侧，两个喷泉的距离AB的长为250 m.现要为喷泉铺设供水管道 AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为 120 m，BM的长为150 m. （1）求供水点M到喷泉A， B需要铺设的管道总长； 图Z1－2－20 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解：（1）在Rt△MNB中，BM=150 m，MN=120 m，由勾股定理，得 BN===90（m）. 所以AN=AB－BN=250－90=160（m）. 在Rt△AMN中，由勾股定理，得 AM===200（m）. 所以AM＋BM=200＋150=350（m）. 答：供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为350m. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 （2）直接写出喷泉B到小路AC的最短距离. 解：（2）因为AM2＋BM2=2002＋1502=62 500， AB2=2502=62 500， 所以AB2=BM2＋AM2. 所以△ABM是直角三角形，∠AMB=90°. 所以BM⊥AC. 所以BM为喷泉B到AC的最短距离. 答：喷泉B到小路AC的最短距离是150 m. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 谢 谢 ! 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 $