第1章 第5课时 问题解决策略：反思(内文)-【教与学·学导练】2025-2026学年八年级上册数学同步课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦勾股定理在立体图形表面最短路径问题中的应用，通过“温故知新”环节复习圆柱、正方体展开图，搭建从平面展开图到立体图形最短路径的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以“反思”为核心策略，结合数学眼光的空间观念（将圆柱、长方体展开为平面）和数学思维的推理意识（通过勾股定理计算比较路径），如蚂蚁爬行问题引导学生反思条件变化对结果的影响，提升学生问题转化与反思能力，为教师提供结构化的反思教学范例。

数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 第一章 勾股定理 第5课时　问题解决策略：反思 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 01 温故知新 02 知识重点 03 对点范例 目 录 CONTENTS 04 课本母题 05 母题变式 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 　　　　　　　　　　　　　　　　　 温故知新 1. 下列图形中，是圆柱侧面展开图的是（　D　） D 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 2. 下列图形中，是正方体展开图的是（　C　） C 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 知识重点 　　A. 解决问题之后，对解决问题的 ⁠ 等方面进行反思，可以加深对问题以及解决问题的 ⁠ 的理解，从而形成更加深刻的解决问题的 ⁠ ，提高解决问题的 ⁠. 过程、方法及问题的变 化 思路、 策略与方法 经 验 能力 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 　　B. 解决问题之后的反思，一般可以关注以下几个方面： ⁠ 解决问题的过程， 解决问题的经验； ⁠解决 问题的方法，形成多样的解决问题的方法（一题多解，一法多 用，一题多变等）；思考方法的 ，促进方法的 ⁠ ；改变问题的 ⁠，研究更多的问题. 反 思 强化 比较 本质 运 用 条件 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 对点范例 3. 数学兴趣小组在研究蚂蚁在圆柱侧面爬行的问题时，发现蚂 蚁沿圆柱侧面从一点爬到另一点的最短路径问题与圆柱的展开 图有关. 【实践探究】设计测量方案： 第一步：测量圆柱的底面半径，测得圆柱底面半径是2 cm； 第二步：测量圆柱的高，测得圆柱的高为8 cm； 第三步：如图1－5－1①，假设蚂蚁在圆柱侧面从点A爬到点B， 研究其最短路径情况. 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 【问题解决】设蚂蚁爬行的最短路径长度为x cm，通过计算即可 求得最短路径长度. （1）根据题意，可知圆柱底面半径r=2 cm，圆柱的侧面展开后是 一个长方形（如图1－5－1①，π取3），其中一条直角边（圆柱侧 面展开后长方形的高）为 ⁠cm，另一条直角边（底面圆周长 的一半）为 ⁠cm； 8 6 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 （2）在展开图中，蚂蚁的最短路径是连接AB的线段长，则蚂蚁 从点A爬到点B的最短路程是 ⁠cm. 图1－5－1 10 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 课本母题 【例】（课本P16问题改编）如图1－5－2①，在圆柱下底面的点 A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物， 求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程.（π取3） 图1－5－2 【例】 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 （一）理解问题、拟定计划. 小林根据题意将圆柱展开，设计了两条路线. 路线1：如图1－5－2②，路线1的路程S1即为线段AB的长度； 路线2：如图1－5－2③，路线2的路程S2即为线段AB的长度. 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 （二）实施计划. （1）小林说：“显然S1＜S2，所以蚂蚁沿路线1爬行时，路 程最短.” 小亮却不同意小林的说法，并举两个例子： ①当圆柱的高h=4，底面半径r=1时，S1= ，S2= ⁠， 所以选择路线 ⁠路程最短； ②当圆柱的高h=1，底面半径r=4时，= ⁠， = ，所以选择路线 ⁠路程最短； 5 6 1 145 81 2 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 （2）请你帮小亮和小林算一算，当圆柱的高h和底面半径r满 足什么关系时，S1=S2？ （三）回顾反思. （3）试探究当圆柱的高h和底面半径r满足什么关系时，选择 路线1（或路线2）路程最短. 解：（2）由题意，得=h2＋2=h2＋π2r2，S2=h＋2r. 当S1=S2时，=，即h2＋π2r2=（h＋2r）2. 解得h=. 所以当h=时，满足关系S1=S2. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 （3）由（2）可知当h＞时，S1＜S2， 此时选择路线1路程最短； 当h＜时，S1＞S2， 此时选择路线2路程最短. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 思路点拨：（1）①根据勾股定理分别求出S1，S2，进行大小 比较即可得出答案；②根据勾股定理分别求出，，进行大小 比较即可得出答案；（2）用含h和r的式子分别表示，S2，当 S1=S2时，有=，计算即可得出答案；（3）结合（1）（2）结 论得出答案即可. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 母题变式 4. 如图1－5－3①，一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点A出 发，沿着正方体的表面爬行到点G. 沿怎样的路线爬行路程最短？ 在解决这个问题的过程中，我们把正方体展开（如图1－5－3②， ③，④），把空间两个面上的两点A，G之间的最短路径问题转化 为同一个面上两点之间的距离问题.根据“两点之间，线段最 短”，可知蚂蚁沿线段AG爬行的路程最短，再利用勾股定理计算 说明最短路程. 图1－5－3 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 问题解决： （1）如图1－5－3⑤，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为8 cm，8 cm，12 cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶 的点G，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短 路程是多少？ 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解：（1）①长方体的展开图如答图1－5 －1①. 由勾股定理，得AG2=122＋162=400. 解得AG=20（cm）. 答图1－5－1②长方体的展开如答图1－5 －1②. 由勾股定理，得AG2=82＋202=464. 因为464＞200， 所以蚂蚁爬行的最短路线为答图1－5－1 ①，最短路程是20 cm. 答图1－5－2 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 （2）如图1－5－3⑥，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B在棱CD上，CB=5 cm.一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A 爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？ 解：（2）将长方体按下列 三种方式展开： 如答图1－5－2①，一直角 边为10 cm，另外一条直角 边为20＋5=25（cm）， 所以AB2=102＋252=725. 如答图1－5－2②，一直角 边为20 cm，另外一条直角 边为10＋5=15（cm）， 答图1－5－2 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 所以AB2=202＋152=625. 所以AB=25 cm. 如答图1－5－2③，AC=20 ＋10=30（cm），BC=5 cm， 所以AB2=302＋52=925. 因为625＜725＜925， 所以需要爬行的最短路程是 25 cm. 答图1－5－2 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 谢 谢 ! 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 $