第1章 第4课时 勾股定理的应用(内文)-【教与学·学导练】2025-2026学年八年级上册数学同步课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦勾股定理的应用，通过“温故知新”环节复习直角三角形构成与高的计算，搭建从勾股定理基础到实际应用的学习支架，帮助学生衔接旧知与新知。 其亮点在于融合古代数学名题（如《九章算术》“折竹抵地”“开门去阃”）、折叠问题及生活实例（云梯滑动），以母题变式和创新设计为载体，发展学生抽象能力、推理意识与应用意识。教师可通过分层例题提升教学效率，学生能在解决实际问题中深化对勾股定理的理解，激发数学探究兴趣。

数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 第一章 勾股定理 第4课时　勾股定理的应用 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 01 温故知新 02 知识重点 03 对点范例 目 录 CONTENTS 04 课本母题 05 母题变式 06 创新设计 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 　　　　　　　　　　　　　　　　　 温故知新 1. 以下列长度为三角形的边，能构成直角三角形的一组是 （　C　） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 C 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 2. 若一个三角形的三边长分别为20，21，29，则它短边上的高为 （　C　） A. 18 B. 19 C. 21 D. 29 C 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 知识重点 　　解决有关勾股定理的应用问题，要从实际问题中抽象出 ⁠ ⁠三角形，然后利用勾股定理求解. 直 角 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 对点范例 3. 如图1－4－1，将一根长为8 cm（AB=8 cm）的橡皮筋水平放置 在桌面上，固定两端A和B，然后把中点C竖直地向上拉升3 cm至 点D，则拉长后橡皮筋的长度为（　B　） A. 8 cm B. 10 cm C. 12 cm D. 15 cm B 图1－4－1 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 课本母题 【例1】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个 “折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几 何？”意思是：如图1－4－2，一根竹子原来高一丈（一丈为十 尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处 离原竹子根部三尺远，求原处还有多少尺高的竹子. 图1－4－2 知识点1： 勾股定理的应用 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10－x）尺. 在Rt△AOB中， OB=3尺，由勾股定理，得AO2＋OB2=AB2，即 x2＋32=（10－x）2. 解得x=4.55. 答：原处还有4.55尺高的竹子. 思路点拨：竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断 处离地面x尺，则斜边为（10－x）尺，利用勾股定理解题即可. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 母题变式 4. 在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有 开门去阃（kǔn，门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？”大意 是：如图1－4－3，推开两扇门AC，BD（AC=BD），两门间的缝 隙CD为4寸，门的边缘D，C两点到门槛AB的距离CE，DF为1尺 （1尺=10寸），求两门合上后的长度AB. 　图1－4－3解：由题意，可得CE= 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 DF=10寸，EF=CD= 4寸，∠CEA=∠BFD=90°. 设AE=BF=x寸， 则AB=（2x＋4）寸. 所以AC=BD=AB=x＋2. 在Rt△ACE中，由勾股定理，得 x2＋102=（x＋2）2. 解：由题意，可得CE= 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解得x=24. 所以AB=2×24＋4=52（寸）. 答：两门合上后的长度AB为52寸. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 课本母题 知识点2： 折叠与勾股定理 【例2】（课本P13尝试∙思考改编）如图1－4－4，将边长为4的正 方形纸片ABCD折叠，使点A落在边CD上的点M处（不与点C，D 重合），折痕EF分别交AD，BC于点E，F，边AB折叠后交边BC于 点G. 若M是CD的中点，求DE的长. 图1－4－4 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解：因为四边形ABCD为正方形，边长为4，M为CD的中点， 所以∠EDM=90°，DM=CM=2. 设AE=x，则EM=x，DE=AD－AE=4－x. 在Rt△DEM中，由勾股定理，得DM2＋DE2=EM2，即22＋ （4－x）2=x2. 解得x=. 所以DE=AD－AE=4－=. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 思路点拨：求出DM的长，根据勾股定理列出方程计算DE的 长即可. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 母题变式 5. 如图1－4－5是一张直角三角形的纸片，∠C=90°，两直角边 AC=6 cm，BC=8 cm.现将△ABC沿AD翻折，使AC落在斜边AB 上，点C落在点E处，求△ADE的面积. 图1－4－5 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，由勾股定 理，得AB2=AC2＋BC2=62＋82=100. 所以AB=10（cm）. 由翻折，可得AE=AC=6 cm，CD=DE，∠AED=∠C=90°. 所以BE=AB－AE=4（cm）. 设CD=x cm，则DE=x cm，BD=（8－x） cm. 在Rt△BDE中，∠BED=90°，由勾股定理，得x2＋42=（8－x）2. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解得x=3. 所以DE=3 cm. 所以S△ADE=AE∙DE=×6×3=9（cm2）. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 创新设计 6. （综合运用）一架云梯AD长25 m，如图1－4－6所示斜靠在一 面墙上，云梯底端离墙7 m（DE=7 m）. （1）这架云梯的顶端离地面的高度AE是多少？ 解：（1）在Rt△ADE中，AD=25 m，DE=7 m， 根据勾股定理，得AE2=AD2－DE2=252－72=576. 所以AE=24（m）. 答：这架云梯的顶端离地面的高度AE是24 m. 图1－4－6 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 （2）若云梯的顶端A下滑了4 m（AA′=4 m），则它的底端在水平 方向滑动了多少米？ 解：（2）因为云梯的顶端A下滑了4 m， 所以A′E=AE－AA′=20（m）. 在Rt△A′D′E中，A′D′=AD=25 m， 根据勾股定理，得D′E2=A′D′2－A′E2=252－202=225. 所以D′E=15（m）. 所以DD′=D′E－DE=15－7=8（m）. 答：云梯的底端在水平方向滑动了8 m. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 谢 谢 ! 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 $