精品解析：陕西省榆林市2025-2026学年高一上学期期中校际联考数学试卷

榆林2025~2026学年度第一学期期中校际联考 高一数学试题 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，则命题的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图象可能是函数图象的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四组函数中表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7. 为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过400m3的部分 2.50元/m3 超过400m3但不超过600m3的部分 3.60元/m3 超过600m3的部分 4.50元/m3 若某户居民一年的天然气费为1360元，则此户居民这一年使用的天然气为（ ） A. 610m3 B. 600m3 C. 544m3 D. 500m3 8. 对于区间，我们将的值称为该区间的长度．若关于的不等式有解，且解集的区间长度不超过，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，在区间上单调递减的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，且，则的最大值为4 11. 设函数，其中表示中的最小者，下列说法正确的有（ ） A. B. 对任意的，都有 C. 对任意的，都有 D. 当时，的最大值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为___________． 13. 若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是___________． 14. 若“，使得”是真命题，则实数的最小值是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合． （1）求； （2）求． 16. 已知幂函数的图象经过第三象限． （1）求的解析式； （2）求不等式的解集． 17. 已知函数． （1）证明：函数是奇函数； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明． 18. 已知函数的定义域为，若对于任意的，都有，则称为上的凸函数．判断下列函数是否为凸函数，并说明理由． （1）； （2）． 19. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求实数、的值； （2）在（1）的前提下，求不等式的解集； （3）设关于的方程有两个正实数根，且满足，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆林2025~2026学年度第一学期期中校际联考 高一数学试题 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】， 故选：D 2. 设命题，则命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解. 【详解】命题的否定是: , 故选：C 3. 下列图象可能是函数图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义，定义域内的每一个值，都对应着唯一一个值，进行一一判断. 【详解】选项A，根据函数的定义，定义域内的每一个值，都对应着唯一一个值，选项A正确； 选项B中的时，对应两个值，不符合函数的定义，故选项B不正确； 选项C中的一个值，对应两个值，如时，对应两个值，不符合函数的定义，故选项C不正确； 选项D中的一个值，有对应两个或三个值，不符合函数的定义，故选项D不正确. 故选：A. 4. 下列四组函数中表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义域和对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 的定义域均为,对应关系也相同，故为同一个函数，故A正确， 对于B, 的对应关系不相同，故不是同一个函数，故B错误， 对于C, 定义域为，的定义域为，故不为同一个函数，C错误， 对于D，的定义域为， 的定义域为，故不为同一个函数，D错误， 故选：A 5. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充要条件的定义即可判断. 【详解】根据不等式的性质可得，“”是“”的充要条件. 故选：C 6. 已知，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由题设，, 当且仅当，即时取到等号. 故选：A 7. 为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过400m3的部分 2.50元/m3 超过400m3但不超过600m3的部分 3.60元/m3 超过600m3的部分 4.50元/m3 若某户居民一年的天然气费为1360元，则此户居民这一年使用的天然气为（ ） A. 610m3 B. 600m3 C. 544m3 D. 500m3 【答案】D 【解析】 【分析】设天然气费用为使用量的函数，根据题意写出分段函数解析式，先判断对应哪一段，再求解即可. 【详解】设天然气使用量为，天然气费为元， 则， 由于，则, 所以，解得, 所以天然气使用量为， 故选：D 8. 对于区间，我们将的值称为该区间的长度．若关于的不等式有解，且解集的区间长度不超过，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据关于的不等式有解，则判别式大于0，得到的取值范围，再由区间长度不超过，得出，根据韦达定理代入再确定的取值范围，最后取交集即可. 【详解】因为关于的不等式有解， 所以，解得或， 设方程的两个根分别为和，则，， 又因为解集区间长度不超过个单位长度，所以，所以， 即，所以，解得， 综上可得实数的取值范围是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，在区间上单调递减的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本函数的单调性，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 在单调递减，故A正确， 对于B, 在单调递增，故B错误， 对于C, 在单调递减，故C正确， 对于D, 在上，，故在单调递减，故D正确， 故选：ACD 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，且，则的最大值为4 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A、C选项，可以通过取特值判断选项的正误； 对于B选项，可以通过不等式的性质判断选项的正误； 对于D选项，可以通过均值不等式判断选项的正误. 【详解】对于A选项，当，时，满足，但不满足，则A选项错误； 对于B选项，由，，得：，， 通过作差可得：，由此可得：，则B选项正确； 对于C选项，当，，，时，满足，，但不满足，则C选项错误； 对于D选项，由于，，由，得：， 当且仅当时等号成立，因此可得的最大值为，则D选项正确. 故选：BD 11. 设函数，其中表示中的最小者，下列说法正确的有（ ） A. B. 对任意的，都有 C. 对任意的，都有 D. 当时，的最大值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】画出函数图象，结合图象分析可得的解析式，根据奇偶性的定义及图象对选项逐一分析即可. 【详解】 画出函数的图象， 对于：，所以，故正确； 对于：由图可知，函数的图象关于轴对称， 所以任意的，都有，故正确；错误； 对于：设与的交点横坐标为，则， 在和上单调递增，在上单调递减， 由的对称性可知. 所以当时，的最大值为1，故正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根式和分式的性质即可求解. 【详解】由解析式知，解得且，则定义域为. 故答案为： 13. 若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数以及一次函数的单调性即可求解. 【详解】若，则为一次函数，在单调，不符合题意， 当时，为二次函数，对称轴为， 要使在区间上不单调，则， 解得， 综上可得， 故答案为： 14. 若“，使得”是真命题，则实数的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求解最值即可求解. 【详解】由于在上的最小值为， 故命题，使得是真命题，则，即， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合． （1）求； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用并集定义计算求解； （2）先分别求出补集，再应用并集定义计算求解. 【小问1详解】 因为， 所以． 【小问2详解】 因为全集，所以或或， 所以或． 16. 已知幂函数的图象经过第三象限． （1）求的解析式； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质即可求解， （2）由幂函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 因为幂函数，所以，解得或． 当时，，此时的图象经过第三象限，符合题意； 当时，，此时的图象不经过第三象限，不符合题意． 故． 【小问2详解】 因为，所以不等式等价于， 又为增函数，所以，解得， 所以原不等式的解集为． 17. 已知函数． （1）证明：函数是奇函数； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明． 【答案】（1） 证明：因为， 所以的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （2） 函数在上单调递增， 证明如下： 任取，且， 则， 由，且， 所以， 因此可得，即， 故函数在上单调递增． 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求解； （2）根据函数单调性的定义即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知函数的定义域为，若对于任意的，都有，则称为上的凸函数．判断下列函数是否为凸函数，并说明理由． （1）； （2）． 【答案】（1） 不是凸函数，理由如下： 易知函数的定义域为，取，则， 所以， 所以． 所以不是凸函数． （2） 是凸函数， 理由如下： 易知函数的定义域为，任取， 则， ， 所以， 又，所以， 故， 所以，故是凸函数． 【解析】 【分析】（1）举反例即可求解， （2）根据凸函数的定义，结合作差法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求实数、的值； （2）在（1）的前提下，求不等式的解集； （3）设关于的方程有两个正实数根，且满足，求的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理即可求解， （2）将不等式转化为，问题等价于，求解， （3）根据韦达定理，将问题转化为，进而利用不等式即可求解. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以与2是方程的两个实数根，且， 由韦达定理可知，解得． 【小问2详解】 由（1）知，所以不等式等价于， 即．即，解得且． 所以不等式的解集为． 【小问3详解】 因为关于的方程有两个正实数根， 所以，又，也即，即， 结合，可得，解得， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $