浙江省杭州学军中学2025-2026学年高一上学期数学周末练8

杭州学军中学2025学年第一学期高一上数学周末练8 姓名___________班级___________ 一、单选题 1．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（　　） A． B． C． D． 3．“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 4．已知，，则（   ） A．0 B．2 C． D．1 5．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．函数，若在区间上的值域为，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不确定 二、多选题 9．已知，则（　　） A．最小值为1 B．最小值为2 C． D．最小值为4 10．已知定义在上的函数，对任意的，都有，且，则（    ） A． B．是偶函数 C．， D．， 11．记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质.则下列结论正确的是（    ） A．所有偶函数都具有性质 B．具有性质 C．若，则一定存在正实数，使得具有性质 D．已知，若函数具有性质，则 三、填空题 12．已知函数，则的定义域为 . 13．已知，若方程有四个不同的解，的取值范围是 ． 14．对于函数和，设，，若存在，，使得，则称函数和互为“零点相伴函数”，若函数与互为“零点相伴函数”，则实数的取值范围为 . 四、解答题 15．化简求值： (1) (2) 16．已知定义在上的函数满足：对都有且当时，. (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：. 17．某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，项目乙研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，，且． (1)求实数a，b，c的值； (2)已知科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，使得投资期望收益最大？并求出最大期望利润． 18．已知函数，其中，且． (1)求函数的定义域； (2)已知，若不等式对任意实数恒成立，求实数m的取值范围． 19．已知函数． (1)设，证明：有唯一的正根， 并比较和的大小． (2)关于的不等式对任意恒成立，求实数取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $《杭州学军中学2025学年第一学期高一上数学周末练8》参考答案 题号 1 2 3 4 6 8 9 10 答案 0 0 D B 0 B C BD ABD 题号 11 答案 ABD 12( [25- 2原式4loe识0-4lg,5例-437. 16.解：(1)函数f(x是奇函数，证明如下： 令x=y=0,则f0+f(0)=f(0),解得f(0)=0, 令-，则-e,令y=-,则+-=/=o=0 ·f(x)为定义在-1,1上的奇函数 (2)函数f(x在(-1,1)上单调递减，证明如下： 设-1<x<x2<1,则-x2e-1,1, -f=f+f-x房 -1<<3<l,1-x>0,-五<0 1-x1X2 产是=丝"训0， 1-xx2 1-x2 -1<-x<0, 1-xx2 又当x∈(-1,0)时，f(x>0,f =五>0， 1-xx2 f(x)+f(-x2)>0,即f(x)-f(x2)>0,即fx)>f(x), 答案第1页，共2页 ·f(x)在(-1,1上单调递减： 3)由x++安》0得x+>-)f)】 ·f(x的定义域为(-1,1且在(-1,1上是单调递减的， -1<x+1<1 -1<1<1,解得-2<x<-2, x-1 *1d :不等式的解集为(-2，-√) 17.解：(1)由f(0)=g(0)=0,f(15)=17, log2 0+1+b=0 [a=1 可得log2V15+1+15a+b=17,解得b=0 -l10g232+c=0 c=5 故f(x)=log2√x+1+x,g(x)=x-log2(32-x+5; (2)设项目甲研发投入资金为x万元，则项目乙投入27-x万元，投资收益为y, 则y=f(x)+g27-x =log2Vx+1+x+27-x-1og2(x+5)+5,其中0≤x≤27. y=log2x+1-log2 (5+x)+32 +2=2 =1og25+x 由基本不等式可将可+22=4， 当且仅当x=3时等号成立 所以-log2 ≤-log24=-2, 所以y=-log2 4+x+ x+i +32≤32-2=30， 当且仅当x=3时等号成立 所以项目甲投入3万元，项目乙投资24万元时，科研部门获得最大利润30万元. 答案第1页，共2页 1 18.解：（1)设y=。=a2-a,由题知y>0,即a2>a, 根据指数函数的单调性， 当a>1时，由a2>a,解得x<-2: 当0<a<1时，由a2>a,解得x>-2 综上，当a>1,定义域为(-o,-2);当0<a<1时，定义域为(-2，+o) 2小即合3.-=2 由fe4-小时片26 f(x)+1og11+2*2)>m-2+x, -2+1og1+2）>m-2+x, 则log24 即10g42-1og1+2>m-2+1og,2 即10g2421og21+29-1og2*>m-2 即1oe+29-2 m-2, 12 1-2 4 设y元1+2*2-2*2+422 令u-含2，则86 「131 u 2u y= 此时 1 44w-u+ 82-6u+18u-6+ 根据对勾函数的单词性，y=8-6+在u∈02 上递减， u 4 注意到3V 164 ,则y=8M-6+在u-令取得最大值，即y=8M-6+≤3， u 2 、2 则少 >1 2 8-6+3,此时1og:写>m-2,则m<3-1o823 u 19.(1)所以g(x)=ex+x-2,x≥0，显然g(x)=ex+x-2在[0，+∞)上为增函 数， 且g(0)=-1<0,g(3)=E-3>0, 答案第1页，共2页 则在(0，专)上存在唯一的实数xo,使gx=0,所以g(x)有唯一的正零点xo: 由e+x0-2=0,得e=2-xo,两边同时取对数得x0=ln(2-x), 于是x-ln磊=ln(2-xo)+ln罗=1n[等(-xo2+2x)], 而-8+2x=-(x0-1)2+1在(0，)上是增函数，则有0<-x+2x0<, 因此n[等(-x好+2x)]<ln(等×)=0，所以x<ln4磊 (3)因为F(x)=器，该函数的定义域为R, F(-x)==一F(x),故函数F(x)为奇函数， 又因为P(x)===1-品， 因为内层函数u=ex十1在R上为增函数，且u>0, 外层函数y=1-在(0，+∞)上为增函数，所以函数F(x)在R上为增函数， 由Fh(2x)+F(2mfx+3)>0, 得h(2x)>-2mf(x)-3,即4产>-m(e-ex)-3,即 e2x+e2x>-2m(ex-e x)-6, 因为函数fx)=在R上是增函数， 令t=ex-ex,则函数t=ex-ex在R上是增函数， 当xe[ln克，ln2]时，t=ex-e-xe[-,2],且t2=e2s+e2s-2,则 e2x+e2x=t2+2, 于是有t2+2>-2mt-6,即t2+2mt+8>0对任意的te[-号，]恒成立， 令h(t)=t2+2mt+8,其中te[-易，是]， 当一m≤-时，即当m≥时，函数h(t)在[-多，]上单调递增， 则(en=h(-)=号-3m+8=-3m+号>0，解得m<节，此时， 2≤m<器； 当-是<-m<多时，即当-<m<时，只需△=4m2-32<0, 解得-22<m<2V2,此时，-<m<: 答案第1页，共2页 当-m≥时，即当m≤-时，函数h(t)在[-，2]上单调递减， 则h()mn=h(号)=是+3m+8=号+3m>0,解得m>-钱，此时， -特<m≤- 综上所述，实数m的取值范围是(-影，节). 答案第1页，共2页