精品解析：河北省石家庄市第一中学2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题

石家庄市第一中学2025-2026学年高三上学期期中考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. (0，2] B. (0，2) C. (1，2) D. (1，2] 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，根据集合的交集运算的定义求. 【详解】不等式的解集为， 不等式的解集为， 故，， 所以， 故选：C. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z的值. 【详解】由题意可得：. 故选：C. 3. 在中，点D是线段AC上靠近A的一个三等分点，点E是线段AB的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合平面向量基本定理和向量的加减法法则求解即可 【详解】因为在中，点D是线段AC上靠近A的一个三等分点，点E是线段AB的中点， 所以 ， 故选：A 4. 已知角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角和差的正弦公式进行求解即可. 【详解】，，， 故选：B 5. 轴截面为正三角形的圆锥，记其侧面积为，体积为，若，则底面半径为（ ） A. B. 3cm C. D. 1cm 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，利用建立方程，解之即得. 【详解】设圆锥的底面半径为，因圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的高的长为，母线长为， 由题意，，即，解得. 故选：A. 6. 已知函数若在单调递减，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性求参数m的取值范围. 【详解】由在单调递减，可得，解得. 故选:D. 7. 函数，则函数的零点个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【详解】 函数h（x）=f（x）﹣log4x的零点个数⇔函数f（x）与函数y=log4x的图象交点个数． 画出函数f（x）与函数y=log4x的图象（如上图），其中=的图像可以看出来， 当x增加个单位，函数值变为原来的一半，即往右移个单位，函数值变为原来的一半；依次类推；根据图象可得函数f（x）与函数y=log4x的图象交点为5个． ∴函数h（x）=f（x）﹣log4x的零点个数为5个． 故选D 8. 已知函数的定义域为，且，为奇函数，，则 （ ） A. 2025 B. C. 4050 D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过条件可得是周期为4的函数，由为奇函数得，通过给赋值可计算出，利用函数的周期性可得结果. 【详解】因为①，所以， 所以，所以的周期为4， 因为为奇函数，所以② 令，由②得，所以， ①中令，得，所以， 令，得，所以， 综上，， ，， 所以 ， 由函数的周期性得，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题求出特殊值的函数值及周期后，关键在于发现为常数，据此4个相邻项和为一组，利用周期即可得解. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 数学家棣莫弗发现，如果随机变量服从二项分布，那么当比较大时，近似服从正态分布，其密度函数为.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布.当时，对任意实数，记，则（ ） A. B. 当时， C. 随机变量，当减小，增大时，概率保持不变 D. 随机变量，当都增大时，概率增大 【答案】BC 【解析】 【分析】根据结合正态曲线的对称性，可判断A;由定义即可判断B;根据正态分布的准则可判断C,D. 【详解】对于A，根据正态曲线的对称性可得：，即，故A不正确； 对于B, 当时，，故B正确； 对于C，D，根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值, 即为图象的对称轴，根据原则可知数值分布在的概率是常数， 故由可知，C正确，D错误， 故选：BC 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则有两个极值点 B. 若是的唯一极值点，则 C. 有唯一极值点的充要条件是 D. 若有三个极值点，，，则. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据导数的零点情况可判断A，根据导数有唯一零点，转化为恒成立求范围判断B，结合B可判断C，由题意转化为，构造函数利用函数单调性证明即可判断D. 【详解】 时，由可知，由函数，图象，显然方程有唯一负根，即有变号零点，所以有两个变号零点，所以函数有两个极值点，故A正确； 若是的唯一极值点，则恒成立， 若，为增函数，时，不成立， 若，则恒成立，令，当时，，在单调递减，当时，，在上单调递增，所以当时，，所以，B正确； ，即 当时，，此时 由，由可得，当，当，所以函数在单调递减，在单调递增，显然可得，所以，又，故存在使，所以函数有两个零点3和，是的不变号零点，是的变号零点，所以3不是的极值点，时，有唯一极值点，C错误； 有三个极值点，，必有两个零点且都不为3， 不妨设，则必有两个不同零点，，不妨设， 则单调递增，且有唯一零点，故，此时零点， 当时，，单调递减，当时，单调递增， 由有两零点可知，即，， 又，所以存在零点，时，，所以必存在，且， 令，即，令，下面证明， 令，则 是增函数， 又∵，时，，即. 当时，，即 由可知，当时，，在单调递减， ，，，即，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：D选项中，由原问题可转化为有两个零点，转化为中，为证明，构造函数，由函数的单调性得出，，即，是解题的关键. 11. 下图造型为的曲线C被称为伯努利双纽线，该曲线体现出对称、和谐、简洁的数学美，同时也具有特殊的艺术美.已知C过坐标原点O，且C上的点满足到点的距离与到点的距离之积为4，则（ ） A. B. 当点在上时， C. 点在上 D. 当点在上时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据曲线过原点求出a判断A；结合条件求出曲线C方程，结合图象和二次函数判断坐标的范围判断BD；将点代入方程判断C. 【详解】对于A项，由C过坐标原点O，得，所以， 由图知在原点左侧，所以，故A项正确. 对于B项，设是曲线C上任意一点，则， 化简得，由得，解得或， 由图可知，故B项正确. 对于C项，，故C项错误. 对于D项，由，得关于y的方程， 所以， 设，则，又，所以， 则，当时，取得最大值为1，即，故D项正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设双曲线的左、右焦点分别为，，点在曲线上，，，，则的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的定义，求得，再由余弦定理，求得，结合双曲线的离心率的定义，即可求解. 【详解】因为双曲线的左、右焦点分别为，，且，， 由双曲线的定义，可得，所以， 又因为， 由余弦定理得， 可得，所以， 所以双曲线的离心率. 故答案为：. 13. 已知函数，则曲线在处的切线方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线斜率，代入点斜式方程即可. 【详解】由函数可得，故； 而，故所求切线方程为，即． 故答案为：. 【点睛】用导数求切线方程常见类型： (1)在出的切线：为切点，直接写出切线方程：； (2)过出的切线：不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标，再写出切线方程：. 14. 从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 【答案】1260. 【解析】 【详解】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数. 详解：若不取零，则排列数为若取零，则排列数为 因此一共有个没有重复数字的四位数. 点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法： (1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在三角形中，已知，为的内角平分线，已知， （1）求角C的值； （2）求三角形的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式可求得，即可得到角C的值. （2）根据正弦定理得，利用得，求出的值即可得到三角形的面积. 【小问1详解】 ∵，由正弦定理可得， ∴，即， ∵，∴， ∴. 【小问2详解】 设三角形中，角所对的边分别为， 由余弦定理得，， ∴. ∵为的内角平分线，∴. ∵，∴， ∴，∴， ∴，解得或（舍）， ∴，即三角形的面积为. 16. 已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）若过点作直线交于两点，且的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质求出椭圆方程 （2）联立直线与椭圆方程，结合三角形面积公式求解直线方程. 【小问1详解】 由于椭圆的一个顶点为，所以， ，即，所以， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知右焦点， 依题意可知直线与轴不重合，设直线的方程为， 设，. 将直线的方程代入椭圆方程可得： ，展开并整理得. 所以，. 根据，可得： 所以. 的面积，，则： , 即，解得. 将代入直线的方程，可得直线的方程为， 即. 17. 在四棱锥 中，平面． （1）证明：平面 ． （2）若底面 ，底面 为矩形，，E为棱 的中点，F为平面 内的动点，当取得最小值时，求直线与底面 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：因为平面， 平面 ，平面平面， 所以 ， 又平面 ， 平面 ，所以平面 ． （2）． 【解析】 【分析】（1）由线面平行性质定理证明 ，再由线面平行的判定定理证得结论； （2）以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设，求出数量积的表达式，由此可得数量积取最小值时 点坐标，再由空间向量法求线面角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 依题意可设， 则， 所以， 当 且时，取得最小值， 此时． 易知平面 的一个法向量为， 故当取得最小值时，直线与底面 所成角的正弦值为． 18. 已知函数. （1）当对，求函数的最小值； （2）若对恒成立，求实数取值集合； （3）求证：对，都有 【答案】（1）0 （2） （3） 由（1）可知，，， 所以 故只需证明：即可 由（2）可知，， 则， ， 令，则， ， . 【解析】 【分析】（1）求导，得到函数单调性，从而求出最小值； （2）先根据，得到，再证明出充分性成立，而与均不合要求，从而得到答案； （3）由第一问结论得到，只需证明，由（2）可知，，得到，结合等比数列求和公式证明出. 【小问1详解】 在上单调递增， 所以. 【小问2详解】 ， 由于，故， 下证当时，恒成立， 此时令，解得：， 令，解得：， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，也是最小值， 且， 故对恒成立； 当时，，则，显然不合要求，舍去 当时，令，解得：， 令，解得：，其中， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，故当时，，不合题意，舍去； 综上：实数取值集合为. 【小问3详解】 略 【点睛】数学问题的转化要注意等价性，也就是充分性与必要性兼备，有时在探求参数的取值范围时，为了寻找解题突破口，从满足题意得自变量范围内选择一个数，代入求得参数的取值范围，从而得到使得问题成立的一个必要条件，这个范围可能恰好就是所求范围，也可能比所求的范围大，需要验证其充分性，这就是所谓的必要性探路和充分性证明，对于特殊值的选取策略一般是某个常数，实际上时切线的横坐标，端点值或极值点等. 19. 在数列中，令，若对任意正整数n，总为数列中的项，则称数列是“前n项之积封闭数列”，已知数列是首项为，公比为q的等比数列． （1）判断：当，q＝3时，数列是否为“前n项之积封闭数列”； （2）证明：是数列为“前n项之积封闭数列”的充分不必要条件． 【答案】（1）不是“前n项之积封闭数列” （2） 充分性： 因为，所以， 当，时， 因为，所以，所以， 因为，所以令，所以， 所以数列是“前n项之积封闭数列”，所以充分性成立； 不必要性： 当时，，所以， 因为，令，所以，即此时数列是“前n项之积封闭数列”， 所以是数列为“前n项之积封闭数列”的不必要条件． 【解析】 【分析】（1）求出，再验证是否是数列中的项，即可作出判断； （2）由等差数列的求和公式得出，从而证明充分性；取，利用反例判断必要性. 【小问1详解】 ， 若为数列中的项， 则存在，使得，即， 所以， 所以不是“前n项之积封闭数列”． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市第一中学2025-2026学年高三上学期期中考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. (0，2] B. (0，2) C. (1，2) D. (1，2] 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，点D是线段AC上靠近A的一个三等分点，点E是线段AB的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知角满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 轴截面为正三角形的圆锥，记其侧面积为，体积为，若，则底面半径为（ ） A. B. 3cm C. D. 1cm 6. 已知函数若在单调递减，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 函数，则函数的零点个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 8. 已知函数的定义域为，且，为奇函数，，则 （ ） A. 2025 B. C. 4050 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 数学家棣莫弗发现，如果随机变量服从二项分布，那么当比较大时，近似服从正态分布，其密度函数为.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布.当时，对任意实数，记，则（ ） A. B. 当时， C. 随机变量，当减小，增大时，概率保持不变 D. 随机变量，当都增大时，概率增大 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则有两个极值点 B. 若是的唯一极值点，则 C. 有唯一极值点的充要条件是 D. 若有三个极值点，，，则. 11. 下图造型为的曲线C被称为伯努利双纽线，该曲线体现出对称、和谐、简洁的数学美，同时也具有特殊的艺术美.已知C过坐标原点O，且C上的点满足到点的距离与到点的距离之积为4，则（ ） A. B. 当点在上时， C. 点在上 D. 当点在上时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设双曲线的左、右焦点分别为，，点在曲线上，，，，则的离心率为________． 13. 已知函数，则曲线在处的切线方程为_______． 14. 从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在三角形中，已知，为的内角平分线，已知， （1）求角C的值； （2）求三角形的面积. 16. 已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）若过点作直线交于两点，且的面积为，求直线的方程. 17. 在四棱锥 中，平面． （1）证明：平面 ． （2）若底面 ，底面 为矩形，，E为棱 的中点，F为平面 内的动点，当取得最小值时，求直线与底面 所成角的正弦值． 18. 已知函数. （1）当对，求函数的最小值； （2）若对恒成立，求实数取值集合； （3）求证：对，都有 19. 在数列中，令，若对任意正整数n，总为数列中的项，则称数列是“前n项之积封闭数列”，已知数列是首项为，公比为q的等比数列． （1）判断：当，q＝3时，数列是否为“前n项之积封闭数列”； （2）证明：是数列为“前n项之积封闭数列”的充分不必要条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $