3.3.2 指数函数的图象和性质（第一课时） 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦指数函数y=aˣ（0<a<1）的图象和性质，通过回顾上节课a>1的知识，以问题驱动类比探究0<a<1的情况，搭建前后知识联系的学习支架。 特色在于采用小组合作画图、讨论总结性质，结合多媒体辅助教学，落实数学抽象、直观想象与逻辑推理核心素养，如通过比较指数幂大小培养运算能力，帮助学生掌握函数研究方法，为教师提供结构化教学方案提升效率。

课题 3.3.2 指数函数的图象和性质（第一课时） 学科 数学 教材 北师大版（2019）必修第一册 章节 第三章第三部分第二节 课程类型 新授 课时安排 2课时 年级 高一 教学目标及教学重点、难点 教学目标： 1. 理解指数函数的图象和性质． 2．在探究式的学习中，体会研究函数的基本方法． 教学重、难点： 重点：指数函数的图象和性质； 难点：用指数函数的性质比较不同底数、不同指数的指数幂的大小． 教材分析 本节课是高中数学北师大版（2019）必修第一册的内容，指数函数是函数学习中的重要内容，是后续学习对数函数（指数函数的反函数）等知识的基础。在上节课学习了y=ax（a>1）的基础上，类比学习y=ax（0<a<1）的图象和性质，通过这部分知识的学习，可以深化学生对函数概念的理解与认识，使其得到较系统的函数知识，并体会研究函数较为完整的思维方法。 核心素养 1. 数学抽象：学生能够通过对指数函数y=ax（0<a<1）的图象和性质的学习，理解并抽象出指数函数的本质特征。 2. 数学运算：学生能够利用指数函数的性质进行数学运算，如比较指数幂的大小。 3. 直观想象：学生能够通过观察指数函数的图象，想象并理解底数a对函数图象和性质的影响。 4. 逻辑推理：学生能够通过逻辑推理，理解指数函数的单调性，并应用这一性质解决问题。 教学方法和手段 教学方法：启发法、练习法、讨论法 教学手段：多媒体辅助教学 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 情境导入 创设问题情境： 前面研究了指数函数y=ax(a>1)的图象和性质，师生共同回顾： 𝑎的范围 𝑎>1 定义域 （左、右无限延伸）R 值域 （在x轴上方）(0，+∞) 图象上的点 都过定点（0，1），即当𝑥=0时，𝑦=1 单调性 (从左向右上升)在R上是增函数； 当x值趋近于正无穷大时，y值趋近于正无穷大； 当x值趋近于负无穷大时，y值趋近于0  思考：那么当0<a<l时，函数y=ax又会有怎样的图象和性质呢? 教师带领学生对y=ax（0<a<l）的情况进行讨论. 通过创设情境，建立知识间的联系，提高学生类比推理的能力。 探究新知 知识点：指数函数y=ax（0<a<l）的图象和性质 问题1：你能画出函数的图象吗？ 师生活动： 学生小组合作，通过通过列表、描点、连线，画出函数的图象，教师进行整理。 x -2 -1 0 1 2 1 问题2：你能从函数图象可以看出它有哪些性质吗？ 师生活动： 学生小组间自由发挥，观察图象说出其性质，小组派代表进行回答，由图可知函数的图象位于x轴的上方；从最左侧无穷远处逐渐下降，过点(0，1)，继续下降，越来越逼近x轴． 教师总结由此得到函数的性质，函数在R上是减函数，且值域是(0，)． 问题3：你能画出函数的图象并写出它的性质吗？ 师生活动： 学生小组合作，类比上述函数，通过列表、描点、连线，画出函数的图象． x -2 -1 0 1 2 1 学生观察图象，从图象可以看出： 函数的图象位于x轴的上方；从最左侧无穷远处逐渐下降，过点(0，1)，继续下降，越来越逼近x轴． 由此得到函数的性质：函数在R上是减函数，且值域是(0，)． 问题4：在同一平面直角坐标系中画出函数与的图象能看出什么呢？ 师生活动： 学生对两个函数的图象分别进行观察，说出自己的想法，教师总结。 预设答案：如图可知， 在y轴左侧，函数的图象在函数的图象上方；在y轴右侧，函数的图象在函数的图象下方． 问题5：通过上述图象，当0<a<1时，你能画出指数函数的图象并总结出性质吗？ 教师讲解： 一般地，当0<a<1时，指数函数的定义域是R，值域是(0，)，过定点(0，1)，在R上是减函数．当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大． 问题6：对于函数和()，你能比较出它们的大小关系吗？ 预设答案： 对于函数和()， 当时，； 当时，； 当时，． 问题7：结合上节课和本节课的知识，你能总结出指数函数(且)的图象和性质吗？ 师生活动： 学生小组为单位进行总结，教师选取两个小组进行回答，最后教师总结。 预设答案： 指数函数的图象和性质如表： 图象 性质 （1）定义域：R （2）值域：(0，) （3）过定点：(0，1)，即时，1 （4）当时，；当时，． （4）当时，；当时，． （5）在R上是增函数； 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大； 当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0 （5）在R上是减函数； 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0； 当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大 通过对y=ax（0<a<1）的图象和性质的探究，为后续的学习做铺垫 类比上述函数进行分析，得到函数的图象和性质，提高学生的类比推理能力 教师引导学生对指数函数(且)的图象和性质进行总结归纳。 例题典析 例1、比较下列各题中两个数的大小： （1），；（2），． 【师生活动】 学生根据指数函数y=ax（0<a<l）的图象和性质，对问题中的数进行分析，得到答案，教师出示正确答案。 【解析】 (1) 因为函数在R上是减函数，且-1．8-2．8，所以； (2) 因为函数在R上是减函数，且，所以． 例2、 求下列函数的值域： （1）；（2），． 【师生活动】 学生根据指数函数y=ax（0<a<l）的图象和性质，对问题进行分析，从已知函数的值域推导出未知函数的值域得到答案，教师出示正确答案。 【解析】 解析：(1)因为=，而函数的值域是（0，），所以函数的值域为（0，） （2）因为，而函数在R上是减函数，所以函数，的值域为（0，，即 通过例题讲解，让学生理解怎样解决问题，提高学生解决问题的能力。 当堂练习 教师PPT出示练习题，学生自主完成，教师点评 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的核心素养。 课堂总结 回顾本节课知识点，总结概括 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 板书设计 3.3.2 指数函数的图象和性质（第一课时） 一、引入 二、知识精讲 知识点：指数函数y=ax（0<a<l）的图象和性质 三、例题点拨-通过例题进行讲解，便于理解 四、方法总结-开拓学生解题思路 五、当堂练习 六、课堂小结 教学设计反思 教学方法： 借助多媒体手段，如多媒体课件来展示指数函数的图象，帮助学生直观理解函数的单调性和图象特征。 通过引导学生观察、联想、类比、猜测、归纳等思维活动，培养学生的数学思维能力。 课堂互动： 通过课堂练习和讨论，加深学生对指数函数性质的理解和应用能力。 鼓励学生提出问题，通过师生互动、生生互动，共同解决问题。 教学效果： 学生在掌握指数函数的基本性质后，能够较好地理解和应用这些性质解决实际问题。 通过课堂练习和课后作业，发现部分学生在利用函数单调性比较指数幂的大小时仍存在一定的困难，需要进一步加强练习和指导。 改进措施： 在今后的教学中，应更加注重培养学生的数学抽象能力和直观想象能力。 通过更多的实际问题和案例，帮助学生理解指数函数的应用背景和意义。 加强课堂练习和课后作业的反馈和指导，及时纠正学生的错误和困惑。 学科网（北京）股份有限公司 $