精品解析：贵州省贵阳市观山湖区第一高级中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

贵阳市观山湖区第一高级中学2025-2026学年度第一学期 期中考试 高一数学试卷 注意事项: 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，本卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题卡区域书写的答案无效，在试题卷、草稿上作答无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合满足⫋，则满足条件的集合A的个数为（    ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 7个 2. 的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 不确定 3. 已知函数为偶函数，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 已知函数的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知奇函数与偶函数满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（ ） A. B. C. D. 7. 若两个正实数满足且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中，两个函数表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 当时， C. ，使 D. 在上单调递增 11. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则实数的取值范围是_____ 13. 已知幂函数，且在严格递减，则_____. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）若，全集，求； （2）若，求实数m的取值范围； （3）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）求出函数的解析式； （2）若关于的方程有3个不相等的实数根，求实数的取值范围； （3）求函数在时的值域. 17. 根据条件求解下列式子的值： （1）计算； （2）已知，求的值； （3）已知，且，求的值. 18. 材料：当，时，称为a，b的算术平均数，为a，b的几何平均数，为a，b的调和平均数，为a，b的平方平均数，大小关系是（当且仅当时等号成立）.问题： （1）求与的调和平均数和平方平均数； （2）已知函数，且，求证：； （3）根据某市场规律，两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，可以用两种不同的策略：第一种是每次购买这种物品的数量一定；第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定.假设该物品第一次价格为a（元/kg），第二次价格为b（元/kg），试问哪种购物方式比较经济？说明理由. 19. 设. （1）若函数有且仅有1个零点，求的值； （2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市观山湖区第一高级中学2025-2026学年度第一学期 期中考试 高一数学试卷 注意事项: 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，本卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题卡区域书写的答案无效，在试题卷、草稿上作答无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合满足⫋，则满足条件的集合A的个数为（    ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 7个 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合中的元素个数分类讨论即可求解. 【详解】由⫋有： 当集合中有3个元素时，可以为，共3个 当集合中有4个元素时，可以为，共3个， 当集合中有5个元素时，为，共1个， 所以满足条件的集合A的个数为个， 故选：D. 2. 的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用具体函数与抽象函数定义域求解即可. 【详解】由题可得：，解得：; 所以函数的定义域为; 故选：A 3. 已知函数为偶函数，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由偶函数性质求，再求. 【详解】由函数为偶函数， 定义域为关于原点对称，所以， 所以符合题意，所以. 故选：D. 4. 已知函数的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合一次函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】当时，， 又函数的值域为R，所以当时，的值域为，则， 所以，解得. 故选：A. 5. 已知奇函数与偶函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，用换，结合函数的奇偶性可得，联立解方程组即可得解. 【详解】由可得， 又分别为奇，偶函数， 所以， 由解得， 故选：C 6. 某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出方程，然后利用基本不等式求解可得结果. 【详解】由题意得，，则， 因为，即 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：B. 7. 若两个正实数满足且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】将代数式变形后与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为正实数、满足，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为不等式有解，则，即， 即，解得或. 故选：D. 8. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为， 若在上的最大值为， 比如， 但在为减函数，在为增函数， 故在上的最大值为推不出在上单调递增， 故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件， 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中，两个函数表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由两函数定义域，解析式是否相同可判断两函数是否相同. 【详解】对于A，定义域为R，定义域为，则两函数不同，故A错误； 对于B，两函数定义域相同，都为R，又，则两函数相同，故B正确； 对于C，定义域为R，定义域为，则两函数不同，故C错误； 对于D，两函数定义域相同，都为R，又，则两函数相同，故D正确； 故选：BD 10. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 当时， C. ，使 D. 在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用奇偶函数的定义即可判断A；求出即可判断B；利用对勾函数的性质推出的单调性，结合反证法和函数的单调性解不等式即可判断C；由结合选项C，利用奇偶性判断函数的单调性即可判断D. 【详解】A：的定义域为R，且， 所以为奇函数，故A正确； B：当时，，故B正确； C：， 又在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减. 若，则， 由，得，即， 这与矛盾，所以不存在，故C错误； D：因为为R上的奇函数，所以. 由选项C知，在上单调递增. 当时，，所以在上单调递增，故D正确. 故选：ABD 11. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，利用基本不等式得到；B选项，平方后得到，故B错误；C选项，将3替换为，变形得到，利用基本不等式求出最小值；D选项，化简得到，由基本不等式“1”的代换得到最小值. 【详解】A选项，，，，当且仅当时，等号成立，A正确； B选项，， 当且仅当时，等号成立，故， 故的最大值为，故B错误. C选项，， 当且仅当，即时，等号成立，C正确； D选项， ， 其中，，，故， 所以 ， 故， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据交集运算结果转化为包含关系即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 故答案为： 13. 已知幂函数，且在严格递减，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数的性质结合单调性可解； 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 又在严格递减，所以. 故答案为：. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数性质，推断出的奇偶性，再利用在上的单调性，推断出在上的单调性，再对不等式进行变形，从而利用 的单调性求解. 【详解】因是定义在上的偶函数，所以对，有. 因此对，有，即函数是偶函数. 因在上单调递增，所以在上单调递减. 不等式变形得，即，即. 由于在上单调递减，所以，解得或. 因此不等式的解集为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）若，全集，求； （2）若，求实数m的取值范围； （3）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）先计算，再根据集合的交集运算即可求解； （2）由，分和讨论即可求解； （3）由题意有命题p是命题q的必要不充分条件，即⫋，分和讨论即可求解. 【小问1详解】 由题意有，，或， ， 所以. 【小问2详解】 因为，所以当时，，解得， 当时，，或，解得． 综上所述，实数m的取值范围为． 【小问3详解】 由若命题是命题的必要不充分条件，可化为命题p是命题q的必要不充分条件， ∴⫋， 所以当时，，解得， 当时，（等号不能同时成立），解得． 综上所述，实数m的取值范围为． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）求出函数的解析式； （2）若关于的方程有3个不相等的实数根，求实数的取值范围； （3）求函数在时的值域. 【答案】（1） （2） （3） 答案见解析 【解析】 【分析】（1）由已知可得，可求得，进而利用奇函数的性质可求得的解析式，从而可得函数的解析式； （2）由题意可得与的图象有三个不同的交点，作出函数的示意图，可求得实数的取值范围； （3）由题意，对分或或三种情况可求值域. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，所以， 所以，解得，所以当时，， 当时，， 又因为函数是定义在上的奇函数，所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 ， 作出函数的示意图如图所示： 要使关于的方程有3个不相等的实数根，则与的图象有三个不同的交点， 由图象可得，所以实数的取值范围为； 【小问3详解】 由（2）得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数在上单调递增，， 所以值域为， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以，所以值域为， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以，所以值域为， 综上所述：当时，值域为， 当时，值域为， 当时，值域为. 17. 根据条件求解下列式子的值： （1）计算； （2）已知，求的值； （3）已知，且，求的值. 【答案】（1） （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）根据分数指数幂的化简原则，计算即可得答案. （2），平方可得，再平方可得，代入所求，即可得答案. （3）根据立方和公式，化简整理，结合条件，即可求得答案. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ，， ， . 【小问3详解】 . 18. 材料：当，时，称为a，b的算术平均数，为a，b的几何平均数，为a，b的调和平均数，为a，b的平方平均数，大小关系是（当且仅当时等号成立）.问题： （1）求与的调和平均数和平方平均数； （2）已知函数，且，求证：； （3）根据某市场规律，两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，可以用两种不同的策略：第一种是每次购买这种物品的数量一定；第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定.假设该物品第一次价格为a（元/kg），第二次价格为b（元/kg），试问哪种购物方式比较经济？说明理由. 【答案】（1）调和平均数，平方平均数； （2）证明见解析； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题干背景知识求调和平均数和平方平均数即可； （2）利用二次函数性质得，结合已知及背景知识确定右侧表达式范围，即可证； （3）根据题意得每次购买这种物品的数量一定，则物品平均价格为元/kg，每次购买这种物品所花的钱数一定，则物品平均价格为元/kg，讨论其大小，即可得结论. 【小问1详解】 令，则调和平均数， 平方平均数； 【小问2详解】 由，且， 又，即，当且仅当时等号成立， 所以，显然，得证. 【小问3详解】 若每次购买这种物品的数量一定，则物品平均价格为元/kg， 若每次购买这种物品所花的钱数元一定，则物品平均价格为元/kg， 结合背景知识知：，当且仅当时等号成立， 当时，，此时每次购买这种物品的数量一定比较经济； 当时，，此时两种购买方式一样经济. 19. 设. （1）若函数有且仅有1个零点，求的值； （2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式. 【答案】（1）或或 （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）分和，结合函数零点的个数求的值. （2）分和结合二次函数性质讨论，根据不等式恒成立问题列出不等式求解. （3）对进行分类讨论解不等式即可 【小问1详解】 当时，函数可化为，由，满足函数有且只有1个零点； 当时，由函数有且仅有1个零点， 所以或. 综上可知，函数有且仅有1个零点，则或或. 【小问2详解】 不等式. 即对一切实数恒成立. 当时，， 即不等式仅对成立，不满足题意； 当时，要使对一切实数恒成立， 则. 综上，实数的取值范围是. 【小问3详解】 可化为， 所以. 若，则原不等式可化为； 若，则原不等式可化为； 若，则原不等式可化为， 当，即时，可得或； 当，即时，可得； 当，即时，可得或. 综上可得：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $