8.2.2函数的实际应用（课件）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版必修第一册）

该高中数学课件聚焦函数的实际应用，通过计算机成本利润、物体冷却等实际问题导入，衔接函数概念与模型应用，以“实际问题→建立模型→求解→解决问题”为支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于精选经济、物理等多领域例题及分层练习，结合数学建模、数据分析素养，如用牛顿冷却规律模型解决温度问题，边际利润函数培养逻辑推理。通过题型分类和步骤总结，助力学生用数学语言表达实际关系，提升应用能力，也为教师提供系统教学资源。

8.2　函数与数学模型 8.2.2 函数的实际应用 苏教版2019高一数学（必修一）第八章 函数应用 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结 课堂练习（含课本练习） 01 学习目标 目录/CONTENTS 学习目标 1.会利用已知函数模型解决实际问题. 2.能建立函数模型解决实际问题. 3.通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提升学生数学建模、数据分析等素养. 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，是研究变量之间依赖关系的有效工具. 利用函数模型可以处理生产、生活中许多实际问题. ●怎样建立函数模型，解决实际问题? ●怎样选择合适的数学模型刻画客观世界的变化规律? 新知探究 例 3 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200 万元，生产每台计算机的可变成本为 3 000 元，每台计算机的售价为5 000 元.分别写出总成本 C (单位：万元)单位成本 P (单位：万元)、销售收入 R (单位：万元)以及利润 L (单位：万元)关于总产量 x (单位：台)的函数关系式. 解：总成本与总产量的关系为C＝200＋0.3x，x∈N*. 单位成本与总产量的关系为P＝200x＋0.3，x∈N*. 销售收入与总产量的关系为R＝0.5x，x∈N*. 利润与总产量的关系为L＝R－C＝0.2x－200，x∈N*. 课本例题 例 4 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述设物体的初始温度是 T0，经过一定时间 t 后的温度是T，则T－Ta＝ (T0－Ta)() ，其中 Ta表示环境温度，h称为半衰期. 现有一杯用 88℃ 热水冲的速溶咖啡，放在 24 ℃的 房间中，如果咖啡降温到40℃ 需要 20 min，那么降温到 35 ℃， 需要多长时间(结果精确到0.1)? 解：由题意知 40－24 ＝ (88－24)() ， 即 ＝ () . 解得 h ＝ 10，故 T－24 ＝(88 － 24)· () ， 当T＝35时，代入上式，得35－24＝(88－24)·() ， 即 () ＝. 两边取对数，用计算器求得 t≈25.4. 因此，约需要 25.4 min 咖啡可降温到 35℃. 例 5 在经济学中，函数 f(x) 的边际函数 Mf(x) 定义为 Mf(x) ＝ f(x＋1)－f(x). 某公司每月最多生产100 台报警系统装置，生产 x 台(x∈N*) 的收入函数为 R(x)＝3000x－20x (单位：元)，其成本函数为 C(x)＝500x＋4000 (单位：元)，利润是收入与成本之差. (1) 求利润函数 P(x) 及边际利润函数 MP(x)； (2) 利润函数 P(x) 与边际利润函数 MP(x) 是否具有相同的最大值? 边际函数是经济学中一个基本概念，通常记为Mf(x). （1）解 由题意知，x∈[1，100]，且 x∈N*. P(x)＝R(x)－C(x)＝3000x－20x2－(500x＋4 000) ＝－20x2＋2500x－4000， MP(x)＝P(x＋1)－P(x) ＝－20(x＋1)2＋2 500(x＋1) －4000－(－20x2＋2500x－4 000) ＝ 2 480－40x. 在经济学中，函数 f(x) 的边际函数 Mf(x) 定义为 Mf(x) ＝ f(x＋1)－f(x). 某公司每月最多生产100 台报警系统装置，生产 x 台(x∈N*) 的收入函数为 R(x)＝3000x－20x (单位：元)，其成本函数为 C(x)＝500x＋4000 (单位：元)，利润是收入与成本之差. (1) 求利润函数 P(x) 及边际利润函数 MP(x)； (2) 利润函数 P(x) 与边际利润函数 MP(x) 是否具有相同的最大值? 例 5 （2）解 P(x)＝－20(x－)2＋74 125， 当 x＝62或 x＝63 时， P(x) 的最大值为 74 120(元). 因为MP(x)＝2480－40x 是减函数， 所以，当x＝1时，MP(x)的最大值为 2 440(元). 因此，利润函数 P(x)与边际利润函数 MP(x)不具有相同的最大值. 例5 中边际利润函数 MP(x) 当1时取最大值，说明生产第二台与生产第一台的总利润差最大，即生产第二台报警系统装置利润最大. MP(x)＝2480－40x 是减函数，说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润相比在减少. 通过上述 3个例子，我们可以看出，解决实际问题通常按 的程序进行，其中建立数学模型是关键. 实际问题 建立数学模型 求解数学模型 解决实际问题 课本练习 1. 某地高山上温度从山脚起每升高 100 m 降低 0.6℃. 已知山顶的温度是14.6 ℃ ，山脚的温度是 26 ℃. 问：此山有多高? 解 设从山脚起每升高x百米时，温度为y摄氏度根据题意得 y＝26－0.6x，山顶温度是14.6摄氏度，代入得14.6＝26－0.6x. ∴x＝19 (百米)， ∴山的相对高度是1900米. 2. 某车站有快、慢两种车，始发站距终点站 7.2km，慢车到终点站需16 min，快车比慢车晚发车 3 min，且行驶 10 min 后到达终点站. 试分别写出两车所行路程关于慢车行驶时间的函数关系式. 两车在何时相遇?相遇 时距始发站多远? 解 慢车所行路程 y1与时间 x的函数关系式为 y1 ＝ 0.45x (0 ＜x≤16)， 快车所行路程 y2 与慢车行驶时间 x 的函数关系式为 0，0 ＜ x ≤ 3 y ＝ 0.72x－3，3＜x≤13， 7.2，13＜x≤16 设两车在慢车出发 x min 时相遇，则 y1＝y2，即 0.45x ＝ 0.72(x－3)，解得 x＝8，此时y1＝y2＝3.6. 即两车在慢车出发 8 min 时相遇，相遇时距始发站 3.6 km. 3. 经市场调查，某商品在过去 100 天内的销售量(单位：件) 和价格 (单位：元) 均为时间 (单位：天) 的函数，且销售量近似地满足 g(t)＝－t＋ (1≤t≤100，t∈N). 前 40 天价格为 f(t)＝ t＋22 (1≤t≤40，t∈N)，后 60 天价格为 f(t)＝－＋52 (41≤t≤100，t∈N).试写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系. 解 根据题意，得 S＝f(t)·g(t)＝ (t＋22) (－t＋)，(1≤t≤40)，(1≤t≤40，t∈N) (－t＋22) (－t＋)，(41≤t≤100)，(1≤t≤40，t∈N) －(t2－21t－9592)，(1 ≤ t ≤ 40，t∈N). 化简得 S＝ (t2－213t－11336)，(41≤t≤100，t∈N). 4. 某店从水果批发市场购得椰子两筐，连同运费总共花了 300 元，回来后发现有 12 个是坏的，不能将它们出售，余下的椰子按每个高出成本价 1元售出售完后共赚得 78 元. 问：这两椰子原来共有多少个? 解 设这两筐椰子原来共有x个，则每个椰子的成本价为元，销售价格为＋1元，销售量为(x－12)个， 根据题意有[()＋1](x－12) －300 ＝78，即300 － － 12－300 ＝78 化简整理得 x2－90x－3600＝0， 解得 x1＝120，x2＝30(不合题意，舍去) 故这两筐椰子原来共有120个. 5. 已知镭经过 100 年剩留原来的 95.76%，设质量为1的镭经过年后的剩留量为y，则 x，y的函数关系是怎样的? 试写出. 解 设镭的年衰减率为r，镭开始的质量为1， 则一年后镭的剩留量为：1－1×r＝1－r， 二年后镭的剩留量为：(1－r)－(1－r)r＝(1－r)2， 三年后镭的剩留量为： (1－r)2－(1－r)2r＝(1－r)3， ······ 经过 x 年后镭的剩留量为 y，所以 y＝(1－r)x， 又因为镭经过100年剩留原来的 95.76%，所以 0.9576＝(1－r)100， 所以 1－r＝0.9576 ，所以 y＝(0.9576 )x＝0.9576 (x∈N*). 题型分类讲解 题型一　一次函数、二次函数、分段函数模型 解　设每月产量为x台，则总成本为t＝10 000＋100x.又f(x)＝H(x)－t， (2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润) 解　当0≤x≤200时，f(x)＝－(x－150)2＋12 500， 所以当x＝150时，有最大值12 500； 当x>200时，f(x)＝30 000－100x是减函数， f(x)<30 000－100×200<12 500. 所以当x＝150时，f(x)取最大值，最大值为12 500. 所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元. 2.在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台(x∈N*)的收入函数为R(x)＝3 000x－20x2(单位：元)，其成本函数为C(x)＝500x＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差. (1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)； 解　由题意知，x∈[1，100]，且x∈N*. P(x)＝R(x)－C(x) ＝3 000x－20x2－(500x＋4 000) ＝－20x2＋2 500x－4 000， MP(x)＝P(x＋1)－P(x) ＝－20(x＋1)2＋2 500(x＋1)－4 000－(－20x2＋2 500x－4 000)＝2 480－40x. (2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值？ 因为MP(x)＝2 480－40x是减函数，当x＝1时，MP(x)的最大值为2 440(元). 因此，利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值. 题型二　指数型、对数型函数模型 声音来源 风吹落叶沙沙声 轻声耳语 很嘈杂的马路 强度I(瓦/平方米) 1×10－11 1×10－10 1×10－3 强弱等级L(分贝) 10 m 90 求a和m的值； (2)为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I的最大值. 此时声音强度I的最大值为10－7瓦/平方米. 两边取对数，求得t≈25. 因此，约需要25 min，可降温到35 ℃. 当T＝35时，代入上式，得 课堂小结 函数模型的应用实例主要包括三个方面： (1)利用给定的函数模型解决实际问题； (2)建立确定性的函数模型解决实际问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题. 1.某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数： H(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(400x－x2，0≤x≤200，x∈N，,40 000，x>200，x∈N，)) 其中x是仪器的月产量. (1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)； 所以f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋300x－10 000，0≤x≤200，x∈N，,30 000－100x，x>200，x∈N.)) 解　P(x)＝－20eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(125,2)))eq \s\up12(2)＋74 125，当x＝62或x＝63时，P(x)的最大值为 74 120(元). 解　将I0＝1×10－12瓦/平方米，I＝1×10－11瓦/平方米代入L＝a·lgeq \f(I,I0)得 10＝a·lg＝alg10＝a⇒a＝10， 则m＝10lgeq \f(1×10－10,1×10－12)＝10lg 100＝20⇒m＝20. 3.科学研究表明：人类对声音有不同的感觉，这与声音的强度I(单位：瓦/平方米)有关，在实际测量时，常用L(单位：分贝)来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I满足关系式：L＝a·lg(a是常数)，其中I0＝1×10－12瓦/平方米，如风吹落叶沙沙声的强度I＝1×10－11瓦/平方米，它的强弱等级L＝10分贝. (1)已知生活中几种声音的强度如表： 解　由题意得L≤50，即10lgeq \f(I,1×10－12)≤50， 得lgeq \f(I,1×10－12)≤5，即eq \f(I,1×10－12)≤105⇒I≤1×10－7， 即＝，解得h＝10. 故T－24＝(88－24)·. 35－24＝(88－24)·，即＝. 解　由题意知40－24＝(88－24)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(\f(20,h))， 4.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(\f(t,h))，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃时，需要多少时间？(参考数据：lg11≈1.04，lg 2≈0.30) $