2.2.1函数概念 教案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该教案聚焦函数概念（集合观点定义）、定义域值域及函数相等判断，通过回顾初中一次、二次、反比例函数，引导用集合语言重新定义，搭建从变量到集合的认知支架。 以小明跑步实例探究变量关系，结合例1判断函数相等、例2求定义域等案例，融合逻辑推理（定义过渡）、数学抽象（集合表述）、数学运算（定义域求解）素养。采用讨论法与多媒体辅助，提升学生数学思维与表达能力，为教师提供清晰路径，有效突破f(x)理解难点。

课题 2.2.1 函数概念 学科 数学 教材 北师大版（2019）必修第一册 章节 第二章第二节第一小节 课程类型 新授 课时安排 2课时 年级 高一 教学目标及教学重点、难点 【教学目标】 1. 通过实例理解函数是描述变量之间的关系的数学模型，理解函数中由变量观点向集合观点的过渡 2. 理解函数定义域和值域，会求函数的定义域与值域 3. 掌握构成函数的三要素，学会判别两个函数是否相等 【教学重难点】 1. 函数的概念（重点） 2. 对抽象符号f(x)的理解（难点） 核心素养 1. 逻辑推理素养：根据初中的函数概念，掌握函数变量之间的基本特性，从而引导学生用高中集合的语言对函数的概念重新定义。 2. 数学运算素养：求函数的定义域；会判断两个函数是否为同一函数；求函数值。 3. 数学抽象思维：借助集合语言，抽象的描述函数的概念。 教学方法和手段 教学方法：讲授法、讨论法、案例分析法； 教学手段：多媒体辅助教学； 教学过程(表格描述) 教学 环节 主要教学活动 设置意图 引入新课 【旧知回顾】 同学们，你们还记得初中时所学过的函数类型有哪些吗？ 【师生活动】 学生回忆初中学过些什么函数，集体发言，同学之间相互补充，教师总结. 【教师总结】 三个重要的函数类型： 一次函数 y=kx+b、一元二次函数 y=a+bx+c和反比例函数y= 其中 k,a,b,c为常数,且 k≠0,a≠0. 对于x的每一个值，都有唯一确定的y值与之对应，这是函数的基本特征. 现在，我们需要借助集合语言，重新表述函数的定义. 从初中学过的函数概念出发，提出问题，引发学生从新的角度来思考函数的概念，使其进入研究者的角色中. 知识精讲 知识点： 函数的概念 【探究】 小明同学固定以4米/秒的速度，绕田径场（400米）跑一圈，路程s（米）和时间t（秒）之间满足关系式s＝4t． 【师生活动】 教师提问： （1）时间t确定后，路程s能确定吗? （2）跑步中的某一时刻，能同时对应两个路程吗? （3）根据上述问题，你能得出什么结论? 学生思考问题，举手回答： （1）时间t确定后，路程s能确定. （2）跑步中的某一时刻，不能同时对应两个路程. （3）当一个变量的取值确定后，另一个变量的值也随之唯一确定. 根据初中所学函数的概念，判断上述例子两个变量间的关系是函数关系. 教师追问：你能从集合的角度进行表述吗? 【师生活动】 学生发散思维相互交流讨论，教师总结完善并得到用集合语言表述的函数的概念. 【教师总结】 由此：我们能从集合的角度给出函数的定义： 给定实数集R中的两个非空数A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f叫作定义在 A上的一个函数，记作y= f(x)，x∈A.其中集合A叫作函数的定义域，x叫作自变量，与x值对应的y值叫作函数值，集合｛f（x）｜x∈A｝叫作函数的值域. 【例1】下列各组中的两个函数是否为同一个函数？ （1）f（x）＝，g（x）＝； （2）f（x）＝，g（x）＝； （3）f（x）＝，g（x）＝x－1； （4）f（x）＝x＋，g（t）＝t＋． 【师生活动】 学生小组讨论分析各个函数的定义域、值域、对应关系，进行全班交流，教师总结完善. 【预设答案】 （1）因为f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是[0，＋∞），两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数； （2）因为两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数； （3）因为f（x）的定义域是｛x｜x≠－1｝，g（x）的定义域是R， 两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数； （4）f（x）和g（t）虽然表示自变量的字母不同，但它们的定义域及对应关系都相同，所以是同一个函数． 【例2】求下列函数的定义域： （1）y＝2x＋3＋； （2）y＝+； （3）y＝+． 【师生活动】 学生分组讨论，派代表回答，教师总结得到定义域即为使函数有意义的条件. 【预设答案】 （1）为使函数有意义，只需解析式中分式的分母不为零，即x-1≠0，解得x≠1.所以函数y＝2x＋3＋的定义域是｛x｜x≠1｝； （2）为使函数有意义，只需解析式中的被开方数非负，且分式的分母不为0， 即，所以+定义域是｛x｜x≥－3且x≠0｝． （3）为使函数有意义，只需解析式中的被开方数非负，即， 所以函数y＝+的定义域｛x｜x＝－3｝＝｛－3｝． 通过t和s之间关系的探究，让同学们从函数概念的动态观点向集合对应靠近. 通过交流讨论的方式，提高了学生的课堂参与度，加深了对集合语言表述函数概念的印象. 通过学生的思考、讨论、分析问题，体现了学生自主探究的学习方式，让他们通过实践来进一步体验到在集合对应观下的函数内涵并学会判断两个函数是否为同一函数. 通过不同类型的例题让学生掌握如何求函数的定义域，提高解题能力。 当堂达标 1.下列各组中的两个函数是否为同一个函数? (1) ， =x−5； (2) =， =. 2.函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3.设f(x)=2+2，求f(2)，f(a+3). 通过多个练习题，让学生实际操作，教师巡视指导，及时纠正错误。 课堂总结 回顾本节知识，总结概括. 梳理、总结、归纳本节课的核心内容与方法. 板书设计 2.2.1 函数概念 1.函数的定义与表示 2. 3.求函数的定义域 教学设计反思 在高中数学教学中，函数的概念是一个核心内容，对学生后续数学学习具有重要的基础性作用。以下是对函数概念教学的一些反思： 教学目标的明确性：在教授函数概念时，必须明确教学目标。学生需要不仅掌握函数的定义，还需要理解函数的本质、性质和应用。例如，学生需要知道函数的定义域、值域等。教学目标的明确可以帮助学生在学习中有的放矢。 直观图形的运用：图形是理解函数的有力工具，利用图像可以帮助学生直观地感受函数的变化特征。 数学语言的准确性：函数概念涉及许多数学语言和符号，例如函数的定义、函数值等。教师在讲解时需要使用准确、规范的数学语言，并且要逐步培养学生使用和理解这些数学语言的能力。 学生个体差异的关注：学生对函数概念的理解程度存在差异。教师需要关注学生的个体差异，进行分层教学。对于基础薄弱的学生，可以适当放慢教学进度，增加练习和讲解的次数；对于理解较好的学生，可以提供一些拓展内容，进一步提升他们的数学能力。 练习与反馈：有效的练习和反馈是巩固函数概念的重要手段。教师需要设计多样化的练习题，包括基础题、中档题和拓展题。通过练习，学生可以逐步掌握函数的各种性质和应用。同时，教师要及时反馈学生的学习情况，针对性地进行辅导。 与其他知识点的联系：函数的概念在高中数学中有广泛的应用，例如在方程、不等式、数列等内容中。教师在讲解函数时，可以适当引入这些联系，帮助学生建立起数学知识的整体观念。 函数概念的教学是高中数学的重难点，教师需要在教学中不断反思和改进教学方法，注重学生的理解和应用能力的培养。通过多样化的教学手段和有效的练习反馈，学生能够更好地掌握函数的概念，为后续的数学学习打下坚实的基础。 学科网（北京）股份有限公司 $