2.2.1 函数概念-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学函数概念核心知识点，从初中变量依赖关系过渡到高中用集合语言和对应关系刻画函数，系统梳理定义域、值域、对应关系三要素，通过问题引导、表格梳理、概念辨析及例题构建学习支架，涵盖概念理解、定义域求解和函数值计算。 该资料以问题驱动结合概念辨析为特色，如通过“y=f(x)是否为乘积”的辨析培养数学抽象，结合定义域求解例题提升数学运算。课中助力教师系统授课，课后分层作业和跟进训练帮助学生巩固，有效查漏补缺。

§2　函数 2.1　函数概念 学习任务 核心素养 1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．(重点、难点) 2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．(重点) 3．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．(重点、难点) 1．通过学习函数的概念，培养数学抽象素养． 2．借助函数的定义域的求解，培养数学运算素养． 1．函数的定义是什么？ 2．函数的自变量、定义域是如何定义的？ 3．函数的值域是如何定义的？ 知识点1　函数的有关概念 函数的定义 给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f ，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f 称为定义在集合A上的一个函数 函数的记法 y＝f (x)，x∈A 定义域 集合A称为函数的定义域，x称为自变量 值域 与x值对应的y值称为函数值，集合{ f (x)|x∈A}称为函数的值域 1．(1)有人认为“y＝f (x)”表示的是“y等于f 与x的乘积”，这种看法对吗？ (2) f (x)与f (a)有何区别与联系？ [提示]　(1)这种看法不对．符号y＝f (x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f 是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量x的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f (x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f 与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f (x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数． (2) f (x)与f (a)的区别与联系：f (a)表示当x＝a时，函数f (x)的值，是一个常量，而f (x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f (a)是f (x)的一个特殊值，如一次函数f (x)＝3x＋4，当x＝8时，f (8)＝3×8＋4＝28是一个常数． 1．下图中能表示函数关系的是________(填序号)． ①　　　　　②　　　　　③　　　　　④ ①②④　[由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数．] 2．函数f (x)＝的定义域是_______________________________． {x|x<4}　[由4－x>0，解得x<4，所以原函数的定义域为{x|x<4}．] 3．已知f (x)＝x2＋1，则f (－1)＝________． 2　[∵f (x)＝x2＋1， ∴f (－1)＝(－1)2＋1＝2．] 知识点2　同一个函数 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 2．(1)函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否为同一个函数，只看定义域和对应关系？ (2)定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？ [提示]　(1)由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否为同一个函数，只看定义域和对应关系即可． (2)不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数． 4．给出下列三组函数，其中表示同一个函数的是______(填序号)． ①f (x)＝x，g(x)＝； ②f (x)＝2x＋1，g(x)＝2x－1； ③f (x)＝x，g(x)＝． ③　[①中f (x)＝x与g(x)＝的定义域不同；②中f (x)＝2x＋1，g(x)＝2x－1的对应关系不同．③中f (x)＝x，g(x)＝＝x．两个函数的定义域相同，对应关系相同，是同一个函数．] 类型1　函数的概念 【例1】　(1)下列各图中，不可能表示函数y＝f (x)的图象的是(　　) A　　　　　B　　 　　　C　　　　 D (2)判断下列对应是否为集合A到集合B的函数． ①A＝R，B＝{x|x＞0}，f ：x→y＝|x|； ②A＝Z，B＝Z，f ：x→y＝x2； ③A＝Z，B＝Z，f ：x→y＝； ④A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f ：x→y＝0． (1)B　[根据函数的定义，当图形与垂直于x轴的直线有两个交点时，图形不可能是函数的图象，故选B．] (2)[解]　①A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数． ②对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f ：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数． ③集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数． ④对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f ：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数． 　1．判断一个对应是否是函数的方法 2．根据图形判断是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l． (2)在定义域内平行移动直线l． (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． [跟进训练] 1．下列对应是A到B的函数的有________．(填序号) ①A＝{1，2，3}，B＝R，f (1)＝f (2)＝3，f (3)＝4； ②A＝R，B＝{正实数}，f ：y＝； ③A＝R，B＝R，f ：x→y＝； ④A＝Z，B＝Z，f ：x→y＝． ①　[对于①，集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，因此①是A到B的函数． 对于②，当x＝0时，在集合B中，没有元素和它对应，因此②不是A到B的函数． 对于③，当x＝2时，在B中没有元素和它对应，因此③不是A到B的函数． 对于④，当x＝3时，在B中没有元素和它对应，因此④不是A到B的函数．] 类型2　求函数值 【例2】　设f (x)＝2x2＋2，g(x)＝． (1)求f (2)，f (a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g( f (2))； (2)求g( f (x))． [解]　(1)因为f (x)＝2x2＋2， 所以f (2)＝2×22＋2＝10， f (a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20． 因为g(x)＝， 所以g(a)＋g(0)＝＝(a≠－2)． g( f (2))＝g(10)＝＝． (2)g( f (x))＝＝＝． 　求函数值的方法 (1)已知f (x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f (a)的值． (2)求f (g(a))的值应遵循由里到外的原则． [跟进训练] 2．已知函数f (x)＝－1，且f (a)＝3，则a＝________． 16　[因为f (x)＝－1，所以f (a)＝－1． 又因为f (a)＝3，所以－1＝3，a＝16．] 类型3　判定同一个函数 【例3】　【链接教材P54例1】 下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．y＝与y＝1　　 B．y＝与y＝x C．y＝与y＝x 　 D．y＝与y＝x－1 C　[对于A、B，两函数的定义域不同，因此不是同一个函数． 对于C，y＝＝x，两函数的定义域及对应关系都相同，所以是同一个函数． 对于D，y＝＝|x－1|．两函数的对应关系不同，因此不是同一个函数．故选C．] 【教材原题·P54例1】 例1　下列各组中的两个函数是否为同一个函数？ (1) f (x)＝，g(x)＝()2； (2) f (x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2； (3) f (x)＝，g(x)＝x－1； (4) f (x)＝x＋，g(t)＝t＋． 解　(1)因为f (x)的定义域是R，g(x)的定义域是[0，＋∞)，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数； (2)因为两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数； (3)因为f (x)的定义域是{x|x≠－1}，g(x)的定义域是R，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数； (4) f (x)和g(t)虽然表示自变量的字母不同，但它们的定义域及对应关系都相同，所以是同一个函数． 　判断同一个函数的三个步骤和两个注意点 (1)判断函数是否为同一个函数的三个步骤． (2)两个注意点． ①在化简解析式时，必须是等价变形； ②与用哪个字母表示无关． 提醒：不能将函数的解析式变形后求定义域． [跟进训练] 3．下列各组函数中表示同一个函数的是(　　) A．y＝20与y＝ B．y＝±1与y＝ C．y＝与y＝ D．y＝x＋1与y＝ D　[对于A，两函数的定义域不同，因此不是同一函数． 对于B，两函数的对应关系不同，因此不是同一函数． 对于C，两函数的定义域不同，因此不是同一函数． 对于D，两函数的定义域和对应关系相同，因此是同一函数，故选D．] 类型4　求函数的定义域 【例4】　【链接教材P55例2】 求下列函数的定义域． (1)y＝3－x； (2)y＝2； (3)y＝． [解]　(1)函数y＝3－x的定义域为R． (2)由得0≤x≤， 所以函数y＝2的定义域为． (3)由于00无意义，故x＋1≠0，即x≠－1．又x＋2>0，即x>－2，所以x>－2且x≠－1． 所以函数y＝的定义域为{x|x>－2且x≠－1}． 【教材原题·P55例2】 例2　求下列函数的定义域： (1)y＝2x＋3＋； (2)y＝； (3)y＝． 解　(1)为使函数有意义，只需解析式中分式的分母不为零，即x－1≠0，解得x≠1． 所以函数y＝2x＋3＋的定义域是{x|x≠1}； (2)为使函数有意义，只需解析式中的被开方数非负，且分式的分母不为0，即解得 所以函数y＝的定义域是{x|x≥－3，且x≠0}； (3)为使函数有意义，只需解析式中的被开方数非负，即解得x＝－3． 所以函数y＝的定义域是{x|x＝－3}＝{－3}． 　求函数定义域的常用方法 (1)若f (x)是分式，则应考虑使分母不为零． (2)若f (x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零． (3)若f (x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合． (4)若f (x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． (5)若f (x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． [跟进训练] 4．求下列函数的定义域： (1)y＝2＋； (2)y＝·； (3)y＝(x－1)0＋． [解]　(1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数y＝2＋有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}． (2)为使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}． (3)为使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x>－1，且x≠1， 所以这个函数的定义域为{x|x>－1，且x≠1}． 1．下列说法正确的是(　　) A．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应 B．函数的定义域和值域可以是空集 C．函数的定义域和值域一定是非空的数集 D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了 C　[根据函数的定义知，函数的定义域和值域是非空的数集．故选C．] 2．如图所示的图象不可能成为函数y＝f (x)图象的是(　　) A．(1) 　 B．(1)(3)(4) C．(1)(2)(3) 　 D．(3)(4) A　[根据函数的定义知，函数图象与垂直于x轴的直线只有一个交点，故选A．] 3．(教材P55练习T2改编)在下列四组函数中，表示同一个函数的是(　　) A．f (x)＝2x＋1，x∈N，g(x)＝2x－1，x∈N B．f (x)＝·，g(x)＝ C．f (x)＝，g(x)＝x＋3 D．f (x)＝x2，g(x)＝ D　[对于A，两函数的对应关系不同，因此不是同一个函数． 对于B，C，两函数的定义域不同，因此不是同一个函数． 对于D，g(x)＝＝x2，两函数的定义域与对应关系都相同，因此是同一个函数，故选D．] 4．函数y＝的定义域为(　　) A．{x|x≤1} 　 B．{x|x≥0} C．{x|x≥1，或x≤0} 　 D．{x|0≤x≤1} D　[由题意可知解得0≤x≤1．] 5．已知函数f ＝．若f (m)＝2，则m的值为________． －3　[由f ＝2，得＝2，解得m＝－3．] 课时分层作业(十四)　函数概念 一、选择题 1．(多选)下列两个集合间的对应中，是M到N的函数的有(　　) A．M＝{－1，0，1}，N＝{－1，0，1}，f ：M中的数的平方 B．M＝{0，1}，N＝{－1，0，1}，f ：M中的数的平方根 C．M＝Z，N＝Q，f ：M中的数的倒数 D．M＝{1，2，3，4}，N＝{2，4，6，8}，f ：M中的数的2倍 AD　[根据函数的定义，A，D可构成函数关系；B中，集合M中的元素1，在集合N中有两个元素－1，1与之对应，因此不是函数关系．C中，集合M中的元素0，在集合N中没有元素与之对应，因此不是函数关系，故选AD．] 2．(多选)下列各组函数表示同一个函数的是(　　) A．f (x)＝x，g(x)＝ B．f (x)＝x，g(x)＝ C．f (x)＝x－1(x≠－1)，g(x)＝ D．f (x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0 AC　[A中f (x)的定义域是R，g(x)的定义域是R，且g(x)＝＝x，是同一个函数；B中f (x)的定义域是R，g(x)的定义域是R，但g(x)＝|x|，不是同一个函数；C中f (x)的定义域是{x|x≠－1}，g(x)的定义域是{x|x≠－1}，且g(x)＝＝x－1(x≠－1)，是同一个函数；D中f (x)的定义域是R，g(x)的定义域是{x|x≠0}，不是同一个函数．故选AC．] 3．函数f (x)＝的定义域是(　　) A．[2，3) 　 B．(3，＋∞) C．[2，3)∪(3，＋∞) 　 D．(2，3)∪(3，＋∞) C　[由解得x≥2，且x≠3．故函数f (x)的定义域为[2，3)∪(3，＋∞)．] 4．设f (x)＝，则等于(　　) A．1 　 B．－1 C． 　 D．－ B　[∵f (2)＝＝， f ＝＝－， ∴＝－1．] 5．若f (x)＝，则方程f (4x)＝x的根是(　　) A． 　 B．－ C．2 　 D．－2 A　[∵f (4x)＝＝x，∴4x2－4x＋1＝0， ∴x＝．] 二、填空题 6．函数f (x)＝的定义域是________． (－∞，0)∪(0，1]　[依题意解得x∈(－∞，0)∪(0，1]．] 7．函数f (x)＝x2－2x，x∈{－1，0，1}的值域为________． {3，0，－1}　[因为f (－1)＝(－1)2－2×(－1)＝3，f (0)＝02－2×0＝0，f (1)＝12－2×1＝－1，所以f (x)的值域为{3，0，－1}．] 8．已知集合A＝{x|x≥4}，g(x)＝的定义域为B，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________． (－∞，3]　[由题可知，g(x)的定义域为{x|x<a＋1}，集合A＝{x|x≥4}，若使A∩B＝∅，则需a＋1≤4，解得a≤3．] 三、解答题 9．(源自人教A版教材)已知函数f (x)＝． (1)求函数f (x)的定义域； (2)求f (－3)，f 的值； (3)当a>0，求f (a)，f (a－1)的值． [解]　(1)要使函数f (x)有意义，则 即x≥－3，且x≠－2， 故函数f (x)＝的定义域为{x|x≥－3，且x≠－2}． (2) f (－3)＝＝0－1＝－1． f ＝＝＝． (3)因为a>0，所以f (a)，f (a－1)有意义， 所以f (a)＝； f (a－1)＝＝． 10．已知f (x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2－1(x∈R)． (1)求f (2)，g(3)的值； (2)求f (g(3))的值及f (g(x))． [解]　(1)因为f (x)＝，所以f (2)＝＝－． 因为g(x)＝x2－1，所以g(3)＝32－1＝8． (2)依题意，知f (g(3))＝f (8)＝＝－， f (g(x))＝＝＝(x≠0)． 11．(多选)下列函数中，满足f (2x)＝2f (x)的是(　　) A．f (x)＝|x| 　 B．f (x)＝x－|x| C．f (x)＝x＋1 　 D．f (x)＝－x ABD　[在A中，f (2x)＝|2x|＝2|x|，2f (x)＝2|x|，满足f (2x)＝2f (x)；在B中，f (2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f (x)，满足f (2x)＝2f (x)；在C中，f (2x)＝2x＋1，2f (x)＝2(x＋1)＝2x＋2，不满足f (2x)＝2f (x)；在D中，f (2x)＝－2x＝2(－x)＝2f (x)，满足f (2x)＝2f (x)．] 12．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1，7}的“孪生函数”共有(　　) A．10个 　 B．9个 C．8个 　 D．4个 B　[由2x2－1＝1，得x1＝1，x2＝－1；由2x2－1＝7，得x3＝－2，x4＝2，所以定义域包含2个元素的函数有4个，定义域包含3个元素的函数有4个，定义域包含4个元素的函数有1个，因此共有9个“孪生函数”．] 13．已知函数y＝的定义域为R，则实数k的值为________． 0　[函数y＝的定义域是使k2x2＋3kx＋1≠0成立的实数x的集合． 由函数的定义域为R，得方程k2x2＋3kx＋1＝0无解． 当k＝0时，函数y＝＝1，函数的定义域为R，因此，k＝0符合题意； 当k≠0时，k2x2＋3kx＋1＝0无解，又Δ＝9k2－4k2＝5k2>0，不存在满足条件的k值． 综上可知，实数k的值为0．] 14．已知函数f (x)＝x2－mx＋n，且f (1)＝－1，f (n)＝m，则f ( f (－1))＝________，f ( f (x))＝________． －1　x4－2x3－2x2＋3x＋1　[由题意知解得 所以f (x)＝x2－x－1，故f (－1)＝1． f ( f (－1))＝－1，f ( f (x))＝f (x2－x－1)＝(x2－x－1)2－(x2－x－1)－1＝x4－2x3－2x2＋3x＋1．] 15．已知函数f (x)＝． (1)求f (2)＋f 的值； (2)求证：f (x)＋f 是定值； (3)求2f (1)＋f (2)＋f ＋f (3)＋f ＋…＋f (9)＋f ＋f (10)＋f 的值． [解]　(1)因为f (x)＝，所以f (2)＋f ＝＝1． (2)证明：f (x)＋f ＝＝＝＝1，是定值． (3)由(2)知，f (x)＋f ＝1， 所以f (1)＋f (1)＝1， f (2)＋f ＝1， f (3)＋f ＝1， f (4)＋f ＝1， … f (10)＋f ＝1， 所以2f (1)＋f (2)＋f ＋f (3)＋f ＋…＋f (9)＋f ＋f (10)＋f ＝10． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $