精品解析：上海市上南中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

上南中学2025学年第一学期高二年级期中考试 数学学科试卷 考试时间：90分钟 满分：100分 命题人：徐姚安 审题人：杨元民 一､填空题（每题3分，共36分） 1. 点在直线上，可用集合符号表示为______． 2. 若两条直线无公共点，则两直线的位置关系是________． 3. “直线垂直于平面内无数条直线”是“”______条件． 4. 设和的两边分别平行，若，则的大小为___________. 5. 用与球心距离为1的平面去截该球，所得截面面积为π，则该球的体积 _____________. 6. 若圆柱的底面半径与高均为1，则其侧面积为________． 7. 已知圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥侧面展开图的圆心角的大小为_________． 8. 水平放置的斜二测直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为_________． 9. 已知甲，乙两组数据如茎叶图所示，其中，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则__________． 10. 正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，高为，该四棱台的体积为__________． 11. 有一根高为，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为________. 12. 已知四棱锥的5个顶点都在球的球面上，且平面，则球的表面积为_______． 二､单选题（每题3分，共12分） 13. 当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ） A. 三点确定一平面 B. 不共线三点确定一平面 C. 两条相交直线确定一平面 D. 两条平行直线确定一平面 14. 若球的表面积膨胀为原来的两倍，则膨胀后的球的体积变为原来的（ ） A. 倍 B. 2倍 C. 倍 D. 4倍 15. 类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论中正确的序号是（ ）． ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两个平面互相平行； ③垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行． A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③ 16. 祖暅，又名祖暅之，是我国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之的儿子.他在《级术》中提出“幂势既同，则积不容异”的结论，其中“幂”是面积.“势”是高，意思就是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任一平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等（如图①）.这一原理主要应用于计算一些复杂几何体的体积，若某艺术品如图②所示，高为40cm，底面为边长20cm的正三角形挖去以底边为直径的圆（如图③），则该艺术品的体积为（ ） A B. C. D. 三､解答题（8+10+10+12+12） 17. 如图，正三棱柱的各棱长均为2，为棱的中点． （1）求该三棱柱的侧面积； （2）求异面直线与所成角的大小． 18. 如图，是圆柱一条母线，是底面的一条直径，是圆 上一点，且，. （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求点到平面的距离. 19. 《九章算术》中，将四个面都是直角三角形四面体称为“鳖臑”，如图所示，四面体中，平面，，是棱的中点． （1）判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由； （2）若四面体是鳖臑，且，求二面角的大小． 20. 某学校为了获得该校全体高中学生的体育锻炼情况，按男､女学生的比例分别抽样调查了48名男生和27名女生的每周锻炼时间．通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为7.6小时，方差为7；女生每周锻炼时间的平均数为6.4小时，方差为8． （1）若该校男生总数为1280，求该校学生总数； （2）若所选27名女生每周锻炼时间从小到大排列后的第9至第13个数据依次为5､5.3､5.6､5.8､5.9，求所选女生样本的第40百分位数； （3）求所有样本数据的平均数和方差（精确到0.001）． 21. 如图，在斜三棱柱中，，D为AB的中点，为的中点，平面平面，异面直线与互相垂直. （1）求证：平面平面； （2）已知，设到平面的距离为，试问取何值时，三棱柱的体积最大？并求出最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上南中学2025学年第一学期高二年级期中考试 数学学科试卷 考试时间：90分钟 满分：100分 命题人：徐姚安 审题人：杨元民 一､填空题（每题3分，共36分） 1. 点在直线上，可用集合符号表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点与直线位置关系表示即可. 【详解】解：点在直线上，可用集合符号表示为. 故答案为： 2. 若两条直线无公共点，则两直线的位置关系是________． 【答案】平行或异面 【解析】 【分析】利用空间中直线的位置关系求解即可. 【详解】因为两条直线无公共点，所以两条直线不可能相交， 而空间中直线的位置关系只有相交，平行或异面， 所以两条直线的位置关系是平行或异面. 故答案为：平行或异面 3. “直线垂直于平面内无数条直线”是“”的______条件． 【答案】必要非充分 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系分别判断充分性和必要性得到结果. 【详解】直线垂直平面内无数条直线，可能或或或与相交，故充分性不满足； ，则直线垂直于平面内所有直线，故直线垂直于平面内无数条直线，故必要性满足； 故答案为:必要非充分 4. 设和的两边分别平行，若，则的大小为___________. 【答案】45°或135°##135°或45° 【解析】 【分析】根据等角定理即可得到答案. 【详解】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补. 故答案为：45°或135°. 5. 用与球心距离为1的平面去截该球，所得截面面积为π，则该球的体积 _____________. 【答案】 【解析】 【详解】截面面积为π⇒截面圆半径为1，又与球心距离为1⇒球的半径是，所以根据球的体积公式知V球＝ 故答案为 6. 若圆柱的底面半径与高均为1，则其侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱的侧面积公式直接计算可得. 【详解】由题意，圆柱的侧面积为：. 故答案为： 7. 已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥侧面展开图的圆心角的大小为_________． 【答案】 【解析】 【分析】 圆锥的底面半径为1，高为，则圆的周长是2，即展开图的弧长，根据勾股定理可知圆锥母线即展开图的半径，再利用弧长公式计算. 【详解】圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的母线长为， 即展开后所得扇形的半径为2， 圆锥底面圆的周长即为展开后所得扇形的弧长， 所以根据弧长公式可知， 解得 故答案为： 8. 水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直观图得到平面图形，利用勾股定理求出，即可得解. 【详解】由直观图可得如下平面图形： 因为，， 所以，， 所以在直角三角形中，. 故答案为：. 9. 已知甲，乙两组数据如茎叶图所示，其中，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由甲乙的中位数求出，由平均数相同求出即可得解 【详解】由茎叶图知甲的中位数为，乙的中位数为， 由两组数据的中位数相同，则， 由平均数相同，得，解得， 所以． 故答案为： 10. 正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，高为，该四棱台的体积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正棱台的体积公式计算即得. 【详解】依题意，正四棱台的体积. 故答案为：. 11. 有一根高为，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为________. 【答案】 【解析】 【分析】考虑圆柱的侧面展开图，将其延展一倍后矩形的对角线的长度即为铁丝的最短长度. 【详解】如图，把圆柱的侧面展开图再 延展一倍， 所以铁丝的最短长度即为的长，又，填. 【点睛】几何体表面路径最短问题，往往需要考虑几何体的侧面展开图，把空间问题转为平面问题来处理. 12. 已知四棱锥的5个顶点都在球的球面上，且平面，则球的表面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可知四点共圆，可得，由余弦定理可得，且，再根据外接球直径利用勾股定理计算出外接球半径，可得球的表面积. 【详解】根据题意可知四边形顶点在同一个圆上，连接，如下图所示： 易知，又， 在中，由余弦定理可得； 在中，由余弦定理可得; 又易知，所以可得， 解得，又，所以， 可得，即， 设四边形的外接圆半径为，由正弦定理可得， 解得， 又平面，且， 设四棱锥的外接球半径为， 可得，即； 因此外接球的表面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用四点共圆性质得出对角线，再由正弦定理求出外接圆半径，再根据线面垂直关系可得外接球半径可得结果. 二､单选题（每题3分，共12分） 13. 当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ） A. 三点确定一平面 B. 不共线三点确定一平面 C. 两条相交直线确定一平面 D. 两条平行直线确定一平面 【答案】B 【解析】 【分析】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，使得自行车稳定,此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上. 【详解】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上,所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定. 故选B项. 【点睛】本题考查不共线的三个点确定一个平面，属于简单题. 14. 若球的表面积膨胀为原来的两倍，则膨胀后的球的体积变为原来的（ ） A. 倍 B. 2倍 C. 倍 D. 4倍 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用球的表面积公式求出球半径的变化关系，再结合球的体积公式求解. 【详解】设膨胀前后球的半径分别为， 由球的表面积膨胀为原来的两倍，得，解得， 则膨胀后的球的体积， 所以膨胀后的球的体积变为原来的倍. 故选：C 15. 类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论中正确的序号是（ ）． ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两个平面互相平行； ③垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行． A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线和平面的位置关系，对选项进行逐一判断即可得出结论. 【详解】对于①，垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、或异面，①错误； 对于②，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，由平面平行的判定定理知②正确； 对于③，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，由直线与平面垂直的性质知③正确； 对于④，垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，④错误. 故选：D 16. 祖暅，又名祖暅之，是我国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之的儿子.他在《级术》中提出“幂势既同，则积不容异”的结论，其中“幂”是面积.“势”是高，意思就是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任一平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等（如图①）.这一原理主要应用于计算一些复杂几何体的体积，若某艺术品如图②所示，高为40cm，底面为边长20cm的正三角形挖去以底边为直径的圆（如图③），则该艺术品的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出阴影部分的面积，其面积为边长20cm的正三角形的面积减去两个边长为10cm的正三角形的面积，再减去圆心角为，半径为10cm的扇形面积，然后利用柱体的体积公式求解即可 【详解】由图知阴影部分的面积为， 所以艺术品的体积为. 故选：B 三､解答题（8+10+10+12+12） 17. 如图，正三棱柱的各棱长均为2，为棱的中点． （1）求该三棱柱的侧面积； （2）求异面直线与所成角的大小． 【答案】（1）12； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用三棱柱的侧面积公式求解. （2）取AC中点E，连结DE，，利用几何法求出异面直线夹角. 【小问1详解】 由正三棱柱的各棱长均为2， 得该三棱柱的侧面积. 【小问2详解】 取AC中点E，连结DE，， 由D为棱BC的中点，得，， 则是异面直线AB与所成角(或其补角)，， ， 所以异面直线AB与所成角的大小为. 18. 如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆 上一点，且，. （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理找到线面角，进而在直角三角形中求解；(2)作垂线找到点到平面的距离，利用等面积法求解. 【小问1详解】 平面平面 是底面的一条直径, 又平面平面 所以平面 是直线与平面所成角, 因为,所以 所以 所以直线与平面所成角的大小 【小问2详解】 过作,垂足为， 由(1)得平面平面 所以平面平面， 又因为平面平面, 平面,, 所以平面， 根据等面积法, 即到平面的距离等于. 19. 《九章算术》中，将四个面都是直角三角形四面体称为“鳖臑”，如图所示，四面体中，平面，，是棱的中点． （1）判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由； （2）若四面体是鳖臑，且，求二面角的大小． 【答案】（1）是，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，即可得证，进而可知四面体是鳖臑，由此得出结论； （2）根据题意求出三角形及三角形的面积，由射影法即可求得二面角的大小． 【小问1详解】 四面体鳖臑，理由如下： 平面，平面， ， ，是棱的中点， ， 又，且平面，平面， 平面，平面，； 易知四面体是鳖臑，直角为，，，； 【小问2详解】 四面体是鳖臑，， ， 又，则， ， ， 设锐二面角的大小为，则，则， 则，，即二面角的大小为． 20. 某学校为了获得该校全体高中学生的体育锻炼情况，按男､女学生的比例分别抽样调查了48名男生和27名女生的每周锻炼时间．通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为7.6小时，方差为7；女生每周锻炼时间的平均数为6.4小时，方差为8． （1）若该校男生总数为1280，求该校学生总数； （2）若所选27名女生每周锻炼时间从小到大排列后的第9至第13个数据依次为5､5.3､5.6､5.8､5.9，求所选女生样本的第40百分位数； （3）求所有样本数据的平均数和方差（精确到0.001）． 【答案】（1）2000； （2）5.6； （3）平均数为7.168，方差为7.692. 【解析】 【小问1详解】 设该校学生总数为，依题意，，解得， 所以该校学生总数为2000. 【小问2详解】 由，得所选女生样本的第40百分位数为第11个数5.6. 【小问3详解】 所有样本数据的平均数； 所有样本数据的方差为. 21. 如图，在斜三棱柱中，，D为AB的中点，为的中点，平面平面，异面直线与互相垂直. （1）求证：平面平面； （2）已知，设到平面的距离为，试问取何值时，三棱柱的体积最大？并求出最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2）时，体积最大为36 【解析】 【分析】（1）由平面与平面平行的判定证明； （2）结合几何关系（线面垂直、相似三角形）设法先求出，再求出的体积，由体积对应关系推导出，利用函数思想通过二次函数求最值． 【小问1详解】 证明：在斜三棱柱中，四边形是平行四边形， 且为的中点，为的中点，且， 四边形为平行四边形，则， 平面，平面， 平面，连接，如图所示， ，且， 则四边形为平行四边形， ，且平面，平面， 平面， ，且，平面， 平面平面； 【小问2详解】 ，为的中点，， 平面平面，平面平面， 且平面平面，，平面， 平面，平面， 与平面的距离， 平面，，在△中，，则， ， 平面，则平面，而平面，， 且，又，，平面，平面，且平面，，记交点为，则三角形为直角三角形， △，且，，， ，，， ， ， ，设， 即，当时，即，三棱柱的体积最大，36. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $