12 专项集训卷(三)(解答)-【单元金卷】2025-2026学年八年级上册数学（华东师大版·新教材）

4.如图，在△ABC中，∠A=2∠B. 7.已知四边形ABCD是正方形（四条边相等，四个角都是直角）. 12专项集训卷（三） (I)作∠ACB的平分线CD,交AB于点D(要求：尺规作图，保留 (1)如图1，将一个直角顶点与点A重合，角的两边分别交BC于 作图痕迹，不必写作法和证明)： 点E,交CD的延长线于点F,证明：BE=DF: 单元全卷 (解答) 效学八·上 (2)求证：BC=AC+AD. (2)如图2.若将(1)中的直角改为45°，即∠EAF=45°，E,F分别 自信是成功的基石，沉着是飞翔的翅障. 在边BC,CD上，求证：EF=BE+DF: 考点集训全等三角形 (3)如图3，改变(2)中∠EAF的位置（大小不变），使E,F分别在 1.如图，点C,E,F,B在同-一条直线上，DF⊥BC,AE⊥BC,AB=DC, BC,CD的延长线上，若BE=15,DF=2,试求线段EF的长 AE=DF求证：CE=BF 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E,AD=AC,AF平分 ∠CAB交CE于点F,DF的延长线交AC于点G (1)若∠B=40°，求∠ADF的度数： (2)求证：FG=FE. 2.(洛阳期中)如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥ AC,垂足分别是点E,F,BE=CF.求证：AD垂直平分EF 考点集训匀股定理 8.已知直角三角形的两边长x,y满足1x2-41+√-1=0，求第三边 的长 6.如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，且DE∥ AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F 线3.如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AC的垂直平分线交BC于点D,连 (1)求证：CE=CF: 结AD. (2)若CD=2,求DF的长 9.(1)如图，在△ABC中，AD⊥BC,求证：AB-AC=BD-CD: (1)判断△ABD的形状，并说明理由： (2)在△ABC中，AB=-8,AC-5,BC边上的高AD=4,求边BC (2)过点A作AE⊥BD于点E,若△ABD的周长是20，求CE的长 的长. 州 -67 68 69 10.如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AD=12,AC=13.CD=5. (2)在图2网格中画出格点直角三角形，使其三边的长都是无 14.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,∠CBE=45°，BE分 (1)求证：AD⊥BC: 理数： 别交AC,AD于点E,F (2)若AB=15,求BC的长 (3)在图3网格中画出格点等腰三角形，使其至少有一条边的 (1)若AB=13.BC=10,求AF的长度： 长是无理数 (2)若AF=BC,求证：BF2+EF=AE. 阁1 图2 全 11.如图1是超市购物车，图2为超市购物车侧而示意图，测得 ∠ACB=90°，支架AC=4.8dm.CB=3.6dm. (1)两轮中心A,B之间的距离为 dm (2)若0F的长度为√50dm,支点F到底部D0的距离为5dm, 粥 试求∠FOD的度数. 15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm,AC=6Cm,动点P 从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设移动的时间为 I s. 13.如图.一艘轮船从A港向南偏西48方向航行100km到达B岛. 再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的 图2 最短距离AD是60km, 备用3 (1)若轮船速度为25km/h,求轮船从C岛沿CA返回A港所需 (1)求BC边的长： 的时间： (2)当△ABP为直角三角形时，求：的值： (3)当△ABP为等腰三角形时，求t的值 (2)C岛在A港的什么方向？ 12.在如图所示的4×4的正方形网格中，设每个小正方形的边长都 是1. (1)在图1网格中画出格点直角三角形（三角形的顶点都在小 正方形的顶点处的三角形称为格点三角形，下同)，使其斜边的 长为无理数，两直角边长是有理数： 浓 一70 71 72-议同学们增加做家务劳动的时间，积极参加劳动 .AD+DE=10 实践，增强综合实践能力.（答案不唯一） .CE=CD+DE=AD+DE=10 13.解：（1)私人汽车拥有量年增长率最大的是 4.(1)解：如图，射线CD即为所求作 2020年. (2)100÷(1+18%)≈85（万辆）. .2017年该市拥有私人汽车约为85万辆. 2019年该市拥有私人汽车为100×(1+20%)= 120(万辆). 补全条形统计图如图所示： 私人汽车拥有量条形统计图 (2)证明：如图，在BC边上取点E,使EC=AC,连 数量万河 结DE. 200 831 ·CD平分∠ACB 180 ,∴.∠ACD=∠ECD 160 又.·CD=CD,AC=EC 140 120 120 ..△ACD≌△ECD 1t00 1) ∴.AD=ED,∠CAD=∠CED. :∠A=2∠B,.∠CED=2∠B. 02]820193022021+份 (3)小明的说法不正确.理由如下：从2018~2021 :∠CED=∠BDE+∠B ∴.∠BDE=∠B,∴.EB=ED=AD 年私人汽车拥有量一直在增加，只是增长率先上 .∴.BC=EC+EB=AC+AD. 升后下降，增长率反映的是增长速度， 5.(1)解：.·AF平分∠CAB 14.解：(1)60 .∠CAF=∠DAF (2)补全条形统计图如下： 又.：AC=AD,AF=AF 人数 ∴.△ACF≌△ADF ∴.∠ACF=∠ADE --- .·∠ACB=90°，CE⊥AB .∠ACE+∠CAE=90°，∠CAE+∠B=90°， .∠ACF=∠B, .·.∠ADF=∠B=40° 30_60_90_12015010 问分钟 (2)证明：.∠ADF=∠B,.DF∥BC .BC⊥AC,.∴.FG⊥AC. (3)①三②90° 又.·FE⊥AB,AF平分∠CAB (4)估计该校八年级1320名学生中，课业负担适 ∴.FG=FE 中的人数为1320x6+12+18 6.(1)证明：：△ABC是等边三角形， 792(人). ∴.∠A=∠B=∠ACB=60. 60 .·DE∥AB, 12专项集训卷（三） ∴.∠B=∠EDC=60°，∠A=∠CED=60°， ∴.∠EDC=∠ECD=∠DEC=60 1.证明：.·DF⊥BC,AE⊥BC 又.EF⊥DE,∴.∠F=30° ∴.∠AEB=∠DFC=90°， .∠F+∠FEC=∠ECD=60° AB=DC.AE=DF. ∴.∠F=∠FEC=30°，.CE=CF .∴.Rt△AEB≌Rt△DFC(HL), (2)解：由(1)可知∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°， .∴.BE=CF .·.CE=CD=2. ∴.BE-EF=CF-EF 又.·CE=CF..CF=2 .CE=BE ∴.DF=CD+CF=2+2=4. 2.证明：D是BC的中点， 7.(1)证明：，四边形ABCD是正方形 ∴.BD=CD ∴，AB=AD,∠BAD=∠B=∠ADC=90° ·DE⊥AB,DF⊥AC, .·∠EAF=90° ∠DEB=∠DFC=90 ∴.∠BAE+∠EAD=∠EAD+∠DAF=90°， 又·.·BE=CF .·.∠BAE=∠DAF. ∴.Rt△BDE≌Rt△CDF 又.·∠B=∠ADF=90°，AB=AD. ∴.DE=DF,∠B=∠C, ∴.△ABE≌△ADF,.BE=DF. .AB=AC. (2)证明：如图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90° 又.·BE=CF 得到△ADE' .AB-BE=AC-CF, 由旋转可得∠BAE=∠DAE',BE=DE',AE=AE', 即AE=AF ∠B=∠ADE'=90°. ∴.点A,D在EF的垂直平分线上， ∴.∠ADF+∠ADE'=90°+90°=180°， .·AD垂直平分EF 点F,D,E在同一条直线上 3.解：(1)△ABD为等腰三角形 ·.·∠EAF=45° 理由如下：：AC的垂直平分线交BC于点D, ..∠BAE+∠DAF=∠DAE'+∠DAF=∠E'AF=45°， ∴.AD=CD .·.∠EAF=∠EAF. ..∠C=∠CAD 又，AF=AF,AE=AE,∴.△EAF≌△E'AF, .·.∠ADB=∠C+∠CAD=2∠C. .·.EF=E'F 又.·∠B=2∠C E'F=DE'+DF=BE+DF. ∴.∠ADB=∠B, .EF=BE+DF. ∴.AD=AB. (3)解：如图2，将△ADF绕着点A按顺时针方向旋 △ABD为等腰三角形 转90°，得△ABF1 (2).AD=AB,AE⊥BD 由四边形ABCD为正方形可知点B,C,F'在一条直 ∴.DE=BE 线上 △ABD的周长是20， .∠BAF'=∠DAF,∠EAF=∠EAD+∠DAF=45°， .∠EAF'+∠EAD+∠DAF=90°， ∴.∠EAF=∠EAF'=45°. 又.：AE=AE,AF=AF', .△EAF≌△EAF', .∴EF=EF' .EF=EF'=BE-BF'=BE-DF=13. 图 3 13.解：(1)由题意，得AD=60km, 在Rt△ABD中，AD+BD2=AB2 得60+BD2=1002. ∴.BD=80km,∴.CD=BC-BD=45km, .AC=√CD2+AD2=√J452+602=75(km). 图1 图2 则75：25=3(h)」 8.解：.1x2-41+√y-1=0, 答：轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h. .x2-4=0,y3-1=0, (2).AB2+AC2=1002+752=15625, .x=2或x=-2(舍去)，y=1 BC2=1252=15625, 当2是直角边时，第三边的长为√+22=√5： AB+AC=BC2,∴.∠BAC=90, 当2是斜边时，第三边的长为√2-1P=√3 .∴∠NAC=180°-90°-48°=42°. 综上所述，第三边的长为5或3. 答：C岛在A港的北偏西42°. 14.(1)解：.AB=AC,AD⊥BC,..BD=CD 9.(1)证明：在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定 又.BC=10,.BD=5. 理，得 AB2-BD=AD 在Rt△ABD中，AD=√AB2-BD=/132-52=12. AC-CD=AD 在Rt△BDF中，∠CBE=45°， .AB2-BD2=AC2-CD2 .△BDF是等腰直角三角形， ∴.AB2-AC2=BD2-CD2. ..DF=BD=5, (2)解：当△ABC是锐角三角形时，在Rt△ABD和 .AF=AD-DF=12-5=7. Rt△ACD中，根据勾股定理，得 (2)证明：如图，在BF上取 一点H,使BH=EF,连结 BD=√AB2-AD2=√82-4=√48， CH.CF. DC=AC2-AD2=√52-42=3， .BH=EF,∠CBH=∠AFE= ∴.BC=BD+DC=48+3: ∠DFB,BC=AF, 当△ABC是钝角三角形时，BC=BD-DC=√48-3. ∴.△CHB≌△AEF 综上所述，BC的长为√48+3或√48-3. ·.CH=AE,∠CHB=∠AEF .∠CEF=∠CHE,∴.CE=CH. 10.(1)证明：.AD=12,AC=13,CD=5 BD=CD,FD⊥BC .·.AD2+CD=122+52=169.AC2=132=169, ∴.CF=BF, .AD+CD2=AC2 .∴∠CBF=∠BCF=45o ·.△ACD是直角三角形， .∠CFB=90°，.EF=FH. ∴.∠ADC=90°， 在Rt△CFH中，由勾股定理，得CF2+F=C, ∴.AD⊥BC (2)解：.·∠ADC=90° ∴.BF2+EF2=AE2. .:.∠ADB=180°-∠ADC=90° 15.解：(1)在Rt△ABC中，BC=√AB2-AC=8cm. AB=15,AD=12, (2)由题意知，BP=2tcm. .BD=√AB2-AD2=√/152-122=9. 分两种情况： .CD=5 ①当∠APB为直角时，点P与点C重合， .BC=BD+CD=9+5=14, BP=BC=8cm,即t=4; .BC的长为14 ②当∠BAP为直角时， 11.解：(1)6 在Rt△ACP中，AP2=62+(2t-8)2 (2)如图，过点F作FH⊥DO,交D0的延长线于 在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2,即10+[62+(2t- 点H,则FH=5dm 在Rt△FHO中， 8)]=(2)2,解得=25 41 0H=√0F2-F㎡=√/（√50）2-52=5(dm), 综上所述，当△ABP为直角三角形时，t=4或 .OH=FH. .△FHO是等腰直角三角形， .∠F0H=45 (3)分三种情况：①当AB=BP=10cm时，t=5; ·.∠F0D=180°-∠F0H=180°-45°=135°. ②当AB=AP时，BP=2BC=16cm,t=8: ③当BP=AP=21cm时，在Rt△ACP中，AP2= AC+CP,即(2)2=62+(2-8)，解得1=8 5 综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t=5或t=8 --- 25 12.解：(1)如图1，△ABC即为所求.（答案不唯一） 或t= 8 (2)如图2，△ABC即为所求.（答案不唯一） (3)如图3，△ABC即为所求.（答案不唯一）