4 单元培优卷(三)(第12章 全等三角形)-【单元金卷】2025-2026学年八年级上册数学（华东师大版·新教材）

6.如图，在△ABC内有一点O,过点O分别向边AB,BC,AC作垂线， 12.(安阳期中)如图，点C是AB的中点，CD=BE,请添加一个条 4单元培优卷（三） 垂足分别为点F,D,E,若OF=OD=OE,∠A=70°，则∠BOC的度 件： ,使△ACD≌△CBE 数是 单元全爸 (第12章) 效学八·上 时间：100分钟满分：120分 题号 三 总分 得分 13.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACG的平分线交于点F,过 F作DF∥BC,交AB于点D,交AC于点E,若BD=9em.DE= 稳定心态，不不弃：全力以赴，夺取胜利 A.125 B.135 C.1054 D.1009 一、选择题（每小题3分，共30分） 4cem,则CE的长为 7.如图.在△ABC中，AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE相 1.下列命题为真命题的是 交于点F,若BF=AC,∠CMD=25°，则∠ABE的度数为( A.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0 A.30 B.15 C.25 D.20 B.一个数的立方根不是正数就是负数 C如果两个角相等，那么它们是对顶角 14.(孟津期末)如图，BD垂直平分线段AC,AE⊥BC,垂足为点E,交BD D.一个不为零的数的立方根和这个数同号 于点P,AE=7,AP=4.则点P到直线AB的距离是 2.如图，要测量池塘两岸相对的两点A,B的距离，小明在池塘外取 AB的垂线BF上的点C,D,使BC=CD,再画出BF的垂线DE,使 第7题图 第8题图 E与A,C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依据是 8.如图，△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB=AC,AD=AE,∠ABC=60 ( 且∠BAC=∠DAE.当B,D,E三点共线时，∠BEC的度数为( A.SSS B.SAS C.ASA D.HL A.54° B.56° C.60° D.620 3.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB,AC分别交于 第14题图 第15题图 点D,E,连结BE.已知△ABC与△BCE的周长分别为18cm和 9.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点.点A.B 15.如图.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6.D为BC上一点 10cm,则BD的长为 ( 均在格点上.要在格点上确定一点C,连结AC和BC,使△ABC是等腰 连结AD,过点A作AE⊥AD,且AE=AD,连结BE交AC于点F A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 三角形，则网格中满足条件的点C的个数是 ( 当△AEF为等腰三角形时，CD的长为 A.5 B.6 C.7 D.8 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16.(8分)如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，点E,F分别在 AB,AD上，AE=AF,CE=CF,求证：CB=CD. 第2题图 第3题图 第4题图 4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E,SAr=32,DE= 第9题图 第10题图 4,AB=9,则AC的长是 10.如图.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,AD⊥BC于点D.∠ABC的 A.5 B.6 C.7 D.8 平分线分别交AC,AD于E,F两点，M为EF的中点，延长AM交BC 5.如图.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=70°，D是BC的中点，DE⊥ 于点N,连结DM,NE.下列结论：①AE=AF:②AM⊥EF:③△AEF是 暴 AB于点E,延长DE至点F,使EF=DE,则∠F的度数是() 等边三角形：④DF=DN:⑤4D∥NE.其中正确的结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11请将命题“等腰三角形的底角相等”改写为“如果…，那么…”的 州 A.309 B.35 C.55 D.60° 形式： 19 -20 —21 17.(9分)如图，已知点D,E分别是△ABC的边BA和BC延长线上 20.(9分)如图，在四边形ABCD中，AB=AC,∠D=90°，BE⊥AC于 23.(11分)（漯河期中）【问题情境】 的点，作∠DAC的平分线AF,若AF∥BC. 点F,交CD于点E,连接EA,EA平分∠DEF 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分 (1)求证：△ABC是等腰三角形： (1)求证：AF=AD: ∠MON,点A为OM上一点，过点A作AC⊥OP.垂足为点C,延 (2)作∠ACE的平分线交AF于点G,若∠B=40°，求∠AGC的 (2)若BF=7,DE=3,求CE的长 长AC交ON于点B,可根据ASA证明△AOC≌△BOC,则AO= 度数 BO,AC=BC(即点C为AB的中点). 【问题探究】 (1)如图2，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，CD平分∠ACB, BE⊥CD,垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关 溪※ 系，并证明你的结论。 【拓展延伸】 (2)如图3.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D在线段BC 18.(9分)（洛阳期末）在一个支架的横杆点0处用一根绳悬挂一 21.(10分)如图，在△ABC中，AB=AC.∠BAC=120°，AD⊥BC.且 个小球A,小球A可以摆动，如图1.OA表示小球静止时的位置. AD=AB.已知∠EDF=60°.DE,DF分别交边AB,AC于点E,F 上，且∠BE=)∠C,BE⊥DE于点E,DE交AB于点F,试探究 如图2，当小球从OA摆到OB位置时，过点B作BD⊥OA于点 连结BD.求证： BE和DF的数量关系，并证明你的结论 D,当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直，过点C作CE⊥ (1)△ABD是等边三角形： 0A于点E,测得CE=24m.0A=OB=0C=30cm. (2)BE=AF. (1)试说明：OE=BD: (2)求AD的长 22.(10分)（濮阳期中）如图，在四边形ABCD中，AB=BC=8cm,CD= 阳2 6cm,∠B=∠C,动点P,Q同时从A,B两点出发，分别沿AB,BC 方向匀速运动，点Q运动的速度是每秒2m,点P运动的速度 是每秒acm(a≤2)，当点Q到达点C时，P,Q两点都停止运动 设运动时间为1秒， (1)BQ= :BP= .(用含a或t的代数式表示) 19.(9分)如图.在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线 (2)运动过程中，连结PQ.DQ,△BPQ与△CDQ是否存在全等？ 上一点，连结DF交AC于点E,连结BE,∠A=∠ABE 若存在，请求出相应的1和a的值：若不存在，请说明理由， (1)求证：DF是线段AB的垂直平分线： (2)当AB=AC,∠A=46时，求∠EBC和∠F的度数 -22 -23 —2413.-17【解析】小.3<√10<4，.W10的整数部分为 =-1010+2023 a=3,小数部分为b=10-3,∴.(-a)3+(b+3)2= =1013. (-3)3+(√10-3+3)2=-27+10=-17. 22.解：(1)92-7子=8x4,112-92=8x5.(答案不唯一) 14.1 (2):(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1-2n+1)·(2n+ 15.15【解析】如图，设AB=CD=x,AD=BC=y,则 1+2n-1)=2×4n=8n, S,=6(AB-6)+(CD-5)(BC-6)=6(x-6)+(x-5)· .两个连续奇数的平方差是8的倍数. (y-6),S2=6(BC-6)+(BC-5)(CD-6)=6(y-6)+ (3)不正确. (y-5)(x-6),.S2-S,=6(y-6)+(y-5)(x-6)-6(x 解法一：举反例：42-2=12. 6)-(x-5)(y-6)=6y-36+xy-6y-5x+30-6x+36-xy+ 12不是8的倍数，这个结论不正确 6x+5y-30=5y-5x=5(y-x）.AD-AB=3,∴.y-x=3, 解法二：设这两个连续偶数为2n和2n+2(n为正 .原式=5×3=15. 整数)， .(2n+2)2-(2n)2=(2n+2-2n)(2n+2+2n)=8n+ 4,8n+4不一定是8的倍数 .这个结论不正确. 23.解：【类比猜想】举例验证：若m=4,n=5,则g-m= 4×5-4=16=42 阁1 推理证明：小明同学做了如下的证明： 16.解：(1)原式=-(x2-4y+4y2) 设m<n,m、n是连续的正整数，∴.n=m+l. =-(x-2y). .‘g=n,.∴.q-m=mn-m=m(n-1)=m. (2)原式=x2-2x+1+2x-10 .qm一定是正数m的平方. =x2-9 【深人思考】小m,n为两个连续奇数，0<m<n, =(x+3)(x-3). .∴.n=m+2, 17.解：(1)原式=1-(2-√3)+9+(-3) .q=mn=m2+2m, =1-2+√/3+9-3 ∴.p=√m2+2m+2(m+2)+√m2+2m-2m= =5+/3. √(m+2)产+√m2=m+2+m=2(m+1), (2)原式=(-a)·a3+a2·a-5a .p一定是偶数. =-a'+a°9-5a9 =-5a 4单元培优卷（三） (3)原式=9y-3x2-(4x2+12y-3xy-9y2) =9xy-3x2-4x2-12xy+3y+9y2 快速对答案： =-7x2+9y2 0 1~5 DCBCC 6~10 ADCBD 18.?解：原式=(9%2-a2-4a2+12ab-9%2-5a2+20ab)÷2a 0 11如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角 =(-10a2+32ab)÷2a 0 形的两个底角相等12.AD=CE或∠ACD=∠B =-5a+16b, 013.514.315.2或6 0 0。 当a=2b=2时， 1.D2.C3.B4.C5.C 6.A【解析】.·OF=OD=OE,OF⊥AB,OD⊥BC 原式=-5×2+162】 OE⊥AC,点O是△ABC三条角平分线的交点， .∴.OB,OC分别平分∠ABC,∠ACB..·∠A=70 =-10-8 ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，∴.∠0BC+ =-18. 3/1255 19.解：(1)√8=2 ∠0CB= 2（∠ABC+∠ACB)=55°，.∠B0C= 180°-（∠0BC+∠OCB)=125°.故选A. 每个小正方体的棱长为，cm. 7.D【解析】：AD⊥BC,.∠BDF=∠ADC=90°.又 ,∠FEA=90°，∠BFD=∠AFE,∴.∠FBD=∠CAD=25° (2)设长方形的宽为xcm,则长为4xcm, ∵BF=AC,∴.△BDF≌△ADC,DB=DA.又，∠ADB=90°， 得4x2=36,即x2=9. ∴.∠ABD=45°，∴.∠ABE=∠ABD-∠FBD=20°.故选D. x>0,∴.x=3,4x=12. 8.C 又12：524 56 9B【解析】如图，网格中满足条件的点C的个数为 253 、=5’ 6.故选B. .横排可放4个，竖排只能放1个， 4×1=4(个） .最多可以放4个小正方体. 20.解：(1)设被手掌捂住的多项式为A, 。1 则A=(3xy-+2y)÷(-2y）=-6x+2y-1 10.D【解析】：∠BAC=90°，AB=AC,AD⊥BC, .∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD,∠ADN=∠ADB= 2 1 90°，∴.∠BAD=45°=∠CAD.BE平分∠ABC, A=-6x3+2×21 .∠ABE=∠CBE= 2∠ABC=22.5°，∠BFD= =-4+1-1 =-4. ∠AEB=90°-22.5°=67.5°，..∠AFE=∠BFD= 所捂多项式的值为-4 ∠AEB=67.5°，∴.AE=AF,故①正确，③错误；M 21.解：(1)721 为EF的中点，AM⊥EF,故②正确；，∠AMF= (2)√n(n+4)+4=√(n+2)2=n+2 ∠AME=90°，.∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN, .∴.△FBD≌△NAD,∴.DF=DN,故（④正确：∠BAM= (3)原式=3-4+5-6+…+2023 =(-1)×1010+2023 ∠BNM=67.5°，.BA=BN,又.'∠EBA=∠EBN,BE= BE,.△EBA≌△EBN,∴.∠BNE=∠BAE=90° 床ENC-ADC三90AD/NE,故⑤正确综上 ∴.∠ABE=∠A=46° AB=AC 所述，正确的结论有4个.故选D. 11.如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形 ·∠ABC=∠ACB=2(180°-∠A)=67°， 的两个底角相等 .∠EBC=∠ABC-∠ABE=21°， 12.AD=CE或∠ACD=∠B ∠F=90°-∠ABC=23°. 13.5【解析】：BF,CF分别平分∠ABC,∠ACG 20.(1)证明：∠D=90°， .∠DBF=∠CBF,∠FCE=∠FCG.:'DE∥BC, ..AD⊥DE ∴.∠DFB=∠CBF,LEFC=∠FCG,∴.∠DBF= ·.·EA平分∠DEF ∠DFB,∠FCE=∠EFC,∴.BD=FD,EF=CE,∴.EF= .,∠AED=∠AEF. DF-DE=BD-DE=9-4=5(cm),.'CE=5 cm. 又.·BE⊥AC 14.3【解析】如图，过点P作PM⊥AB .AF=AD. 于点M,·,BD垂直平分线段AC (2)解：在Rt△ABF和Rt△ACD中， ..AB=CB,.·.∠ABD=∠DBC,即BD (AB=AC, 为∠ABC的平分线..·AE=7,AP=4 AF=AD」 .PE=AE-AP=3.又.·PM⊥AB,PE⊥ .∴.Rt△ABF≌Rt△ACD(HL), CB ∴.PM=PE=3. ..BF=CD=7. 15.2或6【解析】分两种情况：①当AE=EF时 .CE=CD-DE=7-3=4 △AEF为等腰三角形，如图1，过，点E作EH⊥AC于点 21.证明：(1).·AB=AC,AD⊥BC, H,.∴.AH=HF.又.·EA⊥AD,.∠EAD=∠EHA=∠C= 90°，∴.∠EAH+∠CAD=90°，∠CAD+∠ADC=90° 六∠BAD=∠DAC=L ∠BAC= .∠EAH=∠ADC.又：AE=AD,.△EHA≌ 2×120°=600 △ACD,∴.AH=CD,EH=AC=CB.·∠EFH= 又.AD=AB, ∠BFC,∴.△EHF≌△BCF,.FH=CF,.AH= △ABD是等边三角形 (2).:△ABD是等边三角形 FH=CF=CD,.∴.CD= 3AC=2;②当AF=EF时， .∴.∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD .'∠EDF=60°」 △AEF为等腰三角形，此时，点B与点D重合，如 ∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE, 图2，则CD=BC=6.综上所述，CD的长为2或6. 即∠BDE=∠ADF. 又.∠DBE=∠DAF,BD=AD .∴△BDE≌△ADF, .BE=AF. f'以 22.解：(1)2tcm,(8-at)cm (2)△BPQ与△CDQ存在全等 己知LB=∠C, .分两种情况 因2 ①当△PBQ≌△QCD时，PB=CQ,BQ=CD 16.证明：如图，连接AC ..8-at=8-2t,2t=6..".a=2,t=3: 在△ACE和△ACF中. ②当△PBQ≌△DCQ时，PB=DC,BQ=CQ, (AE=AF .8-at=6.2t=8-2t,..a=1,t=2. CE=CF 综上所述，△BPQ与△CDQ存在全等，此时a=2, AC=AC. t=3或a=1,t=2 ·.△ACE≌△ACF(SSS), 23.解：(1)CD=2BE. ∴.∠EAC=∠FAC, 证明如下：如图1，延长BE交CA的延长线于点F 又.·∠B=∠D=90° .·CD平分∠ACB,.∴.∠FCE=∠BCE 又·.·∠CEF=∠CEB=90°，CE=CE ·.CB=CD 17.(1)证明：.AF平分∠DAC, ..△CEF≌△CEB,∴.FE=BE. .∠DAF=∠CAF .·∠DAC=∠CEF=90°，∴.∠ACD+∠F=∠ABF+ ·.·AF∥BC ∠F=90°，..∠ACD=∠ABF. .∠DAF=∠B,∠CAF=∠ACB, 又.·AC=AB,∠CAD=∠BAF=90° .∠B=∠ACB. ∴.△ACD≌△ABF,.CD=BF,∴.CD=2BE. :.△ABC是等腰三角形 (2)解：.·AB=AC,∠B=40° .∠ACB=∠B=40°，∴.∠BAC=100°， .∠ACE=∠BAC+∠B=140°， .·CG平分∠ACE, 2∠ACE=70°， 阁1 .∠ECG= 图2 ·.·AF∥BC.∠AGC=∠ECG=70° (2)BE=2DF. 18.解：(1)0B⊥0C,.∠B0D+∠C0E=90° 证明如下：如图2，过点D作DG∥CA,交BE的延 CE⊥OA,BD⊥OA,∴.∠CE0=∠ODB=90° 长线于点G,与AF相交于点H. .∠BOD+∠B=90°，∴.∠COE=∠B. DG∥AC,∴∠GDB=∠C,∠BHD=∠A=90°. 又.OC=OB, ∴.△COE≌△OBD,·.OE=BD. .·∠EDB= 2∠C,.∠EDB=∠EDG 2<G (2)△C0E≌△0BD,∴.CE=OD=24cm. ·.·BE⊥ED,.∠BED=∠GED=90°， .·OA=30cm, ∴.AD=0A-0D=30-24=6(cm). ∴.∠BED=∠BHD. ·.·∠EFB=∠HFD,.∠EBF=∠HDF 19.(1)证明：：∠A=∠ABE,.EA=EB. 又点D是AB的中点， .·AB=AC,∠BAC=90° DF是线段AB的垂直平分线. .∠C=∠ABC=45°..GD∥AC, (2)解：∠A=46°， ∴.∠GDB=∠C=45°，.∠GDB=∠ABC=45°， .BH=DH. 又·.·∠BHG=∠DHF=90°，∠HBG=∠HDF ∴.△BGH≌△DFH,.BG=DF *11 “原式=-1 :∠EDB=∠EDG,DE=DE,∠BED=∠GED, ∴.△BDE≌△GDE, 19.解：由题意，得 A=(2x+1)(4x-2x+1) 六BE=GE,BE=2BG=2DF =8x3+4x2-4x2-2x+2x+1 2 =8x3+1. 5期中检测卷（一） A+B=(8x3+1)+(2x+1)=8x3+2x+2, 0°0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙⊙0⊙0⊙0⊙000⊙0⊙0⊙8 ∴.当x=-1时，A+B=8×(-1)3+2×(-1)+2=-8. 20.(1)证明：∴.∠BEF=∠BAC=90° 0 快速对答案 .∠2+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°， 0 1~5 BDBBC 6~10 ADDDD d ∠2=∠ACF. 12.-413.-1614.50° 又.·∠BAD=∠CAF,AB=AC .△ADB≌△AFC. 15.108°或72 d (2)解：△ADB≌△AFC,.BD=CF. B23B4馆6升 .·BE⊥CF,.∴.∠BEC=∠BEF=90°. ·∠1+∠BCE=90°，∠2+∠F=90°，∠1=∠2， 8.D【解析】：min√/30，a=a,mim{√/30，b= ∴.∠BCF=∠F,∴.BC=BF,∴.CE=EF=1, √30，∴.a<√30，b>√30.：5<W30<6,a,b是两个 ∴.BD=CF=2. 连续的正整数，.a=5,b=6,.2a-b=2×5-6=4.故 21.(1)证明：连结0A, 选D. AC=BC,点F为AB的中点， 9.D【解析】由题意，得(x+1)2-(x-1)(1-x)=6,∴.(x+ .CF垂直平分AB, ..OA=OB. 1)2+(x-1)2=6,.2(x2+1)=6,.x2+1=3,.x2=2,解 DE垂直平分AC, 得x=2.故选D. ..OA=OC 10.D1 12.-4 .∴.OB=OC .△OBC为等腰三角形 13.-16【解析】(x+y)(x+y）=x2+2y-8)y2, (2)解：CA=CB,点F为AB的中点， .x+nxy+mxy+mny=x+(m+n)xy+mny=x+2xy- .CF平分∠ACB, 8y..m+n=2,mm=-8,.mn+mn=mn(m+n)=-8x ∴.∠BCF=∠ACF=23° .·OB=OC 2=-16. 14.50°【解析】设AC交BM于点O.:AC=CB,CD= ∠OBC=∠0CB=23°. CE,∠CAB=LCDE=50°，∴.LCAB=∠CBA=∠CDE= .'∠EDC=90° ∠CED=50°，.·.∠ACB=∠ECD=80°，·.∠ACE= ∠DEC=90°-∠DCE=44° ∠BCD,∴.△ACE≌△BCD,∴.AE=BD,∠CAE=∠CBD. ·.:∠OEC=∠OBE+∠BOE, 又.·∠AOM=∠BOC,.∴.∠AM0=∠OCB=80° .∠B0E=44°-23°=21o. ..∠BME=1OO°.作CJ⊥AE于点J,CK⊥BD于，点K, 22.(1)(x-y+1)2 △ACE≌△BCD,∴.CJ=CK,·.MC平分∠BME, (2)解：令x2-6x=A,则原式=A(A+18)+81=A2+ ∴.∠BMC=∠CME=50°. 18A+81=(A+9)2 15.108°或72°【解析】.AB=AC,∴.∠B=∠C=36° 故原式=(x2-6x+9)2=(x-3)4 分三种情况：①当AD=AE时，则∠ADE=∠AED= (3)证明：(n+1)(n+2)(n2+3n)+1 36°，∠AED>∠C,∴.此时不符合；②当DA=DE时， =(n+3n)(n+3n+2)+1 则∠DAE=∠DEA=72°，·∠BAC=108°，∴.∠BAD= =(n+3n)2+2(n2+3n)+1 36°，.∠BDA=108°：③当EA=ED时，则∠ADE =(n2+3n+1)2. ∠DAE=36°，.∴.∠BAD=72°，.∠BDA=72°.综上所 :n为正整数，.n2+3n+1也为正整数 述，∠BDA的度数为108°或72°. ∴若n为正整数，则式子(n+1)(n+2)(n2+3n)+1 16.解：(1)x2-a+x+a 的值一定是某一个整数的平方. =(x2-a2)+(x+a) 23.解：(1)全等，PC1PQ.理由如下： =(x-a)(x+a)+(x+a) 当t=1时，AP=BQ=1,BP=AB-AP=3=AC, =(x+a)(x-a+1). ·AC⊥AB,BD⊥AB,∴.∠A=∠B=90°. (2)ax+a2-2ab-bx+b2 (AP=BO. =(ax-bx）+(a2-2ab+b2) 在△ACP和△BPO中，{∠A=∠B =x(a-b)+(a-b)2 (AC=BP. =(a-b)(x+a-b). .△ACP≌△BPQ(SAS), 17.解：(1)原式=-2-(2- 4)5+ ..∠ACP=∠BPO 4 ∴.∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90° =-6-√2 ∠CPQ=180°-（∠APC+∠BPQ)=90° (2)由数轴可知a<0,b>0,1al>1b1, 即线段PC与线段PQ垂直. (2)存在. .a+b<0. ①若△ACP△BPO ..Va2-la+bl 则AC=BP,AP=BQ, =-a+(a+b) =b. 3=4-t解得=引 lt=xt. 三 18.解：原式=(x2-4xy+4y2+x2-4y2-4x2+2xy)÷(-2x） ②若△ACP≌△BQP,则AC=BQ,AP=BP =（-2x2-2xy)÷(-2x) (t=2. =x+y. 3=,解得{=3 12x+11+(y-1)2=0, 0t=4-t, x= 2 .2x+1=0,y-1=0, 解得x=了=1， 综上所述，存在x=1或x=使得△ACP 与 △BPQ全等.