4.3 相似多边形 同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

4.3 相似多边形-北师大版数学九年级上册 一、选择题 1．（2024九上·沈阳期中）下列四组图形中，不是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025九上·杭州期末）如图，照片E放大到F这种图形变化是（　　） A．相似 B．平移 C．旋转 D．轴对称 3．用一个2倍放大镜照菱形ABCD，下面说法中，错误的是（　　） A．放大后，边长是原来的2倍 B．放大后，∠B的大小是原来的2倍 C．放大后，周长是原来的2倍 D．放大后，面积是原来的4倍 4．（2025九上·义乌期中）华为MateXT非凡大师是全球首款三折叠屏手机，其折叠后的矩形与展开后的矩形可视为两个相似的矩形，如图所示是展开后的示意图，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 5．（2024九上·兴文期中）如图，小福在矩形的左边分割出正方形，然后在矩形的一组对边，上分别取中点，分割出矩形和矩形，最后把矩形对半分割成矩形和矩形．若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，六边形ABCDEF六边形GHI-JKL，相似比为2：1，则下列结论中正确的是(　　) A．∠B=2∠K B．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长 C．BC=2HI D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL 7．（2024九上·宁波期末）如图，矩形矩形，且点E、A、B三点共线，连结，，与交于点H，若要求两个矩形的相似比，则只需知道（　　） A． B． C． D． 8．如图，，，，是正方形边上的点，且，和将正方形剪切成四片进行重新拼接成四边形，若正方形和四边形的面积之比为，则（　　） A．2 B．3 C． D． 二、填空题 9．两个相似多边形的周长之比为1∶3，则它们面积之比为　 　． 10．（2024九上·市中区期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均为1，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是　 　． 11．（2024九上·郏县期末）书画经装裱后更便于收藏．如图，画心为长、宽的矩形，装裱后整幅画为矩形，两矩形的对应边互相平行，且与的距离、与的距离都等于当与的距离、与距离都等于，且矩形∽矩形，整幅书画最美观此时，的值为　 　 12．（2025九上·宁波期末）如图，取一张长为 ，宽为 的矩形纸片 ，将它对折两次后得到一张小矩形纸片．若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边 应满足的条件是　 　． 13．如图，图形可以看成某种特殊的“细胞”，每个图形分裂为全等的4个小“细胞”，分裂的小“细胞”与原图形相似，其相似比为　 　 三、解答题 14．如图所示，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'. （1）求的度数. （2）求边的长度. 15．如图，已知在矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F处，若四边形FDCE与矩形ABCD相似，求AD的长． 16．公园里有块草坪，其平面图如图所示，∠A=90°，其比例尺为1：2000，根据图中标注的数据(单位：cm)，求该草坪的实际周长和面积． 17．在一矩形ABCD的花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等．花坛AB=20米，AD=30米，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A'B'C'D'与矩形ABCD相似？请说明理由． 18．已知四边形ABCD∽四边形A1B2C1D1． （1）若∠A=40°，∠B=110°，∠C1=90°，求∠D的度数． （2）若AB=9，CD=15，A1B1=6，A1D1=4，B1C1=8，求四边形ABCD的周长． 19．根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等、四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比. （1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确. 命题①：各条边成比例的两个凸四边形相似. 命题②：三个角分别相等的两个凸四边形相似. 命题③：两个大小不同的正方形相似. 命题①为　 　命题，命题②为　 　命题，命题③为　 　命题.(填“真”或“假”) （2）如图所示，在四边形ABCD和四边形中，.求证：四边形ABCD与四边形相似. 20．阅读下面的短文并解答下列问题. 我们把相似图形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫作相似体.如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比(a：b). 设 S甲，S乙 分别表示这两个正方体的表面积，则 又设V甲，Vz 分别表示这两个正方体的体积，则 （1）下列几何体中，一定属于相似体的是(　　). A．两个球体 B．两个圆锥体 C．两个圆柱体 D．两个长方体 （2）请归纳出相似体的3条主要性质：①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于　 　；②相似体表面积之比等于　 　；③相似体体积之比等于　 　. （3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一个人的人体是相似体.某人上幼儿园时身高为1.1m，体重为 18kg，到了初三时，身高为1.65m，请问他的体重是多少(不考虑不同时期人体平均密度的变化)? 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3 相似多边形-北师大版数学九年级上册 一、选择题 1．（2024九上·沈阳期中）下列四组图形中，不是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图形的相似 【解析】【解答】解：A、两个图形形状相同，第二个图形是由第一个图形缩小若干倍得到的，符合相似形的定义，故不符合题意； B、 两个图形形状相同，第二个图形是由第一个图形缩小若干倍得到的，符合相似形的定义，故不符合题意； C、 两个图形形状相同，第二个图形是由第一个图形缩小若干倍得到的， 故不符合题意； D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意. 故答案为：D. 【分析】 形状相同，且一个图形可以看成是由另一个图形放大或缩小若干倍得到的两个图形就是相似图形，据此逐一判断得出答案. 2．（2025九上·杭州期末）如图，照片E放大到F这种图形变化是（　　） A．相似 B．平移 C．旋转 D．轴对称 【答案】A 【知识点】图形的相似 【解析】【解答】解：由题意可知，照片放大到，二者形状相同，大小不同，属于图形的相似变换， 故答案为：． 【分析】根据相似的定义解答即可． 3．用一个2倍放大镜照菱形ABCD，下面说法中，错误的是（　　） A．放大后，边长是原来的2倍 B．放大后，∠B的大小是原来的2倍 C．放大后，周长是原来的2倍 D．放大后，面积是原来的4倍 【答案】B 【知识点】菱形的性质；相似多边形 【解析】【解答】解：∵放大前后的菱形相似， ∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍，B符合题意， 故答案为：B． 【分析】由于放大前后的菱形相似，根据相似图形的性质解答即可. 4．（2025九上·义乌期中）华为MateXT非凡大师是全球首款三折叠屏手机，其折叠后的矩形与展开后的矩形可视为两个相似的矩形，如图所示是展开后的示意图，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】图形的相似；相似比 【解析】【解答】解：设，，则 由折叠得， 折叠前矩形为，其中， 折叠后矩形为，其中， ∵折叠后的矩形与展开后的矩形可视为两个相似的矩形， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：C . 【分析】设，，然后表示出各边的长度，再利用相似形的性质列出比例式，解比例式即可． 5．（2024九上·兴文期中）如图，小福在矩形的左边分割出正方形，然后在矩形的一组对边，上分别取中点，分割出矩形和矩形，最后把矩形对半分割成矩形和矩形．若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】公式法解一元二次方程；矩形的性质；正方形的性质；相似多边形 【解析】【解答】解：由题意得，，，． 设，，则，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵矩形与矩形相似， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴． 故答案为：D． 【分析】设FG=DG=a，DN=CN=b，由矩形、正方形的性质可得FD=2a，AB=EF=CD=2b，由相似多边形对应边成比例建立方程求出，解方程得，先求出，进而求倒即可得出答案. 6．如图，六边形ABCDEF六边形GHI-JKL，相似比为2：1，则下列结论中正确的是(　　) A．∠B=2∠K B．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长 C．BC=2HI D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL 【答案】C 【知识点】相似多边形 【解析】【解答】解：A、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL， 故本选项错误； B、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL， 相似比为2：1， ∴六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长 故本选项错误； C、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL， 相似比为2：1， 故本选项正确； D、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL， 相似比为2：1， ∴S六边形ABCDEF=4S六边形GHIJKL，故本选项错误. 故答案为：C. 【分析】根据相似多边形的性质对各选项进行逐一分析即可. 7．（2024九上·宁波期末）如图，矩形矩形，且点E、A、B三点共线，连结，，与交于点H，若要求两个矩形的相似比，则只需知道（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】矩形的性质；相似多边形 【解析】【解答】解：矩形矩形， 矩形与矩形的相似比是， 四边形为矩形， ， ， 要求两个矩形的相似比，则只需知道， 故选：C． 【分析】本题考查相似多边形的性质，相似三角形的判定和性质，矩形性质.根据矩形矩形，利用相似三角形的性质可得：相似比是，根据，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：，据此可求出答案． 8．如图，，，，是正方形边上的点，且，和将正方形剪切成四片进行重新拼接成四边形，若正方形和四边形的面积之比为，则（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【知识点】菱形的判定与性质；正方形的判定与性质；图形的剪拼；相似多边形；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：如图，连接， ∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形EHFG是菱形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形EHFG是正方形， ∴， 由拼接可知四边形MQPN和四边形A'B'C'D'都是正方形，，， ∴. ∵正方形ABCD和四边形MQPN的面积之比为， ∴正方形ABCD和四边形A'B'C'D'的面积之比为， ∴， ∴， ∴， ∴. 故答案为：A. 【分析】首先证明△AEG≌△BHE≌△CFH≌△DGF，根据全等三角形对应边相等得EG=FG=EH=HF，根据四边相等的四边形是菱形得四边形EHFG是菱形，然后判断出∠EGF=90°，根据有一个内角是直角的菱形是正方形得四边形EHFG是正方形，根据正方形的对角线互相垂直得GH⊥EF，由拼接可知四边形MQPN和四边形A'B'C'D'都是正方形，然后根据正方形面积计算方法及相似多边形的性质可得答案. 二、填空题 9．两个相似多边形的周长之比为1∶3，则它们面积之比为　 　． 【答案】 【知识点】相似多边形 【解析】【解答】相似多边形的周长的比是1：3， 周长的比等于相似比，因而相似比是1：3， 面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为1：9； 故答案为：1：9. 【分析】根据相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方可求解。 10．（2024九上·市中区期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均为1，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是　 　． 【答案】​​​​​​​ 【知识点】相似多边形 【解析】【解答】解：由相似多边形的性质可知，， ∴，解得，， 故答案为：． 【分析】根据相似图形性质即可求出答案. 11．（2024九上·郏县期末）书画经装裱后更便于收藏．如图，画心为长、宽的矩形，装裱后整幅画为矩形，两矩形的对应边互相平行，且与的距离、与的距离都等于当与的距离、与距离都等于，且矩形∽矩形，整幅书画最美观此时，的值为　 　 【答案】 【知识点】比例线段；相似多边形 【解析】【解答】解：由题意，，，， ∵矩形∽矩形， ∴， ∴ ， 解得， 【分析】由矩形∽矩形，得到，代入数据求解即可. 12．（2025九上·宁波期末）如图，取一张长为 ，宽为 的矩形纸片 ，将它对折两次后得到一张小矩形纸片．若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边 应满足的条件是　 　． 【答案】 【知识点】相似多边形 【解析】【解答】解：对折两次之后的小矩形纸片，此时的小矩形长为b，宽为。 ∵ 小矩形与原矩形相似，∴a：b=b：，其中a＞0，b＞0， 解得a=2b。 故答案为：a=2b。 【分析】本题首先确定，对折两次后得到一张小矩形纸片，这张小纸片的长长为b，宽为。然后根据“ 小矩形与原矩形相似 ”列出相似比，最后化简计算即可。 13．如图，图形可以看成某种特殊的“细胞”，每个图形分裂为全等的4个小“细胞”，分裂的小“细胞”与原图形相似，其相似比为　 　 【答案】1：2 【知识点】相似多边形 【解析】【解答】解：设分裂的小细胞与原图形的相似比是k， 则， ∴， 即相似比为1：2． 故答案为：1：2． 【分析】根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方进行计算即可． 三、解答题 14．如图所示，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'. （1）求的度数. （2）求边的长度. 【答案】（1）解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'， ∴∠C=∠C'=135° ∴∠B=360°-∠A-∠C-∠D=360°-60°-135°-96°=69°. （2）解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'， ∴得 解得. 【知识点】相似多边形 【解析】【分析】（1）相似多边形对应角相等，由此得，∠C=∠C'=135°，所以进而根据四边形的内角和定理可求出∠B的度数； （2）相似多边形对应边成比例，由此得，，从而代入计算可得答案. 15．如图，已知在矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F处，若四边形FDCE与矩形ABCD相似，求AD的长． 【答案】解：∵沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F处， ∴四边形ABEF是正方形． ∵AB=1，设AD=x，则FD=x-1，FE=1． ∵四边形FDCE与矩形ABCD相似， ∴， 解得x1=，x2=(负值舍去)， 经检验x1=是原方程的解． ∴AD的长为 【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似多边形 【解析】【分析】根据折叠可得四边形ABEF是正方形．然后设AD=x，根据四边形FDCE与矩形ABCD相似得到对应边成比例，求出x值即可解题. 16．公园里有块草坪，其平面图如图所示，∠A=90°，其比例尺为1：2000，根据图中标注的数据(单位：cm)，求该草坪的实际周长和面积． 【答案】解：如图，连结BD， ∵∠A=90°， ∴BD=， 在△BCD中，， ∴∠BDC=90°， 面积之和为0.0036m2，四边形ABCD的周长为3+4+12+13=32cm=0.32m， 则，解得S=1.44×104； ，解得C=640． 答：该草坪的实际周长为640m，实际面积1.44×104m2. 【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；相似多边形 【解析】【分析】连结BD，根据勾股定理求出BD长，然后利用勾股定理的逆定理求出∠BDC=90°，然后求出草坪的平面图形面积，利用比例尺求出实际面积解答即可. 17．在一矩形ABCD的花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等．花坛AB=20米，AD=30米，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A'B'C'D'与矩形ABCD相似？请说明理由． 【答案】解：当 矩形A'B'C'D'与矩形ABCD相似，有，即， ∴20(30+2x)=30(20+2y)， 解得 答：时矩形A'B'C'D'与矩形ABCD相似. 【知识点】图形的相似 【解析】【分析】根据题意可得，化简整理即可求出答案. 18．已知四边形ABCD∽四边形A1B2C1D1． （1）若∠A=40°，∠B=110°，∠C1=90°，求∠D的度数． （2）若AB=9，CD=15，A1B1=6，A1D1=4，B1C1=8，求四边形ABCD的周长． 【答案】（1）解：四边形四边形， （2）解：∵四边形四边形， 四边形ABCD的周长. 【知识点】相似多边形 【解析】【分析】（1）根据相似多边形对应角相等，求出∠C，再根据四边形内角和360°，求出 ∠D的度数 (2)根据相似多边形对应边成比例，列出比例式求出BC，AD即可. 19．根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等、四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比. （1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确. 命题①：各条边成比例的两个凸四边形相似. 命题②：三个角分别相等的两个凸四边形相似. 命题③：两个大小不同的正方形相似. 命题①为　 　命题，命题②为　 　命题，命题③为　 　命题.(填“真”或“假”) （2）如图所示，在四边形ABCD和四边形中，.求证：四边形ABCD与四边形相似. 【答案】（1）假；假；真 （2）证明：连接BD，B'D' ∵ ∴， ∴，∠DBC=∠D'B'C'， 又 ∠ABC=∠A'B'C'， ∴， ∴， ∴∠A=∠A'，， ∴∠D=∠D'， 又 ∠ABC=∠A'B'C'，∠C=∠C'，∠ADC=∠A'D'C'， ∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似. 【知识点】相似多边形；真命题与假命题 【解析】【解答】解：（1）两个角不同的菱形对应边成比例，但不相似，故命题①为假命题； 一个正方形和一个矩形对应角相等，但不相似，故命题②为假命题； 任意两个正方形对应边成比例，对应角相等，因此任意两个正方形都相似，故命题③为真命题； 故答案为：假；假；真； 【分析】（1）根据四个角分别相等、四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，假命题只需举反例即可；命题①举例菱形作为反例；命题②举一个矩形和正方形的反例即可；命题③直接根据定义可证得是真命题； （2）要证明两个四边形相似，题目已知三边对应成比例、两个角相等，因此只需要证明第四边也对应成比例、另外两个角相等；由此需要构造相似三角形，连接BD和B'D'，两边对应成比例且夹角相等，得，，由此进一步得到，从而得到第四条边也对应成比例，∠A=∠A'，两四边形有三个角对应相等，那么第四个角也对应相等，由此，两个四边形四个角分别相等、四条边成比例，因此四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似. 20．阅读下面的短文并解答下列问题. 我们把相似图形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫作相似体.如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比(a：b). 设 S甲，S乙 分别表示这两个正方体的表面积，则 又设V甲，Vz 分别表示这两个正方体的体积，则 （1）下列几何体中，一定属于相似体的是(　　). A．两个球体 B．两个圆锥体 C．两个圆柱体 D．两个长方体 （2）请归纳出相似体的3条主要性质：①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于　 　；②相似体表面积之比等于　 　；③相似体体积之比等于　 　. （3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一个人的人体是相似体.某人上幼儿园时身高为1.1m，体重为 18kg，到了初三时，身高为1.65m，请问他的体重是多少(不考虑不同时期人体平均密度的变化)? 【答案】（1）A （2）相似比；相似比的平方；相似比的立方 （3）解：设他的体重是xkg，体重之比等于身高之比的立方 ∵不同时期的同一个人的人体是相似体，某人上幼儿园时身高为1.1m，体重为 18kg，到了初三时，身高为1.65m， ∴ 解之：x=60.75 答：到了初三时，身高为1.65m，他的体重是60.75kg 【知识点】立体图形的概念与分类；图形的相似 【解析】【解答】解：（1）A、两个球体一定相似，故A符合题意； B、两个圆锥体不一定相似，故B不符合题意； C、两个圆柱体不一定相似，故C不符合题意； D、两个长方体不一定相似，故D不符合题意； 故答案为：A. （2）似体的主要性质：①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于相似比；②相似体表面积之比等于相似比的平方；③相似体体积之比等于相似比的立方. 故答案为：相似比 ；相似比的平方；相似比的立方. 【分析】（1）利用相似体的定义，对各选项逐一判断即可. （2）利用相似图形的性质及几何体的特点，写出符合题意的相似体的3条主要性质. （3）利用体重之比等于体积之比等于身高之比的立方，设他的体重是xkg，可得到关于x的方程，解方程求出x的值即可， 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $