11 单元培优卷(七)(第七章 证明)-【单元金卷】2025-2026学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

BL,和L平行，L,和L,不平行 10.如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB与 11单元培优卷（七） C.L,和L不平行，L和L,平行 CD平行，人射光线！与出射光线m平行（入射角等于反射角，如 单元立卷 (第七章) DL和L,不平行，L,和L不平行 ∠1=∠2).若人射光线1与镜面AB的夹角∠1=40°，则∠6的度 数学8年级-上册 时间：100分钟满分：120分 数为 A.409 B.80 C.99 D.1009 题号 三 总分 92 二、填空题（每小题3分，共15分 得分 11将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形 % 争分夺物巧复习，勤学苦练创住绩 第5题图 第6题图 式是 选择题（每小题3分，共30分）】 6如图是篱笆围栏抽象出几何图形的一部分，则下列条件中能判定 12.如图，若EF∥GCH,则图中标记的∠1，∠2，∠3，∠4中一定相等 1.下列命题中是真命题的是 直线1，∥1，的是 ( 的是 A.绝对值相等的两个数相等 B.两个无理数的和仍是无理数 A.∠1=∠3 B.∠1=∠2 C.同角的补角相等 C.∠2=∠4 D.∠3=∠4 D,有公共顶点且相等的两个角是对顶角 7.(玉林期中)如图，三根木棒a,b,e钉在一起，∠2=115°，现要使 2.下列图形中，由∠1=∠2能判定AB∥CD的是 a∥b,则∠1的大小为 () 第12题图 第13题图 A.85 B.75 C.659 D.50 13.如图，BC平分∠DBE.∠3=∠4.若∠1=48°，∠2=132°.则 ∠ADB= 14.如图1，一张四边形纸片ABCD,∠A=50°，∠C=150.若将其按 3.(凉山州中考)如图.直线a∥b,直线c是截线.若∠1=50°，则∠2= 照图2所示方式折叠后，恰好MD'∥AB,ND∥BC,则∠D的度 数为 A.409 B.45 C.509 D.559 第7题图 第8题图 8.一把直尺和一个含30角的直角三角板按如图方式放置，若∠1= 25°，则∠2= () A.35 B.45 C.25° D.30 对1 2 第3题图 第4题图 9.将一张边沿互相平行的纸条如图折叠后，若边AD∥BC,则翻折角 第14题图 第15题图 4.如图1，要过直线AB外一点P作直线AB的平行线，用尺规作图 的痕迹，如图2所示，则图2的作法中判定两直线平行的依据是 ∠1与∠2一定满足的关系是 15.如图.AB∥CD,连接AC,点P是AC上方一点，点E,F分别在 () AB,CD上，连接PE,PF,∠EPF的平分线PG交AC于点G,点H ( A.∠1=2∠2 B.∠1+∠2=90° 在AC上，连接PH,∠A+∠AHP=180°，下列结论：①CD∥PH:② A.同位角相等，两直线平行 C.∠1-∠2=30° D.2∠1-3∠2=309 ∠BEP+∠DFP=2LEPG:③∠FPH=LGPH.其中所有正确结论 B.内错角相等，两直线平行 A 的序号为 暴 C.同旁内角互补，两直线平行 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 鞋 D.对顶角相等，两直线平行 16.(8分)光线从空气射入水中时，传播方向会发生改变，这种现象 。5.如图为平面上五条直线L,L2,L2,L4,L相交的情形，根据图中标 叫做光的折射现象.同样，光线从水中射入空气中也会发生折射 示的角度，判断下列判断正确的是 州 现象如图是光线从空气射人水中，再从水中射入空气中的示意 A.L和L,平行，L2和L平行 第9题图 第10题图 图其中直线a,b都表示空气与水的分界面，已知∠1=∠4， 61 -62 63 ∠2=∠3.请你判断光线c与光线d是否平行？并说明理由. 19.(9分)如图，点D是△ABC边CB延长线上的一点，DE⊥AC于 ∠BCO与LACF的数量关系. 点E,点G是边AB上一点，∠AGF=∠ABC,∠BFG=∠D,试判断 京气5 BF与AC的位置关系，并说明理由. 23.(11分)(1)如图1，AB∥CD,∠PAB=130°，∠PCD=120°，求 ∠APC的度数. 天天同学看过图形后立即答出：∠APC=110°，请你补全他的推 17.(9分)如图，在△ABD和△ACE中，有①AB=AC:②AD=AE: 20.(9分)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,点P为线段AD上一 理依据. ③∠1=∠2：④BD=CE 点，EP⊥AD交BC的延长线于点E,若∠B=35°，∠ACB=85°，求 图2，过点P作PE∥AB. (1)以①②③④中的任意三个作为条件，第四个作为结论，可以 ∠E的度数 因为AB∥CD. 组成以下四个命题： 所以PE∥AB∥CD 命题一：条件是①②③，结论是④： 所以∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°( 命题二：条件是①②④，结论是③： 命题三：条件是②③④，结论是①： 因为∠PAB=130°，∠PCD=120° 命题四：条件是①3④，结论是② 所以∠APE=50°，∠CPE=60°， 其中真命题是 所以∠APC=∠APE+∠CPE=1I0 (2)请你选择一个真命题进行证明.你选择 (2)如图3，AD∥BC,当点P在A,B两点之间运动时，∠ADP= 6 21.(10分)如图，点B在点A的南偏西45方向.点C在点B的北 ∠a,LBCP=∠B,∠CPD与∠a,LB之间有何数量关系？请说 偏东80方向. 明理由。 (1)求∠ABC的度数： (3)在(2)的条件下，如果点P在A,B两点外侧运动时（点P与 (2)要使CD∥AB,点D应在点C的什么方向？ 点A,B,O三点不重合)，请你直接写出∠CPD与∠，∠B之间 的数量关系 18.(9分)如图，已知∠BAG与∠AGD互补，且∠1=∠2.求证： ∠E=∠F 台头X 完成下面的证明： 证明：∠BAG与∠AGD互补（已知）， ∴.∠BAG=∠ 22.(10分)如图1，点A.B分别在射线0M.ON上运动（不与点0 又：∠1=∠2（已知）， 重合)，AC,BC分别是∠BAO和∠ABO的平分线，延长BC交 ∴.∠BAG-∠1=∠AGC-∠2（等式的性质）. OM于点G .∠3=∠4， (1)若∠M0N=60°，则∠ACG= AE∥ (2)若∠MON=n°，求出∠ACG的度数：（用含n的代数式表示） .∠E=∠F( (3)如图2，若∠M0N=80°，过点C作CF∥0A交AB于点F,求 64 -65- 66甲、乙两人在距C村60km处相遇 ∠EPH+∠FPH=∠EPF.又：PG平分∠EPF, (3)当y1-y2=10时， ∴.∠EPF=2∠EPG,∴.∠BEP+∠DFP=2∠EPG, -60x+120-(-30x+90)=10,解得x=2 故②正确：由于∠GPH与∠FPH不一定相等，故③不 一定成立综上所述，正确结论的序号为①② 当y2-y1=10时， 16.解：c∥d. -30x+90-（-60x+120)=10,解得x=4 理由：：∠1=∠4， .∠5=∠6. 当甲到达C村，而乙距C村10km时， ∠2=∠3， .∠2+∠5=∠6+∠3. 30x+90=10,解得x=3 ,∠2+∠5和∠6+∠3是内错角， 综上所述，当：的值为号或或时，乙距离甲 .c∥d. 17.解：(1)命题一和命题二 10km. (2)命题二 证明：AB=AC,AD=AE,BD=CE, 11单元培优卷（七） .△ABD≌△ACE, .∠BAD=∠CAE, 快速对答案： .∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD 1~5 CACAC 6~10 BCABC d .∠1=∠2. 11.如果两个角是同一个角的余角，那么这两个 18.证明：.∠BAG与∠AGD互补（已知）， 角相等 12.∠3=∠413.66°14.809 0 ·.AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行) 0 15.①② 0 ∴.∠BAG=∠AGC(两直线平行，内错角相等) 又：∠1=∠2（已知）， 1.C2.A ∴.∠BAG∠1=∠AGC-∠2（等式的性质）， 3.C【解析】如图，因为a∥b,所以∠3=∠2.因为 ∠3=∠4， ∠1=∠3，所以∠2=∠1=50°.故选C. .AE∥FG(内错角相等，两直线平行)， ∴.∠E=∠F(两直线平行，内错角相等). 19.解：BF⊥AC 理由：∠AGF=∠ABC, 4.A5.C6.B7.C8.A ∴.FG∥BC,∴.∠GFB=∠FBC. 9.B【解析】由翻折可知，∠DAE=2∠1，∠CBF= ∠GFB=∠D,∴.∠FBC=∠D,∴.BF∥DE. 2∠2..AD∥BC,.∠DAB+∠CBA=180°，∴.∠DAE+ DE⊥AC,∴.BF⊥AC. ∠CBF=180°，即2∠1+2∠2=180°， 20.解：∠B=35°，∠ACB=85°， ∠1+∠2=90°.故选B. ∴.∠BAC=180°-∠B-∠ACB=60° 10.D【解析】因为入射角等于反射角，∠1=40°，所 以∠2=∠1=40°.因为∠1+∠2+∠5=180°，所以 :AD平分∠BAC,.∠DAC=1 ∠BAC=30°， 2 ∠5=180°-40°-40°=100°.因为入射光线1与出 ..∠ADC=180°-∠DAC-∠ACB=180°-30°- 射光线m平行，所以∠6=∠5=100°.故选D. 85°=65， 11.如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角 .∠E=90°-∠ADC=90°-65°=25 相等 21.解：(1)由题意得∠FAB=45°，∠EBC=80°， 12.∠3=∠413.66 ·.:AF∥BE,.∠ABE=∠FAB=45° 14.80°【解析】因为△MND'由△MWD翻折而成，所 ∴.∠ABC=∠EBC-∠ABE=35°. 以∠1=∠D'MN,∠2=∠D'NM.因为MD'∥AB, (2)点D在点C的南偏西45°方向. ND'∥BC,∠A=50°，∠C=150°，所以∠1+ 理由：∴CG∥BE,∴.∠GCB=∠EBC=80° ∠D'MN=∠A=50°，∠2+∠D'NM=∠C=150°，所 :∠GCD=45°，.∠BCD=∠GCB-∠GCD=35°， ..∠ABC=∠BCD,∴.CD∥AB 以∠1=∠D'MN=7∠A=25°，∠2=∠DNMM9 22.解：(1)60° 2∠C=75°，所以LD=180°-∠1-L2=800 (2).∠M0N=n°， .∴.∠BAO+∠AB0=180°-n°. :AC,BC分别是∠BAO和∠ABO的平分线， ·∠CBM= 2∠AB0,∠CAB= 2<BA0, .∠CBA+∠CAB= 15.①②【解析】：∠A+∠AHP=180°，∴.PH∥AB. 2(LAB0+LBA0)=90 n°、 AB∥CD,.CD∥PH,故①正确；易知∠BEP= ∠EPH,∠DFP=∠FPH,∴.∠BEP+∠DFP= ∠ACG=∠CBA+∠CAB=90°-Ln (3):CF∥OA,∴.∠ACF=∠CAG, △ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，所以∠BCD= ∠BCA+∠ACD=135°.故选A. '.∠BGO-∠ACF=∠BGO-∠CAG=∠ACG=90°- 2 7.168.D9.C 80°=50°. 10.D【解析】因为T≈3.14，所以T-1≈2.14，所以 23.解：(1)平行于同一条直线的两条直线平行 两 √4<T-1<9.因为32=√18,3=9，所以9< 直线平行，同旁内角互补 √18.因为3<√4，所以3<π-1<√9<√18，即 (2)∠CPD=∠a+∠B. 理由：如图1，过点P作PE∥AD交CD于点E. √3<T-1<3<32.故选D. AD∥BC,.AD∥PE∥BC, 11.D12.A13.A14.B15.A16.23 ∴.∠=∠DPE,∠B=∠CPE, 17.2018.-1 .∴.∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠a+∠B 19.2【解析】：√27与√m+1可以合并，且√m+1 是最简二次根式，√27与√m+I的最简二次根式 的被开方数相同.√/27=33，∴.m+1=3,解得 m=2. 20.1821.D22.C23.C 图1 24.D【解析】小：点M(3,-2)与点N(a,b)在同一条 (3)∠CPD=∠B-∠a或∠CPD=∠ax-∠B. 平行于x轴的直线上，∴b=-2.N到y轴的距离 解法提示：分两种情况①如图2，当点P在BA延 等于4,1al=4,得a=±4，.点N的坐标为(4， 长线上时， 过点P作PE∥AD交ON于点E. -2)或(-4，-2).故选D. 25.D26.227.B28.A29.D 同(2)可知∠=∠DPE,∠B=∠CPE, 30.C【解析】①当m,n同号时，即mm>0,同为正时 ∴.∠CPD=∠B-∠&； ②如图3，当点P在AB延长线上时，过点P作PE y=mnx过第一、三象限，y=mx+n经过第一、二、三 象限；同为负时y=mx过第一、三象限，y= ∥AD交ON于点E. mx+n经过第二、三、四象限；②当m,n异号时，即 同(2)可知∠ax=∠DPE,∠B=∠CPE, mn<0,则y=mnx过第二、四象限.m>0,n<0时，y= ..∠CPD=∠a-∠B. 综上所述，∠CPD=∠B-Lx或∠CPD=∠ax-∠B. mx+n经过第一、三、四象限；m<0,n>0时，y=mx+ n经过第一、二、四象限.故选C. 31.B【解析】小：△OAB是等边三角形，∴.OA=OB= 2,A(2,0).如图，过点B作BD⊥OA,则OD=1, BD=√OB2-0D2=3,.点B(1,3),则点 B'(-1,√3).设直线AB'的表达式为y=x+b.得 k= 3 12专项集训卷（一）】 3=-+b,解得 3 故直线AB'的表达式为 0=2k+b, 23 1.C2.A3.B b= 3 4.C【解析】因为AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC= √32 90°.因为AB=10,BD=8,所以AD=√JAB2-BD2= y=- 3t 3故选B √102-82=6.因为CD=6,∠ADC=90°，所以AC= √AD2+CD2=√62+6=62.故选C. 5.D【解析】如图，过点D作DE⊥AB于E.则CD= BE,DE=BC=1.2米，在Rt△ADE中，AD=1.5米， 根据勾股定理，得AE=√AD-DE=0.9(米)，所以 BE=AB-AE=2.5-0.9=1.6(米)，所以CD=BE=1.6 32.y=-x-2(答案不唯一) 米.故选D 33.(-2,0)34.4035.④36.A37.C 38.D39.C40.13 41./m=5, (n=-2 【解析】方程红妆可支形 (a,(2m-6)b,n=c2h2 为，(2m-6)h-n-)6:关于，y的方程 6.A【解析】因为AB=BC=3,∠B=90°，所以 (a2(2m-6)+b2(-n-1)=c2. ∠BAC=∠BCA=45°，AC=√AB+BC=√32+32=3 组+6=61'的唯一解是{任=4， la,x+bzy=c2 Fy=1, V2.因为CD=√7，DA=5,所以AC2+CD2=(32)2+ (7)2=25,AD2=52=25,所以AC2+CD2=AD,所以 解 -n-1=1,