专题06：多边形的面积（解决问题讲义）数学人教版五年级上册

人教版五年级数学上册解决问题 专题06：多边形的面积 （方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习） 考点01：平行四边形面积 1、面积公式：S=ah（S为面积，a为底，h为这条底对应的高）。 2、推导逻辑：把平行四边形沿高剪开，平移后拼成一个等积的长方形，长方形的长=平行四边形的底，长方形的宽=平行四边形的高，根据长方形面积=长×宽，推导得出平行四边形面积公式。 3、常用变形： a=S÷h（已知面积和高求底）； h=S÷a（已知面积和底求高）。 【名师点拨】底与高必须对应：高是垂直于所选底的线段，不能用非对应底的高计算。 考点02：三角形面积 1、面积公式：S=ah÷2（S为面积，a为底，h为这条底对应的高）。 2、推导逻辑：两个完全相同的三角形可拼成一个平行四边形，平行四边形的底=三角形的底，平行四边形的高=三角形的高，三角形面积=平行四边形面积÷2，由此推导公式。 3、常用变形： a=2S÷h（已知面积和高求底）； h=2S÷a（已知面积和底求高）。 【名师点拨】 （1）“÷2”不可遗漏：这是最易错点，忘记除以2会导致结果是实际面积的2倍。 （2）底与高的对应关系：高必须垂直于底，钝角三角形的高可能在三角形外部，需正确识别并测量。 （3）拼接前提是“完全相同”：只有形状、大小完全一致的三角形才能拼成平行四边形，不能用不同的三角形拼接推导。 考点03：梯形面积 1、面积公式：S=(a+b)h÷2（S为面积，a为上底，b为下底，h为上底和下底之间的高）。 2、推导逻辑：两个完全相同的梯形可拼成一个平行四边形，平行四边形的底=梯形的上底+下底，平行四边形的高=梯形的高，梯形面积=平行四边形面积÷2，进而推导公式。 3、常用变形： h=2S÷(a+b)（已知面积、上底和下底求高）； a=2S÷h−b（已知面积、下底和高求上底）。 【名师点拨】 （1）上底与下底的区分：上底和下底是梯形中平行的两条边，与长度长短无关（短的可作上底，长的可作下底），避免混淆。 （2）高是 两底之间的垂线段”：高垂直于上底和下底，与腰无关，不能将腰长当作高代入公式。 （3）“÷2”不可省略：同三角形面积公式，忘记除以2会导致结果翻倍。 （4）等腰梯形的特殊性：等腰梯形的两腰相等，两底角相等。 考点04：组合图形的面积 1、定义：由两个或多个基本图形（平行四边形、三角形、梯形、长方形、正方形等）组合而成的图形。 2、解题方法： （1）拆分法：将组合图形拆为几个基本图形，求面积和。 （2）割补法：通过切割、平移，将组合图形补成一个完整的基本图形，求面积差。 3、核心思路：先拆分/割补，再分别计算基本图形面积，最后求和或差。 【名师点拨】 （1）拆分不重复、不遗漏：拆分时按“明显边界”或“对称原则”，确保每个基本图形无重叠、无遗漏。 （2）找准对应条件：拆分后需明确每个基本图形的底、高、边长等关键条件，必要时通过整体与部分的关系推导。 （3）优先选择简便方法：同一组合图形可能有多种拆分方式，优先选择计算步骤少、数据简单的方法。 考点1：平行四边形面积 【典型例题】有一块地（如下图）被分成三种形状，分别种了三种蔬菜，计算这块地的面积。 【答案】600平方米 【分析】观察图形可知，这块地是一个底为（15＋10＋5）米、高为20米的平行四边形； 根据平行四边形的面积＝底×高，代入数据计算，即可求出这块地的面积。 【详解】（15＋10＋5）×20 ＝30×20 ＝600（平方米） 答：这块地的面积是600平方米。 【练习1】李大爷家有一块平行四边形地（如图），每平方米土地大约可收黄豆0.75千克，这块地一共可收黄豆多少千克？ 【答案】420千克 【分析】观察题意可知，平行四边形的底是20米，对应的高是28米，根据平行四边形的面积＝底×高，用20×28即可求出平行四边形的面积，再乘0.75千克，即可求出这块地收黄豆的总质量。 【详解】20×28×0.75 ＝560×0.75 ＝420（千克） 答：这块地一共可收黄豆420千克。 【练习2】一块平行四边形的广告牌，底边长5米，高4米。如果每平方米大约要用油漆0.34千克，油漆工人带来15千克油漆，要刷完这块广告牌的正反面（不包括侧面），这些油漆够吗？ 【答案】够 【分析】广告牌的底和高已知，利用“平行四边形的面积＝底×高”先求出广告牌一面的面积，再乘2求出正反面的面积，用每平方米的用漆量乘广告牌的面积求出总的用漆量，将得数与15千克相比，就可以知道这些油漆够不够。据此解答。 【详解】（5×4×2）×0.34 ＝40×0.34 ＝13.6（千克） 13.6千克＜15千克 答：要刷完这块广告牌的正反面（不包括侧面），这些油漆够。 考点2：三角形面积 【典型例题】一块三角形菜地的面积是，底是4m，这条底对应的高是（ ）m；另一块平行四边形菜地和它等底等高，这块平行四边形菜地的面积是（ ）。 【答案】 3 12 【分析】根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，那么h＝2S÷a，等底等高的平行四边形的面积是三角形面积的2倍，据此解答。 【详解】6×2÷4 ＝12÷4 ＝3（m） 6×2＝12（m2） 这条底对应的高是3m，这块平行四边形菜地的面积是12m2。 【练习1】一块三角形玻璃，它的底是12.5分米，高是5.6分米。每平方分米玻璃的价格是68元，买这块玻璃要用多少钱？ 【答案】2380元 【分析】根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，求出这块三角形玻璃的面积，再乘68，即可求出买这块玻璃需要的钱数。 【详解】12.5×5.6÷2×68 ＝70÷2×68 ＝35×68 ＝2380（元） 答：买这块玻璃要用2380元。 【练习2】一张长方形的铁板长1.6米，宽1.2米，从长边的中点分别到两个宽边的中点连条线，沿这两条线剪下来两个角。剩下图形的面积是多少？ 【答案】1.44平方米 【分析】由题意可知，剩下的图形的面积等于长方形的面积减去两个空白三角形的面积，根据长方形的面积公式：S＝ab，三角形的面积公式：S＝ah÷2，据此代入数值进行计算即可。 【详解】1.6×1.2－（1.6÷2）×（1.2÷2）÷2×2 ＝1.92－0.8×0.6÷2×2 ＝1.92－0.48 ＝1.44（平方米） 答：剩下图形的面积是1.44平方米。 考点3：梯形面积 【典型例题】七里镇新挖一条水渠，横截面是一个梯形，渠底宽2.4米，渠口宽4.6米，渠深1.5米。它的横截面的面积是多少平方米？    【答案】5.25平方米 【分析】根据题意，水渠的横截面是一个梯形，先在图中标出梯形的上底、下底和高，然后根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算，即可求出这个水渠横截面的面积。 【详解】如图：   （2.4＋4.6）×1.5÷2 ＝7×1.5÷2 ＝10.5÷2 ＝5.25（平方米） 答：它的横截面的面积是5.25平方米。 【练习1】王伯伯用篱笆靠墙围一个梯形的菜地（如图），已知这块地的面积是234平方米，篱笆总长是多少米？ 【答案】51米 【分析】观察图形可知，篱笆的长度是由上底、下底和高12米组成的，已知这块地的面积是234平方米，根据梯形的面积×2÷高＝上底＋下底，代入数据即可求出上下底的和，再加上12米即可。 【详解】234×2÷12＋12 ＝468÷12＋12 ＝39＋12 ＝51（米） 答：篱笆总长是51米。 【练习2】有一块梯形的菜地，上底是32米，下底是48米，高是30米。如果每平方米收29千克白菜，这块地一共可以收多少千克白菜？ 【答案】34800千克 【分析】先根据梯形的面积公式S＝（上底＋下底）×高÷2，代入相关数据，求出梯形菜地的面积，再乘每平方米收白菜的数量，即为这块地一共可以收多少千克白菜，据此作答。 【详解】根据上述分析可得： （32＋48）×30÷2 ＝80×30÷2 ＝2400÷2 ＝1200（平方米） 1200×29＝34800（千克） 答：这块地一共可以收34800千克白菜。 考点4：组合图形的面积 【典型例题】张师傅要加工一个机器零件，零件的横截面如下图。这个机器零件的横截面的面积是多少？ 【答案】54平方厘米 【分析】如下图，把零件横截面的缺口处补全，那么零件横截面的面积＝长方形的面积－梯形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算求解。 【详解】10－3－3＝4（厘米） 10×6－（4＋2）×2÷2 ＝60－6×2÷2 ＝60－6 ＝54（平方厘米） 答：这个机器零件的横截面的面积是54平方厘米。 【练习1】小明家的一面外墙墙皮脱落，需重新粉刷，每平方米要用0.5千克涂料，粉刷这面墙需要多少千克涂料？ 【答案】11.5千克 【分析】观察图形可知，这面墙的面积＝长方形的面积＋三角形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算，求出这面墙的面积，再乘每平方米用涂料的质量，即是粉刷这面墙需要涂料的总质量。 【详解】5×4＋5×1.2÷2 ＝20＋6÷2 ＝20＋3 ＝23（平方米） 23×0.5＝11.5（千克） 答：粉刷这面墙需要11.5千克涂料。 【练习2】学校新开辟了一片地用来做科学小农场，五年级3个班各自得到一片面积一样的土地，中间有两条宽0.5米，长6.6米的小路（形状是平行四边形），每个班分到了多少平方米的土地？ 【答案】17.2平方米 【分析】根据题意，两条小路是两个底为0.5米，高为6米的平行四边形；从图中可知，空白部分的面积＝长方形的面积－2个平行四边形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，平行四边形的面积＝底×高，代入数据计算，求出空白部分的面积，也是五年级3个班的土地总面积；再用3个班的土地总面积除以3，即是平均每个班分到的面积。 【详解】（9.6×6－0.5×6×2）÷3 ＝（57.6－3×2）÷3 ＝（57.6－6）÷3 ＝51.6÷3 ＝17.2（平方米） 答：每个班分到了17.2平方米的土地。 夯实基础 1．一张三角形彩纸的面积是，底是，它的高是（     ）cm。 A．4 B．8 C．12 【答案】B 【分析】根据三角形的高＝面积×2÷底，列式计算即可。 【详解】48×2÷12＝8（cm） 它的高是8cm。 故答案为：B 2．如图，像风车的阴影部分的面积是（     ）cm2。 A．4 B．1 C．2 【答案】B 【分析】观察图示，可知风车是由4个相同的直角三角形组成，根据三角形面积公式，先计算出一个直角三角形的面积，然后再乘4即可，据此解决。 【详解】0.5×1÷2×4 ＝0.25×4 ＝1（cm2） 故答案为：B 3．如图，三角形菜地面积300平方米，从A点修一条最短的水沟到BC边，这条水沟距离是（     ）。 A．300÷x B．300÷2÷x C．300×2÷x 【答案】C 【分析】BC边所对的角的顶点A到这条边的最短距离为底边所对应的高，利用“三角形的高＝三角形的面积×2÷三角形的底”即可求得。 【详解】根据题意可得： 从A点修一条最短的水沟到BC边，这条水沟距离是300×2÷x。 故答案为：C 4．一张梯形手工纸的上底是12cm，下底是20cm，高是8cm。林林要从这张纸里剪一个最大的平行四边形，这个平行四边形的面积是（     ）平方厘米。 A．48 B．160 C．96 【答案】C 【分析】在梯形里剪最大的平行四边形，平行四边形的底＝这个梯形的上底，平行四边形的高＝这个梯形的高，根据平行四边形面积＝底×高，列式计算即可。 【详解】12×8＝96（平方厘米） 这个平行四边形的面积是96平方厘米。 故答案为：C 5．一堆圆木，最顶层5根，最底层14根，每相邻两层相差1根，这堆圆木一共有（     ）根。 A．94 B．95 C．96 【答案】B 【分析】这堆圆木堆成一个梯形，求这堆圆木一共有多少根，就是求梯形的面积；根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，其中上底是5，下底是14，每相邻两层相差1根，这堆圆木的层数是（14－5＋1），也就是梯形的高，把数据代入公式即可求出这堆圆木的根数。 【详解】（5＋14）×（14－5＋1）÷2 ＝19×10÷2 ＝190÷2 ＝95（根） 这堆圆木一共有95根。 故答案为：B 6．一块三角形稻田的底是8米，高是12米，它的面积是（ ）平方米；紧挨着，有一块与它等底等高的平行四边形西瓜地，请你算一算，西瓜地的面积是（ ）平方分米。 【答案】 48 96 【分析】三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，据此解答。 【详解】8×12÷2＝48（平方米） 8×12＝96（平方米） 则稻田的面积是48平方米，西瓜地的面积是96平方米。 7．用63m长的篱笆靠墙围一个梯形养鸡场（如图）。养鸡场占地面积是（ ）m2。 【答案】430 【分析】通过观察图形可知，一面靠墙，用篱笆围成一个直角梯形，梯形的高是20m，首先求出梯形上下底之和，再根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，把数据代入公式解答。 【详解】（63－20）×20÷2 ＝43×20÷2 ＝860÷2 ＝430（m2） 即养鸡场占地面积是430m2。 8．如图的梯形是由一个长方形折叠而成，这个梯形的高是（ ）cm，面积是（ ）cm2。 【答案】 4 40 【分析】由题意可知，梯形的高等于长方形的宽，即4cm；梯形的下底等于长方形的长，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据即可求解。 【详解】（7＋3＋7＋3）×4÷2 ＝（10＋7＋3）×4÷2 ＝（17＋3）×4÷2 ＝20×4÷2 ＝80÷2 ＝40（cm2） 即这个梯形的高是4cm，面积是40cm2。 9．如图：利用房屋的一面墙，用37.5米的篱笆围成一个梯形菜地，这块菜地的面积是（ ）平方米。 【答案】90 【分析】根据题意和图形，可知菜地是一个直角梯形，梯形的上底、下底和腰7.5米是用篱笆围成，那么用篱笆的全长减去7.5米，即是梯形的上底与下底之和； 然后根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算，即可求出这块菜地的面积。 【详解】（37.5－7.5）×6÷2 ＝30×6÷2 ＝180÷2 ＝90（平方米） 这块菜地的面积是90平方米。 10．一个平行四边形草坪，它的底是6分米，高是1.4分米，它面积是（ ）平方分米。与它等底等高的三角形的面积是（ ）平方分米。 【答案】 8.4 4.2 【分析】根据平行四边形的面积＝底×高，代入数据即可求出平行四边形的面积，三角形与平行四边形等底等高，三角形的底是6分米，高是1.4分米，再根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据即可求出三角形的面积。 【详解】6×1.4＝8.4（平方分米） 6×1.4÷2＝4.2（平方分米） 即平行四边形的面积是8.4平方分米。与它等底等高的三角形的面积是4.2平方分米。 11．一块直角梯形的菜地，它的下底是40米，如果上底增加30米，这块菜地就变成了正方形。原来梯形的面积是（ ）平方米。 【答案】1000 【分析】正方形的四条边都相等，梯形的上底为（40－30）米，下底为40米，高为40米，利用“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”求出原来梯形的面积，据此解答。 【详解】 （40－30＋40）×40÷2 ＝50×40÷2 ＝2000÷2 ＝1000（平方米） 所以，原来梯形的面积是1000平方米。 12．一块三角形麦地，底是30m，高是25m，如果每平方米收小麦0.7kg。这块麦地可以收小麦（ ）kg。 【答案】262.5 【分析】根据“三角形的面积＝底×高÷2”计算出这块三角形麦地的面积，然后用每平方米可收小麦的重量乘小麦地的面积，即可求出这块麦地可收小麦多少吨，解答即可。 【详解】三角形麦地的面积：30×25÷2 ＝750÷2 ＝375（m2） 375×0.7＝262.5（kg） 这块麦地可以收小麦262.5kg。 13．如图（单位：dm），要用铁丝围成这样一个平行四边形，接头不计至少要用（ ）dm长的铁丝。    【答案】9 【分析】根据平行四边形面积公式，先用底2.5乘高1.6，求出这个平行四边形的面积，再将其除以高2，求出对应的底。最后，将平行四边形的相邻两条边相加再乘2，求出至少要用多长的铁丝。 【详解】2.5×1.6÷2 ＝4÷2 ＝2（dm） （2.5＋2）×2 ＝4.5×2 ＝9（dm） 则至少要用9dm长的铁丝。 14．张浩将梯形ABCD通过割补的方法，转化成三角形ABF（过程如下图）。已知三角形ABF的面积是24cm2，则梯形ABCD的面积是（ ）cm2，CF的长是（ ）cm。 【答案】 24 4 【分析】根据用三角形面积推导梯形面积的过程，三角形的面积等于梯形的面积，三角形的底是梯形的上底和下底之和，CF是梯形的上底，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，所以用梯形面积×2÷高－下底即可求出CF的长度。 【详解】根据分析得，三角形ABF的面积＝梯形ABCD的面积＝24cm2； 24×2÷4－8 ＝48÷4－8 ＝12－8 ＝4（cm） 即CF的长是4cm。 培优拔高 15．一块三角形的玻璃，量得它的底长是1.5米，高是1.2米，如果每平方米的玻璃的价格是38元，买这块玻璃至少要多少元？ 【答案】34.2元 【分析】根据三角形面积＝底×高÷2，先求出这块玻璃的面积，玻璃面积×每平方米价格＝需要的钱数，据此列式解答。 【详解】1.5 ＝0.9×38 ＝（元） 答：买这块玻璃至少要34.2元。 16．千岛湖亚运村路口左侧要修建一块平行四边形的广告牌，底为9.82米，高为5.7米。如果要装饰这块广告牌，每平方米需用油漆0.5千克。现有一桶30千克的油漆，够用吗？ 【答案】够 【分析】根据平行四边形的面积公式：S＝ah，即用9.82乘5.7即可求出这块广告牌的面积，再用这块广告牌的面积乘每平方米需用油漆的重量，即可求出共需要多少千克的油漆；最后再与30千克对比即可。 【详解】9.82×5.7＝55.974（平方米） 55.974×0.5＝27.987（千克） 27.987千克＜30千克 答：现有一桶30千克的油漆，够用了。 17．一块三角形装饰板的底是3米，高是2.5米，把它的正、反两面涂漆。涂漆面积是多少平方分米？ 【答案】750平方分米 【分析】求三角形装饰板正、反两面涂漆的面积，就是求三角形装饰板的面积，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一面涂漆的面积，再乘2即可。注意单位的换算：1平方米＝100平方分米。 【详解】3×2.5÷2×2 ＝7.5÷2×2 ＝7.5（平方米） 7.5平方米＝750平方分米 答：涂漆面积是750平方分米。 18．一个养猪场的平面图如下，这个养猪场一面靠墙，其它三面用铁丝网围起来，已知铁丝网的长度是550米，求这个养猪场的面积。 【答案】30000平方米 【分析】观察图形可知，养猪场是一个梯形，梯形的高是150米，一面靠墙，铁丝网的长度相当于梯形的上底和下底以及高的和，所以梯形的上底与下底的和等于（550－150）米，根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，即可求出养猪场面积。 【详解】（550－150）×150÷2 ＝400×150÷2 ＝60000÷2 ＝30000（平方米） 答：这个养猪场的面积是30000平方米。 19．一块平行四边形的麦田，底是200米，高为100米，一共收小麦13720千克。这块麦田平均每公顷收小麦多少千克？ 【答案】6860千克 【分析】根据平行四边形面积＝底×高，代入数据，求出这块麦田的面积，1公顷＝10000平方米，进行单位换算，再用收的小麦数量除以麦田的面积，即可解答。 【详解】200×100＝20000（平方米） 20000平方米＝2公顷 13720÷2＝6860（千克） 答：这块麦田平均每公顷收小麦6860千克。 20．一块近似平行四边形的桃园，被一块长方形的石子路分成了两块（如图），已知平行四边形的底是39米，高是24米，小路宽1米。如果平均每棵桃树占地5平方米，这个桃园大约有多少棵桃树？（结果保留整数） 【答案】182棵 【分析】通过平移，两边可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底＝原来的底－小路宽，平行四边形的高不变，根据平行四边形面积＝底×高，求出桃园面积，桃园面积÷每棵桃树占地面积＝桃树棵数，结果根据四舍五入法保留近似数即可。 【详解】（39－1）×24÷5 ＝38×24÷5 ＝912÷5 ≈182（棵） 答：这个桃园大约有182棵桃树。 21．在一块梯形草坪（如下图）中修了一条平行四边形的小路，求草坪的实际面积是多少平方米？ 【答案】142.5平方米 【分析】根据题意，用梯形的面积－平行四边形的面积＝草坪的实际面积，平行四边形的高刚好等于梯形的高，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2；平行四边形面积＝底×高，将数值代入计算即可。 【详解】（8＋17）×15÷2－3×15 ＝25×15÷2－3×15 ＝375÷2－3×15 ＝187.5－45 ＝142.5（平方米） 答：草坪的实际面积是142.5平方米。 思维拓展 22．如图所示，正方形ABCD与等腰直角三角形EFG（EF＝EG）放在同一直线上，现在正方形和三角形都以每秒2厘米的速度沿直线匀速相向而行，（ ）秒后，C点和F点刚好重合；第5.5秒时，重叠部分的面积是（ ）平方厘米。 【答案】 4 18 【分析】C点和F点的距离是16cm，根据相遇问题中，路程÷速度和＝时间，据此可求出C点和F点重合的时间；第5.5秒时，重叠部分的面积是底为6cm，高为6cm的三角形，根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数值进行计算即可。 【详解】16÷（2＋2） ＝16÷4 ＝4（秒） 6×6÷2 ＝36÷2 ＝18（平方厘米） 则4秒后，C点和F点刚好重合；第5.5秒时，重叠部分的面积是18平方厘米。 23．如图，在三角形ABC中，D是边AB的中点，可知AD＝BD，则三角形BCD与三角形ACD的面积相等。 （1）如图①，在三角形ABC中，D、E分别是AB和AC两边的中点。已知三角形ADE的面积是2cm2，则三角形ABC的面积是（ ）cm2。 （2）如图②，在三角形ABC中，把AB边三等分、AC边四等分。已知三角形ADE的面积是2cm2，则三角形ABC的面积是（ ）cm2。 （3）如图③，在平行四边形ABCD中，把AB边五等分、AD边六等分。已知平行四边形ABCD的面积是15cm2，则三角形AEF的面积是（ ）cm2。 【答案】（1）8；（2）24；（3）0.25 【分析】（1）根据题意，推理出因为E是AC边的中点，所以三角形ADE的面积等于三角形CDE的面积。又因为D是AB边的中点，所以三角形BCD与三角形ACD的面积相等。那么用三角形ADE的面积乘2，先求出三角形ACD的面积。再将三角形ACD的面积乘2，即可求出三角形ABC的面积； （2）同理（1）可推出，把AC边四等分，那么三角形ADE的面积是三角形ACD面积的四分之一。把AB边三等分，那么三角形ACD是三角形ABC的三分之一。据此，将三角形ADE的面积先乘4，求出三角形ACD的面积。再将三角形ACD的面积乘3，求出三角形ABC的面积； （3）将平行四边形的面积除以2，先求出三角形ABD的面积。再将三角形ABD面积除以5，求出三角形ADE的面积。最后再将三角形ADE的面积除以6，即可求出三角形AEF的面积。 【详解】（1）2×2×2 ＝4×2 ＝8（cm2） 所以，此时三角形ABC的面积是8cm2。 （2）2×4×3 ＝8×3 ＝24（cm2） 所以，此时三角形ABC的面积是24cm2。 （3）15÷2÷5÷6 ＝7.5÷5÷6 ＝1.5÷6 ＝0.25（cm2） 所以，此时三角形AEF的面积是0.25cm2。 24．王叔叔将一块梯形农地分成了两部分（如图所示），梯形部分种植了卷心菜，平行四边形的农地中种植了黄瓜。王叔叔每天绕这块农地（）走一圈刚好是70米。这块农地约有多少面积？（得数保留整数） 【答案】184平方米 【分析】已知平行四边形的底是12米，对应的高是8米，根据平行四边形的面积＝底×高，求出平行四边形的面积；又已知平行四边形的另一条底是12.5米，根据平行四边形的高＝面积÷底，求出这个底对应的高，也是梯形农地的高；已知绕梯形农地走一圈是70米，根据梯形的上、下底之和＝周长－梯形两条腰的长度，再根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，求出这块农地的面积，计算结果按“四舍五入”法保留整数。 【详解】平行四边形的面积： 12×8＝96（平方米） 平行四边形的底边12.5米对应的高（梯形的高）： 96÷12.5＝7.68（米） 梯形ABCD的上、下底之和： 70－10－12 ＝60－12 ＝48（米） 梯形ABCD的面积： 48×7.68÷2 ＝368.64÷2 ≈184（平方米） 答：这块农地约有184平方米。 25．如图，大三角形的空白部分是一个正方形，三角形甲与三角形乙的面积和是39平方厘米，求大三角形ABC的面积。（提示：可以用拼一拼转化的方法，也可以用方程） 【答案】75平方厘米 【分析】把正方形的边长设为未知数，三角形甲的面积＝9厘米×正方形的边长，三角形乙的面积＝4厘米×正方形的边长，等量关系式：三角形甲的面积＋三角形乙的面积＝39平方厘米，求出小正方形的边长最后利用三角形的面积公式求出大三角形的面积，据此解答。 【详解】解：设正方形的边长为x厘米。 4x÷2＋9x÷2＝39 2x＋4.5x＝39 6.5x＝39 x＝39÷6.5 x＝6 （6＋9）×（6＋4）÷2 ＝15×10÷2 ＝150÷2 ＝75（平方厘米） 答：大三角形ABC的面积为75平方厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版五年级数学上册解决问题 专题06：多边形的面积 （方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习） 考点01：平行四边形面积 1、面积公式：S=ah（S为面积，a为底，h为这条底对应的高）。 2、推导逻辑：把平行四边形沿高剪开，平移后拼成一个等积的长方形，长方形的长=平行四边形的底，长方形的宽=平行四边形的高，根据长方形面积=长×宽，推导得出平行四边形面积公式。 3、常用变形： a=S÷h（已知面积和高求底）； h=S÷a（已知面积和底求高）。 【名师点拨】底与高必须对应：高是垂直于所选底的线段，不能用非对应底的高计算。 考点02：三角形面积 1、面积公式：S=ah÷2（S为面积，a为底，h为这条底对应的高）。 2、推导逻辑：两个完全相同的三角形可拼成一个平行四边形，平行四边形的底=三角形的底，平行四边形的高=三角形的高，三角形面积=平行四边形面积÷2，由此推导公式。 3、常用变形： a=2S÷h（已知面积和高求底）； h=2S÷a（已知面积和底求高）。 【名师点拨】 （1）“÷2”不可遗漏：这是最易错点，忘记除以2会导致结果是实际面积的2倍。 （2）底与高的对应关系：高必须垂直于底，钝角三角形的高可能在三角形外部，需正确识别并测量。 （3）拼接前提是“完全相同”：只有形状、大小完全一致的三角形才能拼成平行四边形，不能用不同的三角形拼接推导。 考点03：梯形面积 1、面积公式：S=(a+b)h÷2（S为面积，a为上底，b为下底，h为上底和下底之间的高）。 2、推导逻辑：两个完全相同的梯形可拼成一个平行四边形，平行四边形的底=梯形的上底+下底，平行四边形的高=梯形的高，梯形面积=平行四边形面积÷2，进而推导公式。 3、常用变形： h=2S÷(a+b)（已知面积、上底和下底求高）； a=2S÷h−b（已知面积、下底和高求上底）。 【名师点拨】 （1）上底与下底的区分：上底和下底是梯形中平行的两条边，与长度长短无关（短的可作上底，长的可作下底），避免混淆。 （2）高是 两底之间的垂线段”：高垂直于上底和下底，与腰无关，不能将腰长当作高代入公式。 （3）“÷2”不可省略：同三角形面积公式，忘记除以2会导致结果翻倍。 （4）等腰梯形的特殊性：等腰梯形的两腰相等，两底角相等。 考点04：组合图形的面积 1、定义：由两个或多个基本图形（平行四边形、三角形、梯形、长方形、正方形等）组合而成的图形。 2、解题方法： （1）拆分法：将组合图形拆为几个基本图形，求面积和。 （2）割补法：通过切割、平移，将组合图形补成一个完整的基本图形，求面积差。 3、核心思路：先拆分/割补，再分别计算基本图形面积，最后求和或差。 【名师点拨】 （1）拆分不重复、不遗漏：拆分时按“明显边界”或“对称原则”，确保每个基本图形无重叠、无遗漏。 （2）找准对应条件：拆分后需明确每个基本图形的底、高、边长等关键条件，必要时通过整体与部分的关系推导。 （3）优先选择简便方法：同一组合图形可能有多种拆分方式，优先选择计算步骤少、数据简单的方法。 考点1：平行四边形面积 【典型例题】有一块地（如下图）被分成三种形状，分别种了三种蔬菜，计算这块地的面积。 【练习1】李大爷家有一块平行四边形地（如图），每平方米土地大约可收黄豆0.75千克，这块地一共可收黄豆多少千克？ 【练习2】一块平行四边形的广告牌，底边长5米，高4米。如果每平方米大约要用油漆0.34千克，油漆工人带来15千克油漆，要刷完这块广告牌的正反面（不包括侧面），这些油漆够吗？ 考点2：三角形面积 【典型例题】一块三角形菜地的面积是，底是4m，这条底对应的高是（ ）m；另一块平行四边形菜地和它等底等高，这块平行四边形菜地的面积是（ ）。 【练习1】一块三角形玻璃，它的底是12.5分米，高是5.6分米。每平方分米玻璃的价格是68元，买这块玻璃要用多少钱？ 【练习2】一张长方形的铁板长1.6米，宽1.2米，从长边的中点分别到两个宽边的中点连条线，沿这两条线剪下来两个角。剩下图形的面积是多少？ 考点3：梯形面积 【典型例题】七里镇新挖一条水渠，横截面是一个梯形，渠底宽2.4米，渠口宽4.6米，渠深1.5米。它的横截面的面积是多少平方米？    【练习1】王伯伯用篱笆靠墙围一个梯形的菜地（如图），已知这块地的面积是234平方米，篱笆总长是多少米？ 【练习2】有一块梯形的菜地，上底是32米，下底是48米，高是30米。如果每平方米收29千克白菜，这块地一共可以收多少千克白菜？ 考点4：组合图形的面积 【典型例题】张师傅要加工一个机器零件，零件的横截面如下图。这个机器零件的横截面的面积是多少？ 【练习1】小明家的一面外墙墙皮脱落，需重新粉刷，每平方米要用0.5千克涂料，粉刷这面墙需要多少千克涂料？ 【练习2】学校新开辟了一片地用来做科学小农场，五年级3个班各自得到一片面积一样的土地，中间有两条宽0.5米，长6.6米的小路（形状是平行四边形），每个班分到了多少平方米的土地？ 夯实基础 1．一张三角形彩纸的面积是，底是，它的高是（     ）cm。 A．4 B．8 C．12 2．如图，像风车的阴影部分的面积是（     ）cm2。 A．4 B．1 C．2 3．如图，三角形菜地面积300平方米，从A点修一条最短的水沟到BC边，这条水沟距离是（     ）。 A．300÷x B．300÷2÷x C．300×2÷x 4．一张梯形手工纸的上底是12cm，下底是20cm，高是8cm。林林要从这张纸里剪一个最大的平行四边形，这个平行四边形的面积是（     ）平方厘米。 A．48 B．160 C．96 5．一堆圆木，最顶层5根，最底层14根，每相邻两层相差1根，这堆圆木一共有（     ）根。 A．94 B．95 C．96 6．一块三角形稻田的底是8米，高是12米，它的面积是（ ）平方米；紧挨着，有一块与它等底等高的平行四边形西瓜地，请你算一算，西瓜地的面积是（ ）平方分米。 7．用63m长的篱笆靠墙围一个梯形养鸡场（如图）。养鸡场占地面积是（ ）m2。 8．如图的梯形是由一个长方形折叠而成，这个梯形的高是（ ）cm，面积是（ ）cm2。 9．如图：利用房屋的一面墙，用37.5米的篱笆围成一个梯形菜地，这块菜地的面积是（ ）平方米。 10．一个平行四边形草坪，它的底是6分米，高是1.4分米，它面积是（ ）平方分米。与它等底等高的三角形的面积是（ ）平方分米。 11．一块直角梯形的菜地，它的下底是40米，如果上底增加30米，这块菜地就变成了正方形。原来梯形的面积是（ ）平方米。 12．一块三角形麦地，底是30m，高是25m，如果每平方米收小麦0.7kg。这块麦地可以收小麦（ ）kg。 13．如图（单位：dm），要用铁丝围成这样一个平行四边形，接头不计至少要用（ ）dm长的铁丝。    14．张浩将梯形ABCD通过割补的方法，转化成三角形ABF（过程如下图）。已知三角形ABF的面积是24cm2，则梯形ABCD的面积是（ ）cm2，CF的长是（ ）cm。 培优拔高 15．一块三角形的玻璃，量得它的底长是1.5米，高是1.2米，如果每平方米的玻璃的价格是38元，买这块玻璃至少要多少元？ 16．千岛湖亚运村路口左侧要修建一块平行四边形的广告牌，底为9.82米，高为5.7米。如果要装饰这块广告牌，每平方米需用油漆0.5千克。现有一桶30千克的油漆，够用吗？ 17．一块三角形装饰板的底是3米，高是2.5米，把它的正、反两面涂漆。涂漆面积是多少平方分米？ 18．一个养猪场的平面图如下，这个养猪场一面靠墙，其它三面用铁丝网围起来，已知铁丝网的长度是550米，求这个养猪场的面积。 19．一块平行四边形的麦田，底是200米，高为100米，一共收小麦13720千克。这块麦田平均每公顷收小麦多少千克？ 20．一块近似平行四边形的桃园，被一块长方形的石子路分成了两块（如图），已知平行四边形的底是39米，高是24米，小路宽1米。如果平均每棵桃树占地5平方米，这个桃园大约有多少棵桃树？（结果保留整数） 21．在一块梯形草坪（如下图）中修了一条平行四边形的小路，求草坪的实际面积是多少平方米？ 思维拓展 22．如图所示，正方形ABCD与等腰直角三角形EFG（EF＝EG）放在同一直线上，现在正方形和三角形都以每秒2厘米的速度沿直线匀速相向而行，（ ）秒后，C点和F点刚好重合；第5.5秒时，重叠部分的面积是（ ）平方厘米。 23．如图，在三角形ABC中，D是边AB的中点，可知AD＝BD，则三角形BCD与三角形ACD的面积相等。 （1）如图①，在三角形ABC中，D、E分别是AB和AC两边的中点。已知三角形ADE的面积是2cm2，则三角形ABC的面积是（ ）cm2。 （2）如图②，在三角形ABC中，把AB边三等分、AC边四等分。已知三角形ADE的面积是2cm2，则三角形ABC的面积是（ ）cm2。 （3）如图③，在平行四边形ABCD中，把AB边五等分、AD边六等分。已知平行四边形ABCD的面积是15cm2，则三角形AEF的面积是（ ）cm2。 24．王叔叔将一块梯形农地分成了两部分（如图所示），梯形部分种植了卷心菜，平行四边形的农地中种植了黄瓜。王叔叔每天绕这块农地（）走一圈刚好是70米。这块农地约有多少面积？（得数保留整数） 25．如图，大三角形的空白部分是一个正方形，三角形甲与三角形乙的面积和是39平方厘米，求大三角形ABC的面积。（提示：可以用拼一拼转化的方法，也可以用方程） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $