精品解析：上海市位育中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

2025-2026上海市位育中学高二第一学期期中 2025.11 一、填空题（本大题共有12题，1-6每题3分，7-12每题4分，满分42分） 1. “直线在平面上”用集合符号语言可以表示为________． 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是________. 3. 若一个球的体积为，则该球的表面积为_________． 4. 将长为3，宽为2的矩形绕着较短边所在的直线旋转一周，所形成的几何体的体积为________. 5. 若空间向量，，共面，则实数___________. 6. 如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为______. 7. 已知一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，且半圆的半径为2，则此圆锥的体积为______. 8. 三棱柱的五个面所在的平面将空间平分成____________个部分 9. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则圆台的高为_________. 10. 如图，长方体中，，，，点M为线段上的动点，则线段的最小值为________. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P在底面ABCD内，若直线与平面无公共点，则线段的最小值为______. 12. 若正方体的棱长为3，P是正方体表面上一动点.设是以P为球心，半径为1的动球在运动过程中经过区域的全体，则的体积为______. 二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分） 13. “直线上有两点在平面内”是“这条直线在这个平面内”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 14. 若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 15. 如图，位于上海外滩的海关大楼上方的建筑体可以看成一个正四棱柱.这个正四棱柱的每个侧面上各有一个时钟，相邻侧面上的两个时钟的时针在每天的0点到12点（含0点不含12点）内一共能够相互垂直（ ）次. A. 0 B. 2 C. 4 D. 12 16. 过正四面体的顶点作一个形状为等腰三角形的截面，使得截面与底面所成角为75°，这样的截面共可作出（ ）个. A. 6 B. 12 C. 15 D. 18 三、解答题（本大题共有5题，满分42分） 17. 用文字语言表述“线面平行的性质定理”，用数学语言写出已知、求证并证明. 18. 如图，在四面体中，，，､分别为､的中点 （1）求证：直线和为异面直线. （2）求直线和所成角的大小. 19. 如图为正四棱锥为底面的中心． （1）若，求绕旋转一周形成的几何体的体积； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的大小． 20. 如图，在四面体ABCD中，平面，点M为AD上一点，且，连接BM，CM. （1）； （2）求二面角的大小. 21. 如图所示，在直三棱柱中，，，，点在线段上，且，、、分别为，，的中点. （1）求证：平面平面； （2）线段上是否存在一点？使得点到平面的距离为，若存在，请说明点的位置. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026上海市位育中学高二第一学期期中 2025.11 一、填空题（本大题共有12题，1-6每题3分，7-12每题4分，满分42分） 1. “直线在平面上”用集合符号语言可以表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据直线在平面上的集合符号语言得到答案. 【详解】“直线在平面上”用集合符号语言可以表示为. 故答案为：. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据点关于平面对称的规则得出点的坐标. 【详解】在空间直角坐标系中， 点关于平面的对称点的坐标横竖坐标不变，纵坐标变成相反数， 所以点关于平面的对称点是. 故答案为：. 3. 若一个球的体积为，则该球的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意，根据球的体积公式，则，解得，又根据球的表面积公式，所以该球的表面积为. 4. 将长为3，宽为2的矩形绕着较短边所在的直线旋转一周，所形成的几何体的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】判断几何体为圆柱，根据圆柱的体积公式可得结果. 【详解】由题意知，形成的几何体为圆柱，且底面圆的半径，圆柱的高， 所以圆柱的体积为. 故答案为：. 5. 若空间向量，，共面，则实数___________. 【答案】 【解析】 【分析】向量共面定理建立等式，解方程求出的值. 【详解】∵共面， ∴一定存在，使得， 即，解得， 故答案为：5 6. 如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为______. 【答案】10 【解析】 【分析】根据斜二测画法的原则还原四边形进行求解即可. 【详解】由题设知：原四边形中且， 所以原四边形为平行四边形， 而，则原四边形中，故， 综上，四边形的周长为. 故答案为：10 7. 已知一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，且半圆的半径为2，则此圆锥的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的相关参数，根据弧长公式求出底面半径，结合母线长利用勾股定理算出高，代入圆锥的体积公式即可. 【详解】设圆锥底面圆半径为，母线长为，高为， 由题意， ，所以，，所以， 因此该圆锥的体积是. 故答案为：. 8. 三棱柱的五个面所在的平面将空间平分成____________个部分 【答案】 【解析】 【分析】3个侧面将空间分成了7个部分,上下底面又将空间分成了上中下三个部分,即可求得分得的所有部分数. 【详解】三棱柱有3个侧面,3个侧面将空间分成了7个部分 上下底面又将空间分成了上中下三个部分,每个部分都有7个小部分 所以三棱柱的五个侧面将空间分成了个部分 故答案为: 【点睛】本题考查了空间结构体的特征,需要空间想象能力,属于基础题. 9. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则圆台的高为_________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据圆台的侧面积求圆台的母线，再根据圆台轴截面求出高即可. 【详解】因为圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为 ， 设母线长为，高为. 则，解得. 如图所示圆台的轴截面， 在中，， 由勾股定理得：圆台的高. 故答案为：3. 10. 如图，长方体中，，，，点M为线段上的动点，则线段的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】连接，将矩形绕旋转到与矩形在同一平面，连接与交于点时，即为的最小值，进而求解即可. 【详解】连接，将矩形绕旋转到与矩形在同一平面，如下图， 连接与交于点时，即为的最小值， 由题意，，则， 所以. 故答案为：. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P在底面ABCD内，若直线与平面无公共点，则线段的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先连接，，，易证平面平面，从而得到平面，即可得到线段的最小值. 【详解】连接，，，如图所示： 在正方体中， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，且， 所以平面平面. 因为与平面无公共点，所以平面， 当时，取得最小值. 因为 所以的最小值为. 故答案为： 12. 若正方体的棱长为3，P是正方体表面上一动点.设是以P为球心，半径为1的动球在运动过程中经过区域的全体，则的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由空间想象得到为棱长为5的正方体，去掉中心处棱长为1的正方体，各角去掉正方体减去一个顶点为球心半径为1的球后余下部分，各棱处去掉长方体减去一条高为轴，1为底面半径的圆柱后的部分，再结合正方体、球体、圆柱的体积公式求体积. 【详解】由题设，动球在运动过程中经过区域可看作棱长为5的正方体，先去掉中心处棱长为1的正方体， 8个角处去掉：棱长为1的正方体减去一个顶点为球心半径为1的球后剩余部分， 12条棱处去掉：底面边长为1，高为3的棱柱减去一条高为3，底面半径为1的圆柱后剩余部分， 综上，的体积为. 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分） 13. “直线上有两点在平面内”是“这条直线在这个平面内”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本事实，结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由基本事实，直线上有两点在平面内，则这条直线在这个平面内，反之亦然. 所以“直线上有两点在平面内”是“这条直线在这个平面内”的充要条件. 故选：C 14. 若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误. 【详解】对于A，若，则可平行或异面，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，， 所以由可得，故，故C正确； 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误； 故选：C. 15. 如图，位于上海外滩的海关大楼上方的建筑体可以看成一个正四棱柱.这个正四棱柱的每个侧面上各有一个时钟，相邻侧面上的两个时钟的时针在每天的0点到12点（含0点不含12点）内一共能够相互垂直（ ）次. A. 0 B. 2 C. 4 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质定理，分析即可得答案. 【详解】因为正四棱柱相邻两侧面垂直， 所以当一个时钟的时针位于3点或9点位置时，时针垂直交线， 所以该时针垂直另一个侧面，则该时针垂直另一个时针，共有2次. 即，所以平面，则平面内任意一条直线. 假设其他位置时，两时针垂直，不妨设， 因为，平面，， 所以平面， 因为平面，所以，与条件矛盾，故假设不成立， 所以相邻侧面上的两个时钟的时针在每天的0点到12点（含0点不含12点）内一共能够相互垂直2次. 故选：B 16. 过正四面体的顶点作一个形状为等腰三角形的截面，使得截面与底面所成角为75°，这样的截面共可作出（ ）个. A. 6 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件将问题转化为“截面与底面的交线与以为圆心，以为半径的圆相切”，然后分类讨论即可. 【详解】不妨设正四面体的棱长为，正的中心为，则正四面体的高为， 在中，以为圆心，以为半径画圆，则所求截面与平面的交线为该圆的切线， 下面分三种情况进行讨论： （1）切线与的任意一边平行，此时能作出个截面； （2）切线（点在边上，点在边上）且 ，此时易证≌， 所以，则截面为等腰三角形，这样的截面有个； （3）过点作的切线，与交于点，由≌有，对应为等腰三角形，这样的截面有个， 综上，满足条件的截面共有18个， 故选：D. 三、解答题（本大题共有5题，满分42分） 17. 用文字语言表述“线面平行的性质定理”，用数学语言写出已知、求证并证明. 【答案】 线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 已知，求证； 证明如下： 因为，所以， 而，则无公共点， 又，，则. 【解析】 【分析】先根据线面平行的性质定理写出已知、求证，进而结合平面的基本性质求证即可. 【详解】略 18. 如图，在四面体中，，，､分别为､的中点 （1）求证：直线和为异面直线. （2）求直线和所成角的大小. 【答案】（1） 由平面，故平面， 而平面，，又平面， 故平面，故直线和为异面直线； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据异面直线的定义判断证明； （2）取中点，连接、，根据已知及异面直线所成角的定义找到其平面角，进而确定其大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接、，由于、分别为、的中点， 所以，且， 故直线和所成角，即或其补角， 因为，故，因为，故，故， 所以直线和所成角为. 19. 如图为正四棱锥为底面的中心． （1）若，求绕旋转一周形成的几何体的体积； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正四棱锥的数据，先算出直角三角形的边长，然后求圆锥的体积； （2）连接，可先证平面，根据线面角的定义得出所求角为，然后结合题目数量关系求解. 【小问1详解】 正四棱锥满足且平面，由平面，则， 又正四棱锥底面是正方形，由可得，， 故， 根据圆锥的定义，绕旋转一周形成的几何体是以为轴，为底面半径的圆锥， 即圆锥的高为，底面半径为， 根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是 【小问2详解】 连接，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形， 由是中点，则，又平面， 故平面，即平面，又平面， 于是直线与平面所成角的大小即为， 不妨设，则，， 又线面角的范围是， 故.即为所求. 20. 如图，在四面体ABCD中，平面，点M为AD上一点，且，连接BM，CM. （1）； （2）求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平面，得，而，则由线面垂直的判定定理可证得平面，再利用线面垂直的性质可证得结论； （2）取的中点，连接，过作于，过作于，连接，则可得为二面角的平面角，然后根据已知的数据在中求解即可. 【小问1详解】 证明：因为平面平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以； 【小问2详解】 取的中点，连接，过作于，过作于， 连接，因为在平面中，，所以， 由（1）知，所以因为平面， 所以平面，因为平面，所以 因为平面MEH，所以平面， 因为平面，所以，所以为二面角的平面角， 因为，所以， 在中，，所以， 所以，所以二面角的大小为. 21. 如图所示，在直三棱柱中，，，，点在线段上，且，、、分别为，，的中点. （1）求证：平面平面； （2）线段上是否存在一点？使得点到平面的距离为，若存在，请说明点的位置. 【答案】（1）证明见解析； （2）存在，为靠近的三等分点，或与重合. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）设，，进而得到，结合（1）中，利用点到平面的距离公式列方程求参数，即可得. 【小问1详解】 在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 假设存在点到平面的距离为，且，， 所以，则， 由（1）知，是平面的一个法向量， 所以点到平面的距离， 所以，可得或， 所以，当为靠近的三等分点或与重合时，满足要求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $