23.5位似图形讲义 2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

23.5位似图形 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】位似图形的概念 4 【题型2】相似图形的作图 7 【题型3】位似图形的作图 11 【题型4】利用位似图形的性质求长度 15 【题型5】利用位似图形的性质求周长 18 【题型6】利用位似图形的性质求面积 20 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．______（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．____________（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．______（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心． 1.（2024春•驿城区期中）如图所示，该图案是经过（　　） A．平移得到的 B．旋转或轴对称得到的 C．轴对称得到的 D．旋转得到的 【答案】B 【分析】根据旋转和轴对称的性质可得答案． 【解答】解：图案外面是一个圆，里面是均匀分布的三个“花瓣”， ∴图案既可以看成一个“花瓣”绕圆心旋转2次得到的，也可以看成其中一个“花瓣”的对称轴为对称轴通过轴对称得到的， 故选：B． 【知识点2】作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 【知识点3】位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．     注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 1.（2025•开州区一模）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，其位似比为3：2，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A．2：1 B．3：2 C．9：4 D．4：9 【答案】C 【分析】先根据位似的性质得到△ABC与△DEF的位似比为OA：OD=3：2，然后利用相似三角形的性质即可求出答案． 【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，OA：OD=3：2， ∴，△ABC∽△DEF， ∴△ABC与△DEF的面积比是9：4， 故选：C． 【知识点4】作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 【题型1】位似图形的概念 【典型例题】图中的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（　　） A.点P B.点O C.点R D.点S 【答案】A 【解析】如图所示：图中的两个三角形的位似中心是点P． 故选：A． 【举一反三1】下列各选项的两个图形中，不是位似图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 根据位似图形的概念，A、B、D三个图形中的两个图形都是位似图形； C中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点不能相交于一点，故不是位似图形． 故选：C． 【举一反三2】视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“E”均是相似图形，其中不是位似图形的是（　　） A.①和④ B.②和③ C.①和② D.②和④ 【答案】B 【解析】①和④、①和②、②和④，两个图形是相似图形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行，都是位似图形； ②和③，对应边不平行，不是位似图形， 故选：B． 【举一反三3】如图，点P是DA，FC，EB的交点，则△ABC与△DEF　      　是位似图形（填“一定”或“不一定”）． 【答案】不一定 【解析】根据图形可得出：不能确定BC与FE，AB与ED是否平行，故△ABC与△DEF不一定是位似图形； 故答案为：不一定． 【举一反三4】判断每组中两个相似图形是不是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心；如果不是，试说明理由． 【答案】解　图1是位似图形，位似中心为P．图3是位似图形，位似中心为O． 图2和图4中两个相似图形不是位似图形，理由如下： 两个相似图形的对应边不平行． 【举一反三5】如图，在△ABC中，E，F是AB的三等分点，FH∥EG∥AC． （1）四边形EFHG与四边形FACH是位似图形吗？为什么？ （2）指出图中所有的位似图形． 【答案】解　（1）四边形EFHG与四边形FACH不是位似图形． 理由：∵EG：FH≠EF：AF， ∴四边形EFGH与四边形FACH不相似， ∴四边形EFHG与四边形FACH不是位似图形． （2）位似图形有：△BEG与△BFH，△BEG与△BAC，△BFH与△BAC． 【题型2】相似图形的作图 【典型例题】如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】第1个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第2个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 第3个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第4个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 故选：D． 【举一反三1】若P是Rt△ABC斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线有（　　）条． A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】由于△ABC是直角三角形， 过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角， 所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似， 过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线． 故选：C． 【举一反三2】要在已知△ABC上用直尺和圆规截取出一个新的三角形，使之与原△ABC相似．以下是甲、乙两人的作法： 甲：如图1，分别以点A，C为圆心，同样长度为半径画弧，交AB，BC，AC于点F，D，E；以F点为圆心，以D，E间的距离为半径画弧，与先画的弧交于点G；作射线AG，交BC边与点H．则△HBA即为所求； 乙：如图2，分别以点A，B，C为圆心，大于的同样长度为半径画弧，所画弧分别交于点D、E，F，G；分别作直线DE和FG，直线DE和FG分别交AB，AC于点M，N；连接MN．则△AMN即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（　　） A.甲、乙两人的作法都正确 B.甲、乙两人的作法都错误 C.甲的作法正确，乙的作法错误 D.甲的作法错误，乙的作法正确 【答案】A 【解析】根据甲的作法可知，∠BAH＝∠BCA， ∵∠ABH＝∠CBA， ∴△HBA∽△ABC． 故甲的作法正确． 根据乙的作法可知，直线DE为线段AB的垂直平分线，直线FG为线段AC的垂直平分线， ∴点M为AB的中点，点N为AC的中点， ∴MN为△ABC的中位线， ∴MN∥BC， ∴△AMN∽△ABC． 故乙的作法正确． ∴甲、乙两人的作法都正确． 故选：A． 【举一反三3】已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．以B为位似中心，画出与△ABC相似（与图形同向），且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是　        　． 【答案】（﹣6，0）、（3，3）、（0，﹣3） 【解析】所画图形如下所示： 它的三个对应顶点的坐标分别是：（﹣6，0）、（3，3）、（0，﹣3）． 故答案为：（﹣6，0）、（3，3）、（0，﹣3）． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．请用尺规作图法在AC边上求作一点D，使得△BDC∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解　如图，点D即为所求． 【举一反三5】如图，分别按下列要求画出变换后的图形． （1）把△ABC向右平移3个单位得△A1B1C1（A与A1对应，B与B1对应）； （2）以A1为旋转中心，将△A1B1C1逆时针旋转90°得△A1B2C2（B1与B2对应）； （3）把A1B2C2的每一条边都扩大到原来的2倍得△DEF． 【答案】解　（1）如图，△A1B1C1就是所要画的三角形． （2）如图，△A1B2C2就是所要画的三角形． （3）如图，△DEF就是所要画的三角形． 【题型3】位似图形的作图 【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A'B'O．若点B的坐标为（2，1），则点B'的坐标为（　　） A.（2，4） B.（4.2） C.（2，4）或（﹣2，﹣4） D.（4，2）或（﹣4，﹣2） 【答案】D 【解析】如图，△OA1B1，△OA2B2即为所求，B1（4，2），B2（﹣4，﹣2）． 故选：D． 【举一反三1】如图，在坐标系中，以A（0，2）为位似中心，在y轴右侧作△ABC放大2倍后的位似图形△AB'C'，若C的对应点C'的坐标为（m，n），则点C的坐标为（　　） A.（m，n+3） B.（m，n﹣3） C.（m，n+2） D.（m，n﹣2） 【答案】A 【解析】过点A作x轴的平行线DD′，作CD⊥DD′于D，作C′D′⊥DD′于D′， 设C（x，y）， 则CD＝y﹣2、AD＝﹣x，C′D′＝2﹣n，AD′＝m， ∵△AB′C′与△ABC的位似比为2：1， ∴＝＝，即＝， 解得：x＝﹣m，y＝﹣n+3， ∴点C的坐标为（﹣m，﹣n+3）， 故选：A． 【举一反三2】如图所示，在平面直角坐标系中，有两点A（4，2），B（3，0），以原点为位似中心，A′B′与AB的相似比为，得到线段A′B′．正确的画法是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】画出图形，如图所示： 故选：D． 【举一反三3】如图，以点O为位似中心，把△ABC放大2倍得到△A'B'C''，①AB∥A'B'；②△ABC∽△A'B'C'；③AO：AA'＝1：2；④点C、O、C'三点在同一直线上．则以上四种说法正确的是 　        　． 【答案】①②④ 【解析】∵以点O为位似中心，把△ABC放大2倍得到△A'B'C''， ∴AB∥A'B，△ABC∽△A'B'C'；AO：AA'＝2：1；点C、O、C'三点在同一直线上， ①①②④正确， 故答案为：①②④． 【举一反三4】如图，已知A（﹣4，2），B（﹣2，6），C（0，4）是直角坐标系平面上三点． （1）把△ABC向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到△A1B1C1．画出平移后的图形，并写出点A的对应点A1的坐标； （2）以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，得到△A2B2C2，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形． 【答案】解　（1）△A1B1C1如图所示，其中A1的坐标为：（0，1）； （2）符合条件△A2B2C2有两个，如图所示． 【举一反三5】如图，以点A为位似中心，画出△DEF的位似图形△D1E1F1，使它与△DEF的相似比为1：2，且对应点在点A的另一侧． 【答案】解　如图所示，△D1E1F1即为所求． 【题型4】利用位似图形的性质求长度 【典型例题】如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，点O是位似中心，位似比为2：3．若AB＝4，则A'B'的长度为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D 【解析】∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，点O是位似中心，位似比为2：3， ∴＝＝， ∵AB＝4， ∴＝， ∴A'B'的长度为：6． 故选：D． 【举一反三1】如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为1：2，BC＝2，则EF的长度为（　　） A.3 B.4 C.6 D.8 【答案】B 【解析】∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为1：2， ∴△ABC∽△DEF，相似比为1：2， ∴BC：EF＝1：2， 即2：EF＝1：2， 解得EF＝4， 即EF的长度为4． 故选：B． 【举一反三2】如图，右边的“E”与左边的“E”是位似图形，A是位似中心，位似比为3：5．若BC＝75，则GH的长为（　　） A.15 B.30 C.45 D.60 【答案】C 【解析】∵右边的“E”与左边的“E”是位似图形，A是位似中心，位似比为3：5，BC＝75， ∴GH：BC＝3：5，即GH：75＝3：5． ∴GH＝45． 故选：C． 【举一反三3】如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，相似比为3：1，若A′C′＝3，则其对应边的长度为　   　． 【答案】9 【解析】∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′， ∴△ABC∽△A′B′C′，A′B′∥AB， ∴△OA′C′∽△OAC， ∵相似比为3：1， ∴＝， ∵A′C′＝3， ∴AC＝9， 故答案为：9． 【举一反三4】如图，已知矩形ABCD与矩形AB'C'D'是位似图形，点A为位似中心，若矩形ABCD的周长为24，BB'＝4，DD'＝2．求边AB与AD的长． 【答案】解　∵矩形ABCD的周长是24， ∴AB+AD＝12， ∴AD＝12﹣AB， ∴AB′＝AB+4，AD′＝12﹣AB+2＝14﹣AB， ∵矩形ABCD与矩形A'B'C'D'是位似图形， ∴CD∥C′D′，BC∥B′C′， ∴， ∴， 解得，AB＝8， 则AD＝12﹣AB＝4． 【举一反三5】如图，△ABC与△ADE是位似三角形． （1）判断BC与DE的位置关系； （2）若AE＝2，AC＝4，AD＝3，求△ADE与△ABC的相似比及AB的长度． 【答案】解　（1）∵△ABC与△ADE是位似三角形， ∴BC∥DE； （2）∵△ABC与△ADE是位似三角形， ∴△ABC∽△ADE， ∴， ∴＝＝， 解得：AB＝6， ∴△ADE与△ABC的相似比为：1：2， AB的长度为6． 【题型5】利用位似图形的性质求周长 【典型例题】如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA1上，若OA：AA1＝1：2，则△ABC和△A1B1C1的周长之比为（　　） A.1：2 B.2：1 C.1：3 D.3：1 【答案】C 【解析】∵OA：AA1＝1：2， ∴OA：OA1＝1：3， ∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形， ∴△ABC∽△A1B1C1，AB∥A1B1， ∴△AOB∽△A1OB1， ∴＝＝， ∴△ABC和△A1B1C1的周长之比为1：3， 故选：C． 【举一反三1】如图所示，在△ABC外取一点O，连接OA，OB，OC，并分别各取这些线段的中点D，E，F连接起来，则下列结论错误的是（　　） A.△ABC与DEF是位似图形 B.点O是△ABC与△DEF的位似中心 C.△ABC与△DEF的相似比2：1 D.△ABC与△DEF的周长比为4：1 【答案】D 【解析】∵点D，E，F分别为OA、OB、OC的中点， ∴DE、EF、DF分别为△OAB、△OBC、△OAC的中位线， ∴DE＝AB，EF＝BC，DF＝AC，DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC， ∴， ∴△DEF∽△ABC， ∵直线AD、BE、CF相交于点O， ∴△ABC与DEF是位似图形，点O是△ABC与△DEF的位似中心，△ABC与△DEF的相似比2：1， ∴△ABC与△DEF的周长比为2：1， 故选项A、B、C说法正确，不符合题意，选项D说法错误，符合题意； 故选：D． 【举一反三2】如图，矩形ABCD与矩形A'B'C'D'是位似图形，点A是位似中心，矩形ABCD的周长是24，BB'＝4，DD'＝2，则AB＝　　   ． 【答案】8 【解析】设AB＝x，则AD＝12﹣x， ∵矩形ABCD与矩形A'B'C'D'是位似图形， ∴，即， 解得：x＝8，即AB＝8， 故答案为：8． 【举一反三3】已知矩形ABCD与矩形A′B′C′D′是位似图形，A为位似中心．已知矩形ABCD的周长为24，BB′＝4，DD′＝2，求AB与AD的长． 【答案】解　∵矩形ABCD的周长为24， ∴设AD＝x，则AB＝12﹣x． ∵矩形ABCD与矩形AB'C'D'是位似图形， ∴， 即， 解得：x＝4， 所以AD＝4，AB＝8． 【题型6】利用位似图形的性质求面积 【典型例题】如图，△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点．若△DEF的面积为S，周长为l，则下列说法正确的是（　　） A.△ABC的面积为2S B.△ABC的面积为S C.△ABC的周长为2l D.△ABC的周长为l 【答案】C 【解析】∵点D，F分别是OA，OC的中点， ∴DF＝AC， ∵△DEF和△ABC是位似图形， ∴△DEF∽△ABC，且相似比为， ∵△DEF的面积为S，周长为l， ∴△ABC的面积为4S，周长为2l， ∴C选项说法正确， 故选：C． 【举一反三1】如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，若两个正方形的面积之比为1：3，点A坐标为（2，0），则E点坐标为（　　） A. B. C. D.（3，3） 【答案】A 【解析】∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形， ∴正方形OABC∽正方形ODEF， ∵两个正方形的面积之比为1：2， ∴两个正方形的相似比为1：， ∵点A的坐标为（2，0），四边形OABC为正方形， ∴点B的坐标为（2，2）， ∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心， ∴E点的坐标为（2，2）， 故选：A． 【举一反三2】△ABC与△A1B1C1是位似图形，它们在位似中心的同侧，其面积比为4：9，已知位似中心O与A的距离为2，则A到A1的距离为　　    ． 【答案】1 【解析】∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，它们在位似中心的同侧，其面积比为4：9， ∴两图形的位似比为：2：3， ∵位似中心O与A的距离为2， ∴位似中心O与A1的距离为3， ∴A到A1的距离为：1． 故答案为：1． 【举一反三3】如图所示，已知五边形ABCDE，O点是五边形ABCDE内一点，A1，B1，C1，D1，E1分别是OA，OB，OC，OD，OE上的点，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1D1∥CD，D1E1∥DE，A1E1∥AE．若OD＝2OD1，S五边形ABCDE＝100cm2，求五边形A1B1C1D1E1的面积． 【答案】解　∵A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1D1∥CD，D1E1∥DE，A1E1∥AE． ∴五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1位似， ∵OD＝2OD1， ∴＝， ∴＝， ∵S五边形ABCDE＝100cm2， ∴五边形A1B1C1D1E1的面积为：25cm2． 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.5位似图形 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】位似图形的概念 3 【题型2】相似图形的作图 5 【题型3】位似图形的作图 7 【题型4】利用位似图形的性质求长度 9 【题型5】利用位似图形的性质求周长 11 【题型6】利用位似图形的性质求面积 12 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．______（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．____________（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．______（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心． 1.（2024春•驿城区期中）如图所示，该图案是经过（　　） A．平移得到的 B．旋转或轴对称得到的 C．轴对称得到的 D．旋转得到的 【知识点2】作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 【知识点3】位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．     注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 1.（2025•开州区一模）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，其位似比为3：2，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A．2：1 B．3：2 C．9：4 D．4：9 【知识点4】作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 【题型1】位似图形的概念 【典型例题】图中的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（　　） A.点P B.点O C.点R D.点S 【举一反三1】下列各选项的两个图形中，不是位似图形的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“E”均是相似图形，其中不是位似图形的是（　　） A.①和④ B.②和③ C.①和② D.②和④ 【举一反三3】如图，点P是DA，FC，EB的交点，则△ABC与△DEF　      　是位似图形（填“一定”或“不一定”）． 【举一反三4】判断每组中两个相似图形是不是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心；如果不是，试说明理由． 【举一反三5】如图，在△ABC中，E，F是AB的三等分点，FH∥EG∥AC． （1）四边形EFHG与四边形FACH是位似图形吗？为什么？ （2）指出图中所有的位似图形． 【题型2】相似图形的作图 【典型例题】如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三1】若P是Rt△ABC斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线有（　　）条． A.1 B.2 C.3 D.4 【举一反三2】要在已知△ABC上用直尺和圆规截取出一个新的三角形，使之与原△ABC相似．以下是甲、乙两人的作法： 甲：如图1，分别以点A，C为圆心，同样长度为半径画弧，交AB，BC，AC于点F，D，E；以F点为圆心，以D，E间的距离为半径画弧，与先画的弧交于点G；作射线AG，交BC边与点H．则△HBA即为所求； 乙：如图2，分别以点A，B，C为圆心，大于的同样长度为半径画弧，所画弧分别交于点D、E，F，G；分别作直线DE和FG，直线DE和FG分别交AB，AC于点M，N；连接MN．则△AMN即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（　　） A.甲、乙两人的作法都正确 B.甲、乙两人的作法都错误 C.甲的作法正确，乙的作法错误 D.甲的作法错误，乙的作法正确 【举一反三3】已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．以B为位似中心，画出与△ABC相似（与图形同向），且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是　        　． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．请用尺规作图法在AC边上求作一点D，使得△BDC∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法） 【举一反三5】如图，分别按下列要求画出变换后的图形． （1）把△ABC向右平移3个单位得△A1B1C1（A与A1对应，B与B1对应）； （2）以A1为旋转中心，将△A1B1C1逆时针旋转90°得△A1B2C2（B1与B2对应）； （3）把A1B2C2的每一条边都扩大到原来的2倍得△DEF． 【题型3】位似图形的作图 【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A'B'O．若点B的坐标为（2，1），则点B'的坐标为（　　） A.（2，4） B.（4.2） C.（2，4）或（﹣2，﹣4） D.（4，2）或（﹣4，﹣2） 【举一反三1】如图，在坐标系中，以A（0，2）为位似中心，在y轴右侧作△ABC放大2倍后的位似图形△AB'C'，若C的对应点C'的坐标为（m，n），则点C的坐标为（　　） A.（m，n+3） B.（m，n﹣3） C.（m，n+2） D.（m，n﹣2） 【举一反三2】如图所示，在平面直角坐标系中，有两点A（4，2），B（3，0），以原点为位似中心，A′B′与AB的相似比为，得到线段A′B′．正确的画法是（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，以点O为位似中心，把△ABC放大2倍得到△A'B'C''，①AB∥A'B'；②△ABC∽△A'B'C'；③AO：AA'＝1：2；④点C、O、C'三点在同一直线上．则以上四种说法正确的是 　        　． 【举一反三4】如图，已知A（﹣4，2），B（﹣2，6），C（0，4）是直角坐标系平面上三点． （1）把△ABC向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到△A1B1C1．画出平移后的图形，并写出点A的对应点A1的坐标； （2）以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，得到△A2B2C2，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形． 【举一反三5】如图，以点A为位似中心，画出△DEF的位似图形△D1E1F1，使它与△DEF的相似比为1：2，且对应点在点A的另一侧． 【题型4】利用位似图形的性质求长度 【典型例题】如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，点O是位似中心，位似比为2：3．若AB＝4，则A'B'的长度为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【举一反三1】如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为1：2，BC＝2，则EF的长度为（　　） A.3 B.4 C.6 D.8 【举一反三2】如图，右边的“E”与左边的“E”是位似图形，A是位似中心，位似比为3：5．若BC＝75，则GH的长为（　　） A.15 B.30 C.45 D.60 【举一反三3】如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，相似比为3：1，若A′C′＝3，则其对应边的长度为　   　． 【举一反三4】如图，已知矩形ABCD与矩形AB'C'D'是位似图形，点A为位似中心，若矩形ABCD的周长为24，BB'＝4，DD'＝2．求边AB与AD的长． 【举一反三5】如图，△ABC与△ADE是位似三角形． （1）判断BC与DE的位置关系； （2）若AE＝2，AC＝4，AD＝3，求△ADE与△ABC的相似比及AB的长度． 【题型5】利用位似图形的性质求周长 【典型例题】如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA1上，若OA：AA1＝1：2，则△ABC和△A1B1C1的周长之比为（　　） A.1：2 B.2：1 C.1：3 D.3：1 【举一反三1】如图所示，在△ABC外取一点O，连接OA，OB，OC，并分别各取这些线段的中点D，E，F连接起来，则下列结论错误的是（　　） A.△ABC与DEF是位似图形 B.点O是△ABC与△DEF的位似中心 C.△ABC与△DEF的相似比2：1 D.△ABC与△DEF的周长比为4：1 【举一反三2】如图，矩形ABCD与矩形A'B'C'D'是位似图形，点A是位似中心，矩形ABCD的周长是24，BB'＝4，DD'＝2，则AB＝　　   ． 【举一反三3】已知矩形ABCD与矩形A′B′C′D′是位似图形，A为位似中心．已知矩形ABCD的周长为24，BB′＝4，DD′＝2，求AB与AD的长． 【题型6】利用位似图形的性质求面积 【典型例题】如图，△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点．若△DEF的面积为S，周长为l，则下列说法正确的是（　　） A.△ABC的面积为2S B.△ABC的面积为S C.△ABC的周长为2l D.△ABC的周长为l 【举一反三1】如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，若两个正方形的面积之比为1：3，点A坐标为（2，0），则E点坐标为（　　） A. B. C. D.（3，3） 【举一反三2】△ABC与△A1B1C1是位似图形，它们在位似中心的同侧，其面积比为4：9，已知位似中心O与A的距离为2，则A到A1的距离为　　    ． 【举一反三3】如图所示，已知五边形ABCDE，O点是五边形ABCDE内一点，A1，B1，C1，D1，E1分别是OA，OB，OC，OD，OE上的点，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1D1∥CD，D1E1∥DE，A1E1∥AE．若OD＝2OD1，S五边形ABCDE＝100cm2，求五边形A1B1C1D1E1的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $