二项分布、超几何分布 讲义-2026届高三数学一轮复习

二项分布、超几何分布 课前必备知识 课标要求 1.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用． 知识梳理 1．伯努利试验与二项分布 (1)伯努利试验 我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验__独立地重复__进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． (2)二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝__Cpk(1－p)n－k__，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作__X～B(n，p)__． (3)二项分布的期望与方差 若随机变量X～B(n，p)， 则E(X)＝__np__，D(X)＝__np(1－p)__． 2．两个常见的分布列 (1)两点分布：若随机变量X的分布列是 X 0 1 P 1－p p 其中0<p<1，则离散型随机变量X服从两点分布，且称p＝P(X＝1)为成功概率． (2)超几何分布：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布，如表所示． ξ 0 1 … m P … 课前训练 1．已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P(X＝0)＝3－4P(X＝1)＝a，则a＝(　　) A. B. C. D. 2．若某射手每次射击击中目标的概率均为，每次射击的结果相互独立，则他在连续4次射击中，恰好有两次击中目标的概率为(　　) A. B. C. D. 3．(2025·全国模拟预测)如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则P(X>0)＝(　　) A. B. C. D. 4．现从3名女生和2名男生中随机选出2名志愿者，用X表示所选2名志愿者中男生的人数，则E(X)＝(　　) A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 5．(2025·全国开学考试)一次抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，若出现的点数和是3的倍数，则这次抛掷得分为3，否则得分为－1.抛掷n次，记累计得分为ξ，若E(ξ)＝10，则D(ξ)＝________. 课堂核心考点 考点1　二项分布 【例1】 (2025·广东广州校考二模)某校高二(1)班的元旦联欢会设计了一项抽奖游戏：准备了10张相同的卡片，其中只在6张卡片上印有“奖”字． (1)采取放回的抽样方式，从中依次抽取3张卡片，求抽到印有“奖”字卡片张数X的分布列、数学期望及方差； (2)采取不放回的抽样方式，从中依次抽取3张卡片，求第一次抽到印有“奖”字卡片的条件下，第三次抽到未印有“奖”字卡片的概率． 二项分布的分布列问题一般遵循以下三个步骤： 第一步，先判断随机变量是否服从二项分布； 第二步，若服从二项分布，弄清指定事件在一次试验中发生的概率p是多少(若题设没有直接给出，一般可通过古典概型或相互独立事件的概率公式进行计算)； 第三步，根据二项分布的分布列P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)列出相应的分布列． 二项分布的期望与方差可根据公式E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)直接得到. 变式探究 1．(2025·四川绵阳统考二模)绵阳市37家A级旅游景区，在2023年国庆中秋双节期间，接待人数和门票收入大幅增长．绵阳某旅行社随机调查了市区100位市民平时外出旅游情况，得到的数据如下表： 性别 喜欢旅游 合计 喜欢 不喜欢 男性 20 30 50 女性 30 20 50 合计 50 50 100 单位：人 　　 (1)依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为喜欢旅游与性别有关联？ (2)将频率视为概率，从全市男性市民中随机抽取2人进行访谈，记这2人中喜欢旅游的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望和方差． 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 考点2　超几何分布 【例2】 (2025·广东茂名一模)已知某种业公司培育了新品种的软籽石榴，从收获的果实中随机抽取了50个软籽石榴，按质量(单位：g)将它们分成[360，380)，[380，400)，[400，420)，[420，440)，[440，460]5组，得到如下频率分布直方图． (1)用样本估计总体，求该品种石榴的平均质量(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)． (2)按分层随机抽样，在样本中，从质量在区间[380，400)，[400，420)，[420，440)内的石榴中抽取7个石榴进行检测，再从中抽取3个石榴做进一步检测． (ⅰ)记这3个石榴中质量在区间[420，440)内的个数为X，求X的分布列与数学期望． (ⅱ)已知抽取的3个石榴不完全来自同一区间，求这3个石榴恰好来自不同区间的概率． 1．牢记“2特点” (1)超几何分布是不放回抽样问题； (2)随机变量为抽到的某类个体的个数． 2．具备“3条件” (1)考察对象分两类； (2)已知各类对象的个数； (3)从中抽取若干个个体，考察某类个体个数X的概率分布． 3．掌握“1实质” 超几何分布问题的实质是古典概型问题. 变式探究 2．温室是以采光覆盖材料作为全部或部分围护结构材料，具有透光、避雨、保温、控温等功能，可在冬季或其他不适宜露地植物生长的季节供栽培植物的建筑，而温室蔬菜种植技术是一种比较常见的技术，它具有较好的保温性能，使人们在任何时间都可吃到反季节的蔬菜，深受大众喜爱．温室蔬菜生长和蔬菜产品卫生质量要求的温室内土壤、灌溉水、环境空气等环境质量指标，其温室蔬菜产地环境质量等级划定如表所示． 环境质量等级 1 2 3 土壤各单项或 综合质量指数 ≤0.7 0.7～1.0 >1.0 灌溉水各单项 或综合质量指数 ≤0.5 0.5～1.0 >1.0 环境空气各单项 或综合质量指数 ≤0.6 0.6～1.0 >1.0 等级名称 清洁 尚清洁 超标 各环境要素的综合质量指数超标，灌溉水、环境空气可认为污染，土壤则应做进一步调研，若确对其所影响的植物(生长发育、可食部分超标或用作饮料部分超标)或周围环境(地下水、地表水、大气等)有危害，方能确定为污染．某乡政府计划对所管辖的甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛，共8个村发展温室蔬菜种植，对各村试验温室蔬菜坏境产地质量监测得到的相关数据如下： (1)若从这8个村中随机抽取2个进行调查，求抽取的2个村应对土壤做进一步调研的概率； (2)现有一技术人员在这8个村中随机选取3个进行技术指导，记ξ为技术员选中村的环境空气等级为尚清洁的个数，求ξ的分布列和数学期望． 考点3　二项分布、超几何分布的综合问题 【例3】 某学校从全体师生中随机抽取30位男生、30位女生、12位教师一起参加社会实践活动． (1)假设30位男生身高均不相同，记其身高的第80百分位数为α，从学校全体男生中随机选取3人，记X为3人中身高不超过α的人数，以频率估计概率求X的分布列及数学期望； (2)从参加社会实践活动的72人中一次性随机选出30位，记被选出的人中恰好有k(k＝1，2，…，30)个男生的概率为P(k)，求使得P(k)取得最大值的k的值． 1．高考概率统计问题注重与实际生活的联系，重视概率知识在生产、生活中的实际运用，综合考查应用数学知识解决实际问题的能力，在复习中要增强应用意识，重视能力培养． 2．概率与统计常常结合在一起进行考查，重视统计思想的考查，常通过图表等提供信息，考查利用信息处理数据的能力．此外，概率统计既注重概率与统计之间的综合，同时也注意和其他知识的联系，在复习中，要注意综合运用知识的训练，注意提高综合运用知识的能力. 变式探究 3．(2025·福建福州校考模拟预测)某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次数学知识竞赛．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩(单位：分)，并以此为样本绘制了如下频率分布直方图． (1)求该100名学生竞赛成绩的中位数；(结果保留整数) (2)从竞赛成绩在(40，50]，(50，60]的两组学生中，采用分层随机抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记竞赛成绩在(40，50]的学生人数为X，求X的分布列和数学期望E(X)； (3)以样本的频率估计概率，从竞赛成绩在[30，50]的学生中随机抽取20名，用P(k)表示这20名学生中恰有k名学生竞赛成绩在[30，40]内的概率，其中k＝0，1，2，…，20.当P(k)最大时，求k. 学科网（北京）股份有限公司 $ 二项分布、超几何分布 课前必备知识 课标要求 1.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用． 知识梳理 1．伯努利试验与二项分布 (1)伯努利试验 我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验__独立地重复__进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． (2)二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝__Cpk(1－p)n－k__，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作__X～B(n，p)__． (3)二项分布的期望与方差 若随机变量X～B(n，p)， 则E(X)＝__np__，D(X)＝__np(1－p)__． 2．两个常见的分布列 (1)两点分布：若随机变量X的分布列是 X 0 1 P 1－p p 其中0<p<1，则离散型随机变量X服从两点分布，且称p＝P(X＝1)为成功概率． (2)超几何分布：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布，如表所示． ξ 0 1 … m P … 课前训练 1．已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P(X＝0)＝3－4P(X＝1)＝a，则a＝(　　) A. B. C. D. 解析：C　因为X的分布列服从两点分布，所以P(X＝0)＋P(X＝1)＝1， 因为P(X＝0)＝3－4P(X＝1)＝a， 所以P(X＝0)＝3－4[1－P(X＝0)]， 所以P(X＝0)＝，所以a＝，故选C. 2．若某射手每次射击击中目标的概率均为，每次射击的结果相互独立，则他在连续4次射击中，恰好有两次击中目标的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：B　他在连续4次射击中，恰好有两次击中目标的概率为C()2()2＝.故选B. 3．(2025·全国模拟预测)如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则P(X>0)＝(　　) A. B. C. D. 解析：D　依题意，当X>0时，X的可能取值为1，3，5，且X～B(5，)， 所以P(X>0)＝P(X＝5)＋P(X＝3)＋P(X＝1)＝()5＋C()4()＋C()3()2＝.故选D. 4．现从3名女生和2名男生中随机选出2名志愿者，用X表示所选2名志愿者中男生的人数，则E(X)＝(　　) A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 解析：B　X的所有可能取值为0，1，2， 则P(X＝k)＝，k＝0，1，2. 所以P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝， 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝0.8.故选B. 5．(2025·全国开学考试)一次抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，若出现的点数和是3的倍数，则这次抛掷得分为3，否则得分为－1.抛掷n次，记累计得分为ξ，若E(ξ)＝10，则D(ξ)＝________. 解析：　由题可知一次抛掷两颗质地均匀的正方体骰子有36种等可能的结果， 其中出现的点数和是3倍关系的有12种等可能的结果，所以抛掷一次，出现的点数和是3倍关系的概率为p＝＝，记抛掷n次抛掷出现的点数和是3倍关系的次数为X， 则X～B(n，)，ξ＝3X－(n－X)＝4X－n， 由E(X)＝，得E(ξ)＝4E(X)－n＝＝10， 得n＝30，于是D(X)＝30××(1－)＝， D(ξ)＝42D(X)＝16×＝. 课堂核心考点 考点1　二项分布 【例1】 (2025·广东广州校考二模)某校高二(1)班的元旦联欢会设计了一项抽奖游戏：准备了10张相同的卡片，其中只在6张卡片上印有“奖”字． (1)采取放回的抽样方式，从中依次抽取3张卡片，求抽到印有“奖”字卡片张数X的分布列、数学期望及方差； (2)采取不放回的抽样方式，从中依次抽取3张卡片，求第一次抽到印有“奖”字卡片的条件下，第三次抽到未印有“奖”字卡片的概率． 解析：(1)由题意可知，X～B(3，)， 则P(X＝0)＝()3＝， P(X＝1)＝C××()2＝， P(X＝2)＝C×()2×＝， P(X＝3)＝()3＝， 所以，随机变量X的分布列如下表所示： X 0 1 2 3 P 所以，E(X)＝3×＝，D(X)＝3××＝. (2)记事件A：第一次抽到印有“奖”字卡片，事件B：第三次抽到未印有“奖”字卡片， 则P(A)＝＝， P(AB)＝＝. 由条件概率公式可得P(B|A)＝＝×＝， 所以，在第一次抽到印有“奖”字卡片的条件下，第三次抽到未印有“奖”字卡片的概率为. 二项分布的分布列问题一般遵循以下三个步骤： 第一步，先判断随机变量是否服从二项分布； 第二步，若服从二项分布，弄清指定事件在一次试验中发生的概率p是多少(若题设没有直接给出，一般可通过古典概型或相互独立事件的概率公式进行计算)； 第三步，根据二项分布的分布列P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)列出相应的分布列． 二项分布的期望与方差可根据公式E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)直接得到. 变式探究 1．(2025·四川绵阳统考二模)绵阳市37家A级旅游景区，在2023年国庆中秋双节期间，接待人数和门票收入大幅增长．绵阳某旅行社随机调查了市区100位市民平时外出旅游情况，得到的数据如下表： 性别 喜欢旅游 合计 喜欢 不喜欢 男性 20 30 50 女性 30 20 50 合计 50 50 100 单位：人 　　 (1)依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为喜欢旅游与性别有关联？ (2)将频率视为概率，从全市男性市民中随机抽取2人进行访谈，记这2人中喜欢旅游的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望和方差． 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解析：(1)零假设为H0：喜欢旅游与性别无关联． 根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝＝4>3.841＝x0.05， 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为喜欢旅游与性别有关联． (2)由表中数据可知，从全市男性市民中随机抽取一人， 该人喜欢旅游的概率为＝， 由题意可知，ξ～B(2，)，ξ的可能取值为0，1，2. 所以P(ξ＝0)＝C×(1－)2×()0＝， P(ξ＝1)＝C×(1－)1×()1＝， P(ξ＝2)＝C×(1－)0×()2＝， 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝(或者E(ξ)＝2×＝)． D(ξ)＝2××(1－)＝. 考点2　超几何分布 【例2】 (2025·广东茂名一模)已知某种业公司培育了新品种的软籽石榴，从收获的果实中随机抽取了50个软籽石榴，按质量(单位：g)将它们分成[360，380)，[380，400)，[400，420)，[420，440)，[440，460]5组，得到如下频率分布直方图． (1)用样本估计总体，求该品种石榴的平均质量(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)． (2)按分层随机抽样，在样本中，从质量在区间[380，400)，[400，420)，[420，440)内的石榴中抽取7个石榴进行检测，再从中抽取3个石榴做进一步检测． (ⅰ)记这3个石榴中质量在区间[420，440)内的个数为X，求X的分布列与数学期望． (ⅱ)已知抽取的3个石榴不完全来自同一区间，求这3个石榴恰好来自不同区间的概率． 解析：(1)该品种石榴的平均质量为 ＝20×[370×0.005＋(390＋410＋450)×0.010＋430×0.015]＝416， 所以该品种石榴的平均质量为416 g. (2)由题可知，这7个石榴中，质量在[380，400)，[400，420)，[420，440)上的频率比为0.010∶0.010∶0.015＝2∶2∶3， 所以抽取质量在[380，400)，[400，420)，[420，440)上的石榴个数分别为2，2，3. (ⅰ)由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3， 则P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (ⅱ)记A＝“抽取的3个石榴不完全来自同一区间”，B＝“这3个石榴恰好来自不同区间”， 则P(A)＝＝， P(AB)＝＝， 所以P(B|A)＝＝＝， 即这3个石榴恰好来自不同区间的概率为. 1．牢记“2特点” (1)超几何分布是不放回抽样问题； (2)随机变量为抽到的某类个体的个数． 2．具备“3条件” (1)考察对象分两类； (2)已知各类对象的个数； (3)从中抽取若干个个体，考察某类个体个数X的概率分布． 3．掌握“1实质” 超几何分布问题的实质是古典概型问题. 变式探究 2．温室是以采光覆盖材料作为全部或部分围护结构材料，具有透光、避雨、保温、控温等功能，可在冬季或其他不适宜露地植物生长的季节供栽培植物的建筑，而温室蔬菜种植技术是一种比较常见的技术，它具有较好的保温性能，使人们在任何时间都可吃到反季节的蔬菜，深受大众喜爱．温室蔬菜生长和蔬菜产品卫生质量要求的温室内土壤、灌溉水、环境空气等环境质量指标，其温室蔬菜产地环境质量等级划定如表所示． 环境质量等级 1 2 3 土壤各单项或 综合质量指数 ≤0.7 0.7～1.0 >1.0 灌溉水各单项 或综合质量指数 ≤0.5 0.5～1.0 >1.0 环境空气各单项 或综合质量指数 ≤0.6 0.6～1.0 >1.0 等级名称 清洁 尚清洁 超标 各环境要素的综合质量指数超标，灌溉水、环境空气可认为污染，土壤则应做进一步调研，若确对其所影响的植物(生长发育、可食部分超标或用作饮料部分超标)或周围环境(地下水、地表水、大气等)有危害，方能确定为污染．某乡政府计划对所管辖的甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛，共8个村发展温室蔬菜种植，对各村试验温室蔬菜坏境产地质量监测得到的相关数据如下： (1)若从这8个村中随机抽取2个进行调查，求抽取的2个村应对土壤做进一步调研的概率； (2)现有一技术人员在这8个村中随机选取3个进行技术指导，记ξ为技术员选中村的环境空气等级为尚清洁的个数，求ξ的分布列和数学期望． 解析：(1)由折线图可知：应对土壤做进一步调研的村共4个， 从8个村中随机抽取2个进行调查，基本事件总数有C＝28(个)； 其中抽取的2个村应对土壤做进一步调研的基本事件个数有C＝6(个)， 所以所求概率p＝＝. (2)由折线图可知：环境空气等级为尚清洁的村共有5个，则ξ所有可能的取值为0，1，2，3， 因为P(ξ＝0)＝＝； P(ξ＝1)＝＝； P(ξ＝2)＝＝＝； P(ξ＝3)＝＝＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 所以数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 考点3　二项分布、超几何分布的综合问题 【例3】 某学校从全体师生中随机抽取30位男生、30位女生、12位教师一起参加社会实践活动． (1)假设30位男生身高均不相同，记其身高的第80百分位数为α，从学校全体男生中随机选取3人，记X为3人中身高不超过α的人数，以频率估计概率求X的分布列及数学期望； (2)从参加社会实践活动的72人中一次性随机选出30位，记被选出的人中恰好有k(k＝1，2，…，30)个男生的概率为P(k)，求使得P(k)取得最大值的k的值． 解析：(1)X所有可能的取值为0，1，2，3，且X～B(3，0.8)． P(X＝0)＝C×(1－0.8)3＝0.008； P(X＝1)＝C×0.81×(1－0.8)2＝0.096； P(X＝2)＝C×0.82×(1－0.8)1＝0.384； P(X＝3)＝C×0.83＝0.512. 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 所以E(X)＝3×0.8＝2.4. (2)设事件A为“被选出的人中恰好有k位男生”， 则30个人中剩下(30－k)个人为女生或者老师，事件包含样本点的个数为CC， 所以P(k)＝ ＝·， 所以＝. 令>1，解得k<. 所以P(12)>P(11)>P(10)…，P(12)>P(13)>P(14)>…， 故当k＝12时，P(k)最大． 1．高考概率统计问题注重与实际生活的联系，重视概率知识在生产、生活中的实际运用，综合考查应用数学知识解决实际问题的能力，在复习中要增强应用意识，重视能力培养． 2．概率与统计常常结合在一起进行考查，重视统计思想的考查，常通过图表等提供信息，考查利用信息处理数据的能力．此外，概率统计既注重概率与统计之间的综合，同时也注意和其他知识的联系，在复习中，要注意综合运用知识的训练，注意提高综合运用知识的能力. 变式探究 3．(2025·福建福州校考模拟预测)某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次数学知识竞赛．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩(单位：分)，并以此为样本绘制了如下频率分布直方图． (1)求该100名学生竞赛成绩的中位数；(结果保留整数) (2)从竞赛成绩在(40，50]，(50，60]的两组学生中，采用分层随机抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记竞赛成绩在(40，50]的学生人数为X，求X的分布列和数学期望E(X)； (3)以样本的频率估计概率，从竞赛成绩在[30，50]的学生中随机抽取20名，用P(k)表示这20名学生中恰有k名学生竞赛成绩在[30，40]内的概率，其中k＝0，1，2，…，20.当P(k)最大时，求k. 解析：(1)由直方图可知成绩在[30，40]，(40，50]，(50，60]，(60，70]的频率和为0.06＋0.12＋0.18＋0.34＝0.7>0.5，而成绩在(60，70]的频率为0.34， 则抽取的100名学生成绩的中位数在(60，70]内，设中位数为x，则0.36＋(x－60)×0.034＝0.5， 解得x＝64.118≈64，所以该100名学生竞赛成绩的中位数约为64. (2)由频率分布直方图可得竞赛成绩在(40，50]，(50，60]两组的频率之比为0.12∶0.18＝2∶3， 则10人中竞赛成绩在(40，50]的人数为10×＝4，在(50，60]的人数为10×＝6， 则X所有可能的取值为0，1，2，3， 于是P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝， P(X＝4)＝＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (3)用频率估计概率，竞赛成绩在[30，40]内的概率P＝＝， 则P(k)＝CPk(1－P)20－k ＝C×()k×()20－k＝， ＝ ＝× ＝× ＝(－1＋)． 令＝(－1＋)≥1， 解得k≤6， 当且仅当k＝6时取等号，即P(6)＝P(7)， 当k<6，k∈N时，P(k＋1)>P(k)，当6<k≤20，k∈N时，P(k＋1)<P(k)， 所以当k＝6或k＝7时，P(k)最大． 学科网（北京）股份有限公司 $