精品解析：吉林省延边朝鲜族自治州延边第二中学2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

吉林省延边朝鲜族自治州延边第二中学2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “ ”是“直线 与直线 相互垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直的等价条件得到方程，解出后再结合充分不必要条件定义判断即可. 【详解】若“直线 与直线 相互垂直”， 则，该方程恒成立，则， 则可以推出，则充分性成立， 无法推出，则必要性不成立， 则“ ”是“直线 与直线 相互垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 2. 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ） A. 2 B. 10 C. 2或9 D. 2或10 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义求解. 【详解】，，，， 由，由得或10， 又. 所以. 故选：B. 3. 椭圆的两个焦点为，椭圆上有一点，则的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆方程可得参数的值，进而求出的值，根据椭圆的定义求焦点三角形的周长. 【详解】由椭圆可得，所以， 故的周长为. 故选：. 4. O 为坐标原点， F 为抛物线的焦点，点 在 C 上，且 ，则 p = （ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线定义得到，利用解得，进而求得抛物线方程. 【详解】由抛物线的定义，可知，又，， 所以，得. 由点在上，得，结合，解得. 故选：C 5. 如果，，那么直线不通过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】结合直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系即可求解． 【详解】因为，所以，直线可化为，因为，，所以，也即，，所以直线不过第三象限． 故选：C． 6. 已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意在中，，在中，，再结合离心率求解即可. 【详解】连接，设，，则， 因为，所以， 在中，，所以， 化简得，则，， 在中，， 所以，即，所以离心率. 故选：D 7. 设点，若在圆上存在点，使得，则的最大值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】以MP为一边作正方形MPSQ，利用几何法判断出满足条件的N存在时，需，即可求出的范围. 【详解】以MP为一边作正方形MPSQ. 若对角线PQ与圆有交点,则满足条件的N存在,此时正方形的中心在圆上或内,即MH≤1,所以，所以,所以，则其最大值为2. 故选：C 【点睛】解析几何中最值的计算方法有两类： （1）几何法：利用几何图形求最值； （2）代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作图，利用椭圆的定义结合三角形的三边关系得出，再根据两点间距离公式计算即可. 【详解】 如图，为椭圆上任意一点，则， 所以， 因为为圆上任意一点，则， 所以， 当且仅当共线且在和之间时，等号成立． 由题意知，，则， 所以的最小值为． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，则（ ） A. 若，则曲线表示圆，且半径为 B. 若，则曲线表示双曲线，且渐近线为 C. 若，，则曲线表示两条直线 D. 若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆 【答案】AC 【解析】 【分析】根据方程表示的曲线确定参数的关系，然后由方程研究曲线的性质判断各选项. 【详解】选项A：若，则，表示圆，且半径为，故A正确； 选项B：若，，则，其渐近线为， 若，，则，其渐近线为，故B错误； 选项C：若，时，，即表示两条直线，故C正确； 选项D：当时，，表示焦点在轴上的椭圆，故D错误. 故选：AC. 10. 已知抛物线的焦点为F，点F关于原点O的对称点为E，第一象限内的点A，B在C上，且，则（ ） A. 点E的坐标为 B. C. 直线的斜率为 D. 直线关于x轴对称 【答案】BD 【解析】 分析】据抛物线焦点坐标公式，结合抛物线定义、直线斜率公式逐一判断即可. 【详解】对于A，由抛物线的标准方程可知：，所以点E的坐标为，故A错误； 对于B，由，可得点A为线段的中点，点E为C的准线与x轴的交点，所以点A到准线的距离是点B到准线的距离的，由抛物线定义可得B正确； 对于C，设，由点A为的中点， 可得，，所以，又， 联立解得，所以，， 所以，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：BD 11. 记双曲线的左､右焦点分别为.若，以为圆心､4为半径的圆与的右支交于两点，点为上一点，满足，则（ ） A. 离心率 B. 的面积为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件，先求出的方程为，对A，直接法求出离心率即可；对B，根据双曲线的定义，令，，结合条件可得，再求出的面积，即可求解；对C，联立圆与双曲线的方程，直接求出的坐标，再利用三角形的性质，即可求解；对D，根据条件，利用余弦定理，即可求解. 【详解】由题意得，，解得，故的方程为， 对于A，因为的方程为，故，所以双曲线的离心率为，故A正确； 对于B，由双曲线定义可知，不妨令，而，故，即，整理得到， 所以的面积，故B错误； 对于C，易知圆的方程为，联立， 消得，解得（舍去）或， 代入，可得， 不妨令在第一象限，则，，显然. 由B可知与不重合，而在中，，故C正确； 对于D，因为，在中，由余弦定理可得，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面内，到定点的距离比到y轴的距离大2的动点的轨迹方程是______． 【答案】或 【解析】 【分析】由抛物线的定义即可求解. 【详解】当点M横坐标大于等于0时，由题意可转化为点M到点的距离等于点M到的距离， 设，所以点M的轨迹是以为焦点，为准线，顶点在原点， 开口向右的抛物线，设其方程为，所以，， 所以点M的轨迹方程为； 当点M横坐标小于0时，因为点到y轴的距离为2，所以点M在x轴上，即点M的轨迹方程为； 所以点M的轨迹方程为或. 故答案为：或. 13. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据图形分析可得，进而根据，并结合正切的二倍角公式求解即可. 【详解】解：圆即为，可知圆心为，半径为2， 如图，易知直线为圆的一条切线， 设两条切线的切点为，两条切线的夹角， 因为， 所以， 故答案为： 14. 已知，分别是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上运动，当的值最小时，的内切圆的半径为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合基本不等式“1”的妙用求出目标式取最小值的条件，再利用面积法求出三角形内切圆半径. 【详解】椭圆的焦点，且， 则， 因此，当且仅当，即时取等号， 而，则等腰的面积， 所以的内切圆半径. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． （1）求抛物线C的方程； （2）求证为定值． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由点在抛物线上及抛物线定义求参数，即可得方程； （2）设，联立抛物线并应用韦达定理、斜率两点式化简求，即可证. 【小问1详解】 依题意，，得，所以抛物线C的方程为． 【小问2详解】 设，联立，得． 由，得． 设，，则． 由（1）知，，． 所以为定值． 16. 已知的两顶点坐标为是边的中点，是边上的高. （1）求所在直线的方程； （2）求高所在直线的方程； （3）求过点，且到距离相等的直线的方程. 【答案】（1） （2） （3）和 【解析】 【分析】（1）由条件结合中点坐标公式求的坐标，利用两点式求直线方程，再化为一般式即可； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可. （3）当过中点时由两点式可得，与平行时由点斜式可得. 【小问1详解】 因为是边的中点，由中点坐标公式可得， 由两点式可得，整理可得. 【小问2详解】 因为是边上的高，结合上问结论可知：， ，所以， 因此高所在直线的方程为：，即. 【小问3详解】 由题意可得当所求直线过的中点， 所以由两点式可得，整理可得； 当所求直线平行于时，其斜率为，由点斜式可得， 整理可得. 综上，所求直线方程为和. 17. 已知圆过点，，且圆心在直线上，圆. （1）求圆的标准方程； （2）求圆与圆的公共弦长； （3）求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）求出的坐标及其圆的半径，从而可得圆的标准方程； （2）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，利用垂径定理可求弦长. （3）设所求的圆的方程为：，求出圆心的坐标，利用该圆心在已知直线上可求的值，从而得到圆的方程. 【详解】解：（1）设，则， 解得，圆即 所求的标准方程为：. （2）圆的一般方程为， 将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即 即，故到直线的距离为， 所以所求公共弦长为. （3）设所求的圆的方程为：， 整理得到，该圆圆心为， 因为该圆心在直线，故，解得， 故所求圆的方程为. 【点睛】本题考查圆的方程的求法、以及圆的公共弦的方程及弦长的求法，注意公共弦的直线方法可以由两个圆的一般方程相减得到，在求过已知直线和圆的交点的圆的方程时，注意利用圆系方程降低运算量，本题属于基础题. 18. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线，分别交椭圆于，和点，，且点，分别是弦，的中点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求以为直径的圆的方程； （3）直线是否过轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据依题意，结合椭圆的几何性质，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）求得直线的方程为，联立方程组与椭圆的方程，求得点的坐标，从而求得的直径的圆的方程； （3）设直线设的方程为，则直线的方程为，与椭圆的方程联立，解得的坐标，写出直线的方程，即可判定是否过定点. 【小问1详解】 解：因为椭圆经过点， 且，与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形， 可得，则，所以，解得， 所以椭圆标准分别为. 【小问2详解】 解：由（1）得，所以直线的方程为， 联立方程组，解得或，所以， 则CD的中点为且，故以为直径的圆的方程为. 【小问3详解】 解：设直线的方程为，且，则直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，则且， 所以， 由中点坐标公式得， 将坐标中的用代换，可得的中点为， 所以，所以直线的方程为， 即，则直线过定点. 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略： 1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 19. 已知双曲线，左、右焦点分别为、，两条渐近线为，且经过点． （1）求双曲线方程； （2）设过原点的直线与交于、两点且点在第一象限， （i）若以为直径的圆恰好过右焦点，求点的坐标． （ⅱ）连接与双曲线交于点，若面积为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出双曲线的方程； （2）（i）设点，点在以原点为圆心，以为半径的圆上，可得出，再由点在双曲线上，结合点在第一象限可求得点的坐标； （ii）设直线的方程为，设点、，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，根据结合三角形面积公式、韦达定理可求得的值，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 由双曲线的两条渐近线方程为，得，即， 又因为双曲线经过点，得，解得，， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 （i）由题意知，点在以原点为圆心，以为半径的圆上， 设点，则， 又因为点在双曲线上，联立，可得， 又因为点在第一象限，所以； （ii）设直线方程为，设点、， 联立可得， 由题意可得， 由双曲线的对称性可知， ，解得或（舍去）， 因为，所以，满足题意， 由图可知，所以，直线的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省延边朝鲜族自治州延边第二中学2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “ ”是“直线 与直线 相互垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ） A. 2 B. 10 C. 2或9 D. 2或10 3. 椭圆的两个焦点为，椭圆上有一点，则的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 14 D. 16 4. O 为坐标原点， F 为抛物线的焦点，点 在 C 上，且 ，则 p = （ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 5. 如果，，那么直线不通过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 设点，若在圆上存在点，使得，则的最大值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，则（ ） A. 若，则曲线表示圆，且半径为 B. 若，则曲线表示双曲线，且渐近线 C. 若，，则曲线表示两条直线 D. 若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆 10. 已知抛物线的焦点为F，点F关于原点O的对称点为E，第一象限内的点A，B在C上，且，则（ ） A. 点E的坐标为 B. C. 直线的斜率为 D. 直线关于x轴对称 11. 记双曲线的左､右焦点分别为.若，以为圆心､4为半径的圆与的右支交于两点，点为上一点，满足，则（ ） A. 离心率 B. 的面积为 C D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面内，到定点的距离比到y轴的距离大2的动点的轨迹方程是______． 13. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则___________. 14. 已知，分别是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上运动，当的值最小时，的内切圆的半径为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． （1）求抛物线C的方程； （2）求证为定值． 16. 已知的两顶点坐标为是边的中点，是边上的高. （1）求所在直线方程； （2）求高所在直线的方程； （3）求过点，且到距离相等的直线的方程. 17. 已知圆过点，，且圆心在直线上，圆. （1）求圆的标准方程； （2）求圆与圆的公共弦长； （3）求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 18. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线，分别交椭圆于，和点，，且点，分别是弦，的中点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求以为直径的圆的方程； （3）直线是否过轴上一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由． 19. 已知双曲线，左、右焦点分别、，两条渐近线为，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）设过原点的直线与交于、两点且点在第一象限， （i）若以为直径的圆恰好过右焦点，求点的坐标． （ⅱ）连接与双曲线交于点，若面积为，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $