期中押题密卷02【测试范围：空间向量+直线与圆+圆锥曲线】-2025-2026学年高二数学上学期期期中《考点·题型·密卷》复习讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

期中押题密卷02 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．若两条平行直线与之间的距离是，则（    ） A． B． C．17 D．21 2．记为双曲线的右焦点，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在四面体中，是棱上一点，且是棱的中点，则（   ）    A． B． C． D． 4．若圆上到直线距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 6．在直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的面积的最大值为（   ） A．1 B． C．2 D． 7．已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，焦距为6，点在双曲线上，且，，则双曲线的实轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．已知圆，以圆上任意一点为圆心，为半径的圆与圆：交于，两点，则当最大时，的面积为（    ） A．2 B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线：与圆：相交于，两点，则（    ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为2 D． 10．已知椭圆C：，，分别为它的左右焦点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（   ） A．椭圆离心率为 B． C．若，则的面积为9 D．最小值为 11．已知正方体棱长为1，下列结论正确的是（    ） A．直线与所成角为 B．直线到平面的距离是 C．点到直线的距离为 D．平面与平面所成角的余弦值为 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设向量，满足.求动点的轨迹的方程 . 13．已知，分别是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上运动，则的最小值为 . 14．已知是圆上的动点，点满足，记点的轨迹为，若圆与轨迹的公共弦所在直线的方程为，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知：圆的圆心在第一象限，与轴相切，与轴交于，两点，且，，点在斜率为的直线上． (1)若直线与圆交于，两点，且，求直线的方程； (2)若存在圆心在直线上，半径为的圆与圆外切，求的取值范围． 16．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形，    (1)求证：平面 (2)求PB与平面PCD所成角的正弦值； (3)在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 17．已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 18．已知等腰梯形如图所示，其中，，点在线段上，且，，现沿进行翻折，使得平面平面，所得图形如图所示． (1)证明：； (2)已知点在线段上（含端点位置），点在线段上（含端点位置）． （ⅰ）若，点为线段的中点，求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）探究：是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．已知双曲线的虚轴长为，离心率为，分别为的左、右顶点，直线交的左、右两支分别于，两点． (1)求的方程； (2)记斜率分别为，若，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中押题密卷02 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．若两条平行直线与之间的距离是，则（    ） A． B． C．17 D．21 【答案】A 【分析】根据两直线平行求出，再由两平行线间的距离公式求出. 【详解】因为直线与，所以，解得， 又两条平行直线与之间的距离是，所以， 解得（舍去）或， 所以. 故选：A 2．记为双曲线的右焦点，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦点坐标即可求解，进而根据渐近线方程求解. 【详解】由于为双曲线的右焦点，故，所以， 故渐近线方程为， 故选：B 3．如图，在四面体中，是棱上一点，且是棱的中点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的加减法进行计算. 【详解】由题意，得 ． 故选：D． 4．若圆上到直线距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定圆心到直线的距离，再由题意得到，进而求解即可． 【详解】由圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个，且， 所以，解得， 即r的取值范围是． 故选：B． 5．设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解法一，根据条件可知，列式建立等量关系求离心率；解法二， 根据是等腰直角三角形，结合椭圆的定义，求椭圆的离心率. 【详解】解一：设椭圆方程为，依题意，显然有，则， 即，即，解得，故选B. 解二：∵为等腰直角三角形，∴，， ∵，∴，∴. 故选:B. 6．在直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的面积的最大值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，利用勾股定理可表示出弦长，代入面积公式，结合二次函数求最值即可求解. 【详解】圆心到直线的距离， ， 又，所以，即. 故选：D. 7．已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，焦距为6，点在双曲线上，且，，则双曲线的实轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】运用代入法，结合已知等式进行求解即可. 【详解】把代入中，得，即， 因为，， 所以， 又，所以，解得，舍去，则. 故选：A 8．已知圆，以圆上任意一点为圆心，为半径的圆与圆：交于，两点，则当最大时，的面积为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合等腰三角形性质确定顶角最大的条件，再借助直角三角形求解即可. 【详解】由题意知，，在中，， 显然，是锐角，， 又函数在上单调递增， 因此当且仅当公共弦最大时，最大，此时弦为圆的直径， 在中，，， 所以，. 故选：D. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线：与圆：相交于，两点，则（    ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为2 D． 【答案】ACD 【分析】化圆的方程为 标准形式判断AB；求出圆心到直线距离判断C；利用圆的弦长公式计算判断D. 【详解】对于AB，圆：的圆心，半径，A正确，B错误； 对于C，点到直线：的距离，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 10．已知椭圆C：，，分别为它的左右焦点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（   ） A．椭圆离心率为 B． C．若，则的面积为9 D．最小值为 【答案】BCD 【详解】由椭圆方程可知，， 所以椭圆的离心率，故A错误； 由椭圆定义知，故B正确； 又，因为，所以， ∴， 解得，所以的面积为，故C正确； ∵， ∴ ，当且仅当时取等号， ∴最小值为，故D正确． 故选：BCD． 11．已知正方体棱长为1，下列结论正确的是（    ） A．直线与所成角为 B．直线到平面的距离是 C．点到直线的距离为 D．平面与平面所成角的余弦值为 【答案】BCD 【详解】平面，平面，所以，A错； 以为原点，分别以为轴建立直角坐标系，如图， 则，，，，， ，设平面的一个法向量是， 则，取，得， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，即为，B正确； 是直角三角形，， 因此到直线的距离等于，C正确； 由正方体的性质，可得平面，平面， ，， ， ， 所以平面与平面所成角的余弦值为，D正确． 故选：BCD． 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设向量，满足.求动点的轨迹的方程 . 【答案】 【分析】根据向量模长的坐标表示及已知有，结合其几何意义和椭圆的定义确定轨迹方程即可. 【详解】由题设， 所以其几何意义是动点到点的距离之和为4，又， 根据椭圆的定义知，的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆， 所以对应椭圆参数为，故所求的轨迹方程为. 故答案为： 13．已知，分别是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上运动，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由椭圆定义得，再结合乘一法即可求解. 【详解】因为是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动， 所以，由椭圆定义可得. 所以， 当且仅当时，等号成立. 即的最小值为. 故答案为：. 14．已知是圆上的动点，点满足，记点的轨迹为，若圆与轨迹的公共弦所在直线的方程为，则 ． 【答案】// 【分析】利用相关点法求得圆的轨迹方程，进而得到两圆的公共弦所在直线的方程，对照已知条件中公共弦所在直线方程，分别求出，从而得到. 【详解】设，则. 所以，即， 因为是圆上的动点，所以. 所以轨迹C的方程为. 所以圆与轨迹的公共弦所在直线的方程为， 化简得. 由题意知，解得. 则. 故答案为:. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知：圆的圆心在第一象限，与轴相切，与轴交于，两点，且，，点在斜率为的直线上． (1)若直线与圆交于，两点，且，求直线的方程； (2)若存在圆心在直线上，半径为的圆与圆外切，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）设圆：，，根据题意可得，解得，， 所以圆的标准方程为，可知直线：， 圆心到的距离，因为，所以， 即，解得或，所以直线的方程为或. （2）若存在圆与圆外切，连接，即存在点使得,因为到的距离， 所以，所以，即，所以或， 所以的取值范围为. 16．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形，    (1)求证：平面 (2)求PB与平面PCD所成角的正弦值； (3)在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【详解】（1）平面平面ABCD，平面平面 平面ABCD，， 平面PAD， 平面， 又且，PA、平面平面PAB； （2）取AD中点为O，连接PO、CO， 又， 则， ，则， 以O为坐标原点，分别以所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ， 设为平面PCD的一个法向量， 由，得，令，则， 设PB与平面PCD所成角的角为， （3）假设在棱PB上存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为， 由可知，， ，设 设为平面ADM的一个法向量， 由得， 则， 易知平面ABCD的一个法向量为， 设平面ADM与平面ABCD的夹角为 ， ， 17．已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）∵的周长为8，的最大面积为， ∴，解得，或，． ∴椭圆C的方程为或等． （2）    由（1）及易知， 不妨设直线MN的方程为：，，，， 联立，得． 则，， 若的内心在x轴上，则， ∴，即，即， 可得． 则，得，即． 当直线MN垂直于x轴，即时，显然点也是符合题意的点． 故在x轴上存在定点，使得的内心在x轴上. 18．已知等腰梯形如图所示，其中，，点在线段上，且，，现沿进行翻折，使得平面平面，所得图形如图所示． (1)证明：； (2)已知点在线段上（含端点位置），点在线段上（含端点位置）． （ⅰ）若，点为线段的中点，求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）探究：是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因为平面平面，，平面平面，平面， 所以平面， 而平面，故． （2）由题意易知两两垂直， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则， （ⅰ）因为， 则，，，，，， 故，， 设为平面的法向量，则， 令，则， 可得为平面的一个法向量， 而，记直线与平面所成的角为， 则； （ⅱ）由题意， 设，， 故，， 设，，则， 而，，若平面，则， 解得，故当重合，点的坐标为时， 平面，此时． 19．已知双曲线的虚轴长为，离心率为，分别为的左、右顶点，直线交的左、右两支分别于，两点． (1)求的方程； (2)记斜率分别为，若，求的值． 【详解】（1）依题意，，由双曲线的离心率为，得，即， 解得，所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，，设点，， 由消去得，由已知，， 且，所以，所以，， 而，由，得， 即， 整理得， 即，则， 即，于是， 要恒成立，则，解得，满足， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $