期中押题密卷01【测试范围：空间向量+直线与圆】-2025-2026学年高二数学上学期期期中《考点·题型·密卷》复习讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

期中押题密卷01 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．直线经过两点，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（   ） A． B．1 C．2 D．4 3．如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 4．已知直线：：，：，则“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 6．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 7．已知直线，若直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 8．已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．非零向量，，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线 10．下列命题正确的有（    ） A．两平行线间的距离为2 B．过点且在两坐标轴上截距相等的直线有两条 C．直线的方向向量可以是 D．直线与直线平行，则或2 11．在正方体中，，为正方形内（包括边界）一动点，为的中点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得 C．若，则的最大值为 D．满足的点的轨迹长度为 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．过，，三点的圆的标准方程为 . 13．在平面直角坐标系中，设，若沿直线把平面直角坐标系折成大小为的二面角后，，则的余弦值为 ． 14．已知圆和定点，直线．若直线上存在点，过点作圆的切线，切点为，满足，求的取值范围 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．求下列直线方程： (1)已知，， ①求边所在的直线方程； ②求边上的垂直平分线所在直线的方程； (2)已知点，求过点P且与原点距离为3的直线l的方程． 16．如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 17．已知圆C的圆心C在x轴上，并且过和两点． (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆相交于M，N两点，的面积为2，求实数m的值． 18．已知点与两个定点，的距离的比为． (1)记点的轨迹为曲线，求曲线的轨迹方程． (2)若斜率为的直线与曲线交于不同的两点、，若为直角，求直线在轴上的截距． (3)过点作两条与曲线相切的直线，切点分别为、，求直线的方程． 19．如图，四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，是PA的中点，点N是PC的中点． (1)求BM与PC所成角的余弦值； (2)若四棱锥的各顶点都在球的球面上，求与平面PDC所成角正弦值； (3)过点M，N，B的平面与线段PD交于点，求． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中押题密卷01 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．直线经过两点，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接应用斜率公式进行求解即可. 【详解】由，得的斜率为． 故选：A 2．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据向量垂直的性质，两个垂直向量的数量积为，由此可列出关于的方程，进而求解的值. 【详解】已知， 所以 解得： 故选：B. 3．如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照向量加减数乘运算法则计算即可 【详解】解：因为为中点，所以， 因为，所以， 则． 故选： B. 4．已知直线：：，：，则“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据求出的值并进行检验，再利用充分必要条件的概念判断即可. 【详解】由，解得或, 当时，直线：，：，此时两条直线重合，舍掉， 当时，直线：，：，此时两条直线平行， “”是“”的充分必要条件. 故选：. 5．圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】B 【分析】根据圆心距与半径的关系判断. 【详解】由题意，圆，则圆心，半径， 圆，则圆心,半径， 所以两圆圆心距，所以两圆外切. 故选：B. 6．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D 7．已知直线，若直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】先求出直线所过的定点，再根据时取得最小值结合圆的弦长公式即可得解. 【详解】直线，即， 令，解得， 所以直线过定点， 圆的圆心，半径， 因为， 所以点在圆内， 则圆心到直线的距离（时取等号）， 所以（时取等号）， 所以的最小值为. 故选：C. 8．已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析两直线的性质，确定两直线的垂直关系，从而得出点的轨迹为圆，再结合圆确定两圆的位置关系，进而利用两点间距离公式结合两圆半径得出的最大值． 【详解】直线可变形为， 直线过定点， 同理，则直线过定点， 时，直线，，此时； 当时，， 直线， 直线与直线的交点的轨迹是以AB的中点为圆心，半径为的圆， 又圆的圆心，半径，两圆位置关系如下图所示， 的最大值是． 故选：D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．非零向量，，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线 【答案】ABD 【分析】根据向量垂直的定义可判断A的正误，根据四点共面的判断方法可判断B的正误，根据基底向量的条件可判断C的正误，根据三点共线的判断方法可判断D的正误. 【详解】对于A，对于非零向量，，若，则，正确； 对于B，若对空间中任意一点，有， ∵，∴，，，四点共面，故正确； 对于C，∵ ∴，，共面，不可以构成空间的一组基底，故错误； 对于D，若空间四个点，，，，， ∵，则，，三点共线，故正确． 故选：ABD． 10．下列命题正确的有（    ） A．两平行线间的距离为2 B．过点且在两坐标轴上截距相等的直线有两条 C．直线的方向向量可以是 D．直线与直线平行，则或2 【答案】AB 【分析】计算平行直线的距离得到A正确；截距相等的直线有和，B正确；直线的一个方向向量是，C错误；当时，两直线重合，D错误. 【详解】A，两平行线间的距离为，A正确； B，过点且在两坐标轴上截距相等的直线：截距为0时， 截距不为0时，设，代入，可得，故直线方程为：，B正确； C，直线的一个方向向量是，与不平行，C错误； D，验证当时，两直线重合，D错误. 故选：AB. 11．在正方体中，，为正方形内（包括边界）一动点，为的中点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得 C．若，则的最大值为 D．满足的点的轨迹长度为 【答案】AD 【分析】利用锥体体积公式可判断A选项；以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，设点，其中、，利用空间向量法可判断BC选项；根据可得出、的关系式，确定点的轨迹，并求其长度，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为平面平面，平面， 所以点到平面的距离等于， 因为四边形是边长为的正方形，故， 因此为定值，A对； 对于B选项，取的中点，的中点，连接． 以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、． 设，其中、，则，， ， 因为，所以， 所以，不存在点，使得，B错； 对于C选项，，， 所以，即， 因为，所以， 故当时，的最大值为，C错； 对于D选项，，， 由得，即， 又因为、，所以、， 所以点的轨迹为平面内的线段， 即图中的线段，由图知， 故满足的点的轨迹长度为，D正确． 故选：AD. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．过，，三点的圆的标准方程为 . 【答案】. 【分析】设圆的标准方程为，代入，，得到的方程组求解即可. 【详解】不妨设圆的标准方程为，由， 可解得于是圆的标准方程为. 故答案为：. 13．在平面直角坐标系中，设，若沿直线把平面直角坐标系折成大小为的二面角后，，则的余弦值为 ． 【答案】 【分析】在平面直角坐标系中，过点作于点，则折成二面角后，，由结合向量的数量积运算求解即可． 【详解】在平面直角坐标系中，过点作于点， 可知， 沿直线把平面直角坐标系折成大小为的二面角后， 仍有， 则，由，可得， 即，即， 可得．故答案为： 14．已知圆和定点，直线．若直线上存在点，过点作圆的切线，切点为，满足，求的取值范围 ． 【答案】 【分析】求设，根据得到点的轨迹方程，根据直线与圆的位置关系列不等式，由此求得的取值范围． 【详解】设，则， 由，，得， 化简得，所以点的轨迹是以为圆心，8为半径的圆． 又因为点在直线上，所以与圆有公共点， 所以，解得， 所以的取值范围是．故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．求下列直线方程： (1)已知，， ①求边所在的直线方程； ②求边上的垂直平分线所在直线的方程； (2)已知点，求过点P且与原点距离为3的直线l的方程． 【答案】(1)① ；② (2)或 【分析】（1）①先求得BC所在直线斜率，代入点斜式方程，整理即可得答案；②先求得的中点坐标，由①可求得边的垂直平分线的斜率，代入点斜式方程，整理即可得答案. （2）分别讨论直线l的斜率不存在和存在两种情况，分析计算，结合点到直线距离公式，即可求得答案. 【详解】（1）①由题可得， 则边所在的直线方程为，即. ②线段的中点坐标为，即， 由①知，则其垂直平分线的斜率为， 则边上的垂直平分线所在直线的方程为，即． （2）当直线l的斜率不存在时，此时，l与原点距离为3，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设，即， 则有，解得，此时． 综上所述所求直线l的方程为或． 16．如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）利用中位线证明线线平行，再证明线面平行即可； （2）利用正三棱柱的性质如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线面角的正弦值； 【详解】（1）如图，连接交于点O，连接， 则点O为的中点，且D是的中点， 则为的中位线，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （2）取的中点F， 因为在正中，D是的中点，故， 因为三棱柱为正三棱柱， 所以平面ABC， 又因为D是的中点，F是的中点， 所以， 所以平面，所以，， 以D为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，    则，，，，，，． 故，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，即． 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17．已知圆C的圆心C在x轴上，并且过和两点． (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆相交于M，N两点，的面积为2，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：设圆心C的坐标为，由求得，得圆心C的坐标，由得半径，从而得圆C的标准方程； 解法二：求出线段的中点为D的坐标，线段的垂直平分线的方程，则直线与x轴的交点即为圆心C，圆的半径，从而得圆C的标准方程； （2）解法一：设圆心到直线的距离d，根据弦长公式得，由三角形面积公式列出关于的方程，求解即可； 解法二：由条件可得出，是等腰直角三角形，所以圆心C到直线的距离，解方程即可. 【详解】（1）解法一：设圆心C的坐标为， 因为A，B是圆上两点，所以， 根据两点间的距离公式，有， 解得，所以圆心C的坐标是． 圆的半径． 所以所求圆C的标准方程是． 解法二：设线段的中点为D． 因为，，可得点D的坐标为， 因为直线的斜率为． 因此线段的垂直平分线的方程是，即． 直线与x轴的交点坐标为，所以圆心C的坐标是， 圆的半径． 所以所求圆的标准方程是． （2）解法一：设圆心到直线的距离为d，， 直线与圆相交于M，N两点，则， 所以， 解得，即，所以， 因为，所以，即， 所以，解得． 解法二：因为圆C的半径，则， 又因为，所以， 所以是等腰直角三角形， 所以圆心C到直线的距离， 所以，解得． 18．已知点与两个定点，的距离的比为． (1)记点的轨迹为曲线，求曲线的轨迹方程． (2)若斜率为的直线与曲线交于不同的两点、，若为直角，求直线在轴上的截距． (3)过点作两条与曲线相切的直线，切点分别为、，求直线的方程． 【答案】(1)(2) (3) 【详解】（1）设点的坐标为，则 得 整理得： 曲线的方程是. （2）设直线l的方程为，依题意可得为等腰直角三角形， 则圆心到直线l的距离d=，解得：, 所以直线在轴上的截距为 （3）过点作两条与曲线相切的直线，点在圆外，连接，，由题意知，，以为圆心，为半径的圆的方程为①， 又圆的方程为②， 由①②得直线的方程是； 19．如图，四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，是PA的中点，点N是PC的中点． (1)求BM与PC所成角的余弦值； (2)若四棱锥的各顶点都在球的球面上，求与平面PDC所成角正弦值； (3)过点M，N，B的平面与线段PD交于点，求． 【答案】(1)；(2)；(3). 【详解】（1）取AD中点O，BC中点Z，连接OP，OZ， 因侧面PAD为正三角形，底面ABCD是边长为2的正方形，则，， 又平面平面ABCD，平面平面，平面， 所以平面，故直线OP，OA，OZ两两垂直， 故以O为原点，OA，OZ，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图， 则，，，，，， ，，，， 故， 故BM与PC所成角的余弦值为． （2）设OZ交BD于点，则球心在过且垂直于平面ABCD的直线上， 则可设球心为，又， 所以，解得，即， 故，，， 设平面PCD的法向量为， 则，故可取， 设与平面PDC所成角为，则有， 故与平面PDC所成角正弦值为． （3）设，则，且， 因，则，， 因为M，N，B，Q共面，则共面， 故存在唯一实数对，使得， 即 ， 所以， 解得，所以． 2 学科网（北京）股份有限公司 $