高考二轮复习重点专题突破：(坐标法，基底法，投影向量法，极化恒等式)四大解法在平面向量中的应用课件（全国通用）-2026届高三数学二轮专题复习

该高中数学高考复习课件聚焦平面向量四大核心解法，覆盖坐标法、基底法、投影向量法及极化恒等式，对接高考评价体系，梳理数量积、模长最值等高频考点，通过真题与模拟题归纳常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题解析+变式训练+方法建模”，如2025天津高考真题用基底法突破向量数量积，培养数学思维与推理能力，提供“爪”字型模型等解题模板，助力学生掌握应试技巧，教师可据此高效指导复习。

坐标法，基底法，投影向量法，极化恒等式 四大解法在平面向量中的应用 平面向量 二轮复习 精品课件 年 级：高三 学科：数学（二轮复习） 01 坐标法解决平面向量问题 02 利用基底法求数量积 03 投影向量相关题型 04 利用极化恒等式求解 目 录 CONTENTS 思维导图 在此处输入文字或粘贴复制到文本框里,在此处输入文字或粘贴复制到文本框里。 在此处输入文字或粘贴复制到文本框里,在此处输入文字或粘贴复制到文本框里。 坐标法解决平面向量问题 PART 01 在此处输入文字或粘贴复制到文本框里,在此处输入文字或粘贴复制到文本框里。 在此处输入文字或粘贴复制到文本框里,在此处输入文字或粘贴复制到文本框里。 一、坐标法 坐标法是解决平面向量问题的重要方法，坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标.对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的. 方法介绍： 建系技巧： ①涉及到含有垂直的图形，如长方形、正方形、直角三角形、等边三角形、直角梯形、菱形的对角线等等； ②虽然没有垂直，但有特殊角，如30°、45°、60°、120°、135°等等. 题型一：坐标法求数量积最值 题型一：坐标法求数量积最值 变式训练： 利用基底法求向量数量积 PART 02 在此处输入文字或粘贴复制到文本框里,在此处输入文字或粘贴复制到文本框里。 在此处输入文字或粘贴复制到文本框里,在此处输入文字或粘贴复制到文本框里。 二、基底法知识网络： 基底法解题思维： ①利用基底转化向量；②根据向量运算律化简目标；③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想，三角函数思想等得出结论； 01 02 03 平面向量问题处理的两个角度 方法一：恰当选择基地 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算． 方法二：“坐标运算” 坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标．对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的． 题型二：用基底法求向量数量积 例 解题思路：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四 边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算． 题型二：用基底法求向量数量积 例 变式训练： 变式训练： 变式训练： 基底法解题过程步骤和技巧 1 步骤 技巧 2 方便向量快速表示 利用投影向量求向量数量积 PART 03 在此处输入文字或粘贴复制到文本框里,在此处输入文字或粘贴复制到文本框里。 在此处输入文字或粘贴复制到文本框里,在此处输入文字或粘贴复制到文本框里。 三、投影向量法 求投影向量时，根据定义由投影向量与投影所在的向量共线，问题转化为利用该向量的数量投影与投影所在向量方向上单位向量的积；特别注意：投影向量与数量投影的本质区别与联系； 如图：如果向量的起点A和终点B在直线上的投影分别为和 ， 那么向量 叫做向量在直线上的投影向量（简称为：投影）； 方法介绍： 1 2 题型三：用投影向量求向量数量积 题型三：用投影向量求向量数量积 方法总结 1 、 在 上 的投影向量代数表达： 2 、数量积 的几何意义 变式训练： 变式训练： C 利用极化恒等式求向量数量积 PART 04 在此处输入文字或粘贴复制到文本框里,在此处输入文字或粘贴复制到文本框里。 在此处输入文字或粘贴复制到文本框里,在此处输入文字或粘贴复制到文本框里。 四、极化恒等式法 极化恒等式是平面向量中的重要等式，是解决平面向量的数量积问题的重要工具，有平行四边形模型和三角形模型两大重要模型，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. 方法介绍： 1 2 极化恒等式的证明过程与几何意义 几何解释： (1)平行四边形模型： 1 (2)三角形模型： 2 题型四：利用极化恒等式求向量数量积 变式训练： 方法总结 方法提升 非常感谢您的观看 THANKS 二轮复习 精品课件 例1．（2025·新疆辽宁·一模）等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在线段上任意一点，则的最小值是（ ） A． B．1 C． D． 解题思路：作垂直于于点，作垂直于于点，建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标，利用坐标计算出的表达式，由二次函数的单调性即可求得答案. 解：如图，作垂直于于点，作垂直于于点， 又，，， 则，，，， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，，又P为腰AD所在直线上任意一点， 则设，，则点P的坐标为， 所以，， 又关于的二次函数的对称轴为， 则在上单调递减， 所以当，即点P和点D重合时，取得最小值． 故的最小值是．故选：C． 2．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 解：因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 2．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 所以 ． 故答案为：；. 2．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 解题思路：空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解； 空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解. 解：空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到， 即，则； 空2：因为，则，可得， 得到， 即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 故答案为：；. 例3．（2025·全国·模拟预测）已知圆的半径为1，过圆外一点作一条切线与圆相切于点，，为圆上一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 解题思路：方法一：建立坐标系，设，根据余弦函数即可得到数量积范围； 方法二：根据数量积与投影向量之间的关系进行转化即可. 解：方法一：不妨设圆心，，，， 所以， 因为， 所以. 例3．（2025·全国·模拟预测）已知圆的半径为1，过圆外一点作一条切线与圆相切于点，，为圆上一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 方法二：如图，过圆心作，且与圆交于点M，N，连接，， 过M，N分别作，，垂足分别为G，H，过作，垂足为， 则在方向上的投影向量为， 则，， 又，所以.故选：B. 3．（2025·重庆·模拟预测）如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解题思路法一：以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，应用向量的坐标运算即可求解；法二：连接，设，则，，即可求解. 解：方法一：如图1，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则）． 设，则．因为，所以． 由题意知，圆O的半径．因为点P在弧（包括端点）上， 所以，所以的取值范围是． 方法二：如图2，连接．易知， 设，则． 由已知可得，所以， 所以 ． 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围是. 例4．（2025·江西·一模）如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 解题思路：根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得，再由的范围，即可得到结果. 解：由题意可得， ， 当与正六边形的边垂直时，， 当点运动到正六边形的顶点时，， 所以，则，即.故选：B 4．（24-25高三上·山西晋中·模拟）(多选题)如图所示，正六边形的中心与圆的圆心重合，正六边形的边长为4，圆的半径为1，是圆的一条动直径，为正六边形边上的动点，则的可能取值为（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 解题思路：根据数量积的运算律可得，结合正六边形的几何性质. 解:如图，设圆心为，取的中点，连接，，，， 根据题意可知，是边长为的正三角形，易得， ， 根据图形可知，当点位于正六边形各点的中点时，有最小值， 此时，当点位于正六边形的顶点时，有最大值，此时 综上，.故选：BCD 归纳一．代数模式极化恒等式：， 公式推导：； 归纳二．平行四边形模式：如图a，在平行四边形中，O是对角线交点，则； 归纳三．三角形模式：如图b，在中，设D为的中点，则． 推导过程：由． $