专题2.4 概率的简单应用（知识梳理+5个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共40题）-2025-2026学年浙教版数学九年级上册同步培优讲练

专题2.4 概率的简单应用 （知识梳理+5个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共40题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：用概率判断游戏的公平性 1 知识点梳理02：概率与统计的综合应用 1 优选题型 考点讲练 2 考点1：利用概率计算随机事件发生的平均次数 2 考点2：概率在转盘抽奖中的应用 3 考点3：概率在比赛中的应用 6 考点4：概率的其他应用 8 考点5：游戏的公平性 11 中考真题 实战演练 13 难度分层 拔尖冲刺 17 基础夯实 17 培优拔高 24 知识点梳理01：用概率判断游戏的公平性 游戏是否公平的关键在于参加游戏的人获胜的概率是否相等．修改游戏规则是指修改规则的制定，而不是修改整个活动方案． 知识点梳理02：概率与统计的综合应用 解决统计图表与概率的综合应用问题的关键在于熟练处理统计图表中的信息，灵活运用公式来求概率． 考点1：利用概率计算随机事件发生的平均次数 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，在“浙”篮球赛中，由大数据推送发现某地号运动员比赛中罚球投中的概率是．若他在一场比赛中，有次罚球机会，则他估计能投中的次数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了已知概率求数量，掌握概率的意义是解题的关键．根据概率的意义直接计算即可. 【规范解答】解：该运动员比赛中罚球投中的概率是， 若有次罚球机会，则他估计能投中的次数是（次）． 故答案为：． 【变式训练01】（24-25九年级上·全国·课后作业）事件发生的概率为，大量重复做这种试验，平均每100次实验，事件发生的次数是 【答案】25 【思路点拨】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，可得答案． 【规范解答】解：事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生的次数是25， 故答案为：25． 【变式训练02】（2024·贵州·模拟预测）在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小星和小红一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球（不放回），小星先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小星获胜 B．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小星获胜 C．一定是小红获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小红获胜 【答案】B 【思路点拨】本题考查了概率的定义，列举法等知识，结合选项，利用排除法求解即可． 【规范解答】假设两人第一次都摸到红球，若第二次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第二次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故A、C都不正确； 若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小星先摸球，则小星先摸到2个红球，所以一定是小星获胜，故B正确；若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第四次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第四次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故D不正确． 故选：B． 考点2：概率在转盘抽奖中的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）某商场举办有奖促销活动，凡购买一定金额的商品，即可参与转盘抽奖．如图，转盘分为，，，四个区域，自由转动转盘，指针对准，，，区域时，分别对应“谢谢惠顾”“一等奖”“二等奖”“三等奖”，转到指针对准公共线位置时重转． (1)若某顾客转动一次转盘，求其获得“一等奖”的概率． (2)若某顾客转动一次转盘，求其中奖的概率． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．掌握几何概率的求法是解本题的关键． （1）求出字母所在的区域的圆心角度数，再根据概率公式即可求解． （2）求出中奖区域的圆心角度数，再根据概率公式即可求解． 【规范解答】（1）解：根据题意可得：区域对应“一等奖”， 设顾客转动一次转盘，其获得“一等奖”为事件， 由图知字母所在的区域的圆心角度数为， 则， 答：顾客转动一次转盘，其获得“一等奖”的概率为． （2）解：设顾客转动一次转盘，中奖为事件， 则， 答：顾客转动一次转盘，其中奖的概率为． 【变式训练01】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘．并规定：顾客每购买100元的商品， 就能获得一次转转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元购物券（转盘被等分成20个扇形），甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？ 【答案】 【思路点拨】此题考查概率的计算公式，先确定情况数及总结果数，根据概率公式计算即可 【规范解答】 解：甲顾客购物120元，他有转转盘的机会， 整个圆周被分成了20份，共有20种等可能结果， 红色、黄色或绿色区域的份数之和为9份， 所以获得购物券的概率为：． 【变式训练02】（24-25七年级下·山东济南·期末）某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元，获得一次转动转盘的机会． (1)他能获得购物券的概率是______，甲顾客转动转盘转到蓝色是______（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； (2)求他得到100元购物券的概率是多少？ (3)若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查简单概率问题，涉及简单概率公式、事件分类等知识，读懂题意，熟练掌握一步概率问题的求法是解决问题的关键． （1）由题意，结合简单概率公式求解即可得到他能获得购物券的概率是，再由转盘上没有蓝色区域，即可得到甲顾客转动转盘转到蓝色是不可能事件； （2）如果转盘停止后，指针正好对准红色区域，顾客就可以获得100元的购物券，转盘上红色区域有2份，由简单概率公式求解即可得到答案； （3）如果转盘停止后，指针正好对准绿色区域，顾客就可以获得50元的购物券，转盘上绿色区域有4份，他得到50元购物券的概率是；若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将4个无色扇形涂成绿色． 【规范解答】（1）解：由题意可知，转盘被等分成20个扇形，如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，则转盘上红、绿或黄色区域共有11份， 他能获得购物券的概率是； 转盘上没有蓝色区域， 甲顾客转动转盘转到蓝色是不可能事件； 故答案为：，不可能事件； （2）解：如果转盘停止后，指针正好对准红色区域，顾客就可以获得100元的购物券，转盘上红色区域有2份，则他得到100元购物券的概率是； （3）解：如果转盘停止后，指针正好对准绿色区域，顾客就可以获得50元的购物券，转盘上绿色区域有4份，则他得到50元购物券的概率是； 若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将4个无色扇形涂成绿色． 考点3：概率在比赛中的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有，，，，，，，，，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指针指向分界线时，重转一次）．小西和小阳利用此转盘做游戏：一人转动转盘，另一人猜数．若所猜数字特征与转出的数字特征相符，则猜数的人获胜；否则，转动转盘的人获胜． (1)若小西转动转盘，小阳猜转出的数是奇数，请计算小阳获胜的概率； (2)若小阳转动转盘，小西猜数的方式有两种：①转出的数是3的倍数；②转出的数比7小．为了尽可能获胜，小西应该选择第几种猜数方式？请说明理由． 【答案】(1) (2)为了尽可能获胜，小西应该选择第②种猜数方式，见解析 【思路点拨】本题考查概率的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）求出2种猜数方式获胜的概率，比较后即可得出结果． 【规范解答】（1）解：因为10个数中有5个奇数， 所以（小阳获胜）． （2）10个数中有3个数为3的倍数，比7小的数有6个， 所以（转出的数是3的倍数）， （转出的数比7小）． 因为， 所以为了尽可能获胜，小西应该选择第②种猜数方式． 【变式训练01】（24-25七年级下·山西运城·期中）某公园游乐场为了增加趣味性，精心设计了一款独具创意的转盘（转盘被等分成8个扇形）游戏，命名为“开心大转盘”，游戏规则如下：参与者可随心转动转盘，指针指向“A”区，参与者需支付2元费用；指针指向“B”区，参与者可获得3元奖励；指针指向“C”区，参与者可获得1元奖励．某天，参与游戏的人共转动转盘80次，你认为这一天针对该转盘游戏游乐场盈利了还是亏损了？为什么？ 【答案】盈利了，理由见解析 【思路点拨】本题考查概率的应用，根据几何概率的定义，面积比即概率．图中A，B，C所占的面积与总面积之比即为A，B，C各自的概率，算出相应的可能性，乘以钱数，比较即可． 【规范解答】解：盈利了． 理由如下： 游乐场收入：（元）． 游乐场支出：（元）． 因为，所以盈利了． 【变式训练02】（24-25九年级·浙江杭州·期中）在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（    ） A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题 C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题 【答案】D 【思路点拨】根据题意，分类讨论，列举或画出树状图列出等可能的情况，根据概率公式求出每一种情况下的概率，即可判断． 【规范解答】解：①若两次求助都用在第1题， 假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用两次求助时存在三种等可能的情况： 第一种：求助排除AB选项，还剩CD两个选项，答对的概率是， 第二种：求助排除AC选项，还剩BD两个选项，答对的概率是， 第三种：求助排除BC选项，只剩D一个选项，答对的概率是1， 因此第一题答对的概率为：，第2题答对的概率为， 故此时该选手通关的概率为：； ②若在第1第2题各用一次求助， 假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用一次求助时存在三种等可能的情况： 第一种：求助排除A选项，还剩BCD三个选项，答对的概率是， 第二种：求助排除B选项，还剩CD两个选项，答对的概率是， 第三种：求助排除C选项，还剩BD两个选项，答对的概率是， 因此第一题答对的概率为：， 第2题使用一次求助后，还剩3个选项，其中只有一个正确选项，因此答对的概率为， 故此时该选手通关的概率为：； ③两次求助都用在第2题， 画树状图如下：上层A、B、C表示第一题剩下的三个选项，下层A、B表示第二题剩下的二个选项，    共有6种等可能的结果，其中该选手通关的可能只有1种，故此时该选手通关的概率为：. ∵ ， ∴两次求助都用在第1题或都用在第2题时，该选手通关的概率大， 故选：D． 考点4：概率的其他应用 【典例精讲】（2024·广东东莞·模拟预测）已知在一个盒子里共有红、黄、绿三种颜色的棋子共20枚，每次在盒子里随机摸一个棋子，记录下颜色，再放回去．下面是总共摸了1000次后的频数表． 棋子颜色 红 黄 绿 次数 539 137 324 (1)遵循“四舍五入”原则，估计各色棋子各有多少枚？ (2)用你的估计数据计算，若在盒子里随机摸两次，正好有一次是红色，1次是黄色的概率是多少？ 【答案】(1)估计红色棋子有11个，黄色棋子有3个，绿色棋子有6个 (2) 【思路点拨】本题考查用频率估计概率，概率公式，理解在大量反复试验下频率稳定值即概率是解题的关键． （1）根据部分的具体数目＝总数×（频数÷试验总次数）即可解答； （2）求出分别从盒子中摸到红色棋子的概率，摸到黄色棋子的概率，再分别求出第一次摸到红色棋子，第二次摸到黄色棋子和第一次摸到黄色棋子，第二次摸到红色棋子的概率，它们之和即为所求． 【规范解答】（1）解：红色棋子有（个）， 黄色棋子有（个）， 绿色棋子有（个）． 答：估计红色棋子有11个，黄色棋子有3个，绿色棋子有6个． （2）解：从盒子中摸到红色棋子的概率为，摸到黄色棋子的概率为， ∴在盒子里随机摸两次，第一次摸到红色棋子，第二次摸到黄色棋子的概率是， 第一次摸到黄色棋子，第二次摸到红色棋子的概率是， ∴在盒子里随机摸两次，正好有一次是红色，1次是黄色的概率是． 【变式训练01】（2024九年级上·广东深圳·竞赛）的矩形被分为6个的区域，现在有6种颜色供选择，要求每个区域染一种颜色，并且相邻区域颜色不同，则一共有（   ）种染色方案？ A．13230 B．27000 C．12300 D．14400 【答案】A 【思路点拨】本题考查了概率的应用，固定一个区域，分与其相邻的区域颜色相同或不同找出各染色方案的种数是解题的关键． 给各区域标上字母，先从区域染色，分，，颜色相同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同及，，颜色各不相同五种情况考虑，求出各情况下染色方案的种数，再将其相加，即可求出结论． 【规范解答】解：给各区域标上字母，如图所示． 先从区域染色，分，，颜色相同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同及，，颜色各不相同五种情况考虑． 当，，颜色相同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有5种颜色可选，有5种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选，有5种颜色可选， ∴（种）； 当，，颜色各不相同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）． ∴共有（种）． 故选：A ． 【变式训练02】（24-25九年级上·江苏南京·期末）在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为 粒． 【答案】120 【思路点拨】本题主要考查了概率的应用，根据概率的意义正确列出算式是解题的关键． 由题意可知标上记号豆子的概率为，然后再用标记豆子的数量除以概率即可解答． 【规范解答】解：由题意可知：瓶子中被标记豆子的概率为， 所以瓶子中豆子的总数为粒． 故答案为：120． 考点5：游戏的公平性 【典例精讲】（24-25九年级上·云南文山·期末）小明和小刚用如图的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，当两个转盘所转到的数字之积为奇数时，小明得2分；当所转到的数字之积为偶数时，小刚得1分，这个游戏对双方公平吗？请用树状图或者列表法说明理由． 【答案】公平．理由见解析 【思路点拨】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 游戏是否公平，关键要看游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况是否一致． 【规范解答】解：公平．理由如下： 画树状图得： 从图表中可以得到：，， 小明的积分为，小刚的积分为． 故平均每次积分相等，所以游戏公平． 【变式训练01】（24-25九年级上·云南曲靖·期中）某校举办艺术节，其中A班和B班的节目总成绩并列第一，学校决定从A、B两班中选派一个班代表学校参加全省比赛，B班班长想法是：用八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给A班班长，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：A班班长和B班班长从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则A班去；如果和为奇数，则B班去． (1)请用树状图或列表的方法求A班去参赛的概率； (2)B班班长设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则． 【答案】(1)； (2)游戏不公平，游戏规则可改为：若和小于9则A班去参赛，若和大于9则B班去参赛，若和等于9，则重新抽取． 【思路点拨】（1）利用列表法得出所有可能结果，即可求出A班去参赛的概率； （2）根据（1）中所求数据即可得出A班B班去参赛的概率，从而判断游戏是否公平，将规则修改为两班被选中的概率相等即可． 本题考查概率的求法，掌握利用列表法或树状图求概率是解题的关键． 【规范解答】（1）所有可能的结果如下表： BA 4 6 7 8 1 (1,4) (1,6) (1,7) (1,8) 2 (2,4) (2,6) (2,7) (2,8) 3 (3,4) (3,6) (3,7) (3,8) 5 (5,4) (5,6) (5,7) (5,8) 一共16种结果，每个结果出现的可能性相同， 和为偶数的概率； ∴A班去参赛的概率为：； （2）游戏不公平． 由（1）列表的结果可知：A班去的概率为，B班去的概率为， ∴游戏不公平，对B班有利． A班班长和B班班长从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，则和可能为，故游戏规则可改为：若和小于9则A班去参赛，若和大于9则B班去参赛，若和等于9，则重新抽取． 【变式训练02】（25-26九年级上·山西运城·开学考试）有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为． (1)利用列表或树状图的方法表示此游戏所有可能出现的结果； (2)若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜．此游戏的规则对双方公平吗？试说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不公平，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查列表法或树状图法求概率，概率的应用； （1）根据题意列树状图求解即可； （2）根据题意得到共有2种结果；共有3种结果；分别求出概率，分析结果即可． 【规范解答】（1）解：树状图如下： 此游戏共有6种结果． （2）解：不公平，理由如下： 根据树状图可知： 共有2种结果； 共有3种结果； ∴小明胜的概率为，小刚胜的概率为； 小刚胜的概率大； ∴游戏的规则对双方不公平． 1．（2024·宁夏银川·中考真题）甲、乙两人玩如图所示的转盘游戏，游戏规则是：转盘被平均分为个区域，颜色分别为黑、白、红，转动转盘时，指针指向的颜色，即为转出的颜色（如果指针指在两区域的分界线上，则重转一次）．两人参与游戏，一人转动两次转盘，另一人对转出的颜色进行猜测．若转出的颜色与猜测的人描述的特征相符，则猜测的人获胜；否则，转动转盘的人获胜．猜测的方法从下面三种方案中选一种． ．猜“颜色相同” ； ．猜“一定有黑色”； ．猜“没有黑色”．    请利用所学的概率知识回答下列问题： (1)用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果； (2)如果你是猜测的人，你将选择哪种猜测方案，才能使自己获胜的可能性最大？为什么？ 【答案】(1)列表见解析，共有种等可能的结果：（黑,黑），（黑,白），（黑,红），（白,黑），（白,白），（白,红），（红,黑），（红,白），（红,红） (2)选方案．理由见解析 【思路点拨】本题考查了列表法或画树状图法求概率，掌握概率公式是解题的关键．   （1）用画树状图法或列表法根据题意列出所有可能的结果；   （2）分别用概率公式算出三种方案的概率，比较概率大小，从而选择概率最大的方案． 【规范解答】（1）解：列表如下： 黑 白 红 黑 （黑,黑） （黑,白） （黑,红） 白 （白,黑） （白,白） （白,红） 红 （红,黑） （红,白） （红,红） 共有种等可能的结果：（黑,黑），（黑,白），（黑,红），（白,黑），（白,白），（白,红），（红,黑），（红,白），（红,红）； （2）解：选方案．理由如下： ，，， ． 选方案，才能使自己获胜的可能性最大． 2．（2024·福建福州·中考真题）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到红球或黄球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色，若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 【答案】(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数为个，个和个 (2)游戏不公平，理由见解析 【思路点拨】本题考查的是根据概率求数量和游戏公平性的判断． （1）根据概率计算出各小球的数量即可； （2）列表求出甲、乙获胜的概率，然后比较解答即可． 【规范解答】（1）解：红球的个数为个，黄球的个数为个， 蓝球个数为个， 答：盒中红球、黄球、蓝球的个数为个，个和个； （2）解：游戏不公平，理由为： 列表为： 红1 红2 黄 蓝 红1 红1，红1 红2，红1 黄，红1 蓝，红1 红2 红1，红2 红2，红2 黄，红2 蓝，红2 黄 红1，黄 红2，黄 黄，黄 蓝，黄 蓝 红1，蓝 红2，蓝 黄，蓝 蓝，蓝 由表格可知共有16种等可能结果，甲胜出的结果数有6种，乙胜出的结果数有10种， 故甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∵， ∴游戏不公平． 3．（2024·广东佛山·中考真题）桌上放4张扑克牌，全部正面朝下，其中恰有1张是老K．两人做游戏，游戏规则是：随机取2张牌并把它们翻开，若2张牌中没有老K，则红方胜，否则蓝方胜．则赢的机会大的一方是（    ） A．红方 B．蓝方 C．两方机会一样 D．不知道 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了概率与游戏、运用画树状图求概率等知识点，用树状图列举出所有情况以及2张牌中有老K的情况数及没有老k的情况数，然后比较即可解答． 【规范解答】解：设其余3张扑克分别为a,b,c. 共12种情况，含有k的情况有6种，不含k的情况也是6种， ∴两方机会一样． 故选：C． 4．（2024·浙江绍兴·中考真题）某条笔直的路上有12盏路灯，为了节约用电，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭，则不同的关灯方案种数为 ． 【答案】126 【思路点拨】此题考查了排列组合的实际应用，理解题意，转化思路是解题的关键． 根据题意转化为有盏路灯，将4盏路灯放到8盏路灯之间，得到共有9个位置，进而求解即可． 【规范解答】解：∵路上有12盏路灯，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭， ∴可以理解为有盏路灯，将4盏路灯放到8盏路灯之间 ∴共有9个位置 ∴（盏）． ∴不同的关灯方案种数为126盏． 故答案为：126． 5．（2024·全国·中考真题）某寝室有四个同学，每个同学写一张贺卡放在一起，每人抽取一张，要求不能抽取自己写的贺卡，则不同的抽取方案共有 种（用数字作答）． 【答案】9 【思路点拨】本题要根据计数原理求出所抽取的都不是自己所写的贺卡的结果数，第一个人有3种结果，被拿走贺卡的人是第二个人有3种结果，则剩下的两个人只有一种结果，即可求解． 【规范解答】解：因为甲先去拿一张贺卡，有3种方法， 假设甲拿的是乙写的贺卡， 接下来让乙去拿，乙此时也有3种方法， 则剩下的两个人中必定有一人自己写的贺卡还没有发出去， 这样两人只有一种拿法， 所以总的拿法为种； 故答案为：9． 基础夯实 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图，若干名同学玩扔石子进筐游戏，图①、图②分别是两种游戏方式．关于这两种方式的“公平性”有下列4种说法，其中正确的是（    ） A．两种均公平 B．两种均不公平 C．仅图①公平 D．仅图②公平 【答案】D 【思路点拨】此题考查了游戏公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 对图①、图②分别是两种站立方式分别进行判断即可． 【规范解答】解：图①中，若干名同学到筐的距离不相等，则图①不公平； 图②中，若干名同学到筐的距离相等，则图②公平； 故选：D． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）甲、乙两人用两个骰子做游戏，两个骰子同时抛出，如果出现两个5点，那么甲赢；如果出现一个4点和一个6点，那么乙赢；如果出现其他情况，那么重新抛掷．你对这个游戏公平性的评价是（    ） A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法评价 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了概率公式和游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，解题的关键是熟练掌握概率公式以及列举出所有的等可能情况． 两个骰子同时抛出，列举出所有可能情况，利用概率公式分别求出甲赢和乙赢的概率，再比较即可． 【规范解答】根据题意列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 由表可知，共有36种等可能的结果，其中出现两个5点的结果有1种，出现一个4点和一个6点的结果有2种， 甲赢的概率为，乙赢的概率为， 这个游戏对乙有利． 故选：C. 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）某口袋中有10个球，其中白球有2个，绿球有5个，其余为黑球．从袋中任意摸出1个球，若为绿球，则甲获胜；若为黑球，则乙获胜．为使游戏对甲、乙双方公平，丙放入x个黑球，则x为（   ） A．3 B．4 C．1 D．2 【答案】D 【思路点拨】本题考查了游戏公平性的判断，利用概率相等来说明游戏公平，建立等式求解. 游戏公平的条件是甲、乙获胜的概率相等，原袋中有白球2个、绿球5个、黑球3个，放入个黑球后，总球数为，黑球数为，根据概率相等列方程求解。 【规范解答】解：原袋中共有10个球，其中白球2个，绿球5个，黑球3个. 放入x个黑球后：总球数变为，黑球数变为. 则甲获胜的概率：摸到绿球的概率为. 乙获胜的概率：摸到黑球的概率为. 由于甲、乙概率相等，即 消去分母得，解得. 当时，总球数为12，黑球数为5，甲、乙获胜概率均为，符合公平性． 故选：D． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每1000次发生的次数约为 次． 【答案】100 【思路点拨】本题考查了概率的意义，先明确概率的意义，再用总试验次数乘以事件A发生的概率，即可得到平均每100次发生的次数． 【规范解答】解：∵事件A发生的概率为， ∴大量重复做这种试验事件A平均每1000次发生的次数是． 故答案为：100． 5．（2024·山西·模拟预测）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，四个扇形的面积都相等，且分别标有，，，，转动转盘一次，若指针未指在分界线上，则记为一次有效转动；若指针指在分界线上，则需要重新转动转盘，直到完成一次有效转动为止．明明和亮亮两人用如图所示的转盘做游戏，两人各转动转盘一次，转盘停止后记下指针指向的数字．如果两人转得的数字之和为奇数，则明明胜；如果两人转得的数字之和为偶数，则亮亮胜，你对这个游戏公平性的评价是 （填“公平”、“对明明有利”或“对亮亮有利”）． 【答案】对亮亮有利 【思路点拨】本题考查了画树状图或列表法求概率，熟练掌握概率公式是求解的关键． 根据题意，画树状图，再运用概率公式求概率，判断游戏公平性． 【规范解答】解：根据题意，画树状图如下． 由树状图，可知共有16种等可能的结果，其中和为奇数的结果有6种，和为偶数的结果有10种， ，， ∴这个游戏对亮亮有利， 故答案为：对亮亮有利． 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径分别为和的同心圆，如图．他们蒙上眼在一定距离外向同心圆内部掷石子，落在阴影内则小红胜，落在小圆内则小明胜．这个游戏 （填“公平”或“不公平”）． 【答案】不公平 【思路点拨】本题考查了概率的应用，根据概率评判游戏是否公平是解题的关键． 求出小明与小红分别胜的概率，如果相等，则游戏公平，否则游戏不公平． 【规范解答】解：． ， 这个游戏不公平． 故答案为：不公平． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）冰冰和雪雪做掷两个筹码的游戏，其中一个两面都写有8，另一个一面写有8，另一面写有9．游戏规则如下：两人各持一个筹码同时掷出，如果掷出一对8，雪雪获胜；如果掷出一个8和一个9，冰冰获胜．你认为这个游戏 （填“公平”或“不公平”）． 【答案】公平 【思路点拨】此题考查了游戏的公平性问题，关键在于计算每个事件的概率来比较判断. 列表得出所有可能情况，分别找出两种获胜情况的次数，求出概率，在比较判定即可. 【规范解答】根据题意，列表如下： 由表可知，共有4种等可能的结果，其中掷出一对8的结果有2种，掷出一个8和一个9的结果有2种， 这个游戏公平． 8．（2025九年级·全国·专题练习）四张除正面数字外其余都相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．游戏规定：随机抽取一张卡片，记下数字后背面朝上放回，洗匀后再抽取一张，将第一次、第二次抽取的卡片上的数字分别作为十位数和个位数组成一个两位数，若组成的两位数不超过32，则小贝胜；反之，小晶胜． (1)用列表法或画树状图法求恰好得到数22的概率． (2)你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 【答案】(1)见解析， (2)这个游戏不公平，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了游戏公平性的判断，解题的关键是根据题意正确列出表格． （1）列表可得总共有种结果，其中得到数字的有种，根据概率公式即可得到答案； （2）利用列表列出所有的情况，可知总共有种可能出现的情况，而两位数不超过的有种，超过的有种，即可以求出小贝和小晶获胜的概率，进而判断游戏是否公平． 【规范解答】（1）解：（1）列表如下： 第二次第一次 2 2 3 6 2 22 22 23 26 2 22 22 23 26 3 32 32 33 36 6 62 62 63 66 由表可知，共有种等可能的结果，其中恰好得到数的结果有种， 恰好得到数的概率是． （2）解：这个游戏不公平．理由如下： 由（1）中的表格可知，共有16种等可能的结果，其中组成的两位数不超过的有种，超过的有种， ∴小贝胜出的概率是，小晶胜出的概率是， ∵ 这个游戏不公平． 9．（2026九年级·贵州·专题练习）小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成五个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次． (1)转动A盘，指针指向的数字大于3的概率是________，转动B盘，指针指向的数字小于5的概率是________； (2)若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，请判断该游戏是否公平？并说明理由． 【答案】(1) ， (2)该游戏不公平，理由见答案 【思路点拨】（1）根据概率的概念进行求值即可； （2）先计算所有可能的结果，然后根据概率公式计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，通过比较概率相等与否判断游戏是否公平即可. 【规范解答】（1）解：； . （2）解： 由树状图可知共有25种情况，其中为奇数的情况个数为13种，偶数的情况12种， ∴小亮胜的概率为：； 小明胜的概率为：； 两人获胜概率不相等 ∴该游戏不公平. 10．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）在一个不透明的小布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标 (1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标． (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由． 【答案】(1)，，，，，，，，，，， (2)不公平，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． （1）根据题意画出树状图即可； （2）根据树状图分别求出小明胜的概率，小红胜的概率，然后进行判断即可． 【规范解答】（1）解：画树状图为： 共12种等可能的结果， 点M可能的坐标为：，，，，，，，，，，，． （2）解：点M的坐标为，，，，，，，时，x、y若满足， 小明胜的概率，小红胜的概率， 这个游戏不公平． 培优拔高 11．（2025·山西·一模）明明和亮亮两人用如图所示的正四面体（每个面上分别刻有数字0，1，2，）做游戏，两人各掷两次四面体，四面体与地面接触的数字之和为奇数，则明明胜；和为偶数，则亮亮胜，你对这个游戏公平性的评价是（   ） A．公平 B．对明明有利 C．对亮亮有利 D．无法判断 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【规范解答】解：画树状图可得： 由数轴图可得，共有种等可能出现的结果，其中四面体与地面接触的数字之和为奇数的情况有种，和为偶数的情况有， ∴明明胜的概率为，亮亮胜的概率为， ∵， ∴对亮亮有利， 故选：C． 12．（2024·浙江·模拟预测）在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小金和小华一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球，小金先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小金获胜 B．一定是小华获胜 C．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小金获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小金获胜 【答案】C 【思路点拨】本题考查了随机事件，列举法等知识，利用排除法求解即可． 【规范解答】解：假设两人第一次都摸到红球，若第二次小金摸到红球，小华摸到白球，则小金获胜；若第二次小金摸到白球，小华摸到红球，则小华获胜； 故A、B都不正确； 若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小金先摸球，则小金先摸到2个红球，所以一定是小金获胜， 故C正确； 若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第四次小金摸到红球，小华摸到白球，则小金获胜；若第四次小金摸到白球，小华摸到红球，则小华获胜； 故D不正确． 故选：C． 13．（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）下列说法正确的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字大于6 B．通过抛一枚均匀的硬币确定谁先发球的比赛规则是不公平的 C．神舟飞船在发射前需要对零部件进行抽样调查 D．一组数据1，3，4，5，7的方差是4 【答案】D 【思路点拨】本题考查了不可能事件，游戏的公平性，普查和抽样调查的意义，方差，根据相关概念逐项进行判断即可． 【规范解答】解：A．骰子六个面上的数都不大于6，故A选项不符合题意； B．通过抛掷一枚均匀的硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，故B选项不符合题意； C．神舟飞船在发射前需要对零部件进行普查，故C选项不符合题意； D．一组数据1，3，4，5，7的平均数为，则其方差为，故D选项符合题意； 故选：D． 14．（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得 元；乙得 元． 【答案】 【思路点拨】本题考查了列举法求概率． 列出取胜情况，则可求得甲、乙胜的概率，继而求得答案． 【规范解答】解：第6局、第7局的取胜情况有（甲，甲），（甲，乙），（乙，乙），（乙，甲）4种情况， ∵甲三胜二负， ∴（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲）均为甲胜，（乙，乙）为乙胜， ∴甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∴甲得元、乙得元． 故答案为：， 15．（24-25七年级下·山东青岛·期中）甲、乙两人做游戏，他们任意掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数是奇数，则甲赢；若掷出的点数是偶数，则乙赢．这个游戏对甲、乙来说是 的．（填“公平”或“不公平”） 【答案】公平 【思路点拨】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．先求出他们任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数的所有等可能的结果，再分别找出掷出的点数是奇数、掷出的点数是偶数的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【规范解答】解：由题意可知，甲、乙两人任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数共有6种等可能的结果，其中，掷出的点数是奇数的结果有三种，掷出的点数是偶数的结果有三种， 则甲赢的概率为，乙赢的概率为， 所以甲赢的概率和乙赢的概率相等， 所以这个游戏对甲、乙来说是公平的， 故答案为：公平． 16．（2025·河南濮阳·一模）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有 棵． 【答案】1600 【思路点拨】本题考查折线统计图，频率估计概率，利用样本的概率估计总体数量，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据图形可以发现，频率在0.8附近波动，从而可以估计这种树苗移植成活的概率，再根据成活概率估算总体数量即可． 【规范解答】解：由图可得这种树苗成活的频率约为0.8， ∴这种树苗成活的概率为0.8， ∴这种树苗移植2000棵，成活的大约有：（棵）， 故答案为：1600． 17．（24-25九年级上·广东江门·期末）甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为2，3，4的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽取的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【思路点拨】本题考查利用概率判断游戏公平性，熟练掌握列举法求概率是解题的关键，利用列表法表示出所有可能，进而利用概率公式求出即可． 【规范解答】解：由题可列表如下： 2 3 4 2 4 5 6 3 5 6 7 4 6 7 8 由表知，共有9种等可能结结果，其中和为奇数的有4种结果，和为偶数的有5种结果， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏不公平， 故答案为：不公平． 18．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上、、，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张． (1)直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率； (2)小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由． 【答案】(1)小丽取出的卡片恰好是的概率为 (2)这个游戏不公平，对小明有利，理由见解析 【思路点拨】本题考查概率与游戏公平性的判断． （1）根据概率公式求解即可； （2）采用列表法可得小丽获胜的概率和小明获胜的概率，比较大小，判断公平性即可． 【规范解答】（1）解：小丽取出的卡片恰好是的概率为． （2）解：小丽和小明抽取卡片的所有可能列表如下： 小丽 小明 数字之积 ∴共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种， ∴小丽获胜的概率，小明获胜的概率， ∵， ∴这个游戏不公平，对小明有利． 19．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，有，两个转盘，其中转盘被分成4等份，转盘被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时分别转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将转盘指针指向的数字记为，转盘指针指向的数字记为，从而确定点的坐标为． (1)请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点的坐标． (2)在（1）的基础上，求点落在反比例函数图象上的概率． (3)记，李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当时甲获胜，否则乙获胜，若这个游戏是公平的，求的值．（取整数） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，反比例函数的性质和游戏公平性，准确分析计算是解题的关键． （1）利用树状图或列表法求解即可； （2）由（1）得到符合条件的点的个数，利用概率公式计算即可； （3）根据游戏公平性分析判断即可； 【规范解答】（1）列表如下： 1 2 3 4 2 4 6 由表格可得点的坐标共种． （2）当点坐标为或时，点在反比例函数上， 点落在反比例函数图象上的概率为． （3）由（1）中的表格可得：的值分别为3，4，5，6，5，6，7，8，7，8，9，10，共12个， 游戏是公平的， 甲乙获胜的概率都是，即的可能性有6个（的取值为3，4，5，5，6，6）． 又为整数， ． 20．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）将所有可能的取值与其对应的概率相乘，再将这些结果相加，称为这个事件的数学期望，它与随机事件的平均值密切相关．一个随机事件可能出现的值为、…，对应的概率为、…，则数学期望为．例如，抛掷一个骰子，出现的概率都为，则点数的数学期望为，也可以说投骰子出现的平均点数为． (1)海猫超市推出的返现活动如下：顾客在超市中消费一定金额后，可参加抽奖，返现金额与概率如下表所示，计算返现金额的数学期望； 金额 3元 4元 5元 6元 概率 (2)某六面骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，，（n为正整数），n为何值时，点数的数学期望最小？请说明理由． 【答案】(1)元 (2)当时，数学期望最小，理由见解析 【思路点拨】本题考查了的最值，利用概率计算随机事件发生的数学期望，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据表中数据，利用定义法求解； （2）先根据题意，列出点数的数学期望的算式，再配方后求出最值即可． 【规范解答】（1）解：返现金额的数学期望为 （元）； （2）解：点数的数学期望为 ， 当时，数学期望最小，最小值为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 概率的简单应用 （知识梳理+5个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共40题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：用概率判断游戏的公平性 1 知识点梳理02：概率与统计的综合应用 1 优选题型 考点讲练 2 考点1：利用概率计算随机事件发生的平均次数 2 考点2：概率在转盘抽奖中的应用 2 考点3：概率在比赛中的应用 4 考点4：概率的其他应用 5 考点5：游戏的公平性 5 中考真题 实战演练 6 难度分层 拔尖冲刺 8 基础夯实 8 培优拔高 10 知识点梳理01：用概率判断游戏的公平性 游戏是否公平的关键在于参加游戏的人获胜的概率是否相等．修改游戏规则是指修改规则的制定，而不是修改整个活动方案． 知识点梳理02：概率与统计的综合应用 解决统计图表与概率的综合应用问题的关键在于熟练处理统计图表中的信息，灵活运用公式来求概率． 考点1：利用概率计算随机事件发生的平均次数 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，在“浙”篮球赛中，由大数据推送发现某地号运动员比赛中罚球投中的概率是．若他在一场比赛中，有次罚球机会，则他估计能投中的次数是 ． 【变式训练01】（24-25九年级上·全国·课后作业）事件发生的概率为，大量重复做这种试验，平均每100次实验，事件发生的次数是 【变式训练02】（2024·贵州·模拟预测）在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小星和小红一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球（不放回），小星先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小星获胜 B．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小星获胜 C．一定是小红获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小红获胜 考点2：概率在转盘抽奖中的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）某商场举办有奖促销活动，凡购买一定金额的商品，即可参与转盘抽奖．如图，转盘分为，，，四个区域，自由转动转盘，指针对准，，，区域时，分别对应“谢谢惠顾”“一等奖”“二等奖”“三等奖”，转到指针对准公共线位置时重转． (1)若某顾客转动一次转盘，求其获得“一等奖”的概率． (2)若某顾客转动一次转盘，求其中奖的概率． 【变式训练01】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘．并规定：顾客每购买100元的商品， 就能获得一次转转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元购物券（转盘被等分成20个扇形），甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？ 【变式训练02】（24-25七年级下·山东济南·期末）某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元，获得一次转动转盘的机会． (1)他能获得购物券的概率是______，甲顾客转动转盘转到蓝色是______（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； (2)求他得到100元购物券的概率是多少？ (3)若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 考点3：概率在比赛中的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有，，，，，，，，，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指针指向分界线时，重转一次）．小西和小阳利用此转盘做游戏：一人转动转盘，另一人猜数．若所猜数字特征与转出的数字特征相符，则猜数的人获胜；否则，转动转盘的人获胜． (1)若小西转动转盘，小阳猜转出的数是奇数，请计算小阳获胜的概率； (2)若小阳转动转盘，小西猜数的方式有两种：①转出的数是3的倍数；②转出的数比7小．为了尽可能获胜，小西应该选择第几种猜数方式？请说明理由． 【变式训练01】（24-25七年级下·山西运城·期中）某公园游乐场为了增加趣味性，精心设计了一款独具创意的转盘（转盘被等分成8个扇形）游戏，命名为“开心大转盘”，游戏规则如下：参与者可随心转动转盘，指针指向“A”区，参与者需支付2元费用；指针指向“B”区，参与者可获得3元奖励；指针指向“C”区，参与者可获得1元奖励．某天，参与游戏的人共转动转盘80次，你认为这一天针对该转盘游戏游乐场盈利了还是亏损了？为什么？ 【变式训练02】（24-25九年级·浙江杭州·期中）在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（    ） A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题 C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题 考点4：概率的其他应用 【典例精讲】（2024·广东东莞·模拟预测）已知在一个盒子里共有红、黄、绿三种颜色的棋子共20枚，每次在盒子里随机摸一个棋子，记录下颜色，再放回去．下面是总共摸了1000次后的频数表． 棋子颜色 红 黄 绿 次数 539 137 324 (1)遵循“四舍五入”原则，估计各色棋子各有多少枚？ (2)用你的估计数据计算，若在盒子里随机摸两次，正好有一次是红色，1次是黄色的概率是多少？ 【变式训练01】（2024九年级上·广东深圳·竞赛）的矩形被分为6个的区域，现在有6种颜色供选择，要求每个区域染一种颜色，并且相邻区域颜色不同，则一共有（   ）种染色方案？ A．13230 B．27000 C．12300 D．14400 【变式训练02】（24-25九年级上·江苏南京·期末）在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为 粒． 考点5：游戏的公平性 【典例精讲】（24-25九年级上·云南文山·期末）小明和小刚用如图的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，当两个转盘所转到的数字之积为奇数时，小明得2分；当所转到的数字之积为偶数时，小刚得1分，这个游戏对双方公平吗？请用树状图或者列表法说明理由． 【变式训练01】（24-25九年级上·云南曲靖·期中）某校举办艺术节，其中A班和B班的节目总成绩并列第一，学校决定从A、B两班中选派一个班代表学校参加全省比赛，B班班长想法是：用八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给A班班长，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：A班班长和B班班长从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则A班去；如果和为奇数，则B班去． (1)请用树状图或列表的方法求A班去参赛的概率； (2)B班班长设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则． 【变式训练02】（25-26九年级上·山西运城·开学考试）有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为． (1)利用列表或树状图的方法表示此游戏所有可能出现的结果； (2)若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜．此游戏的规则对双方公平吗？试说明理由． 1．（2024·宁夏银川·中考真题）甲、乙两人玩如图所示的转盘游戏，游戏规则是：转盘被平均分为个区域，颜色分别为黑、白、红，转动转盘时，指针指向的颜色，即为转出的颜色（如果指针指在两区域的分界线上，则重转一次）．两人参与游戏，一人转动两次转盘，另一人对转出的颜色进行猜测．若转出的颜色与猜测的人描述的特征相符，则猜测的人获胜；否则，转动转盘的人获胜．猜测的方法从下面三种方案中选一种． ．猜“颜色相同” ； ．猜“一定有黑色”； ．猜“没有黑色”．    请利用所学的概率知识回答下列问题： (1)用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果； (2)如果你是猜测的人，你将选择哪种猜测方案，才能使自己获胜的可能性最大？为什么？ 2．（2024·福建福州·中考真题）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到红球或黄球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色，若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 3．（2024·广东佛山·中考真题）桌上放4张扑克牌，全部正面朝下，其中恰有1张是老K．两人做游戏，游戏规则是：随机取2张牌并把它们翻开，若2张牌中没有老K，则红方胜，否则蓝方胜．则赢的机会大的一方是（    ） A．红方 B．蓝方 C．两方机会一样 D．不知道 4．（2024·浙江绍兴·中考真题）某条笔直的路上有12盏路灯，为了节约用电，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭，则不同的关灯方案种数为 ． 5．（2024·全国·中考真题）某寝室有四个同学，每个同学写一张贺卡放在一起，每人抽取一张，要求不能抽取自己写的贺卡，则不同的抽取方案共有 种（用数字作答）． 基础夯实 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图，若干名同学玩扔石子进筐游戏，图①、图②分别是两种游戏方式．关于这两种方式的“公平性”有下列4种说法，其中正确的是（    ） A．两种均公平 B．两种均不公平 C．仅图①公平 D．仅图②公平 2．（2025九年级上·全国·专题练习）甲、乙两人用两个骰子做游戏，两个骰子同时抛出，如果出现两个5点，那么甲赢；如果出现一个4点和一个6点，那么乙赢；如果出现其他情况，那么重新抛掷．你对这个游戏公平性的评价是（    ） A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法评价 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）某口袋中有10个球，其中白球有2个，绿球有5个，其余为黑球．从袋中任意摸出1个球，若为绿球，则甲获胜；若为黑球，则乙获胜．为使游戏对甲、乙双方公平，丙放入x个黑球，则x为（   ） A．3 B．4 C．1 D．2 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每1000次发生的次数约为 次． 5．（2024·山西·模拟预测）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，四个扇形的面积都相等，且分别标有，，，，转动转盘一次，若指针未指在分界线上，则记为一次有效转动；若指针指在分界线上，则需要重新转动转盘，直到完成一次有效转动为止．明明和亮亮两人用如图所示的转盘做游戏，两人各转动转盘一次，转盘停止后记下指针指向的数字．如果两人转得的数字之和为奇数，则明明胜；如果两人转得的数字之和为偶数，则亮亮胜，你对这个游戏公平性的评价是 （填“公平”、“对明明有利”或“对亮亮有利”）． 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径分别为和的同心圆，如图．他们蒙上眼在一定距离外向同心圆内部掷石子，落在阴影内则小红胜，落在小圆内则小明胜．这个游戏 （填“公平”或“不公平”）． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）冰冰和雪雪做掷两个筹码的游戏，其中一个两面都写有8，另一个一面写有8，另一面写有9．游戏规则如下：两人各持一个筹码同时掷出，如果掷出一对8，雪雪获胜；如果掷出一个8和一个9，冰冰获胜．你认为这个游戏 （填“公平”或“不公平”）． 8．（2025九年级·全国·专题练习）四张除正面数字外其余都相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．游戏规定：随机抽取一张卡片，记下数字后背面朝上放回，洗匀后再抽取一张，将第一次、第二次抽取的卡片上的数字分别作为十位数和个位数组成一个两位数，若组成的两位数不超过32，则小贝胜；反之，小晶胜． (1)用列表法或画树状图法求恰好得到数22的概率． (2)你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 9．（2026九年级·贵州·专题练习）小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成五个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次． (1)转动A盘，指针指向的数字大于3的概率是________，转动B盘，指针指向的数字小于5的概率是________； (2)若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，请判断该游戏是否公平？并说明理由． 10．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）在一个不透明的小布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标 (1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标． (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由． 培优拔高 11．（2025·山西·一模）明明和亮亮两人用如图所示的正四面体（每个面上分别刻有数字0，1，2，）做游戏，两人各掷两次四面体，四面体与地面接触的数字之和为奇数，则明明胜；和为偶数，则亮亮胜，你对这个游戏公平性的评价是（   ） A．公平 B．对明明有利 C．对亮亮有利 D．无法判断 12．（2024·浙江·模拟预测）在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小金和小华一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球，小金先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小金获胜 B．一定是小华获胜 C．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小金获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小金获胜 13．（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）下列说法正确的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字大于6 B．通过抛一枚均匀的硬币确定谁先发球的比赛规则是不公平的 C．神舟飞船在发射前需要对零部件进行抽样调查 D．一组数据1，3，4，5，7的方差是4 14．（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得 元；乙得 元． 15．（24-25七年级下·山东青岛·期中）甲、乙两人做游戏，他们任意掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数是奇数，则甲赢；若掷出的点数是偶数，则乙赢．这个游戏对甲、乙来说是 的．（填“公平”或“不公平”） 16．（2025·河南濮阳·一模）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有 棵． 17．（24-25九年级上·广东江门·期末）甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为2，3，4的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽取的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”） 18．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上、、，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张． (1)直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率； (2)小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由． 19．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，有，两个转盘，其中转盘被分成4等份，转盘被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时分别转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将转盘指针指向的数字记为，转盘指针指向的数字记为，从而确定点的坐标为． (1)请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点的坐标． (2)在（1）的基础上，求点落在反比例函数图象上的概率． (3)记，李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当时甲获胜，否则乙获胜，若这个游戏是公平的，求的值．（取整数） 20．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）将所有可能的取值与其对应的概率相乘，再将这些结果相加，称为这个事件的数学期望，它与随机事件的平均值密切相关．一个随机事件可能出现的值为、…，对应的概率为、…，则数学期望为．例如，抛掷一个骰子，出现的概率都为，则点数的数学期望为，也可以说投骰子出现的平均点数为． (1)海猫超市推出的返现活动如下：顾客在超市中消费一定金额后，可参加抽奖，返现金额与概率如下表所示，计算返现金额的数学期望； 金额 3元 4元 5元 6元 概率 (2)某六面骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，，（n为正整数），n为何值时，点数的数学期望最小？请说明理由． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $