2.4 概率的简单应用 同步练习 2025-2026学年浙教版九年级数学上册

2.4 概率的简单应用 同步练习 一、选择题：本题共16小题，每小题3分，共48分。 1.甲、乙两人玩一个游戏，判断这个游戏是否公平的标准是(    ) A. 游戏的规则由甲方确定 B. 游戏的规则由乙方确定 C. 游戏的规则由甲、乙双方共同确定 D. 游戏双方要各有赢的机会 2.某区教研室要举行语文、数学、英语三科青年教师教学技能大赛，，，三所学校分别承担一科比赛为确保公平性，决定采取两轮抽签的方式来确定，，三所学校所承担的比赛科目，第一轮，先由学校从语文、数学、英语三科中随机抽取一科，第二轮，再由学校从剩下两科中随机抽取一科则在两轮抽签中，学校抽到语文、学校抽到数学的概率为(    ) A. B. C. D. 3.甲、乙两名同学正在玩下表中的三个游戏，游戏规则如表所示，游戏过程中应不放回地取球下列说法正确的是(    ) 游戏 游戏 游戏 袋子中球的数量和颜色 个红球和个白球 个红球和个白球 个红球和个白球 取球规则 取个球 依次取个球 依次取个球 获胜规则 取到红球甲胜 两个球同色甲胜 两个球同色甲胜 取到白球乙胜 两个球不同色乙胜 两个球不同色乙胜 A. 甲在游戏取胜的概率为 B. 甲在游戏取胜的概率为 C. 游戏对甲、乙双方都公平 D. 乙在游戏中最容易取胜 4.小晶和小红玩掷骰子游戏，每人将一个各面分别标有数字、、、、、的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：若点数之和等于，则小晶赢；若点数之和等于，则小红赢；若点数之和是其他数，则两人不分胜负，那么(    ) A. 小晶赢的机会大 B. 小红赢的机会大 C. 小晶、小红赢的机会一样大 D. 不能确定 5.“筹集社会公益资金，促进社会公益事业发展”，彩票是一种公平公正的机会游戏，已知某种彩票的中奖概率为，则下列说法正确的是(    ) A. 买张这种彩票，不可能中奖 B. 买张这种彩票，可能有张中奖 C. 买张这种彩票，一定有张中奖 D. 若人每人买张这种彩票，一定会有一人中奖 6.某班准备从在希望的田野上我和我的祖国十送红军三首歌曲中选择两首进行排练，参加即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是(    ) A. B. C. D. 7.淘气和笑笑玩游戏，下面四种游戏规则中，不公平的是(    ) A. 掷骰子，奇数淘气先走，偶数笑笑先走 B. “剪刀、石头、布”，赢方先走，输方后走，如果相同重来 C. 抛硬币，正面朝上淘气先走，反面朝上笑笑先走 D. 掷骰子，点数比大淘气先走，点数比小笑笑先走 8.小晶和小红玩掷骰子游戏，骰子的质地均匀且六个面上分别刻有到的点数．每人掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：若点数之和等于，则小晶赢；若点数之和等于，则小红赢；若点数之和是其他数，则两人不分胜负．那么(    ) A. 小晶赢的机会大 B. 小红赢的机会大 C. 小晶、小红赢的机会一样大 D. 不能确定 9.A、、三名同学玩“抢凳子”游戏他们所站的位围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的(    ) A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高所在直线的交点 10.小明与小刚一起玩抛掷两枚硬币的游戏，游戏规则：“抛出两个正面小明赢分；抛出其他结果小刚赢分；谁先得分，谁就获胜”这是个不公平的游戏，要把它修改成公平的游戏，下列做法中错误的是(    ) A. 把规则中“抛出两个正面”改为“抛出两个同面” B. 把规则中“抛出其他结果”改为“抛出两个反面” C. 把规则中“小明赢分”改为“小明赢分” D. 把规则中“小刚赢分”改为“小刚赢分” 11.有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们玩抢凳子游戏，三角形区域内放一张木凳，谁先抢到凳子则获胜，为使游戏公平，最适当放凳子的位置是三角形(    ) A. 三条高的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边的垂直平分线的交点 D. 三条中线的交点 12.一个可以自由转动的转盘，等分为个扇形，分别写上，，，共个数字甲乙俩根据转动停止后指针指向的数作游戏指向分界线另转下列规则不公平的是(    ) A. 指向奇数甲赢，指向偶数乙赢 B. 指向的倍数甲赢，指向的倍数乙赢 C. 指向大于的数甲赢，指向小于的数乙赢 D. 指向的倍数甲得分，指向的倍数乙得分，谁先得到分谁赢 13.小明、小颖和小凡都想去看周末电影，但只有一张电影票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影游戏规则为：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜；若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上、一枚反面朝上，则小凡获胜下面关于这个游戏说法正确的是(    ) A. 若小明连续掷两枚硬币都是正面朝上，则小颖和小凡掷硬币时出现正面朝上的概率大 B. 小明获胜的概率是 C. 小凡获胜的概率是 D. 这个游戏是公平的 14.甲、乙两支足球队比赛，如图，以下可以公平确定谁先开球的方式有种． A. B. C. D. 15.已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，则下列说法错误的是(    ) A. 连续抛一枚均匀硬币次可能出现正面朝上次 B. 连续抛一枚均匀硬币次可能都正面朝上 C. 连续抛一枚均匀硬币次必有次正面朝上 D. 通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的 16.甲、乙两人玩一个游戏，判定这个游戏公平的标准是游戏规则由(    ) A. 甲方确定 B. 乙方确定 C. 甲、乙双方商定 D. 甲、乙赢的概率相等 二、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 端午节某商场举办了“幸运抽奖”活动，抽奖箱里共有个小球，其中有个红球、个白球和个绿球，它们除颜色外其余都相同，小颍和小亮参与了这个活动． 从中任意摸出一球，若摸到红球，则小颖获得奖励；若摸到白球，小亮获得奖励，这个活动对双方公平吗？请说明你的理由； 现在要从箱中取出若干个红球，再放入相同数量的白球，使得这个活动对双方公平，则要取出多少个红球？ 18.本小题分 现有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋中装有个小球，它们分别写有英文字母、，乙袋中装有个小球，它们分别写有英文字母、、，这些球除所写字母不同外其余完全相同． 将乙袋摇匀，然后从乙袋中随机取出一个小球，则所写字母恰好是元音字母的概率是______； 小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的甲、乙两袋中各随机取出一个小球，取出的这两个小球，若所写字母一个是元音字母，另一个是辅音字母，则小华获胜；若所写字母都是辅音字母，则小林获胜，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平． 19.本小题分 如图，一个均匀的转盘被平均分成等份，分别标有，，，，，，，，，，这个数字转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字． 转出的数字是的倍数______；转出的数字不是的倍数______． 两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜． 猜“是奇数”或“是偶数”； 猜“是大于的数”或“不是大于的数”如果轮到你猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？请说明理由． 20.本小题分 为迎接第个世界读书日，某校计划开展以“阅读与科技融合，书香与梦想齐飞”为主题的读书活动，并计划在每班选一名“阅读领航员”九年级班的小明和小华同学均符合要求，于是班长设计了抽扑克牌的方式来决定选谁具体方法如下：将梅花，，，和红桃，，，分开，背面朝上洗匀，放在桌面上，小明在张梅花中随机抽张，小华在张红桃中随机抽张，规定谁抽取的牌面数字大，就选谁． 小明抽到牌面上的数字是“的倍数”的概率为______； 请用列表或画树状图的方法，判断班长设计的这种方式对双方是否公平，并说明理由． 21.本小题分 如图，一个可以自由转动的转盘被等分成个扇形，分别标有，，，，，，，，，这个数字转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字指针指向分界线时，重转一次小西和小阳利用此转盘做游戏：一人转动转盘，另一人猜数若所猜数字特征与转出的数字特征相符，则猜数的人获胜；否则，转动转盘的人获胜． 若小西转动转盘，小阳猜转出的数是奇数，请计算小阳获胜的概率； 若小阳转动转盘，小西猜数的方式有两种：转出的数是的倍数；转出的数比小为了尽可能获胜，小西应该选择第几种猜数方式？请说明理由． 22.本小题分 一个不透明的盒子中装有个白球、个黄球、个红球，这些球除颜色外都相同，小亮从盒子中任意摸出一个球． 小亮摸到红球的概率是______． 在盒子中再放入个除颜色外都相同的红球，若小亮从盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率为，则放入了多少个红球？ 在的条件下，小亮和小英一起做游戏，小亮从上述盒子中任意摸出一个球，若摸到红球，小亮获胜，否则小英获胜这个游戏对双方公平吗？为什么？请利用概率的知识进行说明 答案和解析 1.【答案】  【解析】甲、乙两人玩一个游戏，判断这个游戏是否公平的标准是游戏双方要各有赢的机会，故选D． 2.【答案】  【解析】解：画树状图如图： 由树状图可知：学校抽到语文、学校抽到数学的概率． 答：学校抽到语文、学校抽到数学的概率为． 故选：． 先画出树状图，从而可得所有等可能结果，再找出符合条件的结果数，然后利用概率公式即可得． 本题考查了利用画出树状图求解随机事件的概率．熟练掌握该知识点是关键． 3.【答案】  【解析】解：游戏，共有个球，取个球共有种等可能的结果，取到红球有种等可能的结果， 甲在游戏取胜的概率为，乙胜的概率为，故A错误； 游戏：用，表示两个红球，，表示两个白球，从个红球和个白球中依次取个球，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共中等可能的结果，其中取到两个球同色有种等可能的结果， 甲胜的概率为，乙胜的概率为； 游戏对甲不公平，故C选项错误； 游戏：用，，表示三个红球，表示白球，从个红球和个白球中依次取个球，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共中等可能的结果，其中取到两个球同色有种等可能的结果， 甲胜的概率为，乙胜的概率为；故选项B错误， ， 乙在游戏中最容易取胜， 故选项D正确，符合题意； 故选：． 利用概率公式和列表法求概率分别求出个游戏中甲，乙获胜的概率，逐一进行判断即可． 本题考查列表法与树状图法，概率公式，游戏公平性，熟练掌握列表法和概率公式是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：列表如下： 共有种等可能的结果，其中点数之和等于的占种，点数之和等于的占种， 小晶赢；小红赢， 即小晶赢小红赢， 所以小红赢的机会大． 故选：． 先通过列表得到共有种等可能的结果，其中点数之和等于的占种，点数之和等于的占种，再根据概率的定义得到小晶赢；小红赢，即可得到答案． 本题考查了游戏公平性问题：先利用列表或树状图法展示所有等可能的结果数，然后找出两个事件所发生的结果数，根据概率的定义计算出它们的概率，然后通过概率的大小判断游戏是否公平． 5.【答案】  【解析】解：买张这种彩票，可能中奖，原表述错误，不符合题意； B.买张这种彩票，可能有张中奖，正确，符合题意； C.买张这种彩票，可能有张中奖，原表述错误，不符合题意； D.若人每人买张这种彩票，可能会有一人中奖，原表述错误，不符合题意； 故选：． 根据概率的意义求解即可． 本题主要考查概率的意义，通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 6.【答案】  【解析】方法：设代表在希望的田野上，代表我和我的祖国，代表十送红军列表如下： 歌曲 由上表可知，所有可能的结果共有种，且每种结果出现的可能性相等，其中恰好选中前面两首歌曲的结果有种，则恰好选中前面两首歌曲的概率为． 方法：选中前两首的概率即为不选最后一首的概率，故为． 7.【答案】  【解析】掷骰子，奇数有，，，偶数有，，，所以淘气先走的概率为，笑笑先走的概率为，所以淘气先走的概率等于笑笑先走的概率，所以游戏规则公平，故 A项不符合题意；“剪刀、石头、布”，赢方先走的概率等于输方后走的概率均为，所以淘气先走的概率等于笑笑先走的概率，所以游戏规则公平，故B项不符合题意；抛硬币，正面朝上的概率等于反面朝上的概率均为，所以淘气先走的概率等于笑笑先走的概率，所以游戏规则公平，故C项不符合题意；掷骰子，点数比大的数是，，，点数比小的数是，，所以淘气先走的概率为，笑笑先走的概率为，因为，所以淘气先走的概率笑笑先走的概率，所以游戏规则不公平，故 D项符合题意． 8.【答案】  【解析】解：列表如下： 共有种等可能的结果，其中点数之和等于的占种，点数之和等于的占种， 小晶赢；小红赢， 即小晶赢小红赢， 所以小红赢的机会大． 故选：． 9.【答案】  【解析】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边垂直平分线的交点上． 故选：． 为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上． 本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键． 10.【答案】  【解析】略 11.【答案】  【解析】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边的垂直平分线的交点上． 故选：． 为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上． 本题考查了游戏公平性，三角形的角平分线、中线和高，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 12.【答案】  【解析】解：指向奇数的结果数为，指向偶数的结果数为，则甲赢的概率为，乙赢的概率为，此游戏规则公平，所以选项不符合题意； B.指向的倍数的结果数为，指向的倍数的结果数为，则甲赢的概率为，乙赢的概率为，此游戏规则公平，所以选项不符合题意； C.指向大于的结果数为，指向小于的结果数为，则甲赢的概率为，乙赢的概率为，此游戏规则不公平，所以选项符合题意； D.指向的倍数的结果数为，指向的倍数的结果数为，则甲得分的概率为，乙得分的概率为，甲转动一次得，乙转动一次得，此游戏规则公平，所以选项不符合题意． 故选：． 根据概率公式，计算各选项中分别甲乙赢的概率，然后比较概率大小判断游戏是否公平． 本题考查了游戏公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了概率公式． 13.【答案】  【解析】解：如图所示： 所有的可能为：正，正，正，反，反，正，反，反， 故小明获胜的概率为：，小颖获胜的概率为：，小凡获胜的概率为：， ，，是错误的，不符合题意， 选项是正确，符合题意， 故选：． 利用树状图法得出所有的可能，进而分别求出获胜的概率即可． 本题主要考查游戏公平性，列表法与树状图法，概率公式，正确利用树状图法求概率是解题关键． 14.【答案】  【解析】解：从盒子里任意摸出一个球，摸到黑球甲队先开球，摸到白球乙队先开球，盒子里有个黑球和个白球，两种颜色球的数量相同，摸到黑球和白球的可能性相同，这种规则公平； 中，奇数有、、，一共三个，偶数有、、，一共三个，奇数和偶数的个数相同，则掷到奇数和偶数的可能性相同，这种规则公平； 由图可知，转盘中阴影部分的面积大于空白部分的面积，则指针停在阴影部分的可能性比停在空白部分的可能性大，这种规则不公平； 掷硬币时，正面朝上或者反面朝上的可能性相同，这种规则公平． 由上可知，可以公平确定谁先开球的方式有，一共三种． 故选：． 盒子里哪种颜色球的数量越多，摸到该种颜色球的可能性越大，盒子里哪种颜色球的数量越少，摸到该种颜色球的可能性越小，盒子里各种颜色球的数量相同时，摸到每种颜色球的可能性相同； 骰子有六个面，分别标有六个数字，分别求出奇数的个数和偶数的个数，两种数的个数相同时，掷到奇数和偶数的可能性相同； 转盘中，哪种区域的面积越大，指针停在该区域的可能性越大，哪种区域的面积越小，指针停在该区域的可能性越小； 硬币有正反两面，掷硬币时，两种面朝上的可能性是相同的，据此解答． 本题考查了游戏公平性，根据事件发生可能性的大小判断游戏规则的公平性是解答题目的关键． 15.【答案】  【解析】解：、连续抛一枚均匀硬币次可能出现正面朝上次，故A正确，不符合题意； B、连续抛一枚均匀硬币次可能都正面朝上，故B正确，不符合题意； C、连续抛一枚均匀硬币次有可能一次正面朝上，次正面朝上，次正面朝上，故C错误，符合题意； D、通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，故D正确，不符合题意； 故选：． 大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，可得答案． 此题考查概率的意义，随机事件，概率公式，游戏公平性，解答本题的关键要明确：大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件发生的概率在和之间． 16.【答案】  【解析】【分析】 本题考查概率的意义和公平性问题，根据概率的意义解答即可． 【解答】 解：游戏是否公平不在于谁定游戏规则，游戏是否公平取决于游戏双方赢的概率是否相等， 因此选项D正确． 故选D． 17.【答案】活动对双方不公平；   取出个白球．  【解析】不公平． 由题意可得：小颍获胜的概率为，小亮获胜的概率为； ， 活动对双方不公平； 设取出了个红球，则： ， ． 答：取出个白球． 利用概率公式分别求出小颍和小亮获胜的概率，进而得出答案； 直接利用当黑球与黄球个数相等时，游戏公平，求出答案． 本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． 18.【答案】；   这个游戏规则对双方不公平．  【解析】从乙袋中随机地摸出个小球，恰好写有元音字母的概率是， 故答案为：； 画树状图得： 共有种等可能的结果，取出的个小球上全是辅音字母的有种情况， 取出的个小球上全是辅音字母的概率是：， 取出的个小球上一个是元音字母，另一个是辅音字母， ， 这个游戏规则对双方不公平． 根据概率公式即可得到结论； 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得取出的个小球上全是辅音字母的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．掌握概率公式：概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 19.【答案】，；   猜“不是大于的数”，这样获胜的可能性为，获胜的可能性最大．  【解析】转出的数字是的倍数；转出的数字不是的倍数， 故答案为：，； “是奇数”或“是偶数“都是，“是大于的数”的有种，“不是大于的数”的有种，因此“是大于的数”可能性是，“不是大于的数”的可能性是， 因此，甲选择，猜“不是大于的数”，这样获胜的可能性为，获胜的可能性最大． 根据概率公式即可得到结论； 分别求出各种情况下获胜的概率，比较得出答案． 本题考查是游戏的公平性，随机事件发生的概率，理解概率的意义，掌握概率的计算方法是正确解答的前提． 20.【答案】；  不公平．理由见解析．  【解析】在，，，四个数中是的倍数的有，两个数， 小明抽到牌面上的数字是“的倍数”的概率为， 故答案为：； 不公平．理由：画树状图如下， 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中小明抽到牌面数字大于小华抽到牌面数字的结果有种， 小华抽到牌面数字大于小明抽到牌面数字的结果有种， 小明当选“阅读领航员”，小华当选“阅读领航员”， ， 不公平． 根据概率公式即可得到结论； 花树状图求出所有可能的情况，再用概率公式求出两人获胜的概率，比较即可得到答案． 此题考查的是游戏的公平性，用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 21.【答案】；   小西应该选择第种猜数方式，理由见解答．  【解析】个数中有个奇数，所以小阳获胜的概率； 小西应该选择第种猜数方式． 个数中有个数为的倍数，比小的数有个， 所以转出的数是的倍数的概率为，转出的数比小的数的概率为， 因为， 所以为了尽可能获胜，小西应该选择第种猜数方式． 直接利用概率公式计算； 利用概率公式分别求出转出的数是的倍数的概率和转出的数比小的概率，再比较两个概率的大小，然后选择概率大的猜数方式． 本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了概率公式． 22.【答案】；   放入了个红球；   这个游戏对双方公平．理由见解析．  【解析】小亮摸到红球的概率是， 故答案为：； 设放入了个红球， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是方程的根， 答：放入了个红球； 这个游戏对双方公平． 理由：因为盒子中装有个白球、个黄球和个红球， 所以小亮获胜的概率是，小英获胜的概率是， 所以这个游戏对双方公平． 利用概率公式直接计算即可； 根据概率公式列方程即可得到结论； 根据概率判断即可． 本题考查了游戏公平性，概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． 第6页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$