专题2.3 用频率估计概率（知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题）-2025-2026学年浙教版数学九年级上册同步培优讲练

专题2.3 用频率估计概率 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 优选题型 考点讲练 2 考点1：关于频率与概率关系说法的正误 2 考点2：求某事件的频率 3 考点3：由频率估计概率 5 考点4：用频率估计概率的综合应用 7 中考真题 实战演练 10 难度分层 拔尖冲刺 13 基础夯实 13 培优拔高 18 1. 用频率估计概率 在随机事件中，一个随机事件发生与否事先无法预测,表面上看似无规律可循,但当我们做大量重复试验时,这个事件发生的频率就呈现出稳定性.因此，做了大量重复试验后，可以用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值 2. 适用对象 当试验的所有可能结果不是有限个,或各种结果发生的可能性不相等时,可通过事件发生的频率来估计概率 3. 计算方法 一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定于某个常数,那么估计事件发生的概率 (1)试验得出的频率只是概率的近似值 (2)概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并不意味着在每一次试验中一定发生 考点1：关于频率与概率关系说法的正误 【典例精讲】（24-25九年级上·四川资阳·期末）下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 【答案】B 【思路点拨】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率． 根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率解答． 【规范解答】解：选项A：频率是实际试验中事件发生的次数与总次数的比值，而概率是理论上的预期值，两者概念不同，故A错误。 选项B：在大量重复试验中，随着试验次数的增加，频率会逐渐接近并稳定在概率附近，这是大数定律的体现，故B正确。 选项C：频率是试验结果，可能接近但不一定等于概率，故C错误。 选项D：即使试验次数相同，不同小组的试验结果可能存在随机性差异，导致频率不同，故D错误。 综上，正确答案为B。 故选：B． 【变式训练01】（24-25七年级下·山西晋中·期中）下列说法正确的是（   ） A．小明做了4次抛瓶盖的试验，其中有3次盖口向上，由此，他估计盖口向上的概率是 B．抛掷1000次硬币与抛掷2000次硬币，“正面朝上”的频率一定相同 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，那么，掷10次硬币，一定会有5次正面朝上 D．在实验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性 【答案】D 【思路点拨】本题考查了概率的概念，频率的定义理解，掌握概率和频率的相关知识是解题的关键．根据事件发生的可能性的大小，以及频率的概念逐项分析即可． 【规范解答】解：A. 小明做了4次抛瓶盖的试验，虽然有3次盖口向上，单盖口向上的概率是，故该选项不正确，不符合题意； B. 抛掷1000次硬币与抛掷2000次硬币，“正面朝上”的频率相近，但不一定相同，故该选项不正确，不符合题意； C. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，那么，掷10次硬币，不一定会有5次正面朝上，故该选项不正确，不符合题意； D. 在实验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式训练02】（24-25八年级下·全国·课后作业）你同意下列说法吗？请说明理由． (1)“从袋中任意摸出1个球是红球的概率是”，这句话的意思就是从袋中取出1个球肯定是红球，因为概率已经很大了． (2)“从袋中任意摸出1个球是红球的概率是”，这句话的意思就是从袋中一定取不出红球． (3)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时，小明说：“我做了50次试验，正面朝上的频率是，所以抛掷该硬币正面朝上的频率在这个常数附近摆动．” 【答案】(1)不同意，理由见解析 (2)不同意，理由见解析 (3)不同意，理由见解析 【思路点拨】本题考查了概率、用频率估计概率，熟练掌握概率的意义和用频率估计概率是解题的关键．根据概率的意义和用频率估计概率即可判断． 【规范解答】（1）解：不同意，这句话只能说明从袋中取出1个红球的可能性很大，但它还是一个随机事件； （2）解：不同意，这句话只能说明从袋中取出1个红球的可能性极小，但它还是一个随机事件； （3）解：不同意，小明试验的次数太少了． 考点2：求某事件的频率 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·课后作业）为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整的频率分布表． 满意度 非常满意 满意 一般 不满意 合计 频率 0.5 0.3 0.05 1 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： (1)_____________． (2)若某日共有10000名游客，请你估计其中满意度表现为“一般”和“不满意”的总人数． 【答案】(1) (2)名 【思路点拨】本题主要考查了统计图表的相关知识，解决问题的关键是读懂图表，弄清题意. （1）利用频率之和等于1求出未知频率. （2）利用样本估计总体的方法计算相应的人数. 【规范解答】（1） 解： 故答案为：. （2）解：（名）． 故估计满意度表现为“一般”和“不满意”的总人数为． 【变式训练01】（24-25九年级下·全国·随堂练习）为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的，下列说法错误的是（　　） A．钉尖着地的频率是0.4 B．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近 C．前10次试验结束后，钉尖着地的次数一定是4 D．前20次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是8 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．频率所求情况数与总情况数之比．利用已知数据先求出频率，再估算概率分别判断即可． 【规范解答】解：A、钉尖着地的频率是：，故此选项正确，不符合题意； B、随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近，故此选项正确，不符合题意； C、前10次试验结束后，钉尖着地的次数是4次左右，并不一定是4次，故此选项错误，符合题意； D、前20次试验结束后，钉尖着地的次数是8次左右，不一定是8次，故此选项正确，不符合题意． 故选：C． 【变式训练02】（24-25七年级下·陕西·期末）为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如表： 种子颗数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子颗数 94 378 571 664 951 发芽种子频率 (1)填空：上表中的值为___________，的值为___________； (2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率．（精确到） 【答案】(1)，855 (2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率为 【思路点拨】本题主要考查利用频率估计概率，求频率，概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率． （1）用发芽种子颗数种子总数求出a的值，用总种子数发芽种子频率求出b的值即可； （2）随着种子数增多，发芽种子频率稳定在左右，得出这种农作物种子在此条件下发芽的概率即可． 【规范解答】（1）解：， ； （2）解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的种子频率逐渐稳定在左右， ∴估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率约为． 考点3：由频率估计概率 【典例精讲】（25-26九年级上·甘肃武威·期中）为了解某花卉种子的发芽情况，研究所的工作人员在相同条件下，对该花卉种子进行发芽试验，根据数据可知该花卉种子发芽的频率稳定在0.9，若在相同条件下种下该种花卉种子230颗，其中能发芽的种子约有 颗． 【答案】207 【思路点拨】本题考查利用频率估算概率，根据频率估计概率，发芽频率稳定在0.9，因此发芽概率约为0.9，用总种子数乘以发芽概率即可求解． 【规范解答】解：由题意可知，该花卉种子发芽的频率稳定在0.9，即发芽概率为0.9． 种下230颗种子，能发芽的种子数量约为（颗）． 故答案为207． 【变式训练01】（25-26九年级上·河南洛阳·期中）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为的长方形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球落在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了几何概率和用频率估计概率．根据图②可得，小球落在不规则图案内的概率约为，设不规则图案的面积为，根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解． 【规范解答】解：设不规则图案的面积为， 由已知得，长方形面积为， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为， 由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为， ， 解得， 不规则图案的面积大约为， 故选：C． 【变式训练02】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）一个不透明的袋子中有红球、白球共10个，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，记录颜色后放回，重复100次，发现摸到红球60次，则估计袋中红球约有（  ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【思路点拨】本题考查利用频率估计概率，根据概率求数量．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，求出摸到红球的概率，然后根据概率进行计算即可． 【规范解答】解：∵共试验100次，其中有60次摸到红球， ∴红球所占的比例为：， ∴袋中红球的个数约为：（个）， 故选：C． 考点4：用频率估计概率的综合应用 【典例精讲】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题： 抽取的公仔数n 10 100 1000 2000 3000 优等品的频数m 9 96 962 1920 2880 优等品的频率 0.9 0.96 a 0.96 b (1)a＝ ；b＝ ； (2)估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是 ；（精确到0.01） (3)若该公司这一批次生产了15000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？ 【答案】(1)0.962，0.96； (2)0.96； (3)14400只． 【思路点拨】本题考查了频数与频率，利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确． （1）用频数除以总数即可； （2）由表中数据可判断频率在0.96左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取1只公仔是优等品的概率为0.96； （3）用总数量乘以优等品的概率即可． 【规范解答】（1）解：， ， 故答案为：0.962，0.96； （2）解：从这批公仔中，任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是0.96． 故答案为：0.96 （3）解：这批公仔中优等品大约有（只）， 答：估计这批公仔中优等品大约有14400只． 【变式训练01】（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 59 96 116 295 480 601 摸到白球的频率 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的___________； (2)“摸到白球的”的概率的估计值是___________（精确到0.1）； (3)如果袋中有12个白球，那么袋中一共有多少个球？ 【答案】(1) (2) (3)20个 【思路点拨】本题考查如何利用频率估计概率，解题关键是要注意频率和概率之间的关系． （1）根据表中的数据，计算得出摸到白球的频率； （2）由表中数据即可得； （3）根据口袋中白球的数量和概率即可求出口袋中球的总数． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：； （2）解：根据题意，利用频数和频率预估概率，频数越大，概率误差越小， ∴频数为1000时，频率为 ∴“摸到白球的”的概率的估计值是； （3）解：（个） 所以，袋中一共有20个球． 【变式训练02】（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，是根据“用频率估计概率”的实验统计的某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（     ） A．小明和小刚做“石头、剪刀、布”游戏（结果可能出现胜、负、平），小明获胜 B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．投掷一枚图钉，尖朝上 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数 【答案】D 【思路点拨】此题考查了利用频率估计概率．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为的即为正确答案． 【规范解答】解：试验结果在附近波动，即其概率， A、小明和小刚做“石头、剪刀、布”游戏（结果可能出现胜、负、平），小明获胜的概率为，故A选项错误； B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是；故B选项错误； C、投掷一枚图钉，尖朝上的概率无法判断，故C选项错误； D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数是，故D选项正确； 故选：D． 1．（2024·宁夏中卫·中考真题）在一个不透明的布袋中装有蓝色、 白色两种小球共50个，小球除颜色外其他完全相 同．小明通过很多次摸球试验后，发现其中摸到蓝色球的频率稳定在左右，则口袋中蓝色球个数最接近（    ） A．10个 B．20个 C．30个 D．40个 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在其概率附近．已知摸到蓝色球的频率稳定在左右，因此蓝色球的数量等于总球数乘以概率． 【规范解答】解：由题意，总球数为50个，摸到蓝色球的概率约为． 因此，蓝色球的数量为：（个）， 故选：B 2．（2024·山东烟台·中考真题）如图①，工人师傅在地面上喷绘了一个不规则图案（图中画图部分），小颖想计算该图案的面积，她采取以下方法：用一个长，宽的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机向该矩形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界限上或矩形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成如图②所示的折线统计图，由此可估计此不规则图案的面积约为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【思路点拨】本题考查几何概率，涉及频率估计概率、折线图等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．设不规则图案的面积大约为x，先计算长方形的面积，继而解得小球落在不规则图形的概率为，由折线图，得到小球落在不规则图形的概率为，据此解题． 【规范解答】解：设不规则图案的面积大约为x，则由题意得， 矩形的面积为 由几何概率公式得小球落在不规则图形的概率为， 当事件次数足够多即样本足够大时，其频率可作为概率估计值，则有折线图可知，小球落在不规则图形的概率为，即， ， 则此不规则图案的面积约为． 故选：B． 3．（2024·江西赣州·中考真题）在一个不透明的袋子中放有20个球，其中有个白球，这些球除颜色外完全相同．若每次把球充分搅匀后，任意摸出一球记下颜色后再放回袋子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，则的值约为 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查的是用频率估计概率，以及概率公式；根据用频率估计概率可知：摸到白球的概率为0.2，再根据概率公式列出方程，求解即可． 【规范解答】解：由题知，摸到白球的概率为0.2， ， 解得， 故答案为：4． 4．（2024·浙江宁波·中考真题）一个不透明的口袋中装有若干个红球和30个白球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则通过计算可以估计出口袋中红球约 个． 【答案】10 【思路点拨】本题考查了利用频率估计概率，解分式方程等知识，由摸到红球的频率稳定在附近得到红球的概率，进而利用概率公式求出红球的个数即可，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：设红球的个数为个， ∵摸到红球的频率稳定在附近， ∴口袋中得到红球的概率为， ∴， 解得：， 红检验是原方程的解， ∴红球的个数为个， 故答案为：． 5．（2024·山东淄博·中考真题）在一只不透明的袋子里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数                               摸到白球的次数                               摸到白球的频率                               (1)表中的______，______； (2)“摸到白球”的概率的估计值是______精确到； (3)如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 【答案】(1)， (2) (3)个 【思路点拨】本题主要考查了利用频率估计概率、频数与频率，概率公式，掌握用频率估计概率的方法是解题的关键． （1）利用频率频数样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【规范解答】（1）解：依题意得：，， 故答案为：，； （2）解：根据题意，概率的估计值为， 故答案为：； （3）解： （个） 答：除白球外，还有大约个其它颜色的小球． 基础夯实 1．（25-26九年级上·辽宁阜新·期中）如图1，边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【规范解答】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故选：C． 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）在一个不透明的袋子里有红球、白球若干个，其中白球12个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子里红球的个数估计是（   ） A．8 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了频率估计概率．根据频率估计概率，摸到红球的概率约为，利用概率公式可得袋子里红球、白球的总数，即可求解． 【规范解答】解：∵摸到红球的频率稳定在， ∴摸到红球的概率为， ∴袋子里红球、白球的总数为， ∴袋子里红球的个数估计是． 故选：A． 3．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）一个不透明的盒子里有“中秋”主题和“国庆”主题的贺卡共30张，这些贺卡的外观、大小、质地完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“国庆”主题贺卡的频率稳定在，则估计盒子中“中秋”主题贺卡有（   ） A．18张 B．12张 C．10张 D．8张 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查已知概率求数量．根据频率估计概率的原理，抽到“国庆”主题贺卡的频率稳定在，即其概率约为，由此可计算“国庆”贺卡的数量，进而求得“中秋”贺卡的数量． 【规范解答】解：∵抽到“国庆”主题贺卡的频率稳定在， ∴“国庆”主题贺卡的数量约为张， ∴“中秋”主题贺卡的数量约为张． 故选：A． 4．（2025九年级·全国·专题练习）某果园猕猴桃喜获丰收．如图①，矩形种植区域的长为50m，宽为30m，阴影部分种植的是“翠香猕猴桃”，其他则为普通猕猴桃．小明为了知道“翠香猕猴桃”的种植面积，在矩形种植区域内部随机采摘进行检测，经过多次重复的抽取检测，“翠香猕猴桃”出现的频率记录如图②所示．依此估计“翠香猕猴桃”的种植面积约为 ． 【答案】600 【思路点拨】本题考查了频率估计概率和矩形面积的知识点，解题关键是理解频率估计概率的思想，利用频率稳定值来估计概率，进而求解相关面积． 先根据矩形面积公式求出种植区域的总面积，再利用频率估计概率的思想，由频率稳定值得到翠香猕猴桃种植面积的频率，进而求出其种植面积． 【规范解答】解：矩形种植区域的总面积： ． 观察图②可知，随着抽取次数的增加，“翠香猕猴桃”出现的频率稳定在左右，根据频率估计概率的思想，可认为“翠香猕猴桃”种植面积的频率为． ∴“翠香猕猴桃”的种植面积为： ． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）小萌在篮球训练中，对多次投篮的数据进行记录，得到如下频数表： 投篮次数 20 40 60 80 120 150 200 投中次数 15 33 47 65 95 120 160 投中的频率 0.75 0.83 0.78 0.81 0.79 0.80 0.80 估计小萌投一次篮，投中的概率是 ．（结果精确到0.01） 【答案】0.80 【思路点拨】本题考查利用频率估计概率．根据频率估计概率的原理，当试验次数大量重复时，事件发生的频率会稳定在概率附近，观察投中的频率数据，发现随着投篮次数增加，频率在0.80附近波动并稳定，因此估计投中的概率为0.80． 【规范解答】解：由频数表可知，投篮次数从20次增加到200次时，投中的频率分别为0.75、0.83、0.78、0.81、0.79、0.80、0.80，当投篮次数较大时（如150次和200次），频率稳定在0.80附近，且其他频率值也接近0.80，可估计小萌投一次篮投中的概率为0.80． 故答案为：0.80． 6．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）一个不透明的盒子中装有黑、白两种颜色的小球共10个，它们除颜色外其他都相同．小明进行多次摸球后记录并放回重复试验，发现摸到黑色小球的频率稳定在左右，由此可知盒子中白色小球的个数可能是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了利用频率估计概率，摸到黑色小球的频率稳定在，因此摸到黑色小球的概率约为，从而黑色小球个数约为，白色小球个数为． 【规范解答】解：设白色小球的个数为，则黑色小球的个数为． 依题意，， 解得． 故答案为：4． 7．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）如图1，在面积为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为 ． 【答案】22.4 【思路点拨】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与正方形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【规范解答】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，点在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）一个不透明的盒子中有同型号的不合格产品和合格产品共件．将这些产品混匀后，随机摸出一件，记录后再放回盒子中．不断重复这一过程，已知一共摸了次，其中摸到不合格产品次，请你估计这个盒子中不合格产品和合格产品的数量． 【答案】不合格产品约件，合格产品约件。 【思路点拨】本题考查了利用频率估计概率，由题意可得摸到不合格产品的频率为，进而用产品总件数乘以该频率可求出盒子中不合格产品的数量，再求出合格产品的数量即可求解，掌握频率和概率的关系是解题的关键． 【规范解答】解：∵摸了次，其中摸到不合格产品次， ∴摸到不合格产品的频率为， ∵盒子中有同型号的不合格产品和合格产品共件， ∴盒子中不合格产品的数量约为件， ∴盒子中合格产品的数量约为件． 9．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）在一个不透明的箱子中装有除颜色不同外其余均一样的小球，其中红色小球有3个，蓝色小球有1个，往箱子中再放入个蓝色小球．摇晃均匀后任意摸出一个，记下颜色后放回，经过大量重复试验后发现摸到蓝色小球的频率稳定在，求的值． 【答案】5 【思路点拨】本题考查了概率公式，用频率估计概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式列出关于n的方程，解之即可． 【规范解答】解：箱子中原有红球3个，蓝球1个，放入n个蓝球后，蓝球数量为个， 则球的总数量为（个）， ∵摸到蓝球的频率稳定在，即摸到蓝球的概率为， ∴ ， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∴n的值为5． 10．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）李伟在暑假期间进行了投掷实心球训练，训练结果如下表： 投掷次数n 10 20 40 60 100 200 500 得满分的次数m 7 14 30 46 77 154 385 得满分的频率 0.700 0.700 0.750 0.767 0.770 0.770 0.770 当李伟投掷600次时，请估计他得满分的次数． 【答案】462 【思路点拨】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据表格信息，估算出概率，再用总次数乘以概率进行计算即可． 【规范解答】解：由表格可估计李伟投掷实心球得满分的概率为0.770， ∴（次）， 答：估计李伟得满分的次数是462次． 培优拔高 11．（24-25九年级上·广东·开学考试）以下说法正确的是（    ） A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．点，都在反比例函数图像上，且，则 D．对于一元二次方程，若，则方程的两个根互为相反数 【答案】D 【思路点拨】本题考查了利用频率估计概率、平行四边形的判定、反比例函数的图像与性质、一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据利用频率估计概率的方法即可判断A错误；根据平行四边形的判定即可得B错误；根据反比例函数的增减性即可得C错误；先根据一元二次方程根的判别式可得这个方程有两个不相等的实数根，再利用一元二次方程的根与系数的关系即可得D正确． 【规范解答】解：A、只有试验次数足够多，频率才能稳定在概率附近，则此项错误，不符合题意； B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，或两组对边分别平行的四边形是平行四边形，或两组对边分别相等的四边形是平行四边形，则此项错误，不符合题意； C、因为不确定这个反比例函数的增减性，所以无法判断， 反例：点，都在反比例函数的图像上，且，但是函数值，则此项错误，不符合题意； D、对于一元二次方程， ∵， ∴这个方程根的判别式为，有两个不相等的实数根， 由一元二次方程的根与系数的关系得：方程的两个根之和为，即方程的两个根互为相反数，则此项正确，符合题意； 故选：D． 12．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）袋中有黑球6个，白球有若干个，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验发现，摸到白球的频率稳定在附近，则袋中有白球（   ） A．3个 B．2个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了随机概率，利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键． 由摸到白球的频率稳定在附近，可以得出口袋中得到白色球的概率，然后求得口袋中得到黑色球的概率，然后即可求解． 【规范解答】解：∵通过多次摸球实验发现，摸到白球的频率稳定在附近， ∴袋中得到白球的概率为， ∴袋中得到黑球的概率为：， ∵袋中有黑球6个， ∴袋中球的总个数为：个， ∴袋中有白球：个； 故选：C； 13．（2025·河南郑州·三模）在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的乒乓球，这m个球中只有12个黄色乒乓球，其余均为白色．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到黄球的频率稳定在左右，则m的值大约为（   ） A．20 B．40 C．60 D．100 【答案】C 【思路点拨】本题考查了利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，在同样条件下，大量重复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到黄球的频率稳定在左右得到比例关系，列出方程求解即可，解题的关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系． 【规范解答】解：由题意得： ， 解得：， 故选：C． 14．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共60个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在30%，则可估计口袋中白球的个数是 ． 【答案】18 【思路点拨】本题考查了频率与概率的关系，根据频率与概率的关系，白球的个数等于总球数乘以摸到白球的频率，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：∵总球数为60，摸到白球的频率稳定在， ∴白球个数为（个）， ∴估计口袋中白球的个数是个， 故答案为：． 15．（2025·上海·模拟预测）某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了用频率估计概率以及概率的计算，解题的关键是分别计算不同正整数对应的概率，再与折线图中稳定的频率对比． 先确定从1到9中不同正整数的倍数个数，计算对应的概率，再结合折线图中频率稳定的范围（约0.33），找出最符合的． 【规范解答】解：从1到9的连续整数共有9个．根据“用频率估计概率”，当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，折线图中事件发生的频率稳定在0.33左右，因此需计算不同正整数时，“选到的倍数”的概率： 若，到9中2的倍数有，共4个，概率为，与0.33不符． 若，到9中3的倍数有，共3个，概率为，与折线图中稳定的频率（约0.33）接近． 若，到9中4的倍数有，共2个，概率为，与0.33不符． 其他更大的（如），1到9中的倍数更少，概率更小，均不符合． 因此，正整数的值最可能是3． 故答案为：3． 16．（24-25七年级下·广东清远·期末）在一个不透明的口袋中，装有2个白球，3个黄球，若干个红球，它们除颜色外没有任何区别．经过大量重复试验，发现充分搅匀后随机摸出一球，恰好是白球的概率稳定在，则口袋中红球的个数是 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了利用频率估计概率，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解题关键．由摸到白球的频率稳定在附近得出口袋中得到白色球的概率，进而利用概率公式求出红球个数即可． 【规范解答】解：设红球个数为个， ∵摸到白色球的频率稳定在左右， ∴口袋中得到白色球的概率为， ∴， 解得：， 故红球的个数为个． 故答案为：． 17．（24-25九年级下·全国·随堂练习）欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．因曰：‘我亦无他，惟手熟尔，’”可见技能可以通过反复苦练而达到熟能生巧．如图，已知铜钱的直径为，厚度为，一枚铜钱的平均密度约为．为计算铜钱的质量，做如下试验：将一滴油（油滴的大小忽略不计）随机滴在铜钱上，重复m次，记录下油滴恰好穿过中心孔的次数为n次．由此可以估计，一枚铜钱的质量约为 （用含m．n，的式子表示）． 【答案】 【思路点拨】此题考查了频率估计概率的应用和分式的加减运算，得出中心孔的面积占整个铜钱圆面积的是解题的关键．求出铜钱的体积后，再用铜钱的体积乘以铜钱的平均密度即可得到答案． 【规范解答】解：∵将一滴油随机滴在铜钱上，重复次，记录下油恰好穿过中心孔的次数为次． ∴由此可以估计，中心孔的面积占整个铜钱圆面积的， ∴铜钱的实际面积为（）， ∴铜钱的体积为（）， ∴由此可以估计，一枚铜钱的质量约为， 故答案为：． 18．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）一个布袋里装有只有颜色不同的若干个球，其中1个白球，若干个红球，从中任意摸出1个，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，通过大量的重复实验，得到摸出白球的频率是． (1)求布袋中红球的个数． (2)若从布袋中一次性摸出2个球，则都是红球的概率是多少？ 【答案】(1)3 (2) 【思路点拨】本题考查了已知频率求概率，已知概率求数量，列举法求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）已知摸出白球的频率，即摸出白球的概率，然后用白球的个数除以摸出白球的概率即可求出球的总个数，进而可得答案； （2）列出从布袋一次性摸出2个球的等可能结果，从中找到摸出2个球都是红球的结果数，再根据概率公式求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意知，布袋中球的总个数为（个）， ∴布袋中红球的个数为（个）， 答：布袋中红球的个数为3个． （2）解：设白球为白，3个红球分别为红1，红2，红3， 从布袋一次性摸出2个球的等可能结果有：（白，红1），（白，红2），（白，红3），（红1，红2），（红1，红3），（红2，红3）， 共有6种等可能结果，其中摸出2个球都是红球的有3种结果， 所以一次性摸出2个球都是红球的概率为． 19．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）现有3件同型号的产品需要检测，已知其中有1件不合格品和2件合格品，在这3件产品中加入件合格品后混匀，进行如下试验：随机抽取1件产品进行检测，然后放回并混匀，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.8，估计的值是多少？ 【答案】2 【思路点拨】本题考查了用频率估计概率的知识，根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值． 【规范解答】解：通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.8， ， 解得， 经检验，是原方程的根， 答：估计的值为2． 20．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段练习）一个不透明的箱子里装有红、蓝两种颜色的中性笔共20支，其中蓝色的中性笔有8支，它们除颜色外其余都相同，现将n支外观相同的蓝色中性笔放入不透明的箱子里，混匀后，任意摸出一支中性笔，记下颜色，再把它放回，经过大量试验后发现摸到蓝色中性笔的频率稳定在0.6，求n的值． 【答案】10 【思路点拨】本题考查频率估计概率，概率的应用，解题的关键是利用大量重复试验时频率稳定在概率附近，结合概率公式列方程求解． 先确定放入支蓝色中性笔后蓝色中性笔的总数和中性笔的总数，再根据频率稳定在概率附近，利用概率公式列方程求解． 【规范解答】解：已知箱子里原本有8支蓝色中性笔，又放入支蓝色中性笔，所以放入后蓝色中性笔的总数为支， 原本箱子里有20支中性笔，放入支蓝色中性笔后，中性笔的总数为支， 因为经过大量试验后摸到蓝色中性笔的频率稳定在0.6，根据大量重复试验时，频率稳定在概率附近，所以摸到蓝色中性笔的概率为0.6， 根据概率公式得；， 解得：． 答：的值为10． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 用频率估计概率 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 优选题型 考点讲练 2 考点1：关于频率与概率关系说法的正误 2 考点2：求某事件的频率 2 考点3：由频率估计概率 3 考点4：用频率估计概率的综合应用 4 中考真题 实战演练 5 难度分层 拔尖冲刺 7 基础夯实 7 培优拔高 9 1. 用频率估计概率 在随机事件中，一个随机事件发生与否事先无法预测,表面上看似无规律可循,但当我们做大量重复试验时,这个事件发生的频率就呈现出稳定性.因此，做了大量重复试验后，可以用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值 2. 适用对象 当试验的所有可能结果不是有限个,或各种结果发生的可能性不相等时,可通过事件发生的频率来估计概率 3. 计算方法 一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定于某个常数,那么估计事件发生的概率 (1)试验得出的频率只是概率的近似值 (2)概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并不意味着在每一次试验中一定发生 考点1：关于频率与概率关系说法的正误 【典例精讲】（24-25九年级上·四川资阳·期末）下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 【变式训练01】（24-25七年级下·山西晋中·期中）下列说法正确的是（   ） A．小明做了4次抛瓶盖的试验，其中有3次盖口向上，由此，他估计盖口向上的概率是 B．抛掷1000次硬币与抛掷2000次硬币，“正面朝上”的频率一定相同 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，那么，掷10次硬币，一定会有5次正面朝上 D．在实验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性 【变式训练02】（24-25八年级下·全国·课后作业）你同意下列说法吗？请说明理由． (1)“从袋中任意摸出1个球是红球的概率是”，这句话的意思就是从袋中取出1个球肯定是红球，因为概率已经很大了． (2)“从袋中任意摸出1个球是红球的概率是”，这句话的意思就是从袋中一定取不出红球． (3)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时，小明说：“我做了50次试验，正面朝上的频率是，所以抛掷该硬币正面朝上的频率在这个常数附近摆动．” 考点2：求某事件的频率 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·课后作业）为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整的频率分布表． 满意度 非常满意 满意 一般 不满意 合计 频率 0.5 0.3 0.05 1 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： (1)_____________． (2)若某日共有10000名游客，请你估计其中满意度表现为“一般”和“不满意”的总人数． 【变式训练01】（24-25九年级下·全国·随堂练习）为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的，下列说法错误的是（　　） A．钉尖着地的频率是0.4 B．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近 C．前10次试验结束后，钉尖着地的次数一定是4 D．前20次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是8 【变式训练02】（24-25七年级下·陕西·期末）为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如表： 种子颗数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子颗数 94 378 571 664 951 发芽种子频率 (1)填空：上表中的值为___________，的值为___________； (2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率．（精确到） 考点3：由频率估计概率 【典例精讲】（25-26九年级上·甘肃武威·期中）为了解某花卉种子的发芽情况，研究所的工作人员在相同条件下，对该花卉种子进行发芽试验，根据数据可知该花卉种子发芽的频率稳定在0.9，若在相同条件下种下该种花卉种子230颗，其中能发芽的种子约有 颗． 【变式训练01】（25-26九年级上·河南洛阳·期中）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为的长方形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球落在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（　　） A． B． C． D． 【变式训练02】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）一个不透明的袋子中有红球、白球共10个，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，记录颜色后放回，重复100次，发现摸到红球60次，则估计袋中红球约有（  ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 考点4：用频率估计概率的综合应用 【典例精讲】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题： 抽取的公仔数n 10 100 1000 2000 3000 优等品的频数m 9 96 962 1920 2880 优等品的频率 0.9 0.96 a 0.96 b (1)a＝ ；b＝ ； (2)估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是 ；（精确到0.01） (3)若该公司这一批次生产了15000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？ 【变式训练01】（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 59 96 116 295 480 601 摸到白球的频率 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的___________； (2)“摸到白球的”的概率的估计值是___________（精确到0.1）； (3)如果袋中有12个白球，那么袋中一共有多少个球？ 【变式训练02】（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，是根据“用频率估计概率”的实验统计的某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（     ） A．小明和小刚做“石头、剪刀、布”游戏（结果可能出现胜、负、平），小明获胜 B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．投掷一枚图钉，尖朝上 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数 1．（2024·宁夏中卫·中考真题）在一个不透明的布袋中装有蓝色、 白色两种小球共50个，小球除颜色外其他完全相 同．小明通过很多次摸球试验后，发现其中摸到蓝色球的频率稳定在左右，则口袋中蓝色球个数最接近（    ） A．10个 B．20个 C．30个 D．40个 2．（2024·山东烟台·中考真题）如图①，工人师傅在地面上喷绘了一个不规则图案（图中画图部分），小颖想计算该图案的面积，她采取以下方法：用一个长，宽的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机向该矩形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界限上或矩形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成如图②所示的折线统计图，由此可估计此不规则图案的面积约为（   ） A． B． C． D．无法确定 3．（2024·江西赣州·中考真题）在一个不透明的袋子中放有20个球，其中有个白球，这些球除颜色外完全相同．若每次把球充分搅匀后，任意摸出一球记下颜色后再放回袋子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，则的值约为 ． 4．（2024·浙江宁波·中考真题）一个不透明的口袋中装有若干个红球和30个白球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则通过计算可以估计出口袋中红球约 个． 5．（2024·山东淄博·中考真题）在一只不透明的袋子里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数                               摸到白球的次数                               摸到白球的频率                               (1)表中的______，______； (2)“摸到白球”的概率的估计值是______精确到； (3)如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 基础夯实 1．（25-26九年级上·辽宁阜新·期中）如图1，边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）在一个不透明的袋子里有红球、白球若干个，其中白球12个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子里红球的个数估计是（   ） A．8 B．12 C．14 D．16 3．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）一个不透明的盒子里有“中秋”主题和“国庆”主题的贺卡共30张，这些贺卡的外观、大小、质地完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“国庆”主题贺卡的频率稳定在，则估计盒子中“中秋”主题贺卡有（   ） A．18张 B．12张 C．10张 D．8张 4．（2025九年级·全国·专题练习）某果园猕猴桃喜获丰收．如图①，矩形种植区域的长为50m，宽为30m，阴影部分种植的是“翠香猕猴桃”，其他则为普通猕猴桃．小明为了知道“翠香猕猴桃”的种植面积，在矩形种植区域内部随机采摘进行检测，经过多次重复的抽取检测，“翠香猕猴桃”出现的频率记录如图②所示．依此估计“翠香猕猴桃”的种植面积约为 ． 5．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）小萌在篮球训练中，对多次投篮的数据进行记录，得到如下频数表： 投篮次数 20 40 60 80 120 150 200 投中次数 15 33 47 65 95 120 160 投中的频率 0.75 0.83 0.78 0.81 0.79 0.80 0.80 估计小萌投一次篮，投中的概率是 ．（结果精确到0.01） 6．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）一个不透明的盒子中装有黑、白两种颜色的小球共10个，它们除颜色外其他都相同．小明进行多次摸球后记录并放回重复试验，发现摸到黑色小球的频率稳定在左右，由此可知盒子中白色小球的个数可能是 ． 7．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）如图1，在面积为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为 ． 8．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）一个不透明的盒子中有同型号的不合格产品和合格产品共件．将这些产品混匀后，随机摸出一件，记录后再放回盒子中．不断重复这一过程，已知一共摸了次，其中摸到不合格产品次，请你估计这个盒子中不合格产品和合格产品的数量． 9．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）在一个不透明的箱子中装有除颜色不同外其余均一样的小球，其中红色小球有3个，蓝色小球有1个，往箱子中再放入个蓝色小球．摇晃均匀后任意摸出一个，记下颜色后放回，经过大量重复试验后发现摸到蓝色小球的频率稳定在，求的值． 10．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）李伟在暑假期间进行了投掷实心球训练，训练结果如下表： 投掷次数n 10 20 40 60 100 200 500 得满分的次数m 7 14 30 46 77 154 385 得满分的频率 0.700 0.700 0.750 0.767 0.770 0.770 0.770 当李伟投掷600次时，请估计他得满分的次数． 培优拔高 11．（24-25九年级上·广东·开学考试）以下说法正确的是（    ） A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．点，都在反比例函数图像上，且，则 D．对于一元二次方程，若，则方程的两个根互为相反数 12．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）袋中有黑球6个，白球有若干个，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验发现，摸到白球的频率稳定在附近，则袋中有白球（   ） A．3个 B．2个 C．4个 D．5个 13．（2025·河南郑州·三模）在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的乒乓球，这m个球中只有12个黄色乒乓球，其余均为白色．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到黄球的频率稳定在左右，则m的值大约为（   ） A．20 B．40 C．60 D．100 14．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共60个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在30%，则可估计口袋中白球的个数是 ． 15．（2025·上海·模拟预测）某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是 ． 16．（24-25七年级下·广东清远·期末）在一个不透明的口袋中，装有2个白球，3个黄球，若干个红球，它们除颜色外没有任何区别．经过大量重复试验，发现充分搅匀后随机摸出一球，恰好是白球的概率稳定在，则口袋中红球的个数是 17．（24-25九年级下·全国·随堂练习）欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．因曰：‘我亦无他，惟手熟尔，’”可见技能可以通过反复苦练而达到熟能生巧．如图，已知铜钱的直径为，厚度为，一枚铜钱的平均密度约为．为计算铜钱的质量，做如下试验：将一滴油（油滴的大小忽略不计）随机滴在铜钱上，重复m次，记录下油滴恰好穿过中心孔的次数为n次．由此可以估计，一枚铜钱的质量约为 （用含m．n，的式子表示）． 18．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）一个布袋里装有只有颜色不同的若干个球，其中1个白球，若干个红球，从中任意摸出1个，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，通过大量的重复实验，得到摸出白球的频率是． (1)求布袋中红球的个数． (2)若从布袋中一次性摸出2个球，则都是红球的概率是多少？ 19．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）现有3件同型号的产品需要检测，已知其中有1件不合格品和2件合格品，在这3件产品中加入件合格品后混匀，进行如下试验：随机抽取1件产品进行检测，然后放回并混匀，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.8，估计的值是多少？ 20．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段练习）一个不透明的箱子里装有红、蓝两种颜色的中性笔共20支，其中蓝色的中性笔有8支，它们除颜色外其余都相同，现将n支外观相同的蓝色中性笔放入不透明的箱子里，混匀后，任意摸出一支中性笔，记下颜色，再把它放回，经过大量试验后发现摸到蓝色中性笔的频率稳定在0.6，求n的值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $