专题2.1 简单事件概率（高效培优讲义）数学浙教版九年级上册

专题2.1 简单事件概率 教学目标 1.学生能够准确理解概率的基本概念，清晰区分必然事件、不可能事件和Y九随机事件，并熟练运用概率公式 P(A)=(其中n为所有可能出现m的结果数，m为事件 A发生的结果数)计算简单随机事件发生的概率。 2.学会通过列表法、树状图法等方法，不重不漏地列举出简单随机试验所有可能的结果，进而求出相关事件的概率，提高运用数学工具解决实际问题的能力。 教学重难点 1.重点 (1)理解概率的意义，掌握概率的基本概念和计算公式，并能准确运用公式计算简单事件发生的概率。这是学习概率知识的基础，只有深刻理解概率的本质，才能在后续学习中灵活运用。 1. （2）熟练运用列表法、树状图法等方法，准确找出随机试验中所有可能的结果，以及所求事件发生的结果，进而求出事件的概率。这些方法是解决复杂概率问题的重要工具，对于提高学生解决问题的能力至关重要。 2.难点 （1）理解概率与频率的区别与联系，在大量重复试验的基础上，体会频率的稳定性，进而理解概率的统计定义。学生容易混淆这两个概念，需要通过大量的实例和试验，帮助学生理清两者的关系。​ （2）当试验的所有可能结果不是有限个，或者各种可能结果发生的可能性不相等时，如何合理地构建概率模型，运用概率知识解决实际问题。这类问题对学生的数学思维和综合运用能力要求较高，需要教师引导学生深入分析问题，找到合适的解决方法。 知识点01 事件的类型 必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明： （1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①  必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ②  不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0； ③  如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1 【即学即练】 1．下列事件中必然事件的个数有（   ） ①当x为实数时，；②打开数学课本时刚好翻到第12页；③13个人中至少有2人的生日是同一个月． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 知识点02 概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 2.求概率方法： （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。 （2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 （3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 【即学即练】 1．一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（    ） A． B． C． D． 2．在一个神秘的探索之旅中，有个特殊的项目正在筹备，这个项目叫“秘境探寻者”，项目组共10人，分两批确定：第一批确定了7人，第二批确定了2名男生，1名女生，现从该项目组全体成员中随机抽取1人来担任极为重要的宣传联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中女生的人数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 知识点03 频率与概率 1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数 2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率 3、一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。 【即学即练】 1．如图所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的长方形卡纸上绘制的广东省政区图，他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 知识点04 概率的简单应用 概率与人们生活密切相关，能帮助我们对许多事件作出判断和决策。 【即学即练】 1．为传承中华优秀传统文化，不断提升青少年的审美和人文素养，我县某学校举办了以“绽放艺术风采、激发强国力量”为主题的艺术展演活动．张老师从全校50个班中随机抽取了A、B、C、D共4个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图． (1)张老师所调查的4个班共征集到作品 件，在扇形统计图中，表示A班的扇形周心角的度数为，则B班的扇形周心角的度数为 ，并补全条形统计图； (2)如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率（要求用树状图或列表法写出分析过程）． 题型01事件的分类 【典例1】下列事件中，是必然事件的是（   ） A．下周二不带雨伞出门，被雨淋湿了身体 B．篮球运动员投篮一次，投中篮框 C．过一点能作出一条直线与已知直线平行 D．将实心铁球放入水中，铁球下沉 【变式1】下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．抛掷一枚硬币，正面向上 B．有一匹马奔跑的速度是70米/秒 C．射击运动员射击一次，命中10环 D．在标准大气压下，气温为时，冰能熔化为水 【变式2】用两个均匀的骰子进行掷骰子活动，下列事件不是随机事件的是（   ） A．两个骰子面朝上的点数和为奇数 B．两个骰子面朝上的点数差为6 C．两个骰子面朝上的点数积为偶数 D．两个骰子面朝上的点数商为1 【变式3】下列选项中的事件，属于必然事件的是（   ） A．若a是实数，则 B．任意掷一枚硬币，正面朝上 C．两数相加，和是正数 D．在一个只装有白球的袋中，摸出黑球 题型02判断事件发生可能性大小 【典例1】书架上有社会科学类图书20本，教育类图书5本，自然科学类图书15本，文化艺术类图书10本，随机从该书架上取出一本书，则下列事件发生的可能性最大的是（    ） A．取出的是社会科学类图书 B．取出的是教育类图书 C．取出的是自然科学类图书 D．取出的是文化艺术类图书 【变式1】春天游园会有一个游戏摊位，玩的人就可以从摊主提供的袋子里抽出一个弹珠．袋子里的弹珠如图所示，当抽到白色的弹珠就能得到奖品．小刚玩这个游戏，得到奖品的可能性为(    ) A．不可能 B．非常有可能 C．不太可能 D．大约的可能 【变式2】一个不透明的袋子中，装有除颜色外完全相同的2个红球和5个白球．从袋子中随机摸球，甲认为：若摸出1个球，则摸出白球的可能性大；乙认为：若摸出3个球，则至少有1个白球．以下判断正确的是（　　） A．甲乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲乙都错误 【变式3】如图，不透明的袋子装有除颜色外，其他完全相同的10个小球，其中有9个白球，1个红球．从袋子中拿出 （填“红”或“白”）球的可能性最大． 题型03概率意义的理解 【典例3】“某商场举办有奖销售活动，每张奖券中奖的可能性相同，其中一等奖中奖概率为”这句话指的是（   ） A．很有可能中一等奖 B．张奖券中一定有一张是一等奖 C．可能中一等奖，但可能性不是很大 D．个顾客中一定有一人中一等奖 【变式1】某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷10次，都是反面朝上，则抛掷第11次出现正面朝上的概率是（   ） A． B． C． D．0 【变式2】“明天下雨的可能性为”这句话指的是（   ） A．明天一定下雨 B．的地区下雨，的地区不下雨 C．明天不一定下雨 D．明天的时间下雨，的时间不下雨 【变式3】某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷次，都是反面朝上，则抛掷第次出现正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 题型04根据概率公式计算概率 【变式4】一个长方体盒子中，装了写有“礼”字的卡片和写有“泉”字的卡片共9张，它们的外观完全相同，若从中随机抽取一张，抽到写有“礼”字卡片的概率为，则袋子中写有“泉”字的卡片有（　　） A．3张 B．6张 C．9张 D．2张 【变式1】一个不透明的袋子中装有2个红球，3个蓝球，5个黄球，这些球除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一个球，摸出黄球的概率是 ． 【变式2】在一个不透明的袋子中装有只有颜色不同的8个球，其中有3个红球和5个白球，从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是 ． 【变式3】古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导我们要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为“114514”，在这一组数中随机选择一个数字，选到数字“4”的概率为 ． 题型05已知概率求数量 【典例5】在一个不透明的袋子中装有2个白球，个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从袋子中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则 ． 【变式1】一个不透明布袋里只装有n个红球和3个白球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n的值为 ． 【变式2】在一个不透明的袋子中，装有10个除颜色外其他均相同的小球．已知从袋中任意摸出一球是白球的概率为，若袋子中再加入2个红球，则摸出一球是白球的概率为 ． 【变式3】乒乓球馆有20盒白色乒乓球，但在整理过程中，发现其中混入了若干黄色乒乓球．经过统计后，发现每盒白色乒乓球中最多混入了2个黄色乒乓球，具体数据见下表： 黄色乒乓球数 0 1 2 盒数 8 m n (1)事件“从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，盒中没有黄色乒乓球”是__________事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； (2)从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，求所抽取的盒中有黄色乒乓球的概率； (3)从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，若所抽取的盒中有1个黄色乒乓球的概率为，求m和n的值． 题型06几何概率 【典例6】小镇和小海玩掷飞镖的游戏，他们设计了如图所示的矩形靶子，点E，F分别是边，上的点，，小镇投掷的1次飞镖落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示的均匀圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，让转盘自由转动一次，指针落在偶数的概率是 ． 【变式2】如图，正六边形是由个大小相等的等边三角形构成，随机地往六边形内投一粒米，落在阴影区域的概率为 ． 【变式3】如图，在中，、交于点O，直线过O点，交、于点E、F．若向内丢一颗小石子，则小石子落在阴影部分的概率是 ． 题型07列表法或树状图求概率 【典例7】茂陵博物馆是以汉武帝茂陵、霍去病墓及大型石刻群等为主的西汉断代史博物馆，馆藏文物丰富．馆内文创店新推出四款特色明信片(除画面不同外，其他完全相同)，分别是：．马踏匈奴，．西汉鎏金马，．四神纹玉铺首，．四神纹铜染器，店员将这四款明信片各取一张背面朝上洗匀后放于展示台上． (1)小茂随机抽取一张明信片，则抽到“．西汉鎏金马”的概率是____________； (2)小茂想随机抽取两张明信片(先随机抽取一张，不放回，洗匀后再随机抽取一张)，一张送给朋友，一张自己收藏．请用列表法或画树状图法求他抽取的两张明信片中含有．四神纹玉铺首的概率． 【变式1】为了解九年级学生的体能状况，体育老师随机抽取部分学生进行体能测试，并将测试成绩分为“优秀，良好，合格，待合格”四个等级．请根据下面两幅不完整的统计图所提供的信息解答下列问题： (1)请补全条形统计图，并求扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数． (2)若从“待合格”的名男生和名女生中随机抽取名学生，作为重点帮扶对象，请用画树状图或列表法，求所抽取的两人恰好都是女生的概率． 【变式2】．一个不透明的口袋里装有四张卡片，卡片上分别标有汉字“活”“力”“浙”“江”，除汉字不同之外，卡片没有任何区别． (1)若从中任取一张卡片，求卡片上标有的汉字恰好是“活”的概率． (2)若从中任取一张卡片，不放回，再从中任取一张卡片，请用画树状图或列表法，求取出的两张卡片上的汉字恰能组成“浙江”的概率． 【变式3】如图，圆形转盘的红色扇形和蓝色扇形的圆心角都是，指针绕着圆心自由转动2次．    (1)直接写出第一次转动时指针落在蓝色区域的概率　　　； (2)求指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的概率． 题型08求某事件的频率 【典例8】年3月日，是我国的第个植树节，今年植树节的主题是“共同呵护地球家园，筑造美丽未来”．下表是某地区在植树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，请你估计植树节期间，种植杨树的成活率大约为 （结果保留两位小数）． 第一批次 第二批次 第三批次 第四批次 第五批次 种植数量 成活数量 成活频率 【变式1】在一个样本中，个数据分别落在个小组内，第小组的频数分别是，则第小组的频率是（    ） A． B． C． D． 【变式2】在一个不透明的口袋中，放置6个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了黄球出现的频率，如图，则n的值是（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【变式3】如图，某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘制的频率分布折线图，则符合这一结果的实验是（    ） A．从装有一套四大名著的盒子里任取一本书，取到的是《西游记》 B．抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上 C．掷一个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数 D．一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球 题型09由频率估计概率 【典例9】某篮球运动员进行定点投篮训练，其成绩如表： 投篮次数 10 50 100 200 投中次数 9 44 91 180 频率 0.90 0.88 0.91 0.90 则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是 （精确到）． 【变式1】如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果． 可以估计“钉尖向上”的概率是 ．（结果精确到0.01）． 【变式2】如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.45左右，据此可以估计黑色部分的总面积为 ． 【变式3】某种水稻种子在相同条件下发芽实验的结果如下： 每批粒数m 100 500 800 1000 2000 5000 发芽的频数n 94 442 728 902 1798 4505 发芽的频率 0.940 0.884 0.910 a 0.899 0.901 (1)表中a的值为__________； (2)该种水稻种子发芽的概率的估计值为__________（精确到0.1）； (3)试用（2）中概率的估计值，估算10千克该种水稻种子中能发芽的种子有多少千克？ 题型10概率的简单应用 【典例10】请根据甲、乙两个事件发生的概率，回答下列问题： (1)甲事件：在一个口袋中放入100个除颜色外形状大小都相同的球，其中99个红球，1个白球．则摸到白球的事件属于______（填选项）； A．必然事件            B．不可能事件        C．随机事件 (2)乙事件：如图是一个被等分为8个扇形的转盘，3个扇形涂成红色，3个扇形涂成蓝色，其余2个扇形涂成白色．小颖和小琪想利用这个转盘做游戏，若转盘指针指到红色区域，则小颖赢；若转盘指针指到白色区域，则小琪赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【变式1】小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜． (1)小明转一次A盘，转到数字1的概率是______． (2)这个游戏对双方公平吗？通过画树状图或列表的方式说说你的理由． 【变式2】2024巴黎奥运会，郑钦文获得了网球女单的冠军，创造了历史时刻，也在国内批起一股网球热.某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明的爸爸买到一张门票，但小明和妹妹都想去，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的个红球与个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座． (1)爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因； (2)若爸爸发现将袋子里的2个白球换成红球，然后用小明提出的办法来确定谁去听讲座就是公平的，问袋子中原来有红球和白球各有几个？ 【变式3】叮叮和当当玩纸牌游戏：如图是同一副扑克牌中的3张黑桃牌的正面，将这3张牌正面朝下洗匀后放在桌上，叮叮先从中抽出一张，当当从剩余的2张牌中也抽出一张，比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜，该游戏是否公平？请用画树状图或列表的方法说明理由． 一、单选题 1．下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．若实数，则 B．下雨天，每个人都打着雨伞 C．若，则 D．打开电视机，正在播放广告 2．一个不透明的盒子中装有2个黑球，3个白球，4个红球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列说法正确的是（    ） A．摸出黑色球的可能性最大． B．摸出白色球的可能性最大 C．摸出红色球的可能性最大． D．摸出黑色、白色、红色球的可能性一样大． 3．若两张扑克牌的牌面数字相同，则可以组成一对．如图，是甲、乙同学手中的扑克牌．若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与手中牌组成一对的概率是（    ） A． B． C． D．1 4．一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如果一个两位数中两个数字之差的绝对值不超过3，则称该两位数为“幸运数”．用3，6，9这三个数字随机组成一个无重复数字的两位数，恰好是“幸运数”的概率为（   ） A． B． C． D． 6．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．掷一个质地均匀的正方体骰子，落地时面朝上的点数是6 C．掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上 D．用2，3，4三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数 二、填空题 7．如图，转动转盘当转盘停止后，指针落在B区域的概率是 ． 8．小明准备在暑假到重庆游玩，第一天他想在洪崖洞、解放碑、长江索道、山城步道这四个景点中随机选取两个去游玩，他选取背面完全相同的四张卡片，在正面分别写上景点名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中洪崖洞和长江索道的概率是 ． 9．在一个不透明的袋中装有32个黄球，16个紫球和24个蓝球，从中任意摸出一个球，摸到不是紫球的概率为 ． 10．如图，这是一个可以自由转动的转盘，当转盘停止时，指针落在阴影区域的概率是 ． 11．苗圃技术人员对某种花苗移植的成活情况进行调查，将调查数据整理后结果如表所示： 移植总数 成活数 成活的频率 根据表中数据，估计这种花苗移植的成活概率为 ．（精确到） 12．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为估计白球数，小刚向其中放入8个黑球摇匀后，从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球200次，其中40次摸到黑球，你估计盒中大约有白球 个 13．如图，两个带指针的转盘A，B分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是2，5，9，转盘B上的数字分别是3，6，8（两个转盘除表面数字不同之外，其他完全相同）．小美拨动A转盘上的指针，小丽拨动B转盘上的指针，使之旋转，指针停止后所指数字较大的一方获胜（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次），则 （填“小美”或“小丽”）获胜的可能性大． 14．在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为 粒． 三、解答题 15．某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． (1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______； (2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 16．周末，李老师领着小明和小刚兄弟俩去商场购物，发现该商场正在进行转盘抽奖活动．规则是：如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成个扇形），一次购物满元的顾客可获得一次转转盘抽奖的机会．转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）． 颜色 红 蓝 黑 奖券金额（元） 20 50 80 (1)转动一次转盘，若指针落在扇形区域，分别求出获得元和元奖券的概率； (2)为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？ (3)李老师购买了600元的商品获得了一次转转盘的机会，俩兄弟都想抽奖，于是李老师制作了如图所示一个可自由转动的转盘，被平均分成5等份，分别涂上红、黄、绿三种颜色，请你帮李老师设计一个公平的游戏规则，使俩兄弟获胜一方参与抽奖． 17．某中学为了保证“两操一活动”的质量，让学生积极参加丰富多彩的课外活动，学校拟组织四个社团：A．篮球队，B．舞蹈队，C．射击队，D．毽子队，学校就学生参加这四个社团的意向对学生进行了抽样调查（每名学生只能从中选择一种最喜欢的），并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．      请结合图中所给信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生共有________人； (2)补全条形统计图； (3)该校共有1200名学生，请估计选择“毽子队”的学生有多少人？ (4)该校在最喜欢“射击”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加上级的射击队培训，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 简单事件概率 教学目标 1.学生能够准确理解概率的基本概念，清晰区分必然事件、不可能事件和Y九随机事件，并熟练运用概率公式 P(A)=(其中n为所有可能出现m的结果数，m为事件 A发生的结果数)计算简单随机事件发生的概率。 2.学会通过列表法、树状图法等方法，不重不漏地列举出简单随机试验所有可能的结果，进而求出相关事件的概率，提高运用数学工具解决实际问题的能力。 教学重难点 1.重点 (1)理解概率的意义，掌握概率的基本概念和计算公式，并能准确运用公式计算简单事件发生的概率。这是学习概率知识的基础，只有深刻理解概率的本质，才能在后续学习中灵活运用。 1. （2）熟练运用列表法、树状图法等方法，准确找出随机试验中所有可能的结果，以及所求事件发生的结果，进而求出事件的概率。这些方法是解决复杂概率问题的重要工具，对于提高学生解决问题的能力至关重要。 2.难点 （1）理解概率与频率的区别与联系，在大量重复试验的基础上，体会频率的稳定性，进而理解概率的统计定义。学生容易混淆这两个概念，需要通过大量的实例和试验，帮助学生理清两者的关系。​ （2）当试验的所有可能结果不是有限个，或者各种可能结果发生的可能性不相等时，如何合理地构建概率模型，运用概率知识解决实际问题。这类问题对学生的数学思维和综合运用能力要求较高，需要教师引导学生深入分析问题，找到合适的解决方法。 知识点01 事件的类型 必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明： （1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①  必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ②  不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0； ③  如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1 【即学即练】 1．下列事件中必然事件的个数有（   ） ①当x为实数时，；②打开数学课本时刚好翻到第12页；③13个人中至少有2人的生日是同一个月． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了必然事件，解题的关键是正确理解随机事件，必然事件，不可能事件的概念． 根据随机事件，必然事件，不可能事件的概念对各事件逐个判断即可． 【详解】①当为实数时，，属于必然事件； ②打开数学课本刚好翻到第12页，属于随机事件； ③13个人中至少有2人的生日在同一个月，属于必然事件； 综上，必然事件有①和③ ，共2个． 故选：C． 知识点02 概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 2.求概率方法： （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。 （2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 （3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 【即学即练】 1．一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率=事件可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【详解】解：∵袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，从袋子中随机摸出一个球， ∴摸出的球是白球的概率是． 故选：A． 2．在一个神秘的探索之旅中，有个特殊的项目正在筹备，这个项目叫“秘境探寻者”，项目组共10人，分两批确定：第一批确定了7人，第二批确定了2名男生，1名女生，现从该项目组全体成员中随机抽取1人来担任极为重要的宣传联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中女生的人数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、概率的应用等知识点，根据概率列出方程是解题的关键． 设第一批确定的女生人数为，则男生人数为．结合第二批确定的2男1女，总男生数为，总人数为10．根据抽中男生的概率为列方程求解即可． 【详解】解：设第一批确定的女生人数为，则男生人数为．结合第二批确定的2男1女，总男生数为， 由题意可得： ，解得：． 故选B． 知识点03 频率与概率 1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数 2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率 3、一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。 【即学即练】 1．如图所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的长方形卡纸上绘制的广东省政区图，他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用频率估算概率，几何概率，先根据折线图，利用频率估算出概率，再利用几何概率的计算公式，进行求解即可． 【详解】解：由图可知，随着试验次数的增加，频率稳定在左右， ∴， ∴不规则图案的面积为； 故选D． 知识点04 概率的简单应用 概率与人们生活密切相关，能帮助我们对许多事件作出判断和决策。 【即学即练】 1．为传承中华优秀传统文化，不断提升青少年的审美和人文素养，我县某学校举办了以“绽放艺术风采、激发强国力量”为主题的艺术展演活动．张老师从全校50个班中随机抽取了A、B、C、D共4个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图． (1)张老师所调查的4个班共征集到作品 件，在扇形统计图中，表示A班的扇形周心角的度数为，则B班的扇形周心角的度数为 ，并补全条形统计图； (2)如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率（要求用树状图或列表法写出分析过程）． 【答案】(1)24，，见解析 (2) 【分析】（1）根据公式计算A所占的百分比，利用利用样本容量频数所占百分比计算即可求出总数；根据扇形统计图的意义，计算度数即可；计算B班件数然后补全统计图即可； （2）画树状图计算即可． 【详解】（1）根据题意，调查的总件数（件）； B班的作品数为（件）， B班的扇形周心角的度数为：， 补全条形统计图为： （2）设男生为B，女生为，画树状图如下： 一共有12种等可能性，一男一女有6种等可能性， 所以恰好抽中一男一女的概率． 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，画树状图计算概率，熟练掌握统计图的意义，画树状图计算概率是解题的关键． 题型01事件的分类 【典例1】下列事件中，是必然事件的是（   ） A．下周二不带雨伞出门，被雨淋湿了身体 B．篮球运动员投篮一次，投中篮框 C．过一点能作出一条直线与已知直线平行 D．将实心铁球放入水中，铁球下沉 【答案】D 【分析】本题考查了事件的分类，熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题关键．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断． 【详解】解：．下周二不带雨伞出门，被雨淋湿了身体是随机事件，故该选项不符合题意； ．篮球运动员投篮一次，投中篮框是随机事件，故该选项不符合题意； ．过一点能作出一条直线与已知直线平行是随机事件，故该选项不符合题意； ．将实心铁球放入水中，铁球下沉是必然事件，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式1】下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．抛掷一枚硬币，正面向上 B．有一匹马奔跑的速度是70米/秒 C．射击运动员射击一次，命中10环 D．在标准大气压下，气温为时，冰能熔化为水 【答案】D 【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件、必然事件、不可能事件的特点是解题的关键． 根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、抛掷一枚硬币，正面向上，属于随机事件，故此选项不符合题意； B、有一匹马奔跑的速度是70米/秒，属于随机事件，故此选项不符合题意； C、射击运动员射击一次，命中10环，属于随机事件，故此选项不符合题意； D、在标准大气压下，气温为2℃时，冰能熔化为水，属于必然事件，故此选项符合题意． 故选：D ． 【变式2】用两个均匀的骰子进行掷骰子活动，下列事件不是随机事件的是（   ） A．两个骰子面朝上的点数和为奇数 B．两个骰子面朝上的点数差为6 C．两个骰子面朝上的点数积为偶数 D．两个骰子面朝上的点数商为1 【答案】B 【分析】本题主要考查了事件发生的可能性，解题的关键是会根据事件发生可能性的定义分析判断．事件根据发生的可能性分为不可能事件、随机事件、必然事件，不可能事件发生的可能性为0，必然事件发生的可能性为，随机事件发生的可能性介于之间，根据这个定义判断即可． 【详解】解：A．两个骰子面朝上的点数和为奇数，是随机事件，故此选项不合题意； B．两个骰子面朝上的点数差为6，是不可能事件，故此选项符合题意； C．两个骰子面朝上的点数积为偶数，是随机事件，故此选项不合题意； D．两个骰子面朝上的点数商为1，是随机事件，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式3】下列选项中的事件，属于必然事件的是（   ） A．若a是实数，则 B．任意掷一枚硬币，正面朝上 C．两数相加，和是正数 D．在一个只装有白球的袋中，摸出黑球 【答案】A 【分析】本题主要考查了必然事件、随机事件、不可能事件、实数的性质等知识点，熟练掌握必然事件、随机事件、不可能事件的概念是解题关键． 根据必然事件、随机事件、不可能事件的定义、实数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、若a是实数，则，是必然事件，则此项符合题意； B任意掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，则此项不符合题意； C、任意两数相加，和是正数，是随机事件，则此项不符合题意； D、在一个只装有白球的袋中，摸出黑球，是不可能事件，则此项不符合题意． 故选：A． 题型02判断事件发生可能性大小 【典例1】书架上有社会科学类图书20本，教育类图书5本，自然科学类图书15本，文化艺术类图书10本，随机从该书架上取出一本书，则下列事件发生的可能性最大的是（    ） A．取出的是社会科学类图书 B．取出的是教育类图书 C．取出的是自然科学类图书 D．取出的是文化艺术类图书 【答案】A 【分析】本题考查等可能事件发生的概率，如果一件事有n种可能，而这些事件的可能性相同，其中事件A出现了m种情况，则事件A发生的概率为：. 根据等可能事件的概率公式，求出取出每种书的概率，然后比较即可 【详解】解：取出的是社会科学类图书的概率是：， 取出的是教育类图书的概率是：， 取出的是自然科学类图书的概率是：， 取出的是文化艺术类图书的概率是：， 故可能性最大的为：取出的是社会科学类图书， 故选：A 【变式1】春天游园会有一个游戏摊位，玩的人就可以从摊主提供的袋子里抽出一个弹珠．袋子里的弹珠如图所示，当抽到白色的弹珠就能得到奖品．小刚玩这个游戏，得到奖品的可能性为(    ) A．不可能 B．非常有可能 C．不太可能 D．大约的可能 【答案】B 【分析】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握可能性大小的概念．根据可能性的大小概念求解即可． 【详解】解：由图知，袋中白球个数明显多于黑球，且个数超过一半， 所以小刚玩这个游戏，得到奖品的可能性为非常有可能， 故选：B． 【变式2】一个不透明的袋子中，装有除颜色外完全相同的2个红球和5个白球．从袋子中随机摸球，甲认为：若摸出1个球，则摸出白球的可能性大；乙认为：若摸出3个球，则至少有1个白球．以下判断正确的是（　　） A．甲乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲乙都错误 【答案】A 【分析】本题考查的是可能性的大小，熟记概率公式是解题的关键． 根据可能性大小的定义解答即可． 【详解】解：∵有2个红球和5个白球， ∴若摸出1个球，则摸出白球的可能性大，故甲正确；若摸出3个球，则至少有1个白球，故乙正确． 故选：A． 【变式3】如图，不透明的袋子装有除颜色外，其他完全相同的10个小球，其中有9个白球，1个红球．从袋子中拿出 （填“红”或“白”）球的可能性最大． 【答案】白 【分析】本题考查了可能性的大小，要求可能性的大小，只别求出各自所占的比例大小即可，求比例时，应注意记出各自的数目． 分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性大． 【详解】解：因为袋子中有9个白球， 1个红球，从中任意摸出一个球， 摸出白球的概率是： 摸出红球的概率是； 可见摸出白球的可能性大． 故答案为：白． 题型03概率意义的理解 【典例3】“某商场举办有奖销售活动，每张奖券中奖的可能性相同，其中一等奖中奖概率为”这句话指的是（   ） A．很有可能中一等奖 B．张奖券中一定有一张是一等奖 C．可能中一等奖，但可能性不是很大 D．个顾客中一定有一人中一等奖 【答案】C 【分析】本题考查了概率的意义：表示事件发生的可能性大小，理解概率的意义是关键；根据概率的意义去分析判断即可． 【详解】解：一等奖中奖概率为，说明中一等奖的可能性为，显然这个可能性很小，并不意味着一定中奖；故选项C正确，其它选项错误； 故选：C． 【变式1】某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷10次，都是反面朝上，则抛掷第11次出现正面朝上的概率是（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查概率的意义，根据抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正面向上的概率都是，即可得到第次出现正面朝上的概率．解题的关键是正确把握概率的定义：对于一个随机事件，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发生的概率． 【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正面向上的概率都是， ∴抛掷第次出现正面朝上的概率是． 故选：C． 【变式2】“明天下雨的可能性为”这句话指的是（   ） A．明天一定下雨 B．的地区下雨，的地区不下雨 C．明天不一定下雨 D．明天的时间下雨，的时间不下雨 【答案】C 【分析】本题考查概率的意义，理解随机事件发生的可能性是可能发生，也可能不发生．根据相关概念判断，即可解题． 【详解】解：“明天下雨的可能性为”这句话指的是明天有很大可能下雨，但也不一定下雨，与地区和下雨时间长短无关，故明天不一定下雨， 故选：C． 【变式3】某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷次，都是反面朝上，则抛掷第次出现正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查概率的意义，根据抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正面向上的概率都是，即可得到第次出现正面朝上的概率．解题的关键是正确把握概率的定义：对于一个随机事件，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发生的概率． 【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正面向上的概率都是， ∴抛掷第次出现正面朝上的概率是． 故选：B． 题型04根据概率公式计算概率 【变式4】一个长方体盒子中，装了写有“礼”字的卡片和写有“泉”字的卡片共9张，它们的外观完全相同，若从中随机抽取一张，抽到写有“礼”字卡片的概率为，则袋子中写有“泉”字的卡片有（　　） A．3张 B．6张 C．9张 D．2张 【答案】A 【分析】本题考查了概率公式的应用，理解求概率的公式是解题的关键． 根据概率公式列式计算即可． 【详解】解：袋子中写有“泉”字的卡片有：（张）． 故选： A． 【变式1】一个不透明的袋子中装有2个红球，3个蓝球，5个黄球，这些球除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一个球，摸出黄球的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查概率公式，直接根据概率公式求解即可． 【详解】解：从袋子中随机摸出一个球，摸出黄球的概率是， 故答案为：． 【变式2】在一个不透明的袋子中装有只有颜色不同的8个球，其中有3个红球和5个白球，从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵ 在一个不透明的袋子中装有只有颜色不同的8个球，其中有3个红球和5个白球， ∴ 摸出的球是红球的概率是． 故答案为：． 【变式3】古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导我们要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为“114514”，在这一组数中随机选择一个数字，选到数字“4”的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵共有6个数字，其中4有2个， ∴在这一组数中随机选择一个数字，选到数字“4”的概率为． 故答案为：． 题型05已知概率求数量 【典例5】在一个不透明的袋子中装有2个白球，个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从袋子中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，摸到白球的概率等于白球的数量除以球的总数，据此建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故答案为：6． 【变式1】一个不透明布袋里只装有n个红球和3个白球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了概率的计算，分式方程的运用，掌握随机事件概率的计算公式是解题的关键．确定红球的数量，总的数量，根据任意摸出一个球是红球的概率为，列式求解即可． 【详解】解：有个红球和 3 个白球（除颜色外其余都相同），任意摸出一个球是红球的概率为， ， 解得：， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴的值为9 ， 故答案为：9． 【变式2】在一个不透明的袋子中，装有10个除颜色外其他均相同的小球．已知从袋中任意摸出一球是白球的概率为，若袋子中再加入2个红球，则摸出一球是白球的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了概率公式，掌握概率公式是解题的关键，根据题意先求得白球有个，进而根据概率公式，即可求解． 【详解】解：∵共有10个小球，任意摸出一球是白球的概率为， ∴白球有（个）， 若袋子中再加入2个红球， ∴摸出一球是白球的概率为为； 故答案为：． 【变式3】乒乓球馆有20盒白色乒乓球，但在整理过程中，发现其中混入了若干黄色乒乓球．经过统计后，发现每盒白色乒乓球中最多混入了2个黄色乒乓球，具体数据见下表： 黄色乒乓球数 0 1 2 盒数 8 m n (1)事件“从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，盒中没有黄色乒乓球”是__________事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； (2)从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，求所抽取的盒中有黄色乒乓球的概率； (3)从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，若所抽取的盒中有1个黄色乒乓球的概率为，求m和n的值． 【答案】(1)随机 (2) (3)， 【分析】本题主要考查了随机事件的定义、概率公式的应用，熟练掌握随机事件的概念和概率公式（，其中是总情况数，是事件发生的情况数 ）是解题的关键． （1）根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义，判断“从20盒中任意取1盒，盒中没有黄色乒乓球”这一事件的类型，看其是否确定会发生或不发生． （2）先求出有黄色乒乓球的盒数，再根据概率公式“概率 所求情况数总情况数”计算抽取到有黄色乒乓球的概率． （3）利用“盒中有1个黄色乒乓球的概率为”，结合概率公式列出关于的方程，求出后，再根据总盒数为20，算出的值 ． 【详解】（1）解：因为20盒白色乒乓球中，有的盒有黄色乒乓球，有的盒没有，所以“从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，盒中没有黄色乒乓球”这件事可能发生，也可能不发生，根据随机事件的定义，该事件是随机事件． 故答案为：随机． （2）解：“盒中有黄色乒乓球”的盒数为（盒）， 所以所抽取的盒中有黄色乒乓球的概率为． （3）解：因为“盒中有1个黄色乒乓球”的概率为，所以， 即，所以． 题型06几何概率 【典例6】小镇和小海玩掷飞镖的游戏，他们设计了如图所示的矩形靶子，点E，F分别是边，上的点，，小镇投掷的1次飞镖落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查矩形的判定和性质，概率计算公式，从图中找到题目中所要求的信息．用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比． 将图形分为矩形和矩形两部分，可得三角形是矩形面积的一半，三角形是矩形面积的一半，从而可得飞镖落在阴影部分的概率． 【详解】解：∵分别是矩形的两边上的点，， ∴， ∴四边形和四边形是矩形， ∴， ∴， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故选：C． 【变式1】如图所示的均匀圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，让转盘自由转动一次，指针落在偶数的概率是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了概率的计算公式，正确理解概率的计算公式是解题的关键．根据题意，共有5种等可能结果，其中指针落在偶数有2和4两种等可能性结果，运用公式计算，即得答案． 【详解】在如图所示的均匀圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，让转盘自由转动一次，共有5种等可能结果，其中指针落在偶数有2和4两种等可能性结果，所以指针落在偶数的概率是． 故答案为：． 【变式2】如图，正六边形是由个大小相等的等边三角形构成，随机地往六边形内投一粒米，落在阴影区域的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了简单事件的概率，关键是求得所有事件的可能结果数，某个事件发生时的可能结果数． 根据概率的计算方法即可求解． 【详解】解：正六边形是由个大小相等的等边三角形构成，随机地往六边形内投一粒米，落在阴影区域有种可能； 故一粒米落在阴影区域的概率为：； 故答案为： 【变式3】如图，在中，、交于点O，直线过O点，交、于点E、F．若向内丢一颗小石子，则小石子落在阴影部分的概率是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，几何概率问题，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．根据平行四边形的性质得，则阴影部分面积等于的面积，即为平行四边形面积的，然后根据几何概率的意义求解． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线、相交于点O， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分面积等于的面积，即为平行四边形面积的， ∴小石子落在阴影部分的概率是． 故答案为：． 题型07列表法或树状图求概率 【典例7】茂陵博物馆是以汉武帝茂陵、霍去病墓及大型石刻群等为主的西汉断代史博物馆，馆藏文物丰富．馆内文创店新推出四款特色明信片(除画面不同外，其他完全相同)，分别是：．马踏匈奴，．西汉鎏金马，．四神纹玉铺首，．四神纹铜染器，店员将这四款明信片各取一张背面朝上洗匀后放于展示台上． (1)小茂随机抽取一张明信片，则抽到“．西汉鎏金马”的概率是____________； (2)小茂想随机抽取两张明信片(先随机抽取一张，不放回，洗匀后再随机抽取一张)，一张送给朋友，一张自己收藏．请用列表法或画树状图法求他抽取的两张明信片中含有．四神纹玉铺首的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了概率公式、画树状图求概率等知识点，正确画出树状图是解题的关键． （1）直接运用概率公式求解即可； （2）先根据题意画出树状图确定所有等可能结果数和满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】（1）总共有四张特色明信片，“．西汉鎏金马”是其中一张， ∴抽到“．西汉鎏金马”的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 由上图可知共有12种等可能的结果，其中含有．四神纹玉铺首的结果有6种， ∴(抽取的两张明信片中含有．四神纹玉铺首)． 【变式1】为了解九年级学生的体能状况，体育老师随机抽取部分学生进行体能测试，并将测试成绩分为“优秀，良好，合格，待合格”四个等级．请根据下面两幅不完整的统计图所提供的信息解答下列问题： (1)请补全条形统计图，并求扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数． (2)若从“待合格”的名男生和名女生中随机抽取名学生，作为重点帮扶对象，请用画树状图或列表法，求所抽取的两人恰好都是女生的概率． 【答案】(1)补全条形统计图见解析， (2) 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率、条形统计图和扇形统计图，从统计图中获取所需信息是解题关键． （1）由扇形统计图可知“待合格”与“优秀”占总体的一半，条形统计图可知“待合格”人数为，“优秀”人数为，求出抽样调查的总人数，再求出“良好”的人数，再补全条形统计图，再利用百分比计算“合格”部分所对应圆心角的度数即可； （2）先画出树状图确定所有等可能结果数以及两人恰好都是女生的情况数，再运用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵扇形统计图可知“待合格”与“优秀”占总体的一半，条形统计图可知“待合格”人数为，“优秀”人数为， ∴被调查总人数为（人）， ∴“良好”的人数为（人）， 补全条形统计图如图： 扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数为； （2）解：画出树状图如下： 共有种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是女生的结果数为． 所以抽取的两人恰好都是女生的概率为． 【变式2】．一个不透明的口袋里装有四张卡片，卡片上分别标有汉字“活”“力”“浙”“江”，除汉字不同之外，卡片没有任何区别． (1)若从中任取一张卡片，求卡片上标有的汉字恰好是“活”的概率． (2)若从中任取一张卡片，不放回，再从中任取一张卡片，请用画树状图或列表法，求取出的两张卡片上的汉字恰能组成“浙江”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上标有的汉字恰好是“活”的结果有1种，利用概率公式可得答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及取出的两张卡片上的汉字恰能组成“浙江”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上标有的汉字恰好是“活”的结果有1种， 卡片上标有的汉字恰好是“活”的概率为 （2）列表如下： 活 力 浙 江 活 活，力 活，浙 活，江 力 力，活 力，浙 力，江 浙 浙，活 浙，力 浙，江 江 江，活 江，力 江，浙 共有12种等可能的结果，其中取出的两张卡片上的汉字恰能组成“浙江”的结果有：浙，江，江，浙，共2种， 取出的两张卡片上的汉字恰能组成“浙江”的概率为 ． 【变式3】如图，圆形转盘的红色扇形和蓝色扇形的圆心角都是，指针绕着圆心自由转动2次．    (1)直接写出第一次转动时指针落在蓝色区域的概率　　　； (2)求指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，熟练利用列表法求概率是解题的关键． （1）用蓝色区域得面积除以圆形转盘得面积即可； （2）把圆形转盘分成相同的4等份，其中黄色扇形占2份，画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解：由题意第一次转动时指针落在蓝色区域的概率为， （2）解：把黄色区域看作两份，画树状图为：   ， 共有16种等可能的结果，其中指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的结果数为4， 所以指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的概率为． 4 题型08求某事件的频率 【典例8】年3月日，是我国的第个植树节，今年植树节的主题是“共同呵护地球家园，筑造美丽未来”．下表是某地区在植树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，请你估计植树节期间，种植杨树的成活率大约为 （结果保留两位小数）． 第一批次 第二批次 第三批次 第四批次 第五批次 种植数量 成活数量 成活频率 【答案】 【分析】本题考查了频率．熟练掌握频率的定义是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，种植杨树的成活率大约为， 故答案为：． 【变式1】在一个样本中，个数据分别落在个小组内，第小组的频数分别是，则第小组的频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据各组的频数可求出第小组的频数，再根据频率的计算方法即可求解． 【详解】解：个数据分别落在个小组内，第小组的频数分别是， ∴第小组的频数为， ∴第小组频率为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查频率的计算方法，掌握频率的计算公式是解题的关键． 【变式2】在一个不透明的口袋中，放置6个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了黄球出现的频率，如图，则n的值是（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【分析】先根据图得到黄球出现的频率稳定在0.6附近，再根据概率公式列出方程，最后解方程即可求出n． 【详解】解：由图可知，经过大量实验发现，黄球出现的频率稳定在0.6附近， ∴ 解得 n=3 故选：B． 【点睛】本题考查了用频率估计概率及用概率求数量，解题的关键是熟练掌握概率公式． 【变式3】如图，某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘制的频率分布折线图，则符合这一结果的实验是（    ） A．从装有一套四大名著的盒子里任取一本书，取到的是《西游记》 B．抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上 C．掷一个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数 D．一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球 【答案】C 【分析】本题考查了频率估算概率，理解图示，掌握概率的计算是关键． 根据图示信息，根据频率估算概率，概率的计算进行判定即可． 【详解】解：根据题意，大量试验中，频数稳定在之间， A、从装有一套四大名著的盒子里任取一本书，取到的是《西游记》的概率为，不符合题意； B、抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上的概率是，不符合题意； C、掷一个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数的概率是，符合题意； D、一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球，不符合题意； 故选：C ． 题型09由频率估计概率 【典例9】某篮球运动员进行定点投篮训练，其成绩如表： 投篮次数 10 50 100 200 投中次数 9 44 91 180 频率 0.90 0.88 0.91 0.90 则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是 （精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题关键． 【详解】解：由成绩表可知，事件发生的频率稳定在附近， 则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是， 故答案为：． 【变式1】如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果． 可以估计“钉尖向上”的概率是 ．（结果精确到0.01）． 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率．当试验次数足够大，频率趋于稳定，此时可以频率来表示概率．用频率估计概率作答即可． 【详解】解：由题意知，估计“钉尖向上”的概率是， 故答案为：． 【变式2】如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.45左右，据此可以估计黑色部分的总面积为 ． 【答案】45 【分析】本题考查了用频率来估计概率，解题关键是理解频率与概率的关系与概率计算公式，明确题中黑色部分的面积与正方形的面积比等于概率是解题的关键．先计算正方形的面积，再建立方程求解即可． 【详解】解：边长为正方形面积为， 设黑色部分的总面积为， ∴， ∴， ∴黑色部分的总面积为 故答案为：45． 【变式3】某种水稻种子在相同条件下发芽实验的结果如下： 每批粒数m 100 500 800 1000 2000 5000 发芽的频数n 94 442 728 902 1798 4505 发芽的频率 0.940 0.884 0.910 a 0.899 0.901 (1)表中a的值为__________； (2)该种水稻种子发芽的概率的估计值为__________（精确到0.1）； (3)试用（2）中概率的估计值，估算10千克该种水稻种子中能发芽的种子有多少千克？ 【答案】(1) (2)0.9 (3)9千克 【分析】（1）用计算即可； （2）根据大量反复试验下的频率稳定值即为概率的近似值，即得出答案； （3）用10千克乘以（2）所得概率即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：由表格可知水稻种子的发芽频率在0.9左右波动， ∴该种水稻种子发芽的概率的估计值为0.9． 故答案为：0.9； （3）解：千克． 答：估算10千克该种水稻种子中能发芽的种子有9千克． 【点睛】本题考查求频率，由频率估计概率，由概率求数量．理解大量反复试验下的频率稳定值即为概率的近似值是解题关键． 题型10概率的简单应用 【典例10】请根据甲、乙两个事件发生的概率，回答下列问题： (1)甲事件：在一个口袋中放入100个除颜色外形状大小都相同的球，其中99个红球，1个白球．则摸到白球的事件属于______（填选项）； A．必然事件            B．不可能事件        C．随机事件 (2)乙事件：如图是一个被等分为8个扇形的转盘，3个扇形涂成红色，3个扇形涂成蓝色，其余2个扇形涂成白色．小颖和小琪想利用这个转盘做游戏，若转盘指针指到红色区域，则小颖赢；若转盘指针指到白色区域，则小琪赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1)C (2)这个游戏不公平．理由见解析 【分析】本题主要考查了事件的分类，游戏的公平性，熟知相关知识是解题的关键． （1）在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件，在一定条件下，可能发生也有可能不会发生的事件叫做随机事件，在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件，据此求解即可； （2）分别计算出小颖和小琪赢的概率，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，摸到白球的事件属于随机事件， 故选：C； （2）解：这个游戏不公平．理由如下： （小颖赢），（小琪赢）， （小颖赢）（小琪赢）， 小颖赢的可能性大，这个游戏不公平 【变式1】小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜． (1)小明转一次A盘，转到数字1的概率是______． (2)这个游戏对双方公平吗？通过画树状图或列表的方式说说你的理由． 【答案】(1) (2)不公平，见解析 【分析】本题考查游戏的公平性．熟练掌握游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平，是解题的关键． （1）直接计算，即可求解； （2）先画树状图展示共有9种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数为5，两次数字之和为偶数的结果数为4，所以小明胜的概率为，小亮胜的概率为，然后通过比较概率大小判断这个游戏对双方是否公平；解题的关键是掌握：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为． 【详解】（1）转一次A盘，转到数字1的概率：． （2）这个游戏对双方不公平，理由如下： 画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数5，两次数字之和为偶数的结果数为4， ∴小明胜的概率，小亮胜的概率，而， 故这个游戏对双方不公平． 【变式2】2024巴黎奥运会，郑钦文获得了网球女单的冠军，创造了历史时刻，也在国内批起一股网球热.某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明的爸爸买到一张门票，但小明和妹妹都想去，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的个红球与个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座． (1)爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因； (2)若爸爸发现将袋子里的2个白球换成红球，然后用小明提出的办法来确定谁去听讲座就是公平的，问袋子中原来有红球和白球各有几个？ 【答案】(1)见解析 (2)原来有红球个，白球有个 【分析】此题考查了概率公式和游戏公平性问题． （1）根据概率公式分别求得妹妹与小明去听讲座的概率，概率相等就公平，否则就不公平； （2）根据题意摸出红球的概率为，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵个红球与个白球 ∴摸出的是红球的概率为 摸出的是白球的概率为， ， ∴这个办法不公平 （2）解：依题意， 解得： 是原方程的解， 则， ∴原来有红球个，白球有个 【变式3】叮叮和当当玩纸牌游戏：如图是同一副扑克牌中的3张黑桃牌的正面，将这3张牌正面朝下洗匀后放在桌上，叮叮先从中抽出一张，当当从剩余的2张牌中也抽出一张，比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜，该游戏是否公平？请用画树状图或列表的方法说明理由． 【答案】该游戏公平，理由见解析 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．熟练掌握列表法与树状图法是本题的关键． 列表展示所有等可能的结果数，找出当当抽出的牌面上的数字大的结果数和叮叮抽出的牌面上的数字大的结果数，然后计算她们获胜的概率，再根据概率的大小判断该游戏是否公平． 【详解】解：公平．理由如下： 列表如下： 3 6 7 3 6 7 共有6种等可能的结果数，其中当当抽出的牌面上的数字大的结果数为3，叮叮抽出的牌面上的数字大的结果数为3， 所以当当获胜的概率叮叮获胜的概率， 所以该游戏公平． 一、单选题 1．下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．若实数，则 B．下雨天，每个人都打着雨伞 C．若，则 D．打开电视机，正在播放广告 【答案】A 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件的概念（必然事件指在一定条件下一定发生的事件）可判断正确答案． 【详解】解：A、若实数，则是必然事件； B、 下雨天，每个人都打着雨伞，是随机事件； C、 若，则，是不可能事件； D、打开电视机，正在播放广告，是随机事件； 故选：A． 2．一个不透明的盒子中装有2个黑球，3个白球，4个红球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列说法正确的是（    ） A．摸出黑色球的可能性最大． B．摸出白色球的可能性最大 C．摸出红色球的可能性最大． D．摸出黑色、白色、红色球的可能性一样大． 【答案】C 【分析】本题考查的是可能性大小的判断．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．根据题意得到相应的可能性，比较即可． 【详解】解：盒中共有黑球2个、白球3个、红球4个，总数为， 摸到白球的可能性为，摸到黑球的可能性为，摸到红球的可能性为， 所以摸到红球的可能性最大， 故选：C． 3．若两张扑克牌的牌面数字相同，则可以组成一对．如图，是甲、乙同学手中的扑克牌．若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与手中牌组成一对的概率是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查求概率，根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：共4张牌，其中能与手中牌组成一对的有5，8，共2种情况， ∴； 故选C． 4．一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了根据概率求数量，熟练掌握概率公式是解题的关键． 设红球有个，根据摸到白球的概率公式列方程求解． 【详解】解：设红球有个，则袋中总球数为个， ∴摸到白球的概率为， 根据题意得：， 解得：， 因此，红球的个数为2个． 故选：B． 5．如果一个两位数中两个数字之差的绝对值不超过3，则称该两位数为“幸运数”．用3，6，9这三个数字随机组成一个无重复数字的两位数，恰好是“幸运数”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了概率计算，新定义运算，首先列出所有可能的无重复两位数，再根据“幸运数”的定义筛选符合条件的数，最后计算概率即可． 【详解】解：用3、6、9组成无重复数字的两位数共有6种可能：36、39、63、69、93、96， 判断每个数是否为“幸运数”（两数字之差的绝对值）： 36：，符合条件； 39：，不符合； 63：，符合条件； 69：，符合条件； 93：，不符合； 96：，符合条件； 符合条件的数有4个（36、63、69、96），故概率为． 故选：D． 6．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．掷一个质地均匀的正方体骰子，落地时面朝上的点数是6 C．掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上 D．用2，3，4三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数 【答案】B 【分析】本题考查“用频率估计概率”的试验、求随机事件的概率等知识，由题意确定试验出现某种结果的概率约为，再逐项求出各个随机事件的概率比较即可得到答案．理解题意，掌握随机事件概率的求法是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，即概率约为， A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合试验结果； B、掷一个质地均匀的正方体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，符合试验结果； C、掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率为，不符合试验结果； D、用2，3，4三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数的概率为，不符合试验结果； 故选：B． 二、填空题 7．如图，转动转盘当转盘停止后，指针落在B区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，根据B区域的圆心角为得出B区域占整个转盘的比值，即可求出指针落在B区域的概率． 【详解】解：由转盘上的度数得出B区域的圆心角为， 则， 即指针落在B区域的概率是． 故答案为： 8．小明准备在暑假到重庆游玩，第一天他想在洪崖洞、解放碑、长江索道、山城步道这四个景点中随机选取两个去游玩，他选取背面完全相同的四张卡片，在正面分别写上景点名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中洪崖洞和长江索道的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到小明抽中洪崖洞和长江索道的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：用A、B、C、D分别表示洪崖洞、解放碑、长江索道、山城步道这四个景点，列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小明抽中洪崖洞和长江索道的结果数有2种， ∴小明抽中洪崖洞和长江索道的概率为， 故答案为：． 9．在一个不透明的袋中装有32个黄球，16个紫球和24个蓝球，从中任意摸出一个球，摸到不是紫球的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，根据概率公式解答即可． 【详解】解：摸到不是紫球的概率为， 故答案为：． 10．如图，这是一个可以自由转动的转盘，当转盘停止时，指针落在阴影区域的概率是 ． 【答案】 【分析】考查了概率的求法，解题关键是利用了“概率=相应的面积与总面积之比”进行求解． 根据阴影区域所在扇形圆心角的度数除以进行求解． 【详解】解：根据题意可得：指针落在阴影区域的概率是． 故答案为：． 11．苗圃技术人员对某种花苗移植的成活情况进行调查，将调查数据整理后结果如表所示： 移植总数 成活数 成活的频率 根据表中数据，估计这种花苗移植的成活概率为 ．（精确到） 【答案】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：由表格数据可得，随着样本数量不等增加，这种花苗种植成活的频率稳定在左右， ∴估计这种花苗移植的成活概率为， 故答案为：． 12．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为估计白球数，小刚向其中放入8个黑球摇匀后，从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球200次，其中40次摸到黑球，你估计盒中大约有白球 个 【答案】32 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，根据概率求数量；根据“黑球数量÷黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系式求解． 【详解】解：设盒子里有白球x个，根据题意得： 解得：． 经检验得是方程的解． 答：盒中大约有白球个． 故答案为：． 13．如图，两个带指针的转盘A，B分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是2，5，9，转盘B上的数字分别是3，6，8（两个转盘除表面数字不同之外，其他完全相同）．小美拨动A转盘上的指针，小丽拨动B转盘上的指针，使之旋转，指针停止后所指数字较大的一方获胜（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次），则 （填“小美”或“小丽”）获胜的可能性大． 【答案】小丽 【分析】考查了判断游戏公平性．解题关键抓住判断游戏公平性要先计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 先用列表法求得各自获胜的概率，再进行比较进行判断即可． 【详解】解：列表得：       B           A 2 5 9 3 2，3 5，3 9，3 6 2，6 5，6 9，6 8 2，8 5，8 9，8 共有 9 种可能，其中小美获胜的次数为，小丽获胜的次数为5， ∴， ∴， ∴小丽的获胜可能性较大． 故答案为：小丽． 14．在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为 粒． 【答案】120 【分析】本题主要考查了概率的应用，根据概率的意义正确列出算式是解题的关键． 由题意可知标上记号豆子的概率为，然后再用标记豆子的数量除以概率即可解答． 【详解】解：由题意可知：瓶子中被标记豆子的概率为， 所以瓶子中豆子的总数为粒． 故答案为：120． 三、解答题 15．某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． (1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______； (2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用列表或画树状图求概率，概率公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，得一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张，运用概率公式进行计算，即可作答． （2）先理解题意，再画树状图，得到一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种，运用概率公式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张， ∴将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为， 故答案为：． （2）解：依题意，画树状图如下所示： ∴一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种， ∴这两个小组研究方向不同的概率． 16．周末，李老师领着小明和小刚兄弟俩去商场购物，发现该商场正在进行转盘抽奖活动．规则是：如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成个扇形），一次购物满元的顾客可获得一次转转盘抽奖的机会．转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）． 颜色 红 蓝 黑 奖券金额（元） 20 50 80 (1)转动一次转盘，若指针落在扇形区域，分别求出获得元和元奖券的概率； (2)为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？ (3)李老师购买了600元的商品获得了一次转转盘的机会，俩兄弟都想抽奖，于是李老师制作了如图所示一个可自由转动的转盘，被平均分成5等份，分别涂上红、黄、绿三种颜色，请你帮李老师设计一个公平的游戏规则，使俩兄弟获胜一方参与抽奖． 【答案】(1)， (2)需要将个黄色区域改为红色 (3)见解析 【分析】（1）先确定转盘总等可能结果数，再找出对应颜色区域数量，用对应颜色区域数除以总结果数得概率． （2）设黄色改红色的数量为未知数，根据调整后获20元奖券概率列方程求解． （3）通过分配转盘颜色区域，使兄弟俩获胜概率相等来设计公平规则． 本题主要考查了概率的计算与应用，涉及等可能事件概率公式（，是总结果数，是事件发生的结果数 ），熟练掌握概率公式，根据题意分析事件结果数是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可知，每转动一次转盘，共有种等可能的结果，其中红色的有种，黑色的有种， ∴指针指向红色的概率为，指针指向黑色的概率为， ∴他获得元和元奖券的概率分别为，． （2）解：设需要将个黄色区域改为红色， 则由题意得，， 解得：， ∴需要将个黄色区域改为红色． （3）解：将转盘2个扇形涂成红色、2个扇形涂成绿色、1个扇形涂成黄色，转动转盘停止后，若指针指向红色区域，则小明胜；若指针指向绿色区域，则小刚胜；若指向分界线或黄色扇形时重转，直到指向红色或绿色扇形为止． 17．某中学为了保证“两操一活动”的质量，让学生积极参加丰富多彩的课外活动，学校拟组织四个社团：A．篮球队，B．舞蹈队，C．射击队，D．毽子队，学校就学生参加这四个社团的意向对学生进行了抽样调查（每名学生只能从中选择一种最喜欢的），并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．      请结合图中所给信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生共有________人； (2)补全条形统计图； (3)该校共有1200名学生，请估计选择“毽子队”的学生有多少人？ (4)该校在最喜欢“射击”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加上级的射击队培训，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率． 【答案】(1)100 (2)图见解析 (3)选择“毽子队”的学生有480人 (4) 【分析】本题考查了条形统计图及扇形统计图，将条形统计图与扇形统计图信息相关联是解答本题的关键． （1）将两个统计图信息关联即可求解； （2）调查的总人数可知，求得参加B项目的人数，补全条形统计图即可； （3）用样本估计总体即可； （4）画出树状图，根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由条形统计图可知参加A项目的人数为30人，由扇形统计图可知参加A项目的人数所占的百分比为，故本次调查的总人数为：（人）， 故答案为：100； （2）参加B项目的人数为：（人），补全条形统计图如下所示： （3）（人）， ∴估计选择“毽子队”的学生有480人； （4）甲、乙、丙、丁四位同学任选两位的所有可能情况如下树状图所示： 被选取的两人恰好是甲和乙有2种情况 故被选取的两人恰好是甲和乙的概率是． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$