专题2.1-2.2 事件的可能性与简单事件的概率（知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共64题）-2025-2026学年浙教版数学九年级上册同步培优讲练

专题2.1-2.2 事件的可能性与简单事件的概率 （知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共64题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：随机事件的概念 2 知识点梳理02：事件发生的可能性大小 2 知识点梳理03：概率的定义及计算公式 2 知识点梳理04：用列举法求概率 3 知识点梳理05：用频率估计概率 3 知识点梳理06：频率与概率的区别与联系 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：事件的分类 3 考点2：判断事件发生的可能性的大小 5 考点3：改变条件使事件发生的可能性相同 6 考点4：概率的意义理解 7 考点5：判断几个事件概率的大小关系 9 考点6：列举随机实验的所有可能结果 10 考点7：判断实验所得结果是否是等可能的 13 考点8：根据概率公式计算概率 14 考点9：根据概率作判断 16 考点10：已知概率求数量 18 考点11：几何概率 19 考点12：列举法求概率 21 考点13：列表法或树状图法求概率 23 中考真题 实战演练 26 难度分层 拔尖冲刺 29 基础夯实 29 培优拔高 35 知识点梳理01：随机事件的概念 事件类型 定义 举例 确定性事件 必然事件 在一定条件下，有些事件必然会发生 水涨船高、水滴石穿、铁杵磨成针 不可能事件 在一定条件下，有些事件必然不会发生 水中捞月、海枯石烂 随机事件（不确定事件） 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 守株待兔、海市蜃楼 知识点梳理02：事件发生的可能性大小 1. 随机事件发生的可能性有大小之分，不同的随机事件发生的可能性大小有可能不同． 2. 必然事件发生的可能性为100%，不可能事件发生的可能性为0%，随机事件发生的可能性范围为0%~100%（不包括0%和100%）． 3. 随机事件的可能性大小比较的步骤 （1）确定：明确“决定不同随机事件发生的要素”； （2）计算：计算每一个要素的数量； （3）结论：比较数量的多少，判断可能性的大小． 知识点梳理03：概率的定义及计算公式 1. 概率的定义 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)． 2. 概率的计算公式 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝． 3. 概率的取值 （1）当事件A是必然事件时，P(A)＝1； （2）当事件A是不可能事件时，P(A)＝0； （3）当事件A是随机事件时，P(A)满足0＜P(A)＜1． 知识点梳理04：用列举法求概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率． （1）直接列举法：适用于一次试验中涉及一个因素，并且可能出现的等可能结果数较少； （2）列表法：适用于一次试验中涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数较多； （3）画树状图法：适用于一次试验中涉及两个及以上因素． 知识点梳理05：用频率估计概率 1. 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p． 2. 适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个或各种结果出现的可能性不相等时，可通过事件发生的频率来估计其概率． 知识点梳理06：频率与概率的区别与联系 名称 关系 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值 理论值 与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关 与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点无关 联系 试验次数越多，频率越趋向于概率 考点1：事件的分类 【典例精讲】（2025·甘肃武威·模拟预测）必然事件的概率是（   ） A．0 B． C．1 D．不能确定 【答案】C 【思路点拨】该题考查了必然事件的定义，必然事件是一定会发生的事件，其概率为1，这是概率的基本性质． 【规范解答】解：∵必然事件是指在一定条件下必然发生的事件， ∴根据概率的定义，必然事件的概率为1． 故选：C． 【变式训练01】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）下列事件是必然事件的是（    ） A．抛一枚骰子朝上的数字是3 B．打开电视正在播放广告 C．400名学生中至少有两人生日同一天 D．早晨太阳从西边升起 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是随机事件，根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，根据事件的分类逐项判断即可． 【规范解答】解：A．抛一枚骰子朝上的数字是3，这是随机事件，故A不符合题意； B．打开电视正在播放广告，这是随机事件，故B不符合题意； C．400名学生中至少有两人生日同一天，这是必然事件，故C符合题意； D．早晨太阳从西边升起，这是不可能事件，故D不符合题意； 故选：C． 【变式训练02】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列事件中，不可能事件的是（   ） A．射击运动员射击一次，命中靶心 B．买一张彩票，中奖500万 C．任意画一个三角形，其内角和为 D．明天太阳从西方升起 【答案】D 【思路点拨】本题考查事件类型的区分，需熟记不可能事件、必然事件和随机事件的概念．根据不可能事件的定义（一定不会发生的事件），判断各选项：A、B为随机事件，C为必然事件，D为不可能事件． 【规范解答】解：A、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故本选项不符合题意； B、买一张彩票，中奖500万，是随机事件，故本选项不符合题意； C、任意画一个三角形，其内角和为，是必然事件，故本选项不符合题意； D、明天太阳从西方升起，是不可能事件，故本选项符合题意； 故选：D． 考点2：判断事件发生的可能性的大小 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏·期末）若一个事件不发生的机会是，那么这个事件（    ） A．很可能发生 B．必然发生 C．不可能发生 D．不大可能发生 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了事件可能性大小问题、判断事件发生可能性的大小，能正确判断事件的可能性大小是解题的关键．根据事件发生的可能性大小逐项判断即可； 【规范解答】解：选项A：很可能发生，那么这个事件发生的可能性很大，不符合题意； 选项B：必然发生，那么这个事件一定会发生，不符合题意； 选项C：不可能发生，那么这个事件一定不会发生，不符合题意； 选项D：不大可能发生，那么这个事件发生的可能性很小，符合题意； 故选：D． 【变式训练01】（25-26七年级上·广东广州·开学考试）在一个不透明的箱子里有一些大小、形状、材质均相同的袜子，其中黑色袜子10只，白色袜子8只，黄色袜子和红色袜子各有5只．如果从中任意摸出1只袜子，摸到( )色袜子的可能性最大；至少要摸出( )只袜子，才能保证摸到有两只颜色相同的袜子． 【答案】 黑 5 【思路点拨】本题考查的是可能性的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． 先求出摸出各种颜色的袜子的可能性，再比较出其大小；根据4种颜色的袜子，故至少要摸出5只袜子，才能保证摸到有两只颜色相同的袜子，即可作答． 【规范解答】解：∵黑色袜子10只，白色袜子8只，黄色袜子和红色袜子各有5只， ∴从中任意摸出1只袜子，摸出黑色袜子的可能性， 摸出白色袜子的可能性， 摸出黄色袜子的可能性， 摸出红色袜子的可能性， ∵， ∴摸出黑色袜子的可能性比较大； 依题意，黑色袜子，白色袜子，黄色袜子和红色袜子，即有4种颜色的袜子， ∴至少摸出只袜子后，才能保证摸到有两只颜色相同的袜子． 故答案为∶黑，5． 【变式训练02】（24-25六年级下·上海闵行·期末）在日常生活中，我们经常使用一些词语来形容事情发生的可能性的大小．给出下列三个词语：①瓜熟蒂落；；②水中捞月；③守株待兔．按可能性从大到小的顺序排列为 （填序号）． 【答案】①③② 【思路点拨】本题考查可能性的大小，随机事件，根据可能性大小的概念分别求出每个随机事件的可能性大小，继而可得答案．解题的关键是掌握事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件；不可能事件的发生的可能性为，必然事件发生的可能性为，随机事件发生的可能在和之间． 【规范解答】解：①瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性质为， ②水中捞月，是不可能事件，发生的可能性为， ③守株待兔，是随机事件，发生的可能在和之间， ∴可能性从大到小的顺序排列为①③②． 故答案为：①③②． 考点3：改变条件使事件发生的可能性相同 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西汉中·期末）有5张背面完全相同的卡片，正面分别标有成语故事：“水满则溢”、“水中捞月”、“一步登天”、“水涨船高”、“刻舟求剑”．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张．为使抽到的卡片正面的成语故事中不可能事件和必然事件的可能性相等，小明增加了一张卡片，则这张卡片正面的成语故事可能为（   ） A．百步穿杨 B．大海捞针 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖 【答案】D 【思路点拨】需使不可能事件与必然事件的数量相等，从而概率相同. 【规范解答】解：原卡片中不可能事件有3个（水中捞月、一步登天、刻舟求剑），必然事件有2个（水满则溢、水涨船高），增加一张卡片后总数为6张；若新增卡片为必然事件，则必然事件数量变为3，与不可能事件数量3相等，此时两者的概率均为； 选项D“瓮中捉鳖”是必然事件，满足条件； 故选：D. 【变式训练01】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）事件①：任意画一个多边形，其外角和为360°；事件②：经过一个有交通信号灯的十字路口，遇到红灯；则下列说法正确的是（　　） A．事件①和②都是随机事件 B．事件①是随机事件，事件②是必然事件 C．事件①和②都是必然事件 D．事件①是必然事件，事件②是随机事件 【答案】D 【思路点拨】根据随机事件和必然事件的概念判断可得． 【规范解答】解：事件①：任意画一个多边形，其外角和为360°，这是必然事件； 事件②：经过一个有交通信号灯的十字路口，遇到红灯，这是随机事件； 故选：D． 【变式训练02】（2024·江西南昌·一模）袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的概率较大，那么袋中白球的个数可能是（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【思路点拨】根据概率公式求出白球的取值范围即可得出结论． 【规范解答】解：若要使取到白球的概率较大，则白球的个数＞红球的个数 由各选项可知，只有D选项符合 故选D． 考点4：概率的意义理解 【典例精讲】（24-25九年级上·广东清远·期末）概率试验活动环节，数学老师连续随机掷一枚质地均匀的硬币，前4次的结果都是正面朝上，则第5次的结果是正面朝上的概率是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【思路点拨】本题考查了概率的意义，概率公式．根据概率的意义，即可解答． 【规范解答】解：概率试验活动环节，数学老师连续随机掷一枚质地均匀的硬币，前4次的结果都是正面朝上，则第5次的结果是正面朝上的概率是， 故选：A． 【变式训练01】（23-24九年级上·全国·期末）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（　　） A．连续抛一枚均匀硬币2次，必有1次正面朝上 B．连续抛一枚均匀硬币10次，都可能正面朝上 C．大量反复抛一枚均匀硬币，大约每1000次出现正面朝上500次 D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的 【答案】A 【思路点拨】本题考查概率的意义． 根据概率的意义，对各选项进行分析判断即可． 【规范解答】解：A．连续抛一枚均匀硬币2次，都可能反面朝上，原说法错误，符合题意； B．连续抛一枚均匀硬币10次，都可能正面朝上，原说法正确，不符合题意； C．大量反复抛一枚均匀硬币，大约每1000次出现正面朝上500次，原说法正确，不符合题意； D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，原说法正确，不符合题意． 故选：A． 【变式训练02】（2025·江苏泰州·三模）有一个经过特殊处理的骰子，这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是，但掷出6的概率是掷出1的概率的两倍，则他掷出6的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了概率的计算．根据这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是，可得掷出1和6的概率之和，即可求解． 【规范解答】解：∵这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是， ∴这个骰子掷出1和6的概率之和为， ∵掷出6的概率是掷出1的概率的两倍， ∴他掷出6的概率是． 故选：D 考点5：判断几个事件概率的大小关系 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）根据你的经验，分别写出下列事件发生的机会，并用编号把这些事件发生的机会在直线上表示出来． 、在一个不透明的袋中装有红球个，白球个，黑球个，每种球除颜色外其余都相同，摇匀后随机地从袋中取出个球，取到红球的机会是 ； 、投掷一枚普通正方体骰子，出现的点数为的机会是 ； 、投掷两枚普通硬币，出现两个正面的机会是 ． 【答案】；；，在直线上表示见解析． 【思路点拨】此题考查了求概率，根据随机事件可能性大小的求法，找准两点：符合条件的情况数目；全部情况的总数，二者的比值就是其发生的可能性大小，故可分别求出其概率，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：、在一个不透明的袋中装有红球个，白球个，黑球个，每种球除颜色外其余都相同，摇匀后随机地从袋中取出个球，取到红球的机会是； 、投掷一枚普通正方体骰子，出现的点数为是不可能事件，故概率为； 、投掷两枚普通硬币，一共有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）四种等可能结果，出现两个正面的由一种， ∴出现两个正面的机会是， 故答案为：；；， 在直线上表示如下， 【变式训练01】（25-26九年级上·全国·单元测试）班级联欢会上举行抽奖活动：把写有每位同学名字的小纸条投入抽奖箱，其中男生25名，女生23名，老师从中随机抽出1张，若抽到男生的概率为，抽到女生的概率为，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率，难度适中．本题用男生和女生人数除以学生总数即为所求的概率，然后比较大小即可． 【规范解答】解：根据班上25名男生，23名女生，全班共有48位学生， 抽到写有男生名字的纸条的概率是：． 抽到写有女生名字的纸条的概率是：． ， ∴． 故选：A． 【变式训练02】（24-25八年级下·江苏镇江·期末）投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，有下列事件：①掷得的点数是6；②掷得的点数不大于4；③掷得的点数是奇数．这些事件发生的可能性由大到小排列是（    ） A．②①③ B．③①② C．②③① D．③②① 【答案】C 【思路点拨】此题考查了事件的可能性，比较各事件包含的可能结果数，数量越多可能性越大． 【规范解答】投掷一枚均匀骰子共有6种等可能结果． ①点数为6：仅1种结果，概率为； ②点数不大于4：包括1、2、3、4，共4种结果，概率为； ③点数为奇数：包括1、3、5，共3种结果，概率为． 可能性由大到小为． 故选：C． 考点6：列举随机实验的所有可能结果 【典例精讲】（24-25九年级上·全国·期末）在一个箱子里放着分别标有数字1，2，3的三个球，它们除了号码外其他都相同． (1)从箱子里摸出一个球，有几种不同的可能？ (2)从箱子里随机摸出两个球（先摸出一个，不放回，再摸出一个），这样按顺序先后摸到的两个球有几种不同的可能？ (3)从箱子里随机摸出一个球，放回，摇匀后再摸出一个球，这样按顺序先后摸到的两球有几种不同的可能？（画树状图或列表分析问题） 【答案】(1)共3种可能 (2)有6种 (3)共有9种可能 【思路点拨】本题考查随机事件共有多少种可能性，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用枚举法表示出所有情况即可； （2）用枚举法表示出所有情况即可； （3）用列表法表示出所有情况即可． 【规范解答】（1）解：从箱子里摸出一个球，有数字1，数字2，数字3共3种可能． （2）解：有6种，分别是1，2；1，3；2，1；2，3；3，1；3，2； （3）解：共有9种可能，如下表： 1 2 3 1 (1，1) (1，2) (1，3) 2 (2，1) (2，2) (2，3) 3 (3，1) (3，2) (3，3) 【变式训练01】（24-25九年级上·福建三明·期中）图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字1，2，3，4，图②是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的A点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动． (1)随机掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和共有几种情况？请一一写出； (2)随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点C处的概率． 【答案】(1)共有4种情况，见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了列举随机实验的所有可能结果，利用画树状图或列表法求概率，解题关键是掌握利用画树状图或列表法求概率并能熟练运用求解． （1）由题意计算即可； （2）画树状图，共有种等可能的结果，和为可以到达点C，有3种结果，再由概率公式求解即可． 【规范解答】（1）解：随机掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和共有4种情况， 即，，，； （2）画树状图如下： 共有种等可能的结果，和为可以到达点C，有3种结果， ∴棋子最终跳动到点C处的概率为． 【变式训练02】（2024九年级下·江苏南京·竞赛）一个三位数，相邻两个数位差的绝对值不超过1，三个数中至少有一个数为1，问共有几个符合题意的三位数？ 【答案】13个 【思路点拨】本题考查了列举法，分百位数字、十位数字、个位数字为1，分别列举出所有可能即可． 【规范解答】解：①当百位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1， ∴十位数字可能为0，1，2， 当十位数字为0时，个位数字可能为0，1； 当十位数字为1时，个位数字可能为0，1，2； 当十位数字为2时，个位数字可能为1，2，3， ∴三位数可能为100，101，110，111，112，121，122，123； ②当十位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1，百位数字不能为0， ∴百位数字可能为1，2，个位数字为0，1，2， ∴三位数可能为110，111，112，210，211，212； ③当个位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1， ∴十位数字可能为0，1，2， 当十位数字为0时，百位数字可能为1； 当十位数字为1时，百位数字可能为1，2； 当十位数字为2时，百位数字可能为1，2，3， ∴三位数可能为101，111，211，121，221，321， ∴三位数可能为100，101，110，111，112，121，122，123，210，211，212，221，321，共13个， 故答案为：13． 考点7：判断实验所得结果是否是等可能的 【典例精讲】（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）一个不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同． (1)小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球是等可能的．你同意他的说法吗？为什么？ (2)任意摸出一个球，摸到白球和摸到红球的概率各是多少？ (3)任意摸出一个球，摸到黄球的概率呢？ 【答案】(1)不同意，理由见详解； (2)，； (3)0． 【思路点拨】（1）根据白球和红球的个数即可判断； （2）分别用白球和红球的个数除以球的总个数即可得出答案； （3）摸到黄球是不可能事件，据此可得答案． 【规范解答】（1）不同意，因为白球的个数比红球的个数多，所以摸到白球的可能性大； （2）摸到白球的概率为，红球的概率为； （3）任意摸出一个球，摸到黄球的概率为0． 【变式训练01】（24-25九年级上·陕西·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是 B．某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖 C．射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是 D．小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一 【答案】D 【思路点拨】根据各个选项的说法可以判断是否正确，进而可以解答． 【规范解答】A.做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，但是试验次数少，因此不能确定钉尖朝上的概率，所以A选项不正确，不符合题意； B.某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票不一定会有5张中奖，所以B选项不正确，不符合题意； C.射击运动员射击一次中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，还有脱靶的可能，所以C选项不正确，不符合题意； D.抛硬币正面朝上和反面朝上是等可能事件，再抛一次正面朝上的概率是二分之一，所以D选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式训练02】（24-25九年级上·全国·单元测试）在抛掷一枚均匀硬币的实验中，如果没有硬币，则下列可作实验替代物的是（       ） A．一只小球 B．两张扑克牌（一张黑桃，一张红桃） C．一个啤酒瓶盖 D．一枚图钉 【答案】B 【思路点拨】看所给物品得到的可能性与硬币只有正反两面的可能性是否相等即可． 【规范解答】解：A、一只小球，不能出现两种情况，不符合硬币只有正反两面的可能性，故此选项错误； B、两张扑克牌（一张黑桃，一张红桃），符合硬币只有正反两面的可能性，故此选项正确； C、一个啤酒瓶盖，只有压平的瓶盖才可以，不符合硬币只有正反两面的可能性，故此选项错误； D、尖朝上的概率＞面朝上的概率，不能做替代物，故此选项错误； 故选B． 考点8：根据概率公式计算概率 【典例精讲】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）汽车经过某十字路口，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种结果发生的可能性大小相同，请利用列表格或画树状图的方法，求两辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率． (1)事件A：两辆车全部继续直行； (2)事件B：一车向右，一车向左． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查利用列表格或画树状图的方法求概率、概率公式，（1）列表格可得，共有9种等可能结果，其中，事件A包含的结果数为1种，再利用概率公式求解即可； （2）由表格可得，共有9种等可能结果，其中，事件B包含的结果数为2种，再利用概率公式求解即可． 【规范解答】（1）解： 解：列表格得： 向左 直行 向右 向左 （左，左） （左，直） （左，右） 直行 （直，左） （直，直） （直，右） 向右 （右，左） （右，直） （右，右） 由表格可得，共有9种等可能结果，其中，事件A包含的结果数为1种； ∴； （2）解：由表格可得，共有9种等可能结果，其中，事件B包含的结果数为2种． ∴． 【变式训练01】（25-26九年级上·云南昆明·期中）掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为2的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查概率的基本计算，骰子有6个等可能的结果，点数为2是其中之一，根据概率公式即可求解． 【规范解答】解：∵掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数有6种等可能结果，其中点数为2的结果只有1种， ∴点数为2的概率为． 故选：C． 【变式训练02】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在“扫雷”游戏中，“3”相邻的空格中隐含有3个“雷”，那么随机点击其中一个空格，恰好点击到“雷”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查概率公式的应用．根据概率求法即可求解． 【规范解答】解：“3”相邻的空格有8个，其中隐含有3个“雷”， 故随机点击其中一个空格，恰好点击到“雷”的概率是， 故选：C． 考点9：根据概率作判断 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江·阶段练习）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从到的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于则密码的位数至少需要 位． 【答案】四/4 【思路点拨】本题考查了概率，分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可求解，掌握概率的计算方法是解题的关键． 【规范解答】解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为； 取两位数时一次就拨对密码的概率为； 取三位数时一次就拨对密码的概率为； 取四位数时一次就拨对密码的概率为； 所以密码的位数至少需要四位， 故答案为：四． 【变式训练01】（24-25七年级下·四川成都·期末）用12个球设计一个摸球游戏，下面设计的四种方案中，不恰当的设计是（   ） A．摸到红球、白球、黄球的概率均为 B．摸到红球的概率，摸到白球的概率是，摸到黄球的概率是 C．摸到红球的概率是，摸到白球、黄球的概率都是 D．摸到红球的概率是，摸到黄球的概率也是 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是随机事件的概率的含义，根据概率之和必须为1及各颜色球的数量必须为整数且总和为12，逐一验证各选项的合理性即可． 【规范解答】解：选项A：红、白、黄球的概率均为．总概率为，符合要求．对应球数为个（每种颜色），总和为，设计合理． 选项B：红球概率，白球，黄球．总概率为，符合要求．对应球数为红球个，白球个，黄球个，总和为，设计合理． 选项C：红球概率，白球和黄球概率均为．总概率为，超过1，不符合概率的基本性质，设计不恰当． 选项D：红球和黄球概率均为．总概率为，符合要求．对应球数为红球个，黄球6个，总和为12，设计合理． 综上，选项C的设计不恰当． 故选：C 【变式训练02】（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图所示的转盘被分成三个相同的扇形，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，指针会指向其中的某个扇形，并相应得到一个数（指针指向分界线时，则重转）． (1)事件“转动一次转盘，得到的数恰好是0”发生的概率是________． (2)写出此情境下一个不可能发生的事件． 【答案】(1) (2)见解析 【思路点拨】本题考查了概率公式，不可能事件，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据不可能事件发生的概率为0进行解答即可． 【规范解答】（1）∵转盘被分成三个相同的扇形，转动转盘，可得到三种等可能结果， ∴转动一次转盘，得到的数恰好是0发生的概率是， 故答案为：； （2）转动一次转盘，得到的数恰好是2，是不可能事件． 考点10：已知概率求数量 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江温州·期中）一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同． (1)从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？ (2)小明向箱中放入n个红球后搅匀，然后从箱子中随机摸出一个球是白球的概率为，求n的值． 【答案】(1)； (2)n的值为． 【思路点拨】本题考查了简单的概率公式，分式方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接利用简单的概率公式求解即可； （2）依题意列出方程，求解检验即可． 【规范解答】（1）解：从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是； （2）解：由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴n的值为． 【变式训练01】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）一个不透明的袋中有120个除颜色外完全相同的小球，搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现，从中随机摸出一个红球的频率稳定在0.35，则估计袋中红球的个数为（   ） A．32个 B．35个 C．40个 D．42个 【答案】D 【思路点拨】此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比． 大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此得到从中摸出一个红球的概率约为，再用球的总数乘以摸出红球的概率即可得到答案． 【规范解答】解：随机从中摸出一个球，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在0.35， 从中摸出一个红球的概率为， 估计袋中红球的个数为（个． 故选：D． 【变式训练02】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）在一个不透明的盒子中装有3个红球、4个白球和若干个黑球，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率为，则黑球有 个． 【答案】5 【思路点拨】本题考查了根据概率公式求数量，利用概率公式，摸到红球的概率等于红球数量与总球数量的比值，设黑球数量为未知数，建立方程求解，理解题意，正确列出方程是解此题的关键． 【规范解答】解：设黑球有个，则总球数为， 根据题意，摸到红球的概率为， 解方程：两边乘以得， 因此， 检验：当时，是所列方程的解且符合题意， 故黑球有5个， 故答案为：5． 考点11：几何概率 【典例精讲】（2025九年级·全国·专题练习）小张和小李参加了一个有奖掷飞镖的游戏．游戏规则如下：从两个图形靶（图形靶一是正方形，图形靶二是菱形，所有扇形所在的圆都是半径为1的等圆，且相邻的圆都相切）中任选一个进行飞镖投掷，命中阴影部分就可以获得奖品．小张选择了图形靶一，小李选择了图形靶二．通过计算回答：谁更有可能获得奖品？ 【答案】小张更有可能获得奖品，理由见解析 【思路点拨】本题考查了几何概率的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键； 根据概率公式分别计算出小张和小李获奖的概率并比较大小即可． 【规范解答】解：由题意可知，两个图形靶的边长都是． 图形靶一：， ． 图形靶二：， ． ， 即（小张获得奖品）（小李获得奖品）， ∴小张更有可能获得奖品． 【变式训练01】（24-25九年级上·河北·期末）篮球板的长为，宽为，篮板上在圆形球框的上方有一个长 ，宽的投球框．一般情况下，投篮板球时，只要篮球磕到这个投球框内，就能投中．某班学生学习投篮板球，试求事件“投球一次，恰好投中”的概率为 ．（以上数据均属假设，并且，每次投篮时，篮球都能与篮球板接触） 【答案】 【思路点拨】本题考查了几何概率，由题意可得“投球一次，恰好投中”的概率为，然后化简即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：“投球一次，恰好投中”的概率为， 故答案为：． 【变式训练02】（25-26九年级上·浙江·期中）如图，正方形内接于，在这个圆面上随意抛一粒豆子豆子大小忽略不计，若豆子落在正方形内的概率记为，豆子落在图中阴影部分内的概率记为，则 填“>”“<”或“=” 【答案】< 【思路点拨】本题考查了几何的概率，圆与正方形面积的计算，掌握概率等于目标区域面积与总区域面积之比是解题的关键．通过计算正方形的面积和圆的面积，进而求出豆子落在正方形和阴影部分的概率，最后比较这两个概率的大小． 【规范解答】解：设的半径为，则， ，， ， ， 故答案为：<． 考点12：列举法求概率 【典例精讲】（2025·山东滨州·中考真题）在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查列举法求概率，列出所有等可能的结果，再利用概率公式进行计算即可． 【规范解答】解：由题意，共有A断B通，A断B断，A通B断，A通B通，共4种等可能的结果，其中A，B之间电流能够正常通过的结果只有A通B通1种情况， 故A，B之间电流能够正常通过的概率是； 故答案为：． 【变式训练01】（24-25九年级下·上海·自主招生）从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选法有 种． 【答案】16 【思路点拨】本题主要考查概率，熟练掌握列举法是解题的关键；由列举法得出所有选法，减去三个数都不相邻的选法即可． 【规范解答】解：从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，分别为，共20种，其中三个数都不相邻的情况有，共4种情况， ∴至少有两个数为相邻整数的选法有（种）； 故答案为16． 【变式训练02】（2025·湖北武汉·模拟预测）的大正方形图案由9个全等的小正方形拼图组成，从中随机取出两块，剩余部分组成的图形是轴对称图形的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题考查了列举法求概率，解题的关键是正确列举所有可能的情况． 首先画出图形，然后列举出所有等可能的情况数和剩余部分组成的图形是轴对称图形的情况数，然后根据概率公式求解即可． 【规范解答】解：如图所示， 根据题意得，所有等可能的情况有： 取走的两块分别为1，2；1，3；1，4；1，5；1，6；1，7；1，8；1，9； 2，3；2，4；2，5；2，6；2，7；2，8；2，9； 3，4；3，5；3，6；3，7；3，8；3，9； 4，5；4，6；4，7；4，8；4，9； 5，6；5，7；5，8；5，9； 6，7；6，8；6，9； 7，8；7，9； 8，9； ∴共有种等可能的情况， 剩余部分组成的图形是轴对称图形的情况有： 取走的两块分别为：1，3；1，5；1，7；1，9；2，4；2，5；2，6；2，8；3，5；3，7；3，9；4，5；4，6；4，8；5，6；5，7；5，8；5，9；6，8；7，9； ∴共有20种情况， ∴从中随机取出两块，剩余部分组成的图形是轴对称图形的概率是． 故选：D． 考点13：列表法或树状图法求概率 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）为弘扬中华民族传统文化，某中学举办了“国学经典诵读大赛”，比赛项目为：“A．唐诗”“B．宋词”“C．论语”“D．道德经”．比赛形式分“单人组”和“双人组”． (1)李明参加“单人组”比赛，他从这四个比赛项目中随机抽取一个，恰好抽中“A．唐诗”的概率为__________； (2)刘伟平和唐红组成一个小组参加“双人组”比赛，根据“同一小组的两名队员的比赛项目不能相同”这一比赛要求，刘伟平先从这四个比赛项目中随机抽取一个，唐红再从剩下的三个比赛项目中随机抽取一个．请用画树状图或列表的方法求出他们都没有抽到“D．道德经”的概率． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能的结果数和刘伟平和唐红都没有抽到“D．道德经”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【规范解答】（1）解：∵共有4个比赛项目， ∴恰好抽中“A．唐诗”的概率是． 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中刘伟平和唐红都没有抽到“D．道德经”的结果有6种， ∴刘伟平和唐红都没有抽到“D．道德经”的概率为． 【变式训练01】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）2025年10月24日，神舟二十一号载人飞船与长征二号F遥二十一运载火箭组合体已转运至发射区，计划近日择机实施发射．某航空航天博览会的展览馆展厅东、西、南、北面各有一个出入口，示意图如图所示．小华任选一个出入口进入展览大厅，参观结束后再任选一个出入口离开（选择出入口之间相互不受影响，且选择每个出入口的可能性均相同）． (1)小华从出入口B进入展厅的概率为__________； (2)请用画树状图或列表的方法，求小华进入展厅和离开展厅选择的出入口不同的概率． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了简单概率的计算，用列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法或树状图法是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算可得； （2）列出表格，得出总共的等可能的结果数，以及小华进入展厅和离开展厅选择的出入口不同的结果数，再由概率公式求解即可． 【规范解答】（1）解：根据题意可得，展厅总共有4个出入口， 所以小华从出入口B进入展厅的概率为； 故答案为：； （2）解：列表如下： 进入展厅离开展厅 A B C D A B C D 由表格可知，小华进入展厅和离开展厅的出入口选择共有16种， 其中进入展厅和离开展厅选择的出入口不同的结果有12种， 因此小华进入展厅和离开展厅选择的出入口不同的概率为． 【变式训练02】（2025九年级·全国·专题练习）一个不透明袋中装有五个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，5． (1)从袋中随机一次取两个球，求取出的球的编号之和不大于6的概率． (2)先从袋中随机取一个球，该球的编号记为n，将球放回袋中摇匀，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为m．求的概率． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了古典概型概率的知识点，解题关键是准确列举所有基本事件，并逐一分析符合条件的事件数，确保不重不漏． （1）先确定从袋中随机一次取两个球的所有可能结果（基本事件数），再找出编号之和不大于的结果数，最后根据概率公式计算； （2）确定两次取球的所有可能结果数，再逐一分析满足的结果数，进而计算概率． 【规范解答】（1）解:画树状图如图． 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中取出的球的编号之和不大于的结果有种， 取出的球的编号之和不大于的概率为． （2）解：画树状图如图． 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中的结果有种， ∴的概率为． 1．（2024·江西抚州·中考真题）下列事件是必然事件的是（   ） A．数学考试96分 B．明天必然下雨 C．太阳东升西落 D．晚上有月亮 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了必然事件的定义，掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键． 根据必然事件就是一定会发生的事件，据此逐项判断即可解答． 【规范解答】解：A． 数学考试96分是随机事件，不符合题意； B． 明天必然下雨是随机事件，不符合题意； C． 太阳东升西落是必然事件，符合题意；     D． 晚上有月亮是随机事件，不符合题意． 故选C． 2．（2024·陕西渭南·中考真题）下列事件中是确定事件的是 （填序号）： ①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数； ②对于实数、，有； ③车辆随机经过一个路口，遇到红灯； ④14人中至少有2人在同一个月过生日． 【答案】②④/④② 【思路点拨】本题主要考查了确定事件和随机事件的定义，掌握确定性事件包括不可能事件和必然事件成为解题的关键． 根据确定事件和随机事件的定义逐个判断即可． 【规范解答】解：①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数，是随机事件，不符合题意； ②对于实数、，有，是不可能事件，是确定性事件，符合题意； ③车辆随机经过一个路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； ④14人中至少有2人在同一个月过生日是必然事件，是确定性事件，符合题意． 故答案为：②④． 3．（2024·全国·中考真题）在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个黑球，从中随机摸出1个小球记下颜色后不放回，再随机摸出1个，则两次都摸到红球的概率为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率． 首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【规范解答】解：由题意列表如下， 由表知，共有12种等可能结果，其中两次都摸到红球的有2种结果， 所以两次都摸到红球的概率为． 故答案为：． 4．（2024·浙江温州·中考真题）现有七张分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的卡片，其中标有数字1，4，5，7的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了树状图或列表法求解概率．先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【规范解答】解：画树状图为： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中甲出的卡片数字比乙大的结果数有7种， ∴甲出的卡片数字比乙大的概率是． 故答案为：． 5.（2024·辽宁沈阳·中考真题）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”、“好”、“浑”、“南”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀． (1)从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“浑”的概率是 ； (2)一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查利用概率公式计算概率，掌握树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）根据题意画树状图，再利用概率公式求解即可． 【规范解答】（1）解：从盒子中随机抽取1张卡片，共有4种等可能得情况，其中恰好抽到“浑”的情况有1种， 则恰好抽到“浑”的概率是， 故答案为：； （2）解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能得情况，其中，恰好1张为“美”、1张为“好”的情况有2种， 则抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率为． 基础夯实 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列事件中，是随机事件的是（   ） A．守株待兔 B．只手遮天 C．旭日东升 D．水中捞月 【答案】A 【思路点拨】本题考查随机事件的概念，随机事件是指可能发生也可能不发生的事件． 根据事件的分类进行解答即可． 【规范解答】解：∵守株待兔是偶然发生的事件，可能发生也可能不发生， ∴是随机事件； ∵只手遮天是不可能发生的事件， ∴是不可能事件； ∵旭日东升是必然发生的事件， ∴是必然事件； ∵水中捞月是不可能发生的事件， ∴是不可能事件； ∴只有A是随机事件． 故选A． 2．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）下列事件是必然事件的是（   ） A．车辆随机到达一个路口遇到红灯 B．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C．任意画一个三角形其内角和是 D．早上的太阳从西方升起 【答案】C 【思路点拨】本题考查事件的分类，熟知必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件是解答的关键． 根据初中数学知识，三角形的内角和定理保证任意三角形的内角和均为，因此选项C是必然事件；其他选项均不是一定发生的事件． 【规范解答】解：选项A中车辆随机到达一个路口可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，不是必然事件，不符合题意； 选项B中投掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，不是必然事件，不符合题意； 选项C中三角形的内角和定理：任意三角形的内角和等于，是必然事件，符合题意； 选项D中早上的太阳从东方升起，从西方升起是不可能事件，故不是必然事件，不符合题意． 故选：C． 3．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．投掷一枚硬币，正面向上 B．某运动员跳高成绩为12米 C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是事件的分类以及不可能事件的含义，根据不可能事件的定义（一定条件下一定不会发生的事件），分析各选项：A、D为随机事件，C为必然事件，B超出物理极限，故为不可能事件． 【规范解答】解：∵不可能事件是指在一定条件下一定不会发生的事件； A．投掷硬币正面向上可能发生，是随机事件； B．跳高12米超出人类能力和物理极限，一定不会发生，是不可能事件； C．圆一定是轴对称图形，是必然事件； D．射击命中靶心可能发生，是随机事件； 故选B 4．（2024·湖南·模拟预测）成语是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．成语“水中捞月”描述的事件是 事件．（填“随机”“不可能”或“必然”） 【答案】不可能 【思路点拨】本题考查了事件的分类，理解并掌握“随机事件”“不可能事件”或“必然事件”的概念是解题的关键．随机事件：指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；必然事件：在一定的条件下重复进行试验时必然会发生的事件；根据上述概念辨析即可求解． 【规范解答】解：成语“水中捞月”描述的事件是不可能事件， 故答案为：不可能 ． 5．（23-24七年级上·贵州遵义·开学考试）盒子里有红球6个、白球5个、蓝球4个、黄球3个、绿球2个、黑球1个，每个球的大小、质量都相同．现在从盒子里任意摸出1个球，摸出的是黑球的可能性 ，摸出的是红球的可能性 ．（填“大”或“小”） 【答案】 小 大 【思路点拨】本题考查事件发生的可能性，掌握相关知识是解决问题的关键．因为红球数量最多，黑球数量最少，所以摸出的是红球的可能性大，摸出的是黑球的可能性小． 【规范解答】解：∵ ∴摸出的是黑球的可能性小，摸出的是红球的可能性大． 故答案为：小，大． 6．（25-26九年级上·云南昆明·期中）一只小猫在如图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上（图中每一块方砖除花色外完全相同），它最终停留在深色方砖上的概率是 【答案】 【思路点拨】本题考查了几何概率，根据题意知小猫随意停留在某块方砖上的概率是相等的方砖总共有块，深色方砖占块，然后用概率公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意知，小猫随意停留在某块方砖上的概率是相等的方砖总共有块，深色方砖占块， ∴最终停留在深色方砖上的概率为， 故答案为：． 7．（2025九年级·全国·专题练习）在一个不透明的袋中有5个红球、4个黄球和m个白球，每个球除颜色外其他都相同．从中任意摸出1个球，若摸到白球的可能性最小，则m的值可能是 （填一个即可）． 【答案】2（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查了概率的大小，解题的关键是熟知概率公式的运用． 根据可能性公式，比较摸到白球、红球和黄球的概率，使白球的概率最小． 【规范解答】解：总球数为． ∴摸到红球的概率为， 摸到黄球的概率为， 摸到白球的概率为， 由于摸到白球的可能性最小， ∴且， 由于分母相同且为正数，故且，即， 又为非负整数，因此的可能值为， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）来“中国最北海岸线”，赴一场奔跑之约．2025年9月21日，一场特色的马拉松盛宴在辽宁盘锦红海滩国家风景廊道举办，除了努力奔跑的参赛选手，赛场外还有一群默默奉献的志愿者．大学生小宇和小杰报名参加赛会志愿者活动，两人分别从以下四项志愿者活动中随机选择一项，A．赛道指引；B．集结检录；C．物资发放；D．人群疏散． (1)小杰选择“E．赛道计时”是________事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； (2)请用画树状图法或列表法求小宇和小杰恰好选择同一项志愿者活动的概率． 【答案】(1)不可能 (2) 【思路点拨】本题考查列表法与树状图法，事件的分类，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． （1）根据事件的分类即可解答； （2）列表，利用概率公式即可解答． 【规范解答】（1）解：小杰选择“E．赛道计时”是不可能事件， 故答案为：不可能； （2）解：列表如下： 小杰小宇 A B C D A B C D     --- 总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，而小宇和小杰恰好选择同一项志愿者活动的结果有4种：，，，， ． 9．（25-26九年级上·辽宁锦州·期中）某中学开学之初，为了解七年级新生对学校开展社团活动的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（社团活动的项目有：篮球、乒乓球、舞蹈、象棋、演讲与口才、手工与剪纸．每 人必选且只能选一项）．根据调查结果，制成了如下的统计图．    请结合图中信息解答下列问题： (1)本次共调查了_______名学生，其中喜爱舞蹈的学生人数是_______，并补全条形统计图； (2)新生中有甲、乙、丙、丁四位同学，篮球基础较好，且喜欢篮球运动．学校篮球队在这四人中选2人加入篮球队，请用列表或画树状图的方法，求同时选中甲乙两人的概率． 【答案】(1)100；10；见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，树状图或列表法求解概率，读懂统计图，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）先由演讲与口才人数除以占比求出调查的人数，再由调查的人数减去其余的人数即可求解喜爱舞蹈的学生人数，即可补全条形统计图； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【规范解答】（1）解：调查的学生数：（人）， 喜爱舞蹈的人数：（人）， 补全条形统计图如图：    故答案为：100，10； （2）解：画树状图为：    由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中同时选中甲乙两人的结果数有2种， ∴同时选中甲乙两人的概率是． 10．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）泉州拥有丰富的地方特色小吃和传统美食，是一座不可被低估的美食城市．为解决顾客的“选择困难症”，某店推出美食盲盒活动，规则如下： 规则1：顾客从“A（面线糊）、B（醋肉）、C（蚵仔煎）、D（肉粽）”这四张卡片（卡片背面完全相同）中任意抽取一张卡片所对应的美食进行品尝，可享受九折优惠； 规则2：两人同行，依次从四张卡片中抽取（不放回），若抽到“C（蚵仔煎）”和“D（肉粽）”，两份均可享受八折优惠． (1)求规则1中恰好抽到“A（面线糊）”的概率； (2)用列表或画树状图的方法求“两人同行，享受八折”的概率． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，根据概率公式求概率，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格． （1）直接根据概率公式进行计算即可； （2）根据题意列出表格，然后根据概率公式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：从四张卡片中任意抽取一张共有种等可能的结果，其中恰好抽到“A（面线糊）”的结果有种， 规则1中恰好抽到“A（面线糊）”的概率是； （2）解：列表如下： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 由上表可知，共有种等可能的结果，其中抽到“C（蚵仔煎）”和“D（肉粽）”有种结果， 抽到“C（蚵仔煎）”和“D（肉粽）”的概率是， “两人同行，享受八价”的概率是． 培优拔高 11．（2024·湖北·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．将油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件 B．抛出的篮球会下落是随机事件 C．若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定 D．了解一批中性笔笔芯的使用寿命，可采用全面调查的方式 【答案】C 【思路点拨】本题考查了事件的分类、根据方差判断稳定性、抽样调查与全面调查，根据相关知识点逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：A、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故原说法错误，不符合题意； B、抛出的篮球会下落是必然事件，故原说法错误，不符合题意； C、若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定，故原说法正确，符合题意； D、了解一批中性笔笔芯的使用寿命，可采用抽样调查的方式，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 12．（2025九年级·湖南·学业考试）下列说法中正确的是（    ） A．为了解某市中学生周末在家干家务活的时间，采用全面调查的方式 B．“从一副扑克牌中随机抽取一张，恰好是红桃A”是必然事件 C．数据3，5，7，7，9的中位数是7，平均数是 D．在抽样调查中，样本容量越小，对总体的估计就越准确 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了全面调查与抽样调查、随机事件、中位数、平均数等知识点，理解相关知识是解题的关键． 根据全面调查与抽样调查、中位数、随机事件、平均数逐项判断即可． 【规范解答】解：A．为了解某市中学生周末在家干家务活的时间，适宜采用抽样调查，故该选项不符合题意； B．“从一副扑克牌中随机抽取一张，恰好是红桃A”是随机事件，故该选项不符合题意； C．数据3，5，7，7，9的中位数是7，平均数是，故该选项符合题意； D．在抽样调查中，样本容量越小，对总体的估计就越不准确，故该选项不符合题意． 故选：C． 13．（2025·湖北孝感·三模）下列说法正确的是（   ） A．调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用全面调查的方式； B．“掷一次骰子，向上一面的点数大于0”是随机事件； C．的算术平方根是； D．若一组数据的方差，则这组数据的总和为24 【答案】D 【思路点拨】根据所学数学知识，判断即可． 本题考查了事件的判断，算术平方根，方差，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：A. 调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用抽样调查的方式； 故错误，不符合题意； B. “掷一次骰子，向上一面的点数大于0”是必然事件； 故错误，不符合题意； C. 的算术平方根不是； 故错误，不符合题意； D. 若一组数据的方差，则这组数据的总和为24，正确，符合题意； 故选：D． 14．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）给出下列结论：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件；②可能性很大的事件是必然发生的；③如果一个事件不是必然发生的，那么它就是不可能发生的．其中正确的是 （填序号）． 【答案】① 【思路点拨】此题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，分别进行判定即可． 【规范解答】解：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件，故①正确，符合题意； ②可能性很大的事件是随机事件，只是发生的概率较大，不一定发生，故②错误，不符合题意； ③如果一个事件不是必然发生的，那么它就可能发生也可能不发生，故③错误，不符合题意； 故答案为：①． 15．（24-25七年级上·陕西咸阳·开学考试）不透明的口袋里放入同样大小的个红球和一些黑球，每次从口袋里任意摸出一个球，然后放回．如果摸到黑球的可能性是，那么口袋里放了 个黑球．要使摸到黑球的可能性变成，可以从口袋里拿走 个红球，也可以往口袋里再放入 个黑球． 【答案】 【思路点拨】本题考查了事件的可能性的大小，先求出袋子球的总个数为（个），则黑球的个数为（个），要使摸到黑球的可能性变成，则球的总个数为（个），从口袋里拿走个红球，也可以往口袋里再放入黑球（个），掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：袋子中球的总个数为：（个）， 则黑球的个数为（个）， 要使摸到黑球的可能性变成， 则球的总个数为（个）， ∴此时红球个数为，即从口袋里拿走个红球， 也可以往口袋里再放入黑球（个）， 故答案为：，，． 16．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）有三张正面分别标有数字的卡片，它们的背面完全相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，放回卡片洗匀，再随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，记点为，则点在平面直角坐标系中第三象限内的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了列表法与树状图法，第三象限点的坐标特征，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 画出树状图，然后确定出在第三象限的点的个数，再根据概率公式列式进行计算即可得解． 【规范解答】解：画树状图图下： ， 一共有种情况，在第三象限的点有， ， ，共个， 所以． 故答案为：． 17．（2025九年级上·全国·专题练习）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去，则从最初位置爬到4号蜂房中，不同的爬法有 种． 【答案】8 【思路点拨】本题考查了列举法列举所有等可能结果，解题的关键是理解“蜜蜂只能爬，不能飞，而且只能永远向右方（包括右上、右下）爬行”． 本题应分两种情况考虑：①当蜜蜂先向右爬行时；②当蜜蜂先向右上爬行时；然后将两种情况中所有可能的爬行路线一一列出，即可求出共有多少种不同的爬法． 【规范解答】解：本题可分两种情况： ①蜜蜂先向右爬，则可能的爬法有： 一、1⇒2⇒4；二、1⇒3⇒4；三、1⇒3⇒2⇒4； 共有3种爬法； ②蜜蜂先向右上爬，则可能的爬法有： 一、0⇒3⇒4；二、0⇒3⇒2⇒4； 三、0⇒1⇒2⇒4；四、0⇒1⇒3⇒4；五、0⇒1⇒3⇒2⇒4； 共5种爬法； 因此不同的爬法共有3+5=8种． 故答案为8． 18．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． (1)若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装着写有“数独”卡片的概率是___________； (2)若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“幻方”和“华容道”卡片盲盒的概率． 【答案】(1) (2)见解析， 【思路点拨】本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式等知识点，根据题意正确画出树状图是解题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）画树状图列出所有等可能的结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【规范解答】（1）解：若随机抽取一个盲盒并打开，抽中的可能有4种等可能结果，恰好装着写有“数独”卡片有1种可能，即概率为． 故答案为：． （2）解：“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B、C、D， 根据题意画树状图如下： 共有12种等可能的结果数，其中他们恰好抽到“A幻方”和“C华容道”卡片盲盒的结果数为2． 所以他们恰好抽到“A幻方”和“C华容道” 卡片盲盒的概率为． 19．（25-26九年级上·陕西汉中·阶段练习）京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等．现有4张不透明卡片，正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案外其余都相同．将这4张卡片背面朝上洗匀，一次性从中随机抽取两张．利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求抽取到的两张卡片中有“生”的概率． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【规范解答】解：所有可能出现的结果如下： 共有12种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片中有“生”的有6种， ∴求抽取到的两张卡片中有“生”的概率 20．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）中秋节前，某校举行“传经典，乐中秋”系列活动，九（1）班根据活动分别制作了编号为、、、的4张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将它们背面朝上洗匀后放在桌面上． 品月饼 讲故事 诵诗词 创美文 (1)若从4张卡片中随机选择一种，则选到“讲故事”卡片的概率为___________； (2)该班的小秋先从4张卡片中随机抽取1张，该班的小军再从余下的3张卡片中随机抽取1张、请用画树状图法或列表法，求小秋、小军两人中恰好有一人抽到“诵诗词”卡片的概率． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了等可能情形下的概率计算，对于结果数较少的采用列举法，而对于两次抽取问题采用列表或树状图；能画树状图法或列表法进行求解是解题的关键． （1）对结果进行列举，根据利用概率计算公式进行计算即可； （2）画树状图法或列表法，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可； 【规范解答】（1）解：从4张卡片中随机选择一种有种结果，选到“讲故事”卡片有种结果， 选到“讲故事”卡片的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下 共有种等可能结果，小秋、小军两人中恰好有一人抽到“诵诗词”卡片的结果有种结果， ， 答：小秋、小军两人中恰好有一人抽到“诵诗词”卡片的概率为. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1-2.2 事件的可能性与简单事件的概率 （知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共64题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：随机事件的概念 2 知识点梳理02：事件发生的可能性大小 2 知识点梳理03：概率的定义及计算公式 2 知识点梳理04：用列举法求概率 3 知识点梳理05：用频率估计概率 3 知识点梳理06：频率与概率的区别与联系 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：事件的分类 3 考点2：判断事件发生的可能性的大小 4 考点3：改变条件使事件发生的可能性相同 4 考点4：概率的意义理解 5 考点5：判断几个事件概率的大小关系 5 考点6：列举随机实验的所有可能结果 6 考点7：判断实验所得结果是否是等可能的 7 考点8：根据概率公式计算概率 7 考点9：根据概率作判断 8 考点10：已知概率求数量 9 考点11：几何概率 9 考点12：列举法求概率 10 考点13：列表法或树状图法求概率 10 中考真题 实战演练 12 难度分层 拔尖冲刺 12 基础夯实 12 培优拔高 15 知识点梳理01：随机事件的概念 事件类型 定义 举例 确定性事件 必然事件 在一定条件下，有些事件必然会发生 水涨船高、水滴石穿、铁杵磨成针 不可能事件 在一定条件下，有些事件必然不会发生 水中捞月、海枯石烂 随机事件（不确定事件） 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 守株待兔、海市蜃楼 知识点梳理02：事件发生的可能性大小 1. 随机事件发生的可能性有大小之分，不同的随机事件发生的可能性大小有可能不同． 2. 必然事件发生的可能性为100%，不可能事件发生的可能性为0%，随机事件发生的可能性范围为0%~100%（不包括0%和100%）． 3. 随机事件的可能性大小比较的步骤 （1）确定：明确“决定不同随机事件发生的要素”； （2）计算：计算每一个要素的数量； （3）结论：比较数量的多少，判断可能性的大小． 知识点梳理03：概率的定义及计算公式 1. 概率的定义 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)． 2. 概率的计算公式 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝． 3. 概率的取值 （1）当事件A是必然事件时，P(A)＝1； （2）当事件A是不可能事件时，P(A)＝0； （3）当事件A是随机事件时，P(A)满足0＜P(A)＜1． 知识点梳理04：用列举法求概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率． （1）直接列举法：适用于一次试验中涉及一个因素，并且可能出现的等可能结果数较少； （2）列表法：适用于一次试验中涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数较多； （3）画树状图法：适用于一次试验中涉及两个及以上因素． 知识点梳理05：用频率估计概率 1. 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p． 2. 适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个或各种结果出现的可能性不相等时，可通过事件发生的频率来估计其概率． 知识点梳理06：频率与概率的区别与联系 名称 关系 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值 理论值 与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关 与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点无关 联系 试验次数越多，频率越趋向于概率 考点1：事件的分类 【典例精讲】（2025·甘肃武威·模拟预测）必然事件的概率是（   ） A．0 B． C．1 D．不能确定 【变式训练01】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）下列事件是必然事件的是（    ） A．抛一枚骰子朝上的数字是3 B．打开电视正在播放广告 C．400名学生中至少有两人生日同一天 D．早晨太阳从西边升起 【变式训练02】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列事件中，不可能事件的是（   ） A．射击运动员射击一次，命中靶心 B．买一张彩票，中奖500万 C．任意画一个三角形，其内角和为 D．明天太阳从西方升起 考点2：判断事件发生的可能性的大小 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏·期末）若一个事件不发生的机会是，那么这个事件（    ） A．很可能发生 B．必然发生 C．不可能发生 D．不大可能发生 【变式训练01】（25-26七年级上·广东广州·开学考试）在一个不透明的箱子里有一些大小、形状、材质均相同的袜子，其中黑色袜子10只，白色袜子8只，黄色袜子和红色袜子各有5只．如果从中任意摸出1只袜子，摸到( )色袜子的可能性最大；至少要摸出( )只袜子，才能保证摸到有两只颜色相同的袜子． 【变式训练02】（24-25六年级下·上海闵行·期末）在日常生活中，我们经常使用一些词语来形容事情发生的可能性的大小．给出下列三个词语：①瓜熟蒂落；；②水中捞月；③守株待兔．按可能性从大到小的顺序排列为 （填序号）． 考点3：改变条件使事件发生的可能性相同 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西汉中·期末）有5张背面完全相同的卡片，正面分别标有成语故事：“水满则溢”、“水中捞月”、“一步登天”、“水涨船高”、“刻舟求剑”．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张．为使抽到的卡片正面的成语故事中不可能事件和必然事件的可能性相等，小明增加了一张卡片，则这张卡片正面的成语故事可能为（   ） A．百步穿杨 B．大海捞针 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖 【变式训练01】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）事件①：任意画一个多边形，其外角和为360°；事件②：经过一个有交通信号灯的十字路口，遇到红灯；则下列说法正确的是（　　） A．事件①和②都是随机事件 B．事件①是随机事件，事件②是必然事件 C．事件①和②都是必然事件 D．事件①是必然事件，事件②是随机事件 【变式训练02】（2024·江西南昌·一模）袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的概率较大，那么袋中白球的个数可能是（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 考点4：概率的意义理解 【典例精讲】（24-25九年级上·广东清远·期末）概率试验活动环节，数学老师连续随机掷一枚质地均匀的硬币，前4次的结果都是正面朝上，则第5次的结果是正面朝上的概率是（   ） A． B． C． D．1 【变式训练01】（23-24九年级上·全国·期末）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（　　） A．连续抛一枚均匀硬币2次，必有1次正面朝上 B．连续抛一枚均匀硬币10次，都可能正面朝上 C．大量反复抛一枚均匀硬币，大约每1000次出现正面朝上500次 D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的 【变式训练02】（2025·江苏泰州·三模）有一个经过特殊处理的骰子，这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是，但掷出6的概率是掷出1的概率的两倍，则他掷出6的概率是（    ） A． B． C． D． 考点5：判断几个事件概率的大小关系 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）根据你的经验，分别写出下列事件发生的机会，并用编号把这些事件发生的机会在直线上表示出来． 、在一个不透明的袋中装有红球个，白球个，黑球个，每种球除颜色外其余都相同，摇匀后随机地从袋中取出个球，取到红球的机会是 ； 、投掷一枚普通正方体骰子，出现的点数为的机会是 ； 、投掷两枚普通硬币，出现两个正面的机会是 ． 【变式训练01】（25-26九年级上·全国·单元测试）班级联欢会上举行抽奖活动：把写有每位同学名字的小纸条投入抽奖箱，其中男生25名，女生23名，老师从中随机抽出1张，若抽到男生的概率为，抽到女生的概率为，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【变式训练02】（24-25八年级下·江苏镇江·期末）投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，有下列事件：①掷得的点数是6；②掷得的点数不大于4；③掷得的点数是奇数．这些事件发生的可能性由大到小排列是（    ） A．②①③ B．③①② C．②③① D．③②① 考点6：列举随机实验的所有可能结果 【典例精讲】（24-25九年级上·全国·期末）在一个箱子里放着分别标有数字1，2，3的三个球，它们除了号码外其他都相同． (1)从箱子里摸出一个球，有几种不同的可能？ (2)从箱子里随机摸出两个球（先摸出一个，不放回，再摸出一个），这样按顺序先后摸到的两个球有几种不同的可能？ (3)从箱子里随机摸出一个球，放回，摇匀后再摸出一个球，这样按顺序先后摸到的两球有几种不同的可能？（画树状图或列表分析问题） 【变式训练01】（24-25九年级上·福建三明·期中）图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字1，2，3，4，图②是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的A点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动． (1)随机掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和共有几种情况？请一一写出； (2)随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点C处的概率． 【变式训练02】（2024九年级下·江苏南京·竞赛）一个三位数，相邻两个数位差的绝对值不超过1，三个数中至少有一个数为1，问共有几个符合题意的三位数？ 考点7：判断实验所得结果是否是等可能的 【典例精讲】（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）一个不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同． (1)小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球是等可能的．你同意他的说法吗？为什么？ (2)任意摸出一个球，摸到白球和摸到红球的概率各是多少？ (3)任意摸出一个球，摸到黄球的概率呢？ 【变式训练01】（24-25九年级上·陕西·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是 B．某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖 C．射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是 D．小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一 【变式训练02】（24-25九年级上·全国·单元测试）在抛掷一枚均匀硬币的实验中，如果没有硬币，则下列可作实验替代物的是（       ） A．一只小球 B．两张扑克牌（一张黑桃，一张红桃） C．一个啤酒瓶盖 D．一枚图钉 考点8：根据概率公式计算概率 【典例精讲】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）汽车经过某十字路口，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种结果发生的可能性大小相同，请利用列表格或画树状图的方法，求两辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率． (1)事件A：两辆车全部继续直行； (2)事件B：一车向右，一车向左． 【变式训练01】（25-26九年级上·云南昆明·期中）掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为2的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式训练02】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在“扫雷”游戏中，“3”相邻的空格中隐含有3个“雷”，那么随机点击其中一个空格，恰好点击到“雷”的概率是（    ） A． B． C． D． 考点9：根据概率作判断 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江·阶段练习）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从到的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于则密码的位数至少需要 位． 【变式训练01】（24-25七年级下·四川成都·期末）用12个球设计一个摸球游戏，下面设计的四种方案中，不恰当的设计是（   ） A．摸到红球、白球、黄球的概率均为 B．摸到红球的概率，摸到白球的概率是，摸到黄球的概率是 C．摸到红球的概率是，摸到白球、黄球的概率都是 D．摸到红球的概率是，摸到黄球的概率也是 【变式训练02】（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图所示的转盘被分成三个相同的扇形，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，指针会指向其中的某个扇形，并相应得到一个数（指针指向分界线时，则重转）． (1)事件“转动一次转盘，得到的数恰好是0”发生的概率是________． (2)写出此情境下一个不可能发生的事件． 考点10：已知概率求数量 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江温州·期中）一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同． (1)从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？ (2)小明向箱中放入n个红球后搅匀，然后从箱子中随机摸出一个球是白球的概率为，求n的值． 【变式训练01】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）一个不透明的袋中有120个除颜色外完全相同的小球，搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现，从中随机摸出一个红球的频率稳定在0.35，则估计袋中红球的个数为（   ） A．32个 B．35个 C．40个 D．42个 【变式训练02】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）在一个不透明的盒子中装有3个红球、4个白球和若干个黑球，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率为，则黑球有 个． 考点11：几何概率 【典例精讲】（2025九年级·全国·专题练习）小张和小李参加了一个有奖掷飞镖的游戏．游戏规则如下：从两个图形靶（图形靶一是正方形，图形靶二是菱形，所有扇形所在的圆都是半径为1的等圆，且相邻的圆都相切）中任选一个进行飞镖投掷，命中阴影部分就可以获得奖品．小张选择了图形靶一，小李选择了图形靶二．通过计算回答：谁更有可能获得奖品？ 【变式训练01】（24-25九年级上·河北·期末）篮球板的长为，宽为，篮板上在圆形球框的上方有一个长 ，宽的投球框．一般情况下，投篮板球时，只要篮球磕到这个投球框内，就能投中．某班学生学习投篮板球，试求事件“投球一次，恰好投中”的概率为 ．（以上数据均属假设，并且，每次投篮时，篮球都能与篮球板接触） 【变式训练02】（25-26九年级上·浙江·期中）如图，正方形内接于，在这个圆面上随意抛一粒豆子豆子大小忽略不计，若豆子落在正方形内的概率记为，豆子落在图中阴影部分内的概率记为，则 填“>”“<”或“=” 考点12：列举法求概率 【典例精讲】（2025·山东滨州·中考真题）在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是 ． 【变式训练01】（24-25九年级下·上海·自主招生）从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选法有 种． 【变式训练02】（2025·湖北武汉·模拟预测）的大正方形图案由9个全等的小正方形拼图组成，从中随机取出两块，剩余部分组成的图形是轴对称图形的概率是（  ） A． B． C． D． 考点13：列表法或树状图法求概率 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）为弘扬中华民族传统文化，某中学举办了“国学经典诵读大赛”，比赛项目为：“A．唐诗”“B．宋词”“C．论语”“D．道德经”．比赛形式分“单人组”和“双人组”． (1)李明参加“单人组”比赛，他从这四个比赛项目中随机抽取一个，恰好抽中“A．唐诗”的概率为__________； (2)刘伟平和唐红组成一个小组参加“双人组”比赛，根据“同一小组的两名队员的比赛项目不能相同”这一比赛要求，刘伟平先从这四个比赛项目中随机抽取一个，唐红再从剩下的三个比赛项目中随机抽取一个．请用画树状图或列表的方法求出他们都没有抽到“D．道德经”的概率． 【变式训练01】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）2025年10月24日，神舟二十一号载人飞船与长征二号F遥二十一运载火箭组合体已转运至发射区，计划近日择机实施发射．某航空航天博览会的展览馆展厅东、西、南、北面各有一个出入口，示意图如图所示．小华任选一个出入口进入展览大厅，参观结束后再任选一个出入口离开（选择出入口之间相互不受影响，且选择每个出入口的可能性均相同）． (1)小华从出入口B进入展厅的概率为__________； (2)请用画树状图或列表的方法，求小华进入展厅和离开展厅选择的出入口不同的概率． 【变式训练02】（2025九年级·全国·专题练习）一个不透明袋中装有五个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，5． (1)从袋中随机一次取两个球，求取出的球的编号之和不大于6的概率． (2)先从袋中随机取一个球，该球的编号记为n，将球放回袋中摇匀，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为m．求的概率． 1．（2024·江西抚州·中考真题）下列事件是必然事件的是（   ） A．数学考试96分 B．明天必然下雨 C．太阳东升西落 D．晚上有月亮 2．（2024·陕西渭南·中考真题）下列事件中是确定事件的是 （填序号）： ①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数； ②对于实数、，有； ③车辆随机经过一个路口，遇到红灯； ④14人中至少有2人在同一个月过生日． 3．（2024·全国·中考真题）在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个黑球，从中随机摸出1个小球记下颜色后不放回，再随机摸出1个，则两次都摸到红球的概率为 ． 4．（2024·浙江温州·中考真题）现有七张分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的卡片，其中标有数字1，4，5，7的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是 ． 5.（2024·辽宁沈阳·中考真题）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”、“好”、“浑”、“南”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀． (1)从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“浑”的概率是 ； (2)一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率． 基础夯实 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列事件中，是随机事件的是（   ） A．守株待兔 B．只手遮天 C．旭日东升 D．水中捞月 2．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）下列事件是必然事件的是（   ） A．车辆随机到达一个路口遇到红灯 B．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C．任意画一个三角形其内角和是 D．早上的太阳从西方升起 3．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．投掷一枚硬币，正面向上 B．某运动员跳高成绩为12米 C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心 4．（2024·湖南·模拟预测）成语是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．成语“水中捞月”描述的事件是 事件．（填“随机”“不可能”或“必然”） 5．（23-24七年级上·贵州遵义·开学考试）盒子里有红球6个、白球5个、蓝球4个、黄球3个、绿球2个、黑球1个，每个球的大小、质量都相同．现在从盒子里任意摸出1个球，摸出的是黑球的可能性 ，摸出的是红球的可能性 ．（填“大”或“小”） 6．（25-26九年级上·云南昆明·期中）一只小猫在如图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上（图中每一块方砖除花色外完全相同），它最终停留在深色方砖上的概率是 7．（2025九年级·全国·专题练习）在一个不透明的袋中有5个红球、4个黄球和m个白球，每个球除颜色外其他都相同．从中任意摸出1个球，若摸到白球的可能性最小，则m的值可能是 （填一个即可）． 8．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）来“中国最北海岸线”，赴一场奔跑之约．2025年9月21日，一场特色的马拉松盛宴在辽宁盘锦红海滩国家风景廊道举办，除了努力奔跑的参赛选手，赛场外还有一群默默奉献的志愿者．大学生小宇和小杰报名参加赛会志愿者活动，两人分别从以下四项志愿者活动中随机选择一项，A．赛道指引；B．集结检录；C．物资发放；D．人群疏散． (1)小杰选择“E．赛道计时”是________事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； (2)请用画树状图法或列表法求小宇和小杰恰好选择同一项志愿者活动的概率． 9．（25-26九年级上·辽宁锦州·期中）某中学开学之初，为了解七年级新生对学校开展社团活动的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（社团活动的项目有：篮球、乒乓球、舞蹈、象棋、演讲与口才、手工与剪纸．每 人必选且只能选一项）．根据调查结果，制成了如下的统计图．    请结合图中信息解答下列问题： (1)本次共调查了_______名学生，其中喜爱舞蹈的学生人数是_______，并补全条形统计图； (2)新生中有甲、乙、丙、丁四位同学，篮球基础较好，且喜欢篮球运动．学校篮球队在这四人中选2人加入篮球队，请用列表或画树状图的方法，求同时选中甲乙两人的概率． 10．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）泉州拥有丰富的地方特色小吃和传统美食，是一座不可被低估的美食城市．为解决顾客的“选择困难症”，某店推出美食盲盒活动，规则如下： 规则1：顾客从“A（面线糊）、B（醋肉）、C（蚵仔煎）、D（肉粽）”这四张卡片（卡片背面完全相同）中任意抽取一张卡片所对应的美食进行品尝，可享受九折优惠； 规则2：两人同行，依次从四张卡片中抽取（不放回），若抽到“C（蚵仔煎）”和“D（肉粽）”，两份均可享受八折优惠． (1)求规则1中恰好抽到“A（面线糊）”的概率； (2)用列表或画树状图的方法求“两人同行，享受八折”的概率． 培优拔高 11．（2024·湖北·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．将油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件 B．抛出的篮球会下落是随机事件 C．若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定 D．了解一批中性笔笔芯的使用寿命，可采用全面调查的方式 12．（2025九年级·湖南·学业考试）下列说法中正确的是（    ） A．为了解某市中学生周末在家干家务活的时间，采用全面调查的方式 B．“从一副扑克牌中随机抽取一张，恰好是红桃A”是必然事件 C．数据3，5，7，7，9的中位数是7，平均数是 D．在抽样调查中，样本容量越小，对总体的估计就越准确 13．（2025·湖北孝感·三模）下列说法正确的是（   ） A．调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用全面调查的方式； B．“掷一次骰子，向上一面的点数大于0”是随机事件； C．的算术平方根是； D．若一组数据的方差，则这组数据的总和为24 14．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）给出下列结论：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件；②可能性很大的事件是必然发生的；③如果一个事件不是必然发生的，那么它就是不可能发生的．其中正确的是 （填序号）． 15．（24-25七年级上·陕西咸阳·开学考试）不透明的口袋里放入同样大小的个红球和一些黑球，每次从口袋里任意摸出一个球，然后放回．如果摸到黑球的可能性是，那么口袋里放了 个黑球．要使摸到黑球的可能性变成，可以从口袋里拿走 个红球，也可以往口袋里再放入 个黑球． 16．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）有三张正面分别标有数字的卡片，它们的背面完全相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，放回卡片洗匀，再随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，记点为，则点在平面直角坐标系中第三象限内的概率是 ． 17．（2025九年级上·全国·专题练习）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去，则从最初位置爬到4号蜂房中，不同的爬法有 种． 18．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． (1)若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装着写有“数独”卡片的概率是___________； (2)若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“幻方”和“华容道”卡片盲盒的概率． 19．（25-26九年级上·陕西汉中·阶段练习）京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等．现有4张不透明卡片，正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案外其余都相同．将这4张卡片背面朝上洗匀，一次性从中随机抽取两张．利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求抽取到的两张卡片中有“生”的概率． 20．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）中秋节前，某校举行“传经典，乐中秋”系列活动，九（1）班根据活动分别制作了编号为、、、的4张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将它们背面朝上洗匀后放在桌面上． 品月饼 讲故事 诵诗词 创美文 (1)若从4张卡片中随机选择一种，则选到“讲故事”卡片的概率为___________； (2)该班的小秋先从4张卡片中随机抽取1张，该班的小军再从余下的3张卡片中随机抽取1张、请用画树状图法或列表法，求小秋、小军两人中恰好有一人抽到“诵诗词”卡片的概率． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $