精品解析：黑龙江省区绥化市第四中学校2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

实验中学2025-2026学年度第一学期期中考试试卷 初三数学 一、选择题（3×12=36分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：、，选项不是最简二次根式，不符合题意； 、，选项不是最简二次根式，不符合题意； 、，选项不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 故选：． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的减法和乘法运算，根据运算法则逐一计算进行判断即可． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故计算错误，不符合题意； B、，故计算错误，不符合题意； C、，故计算错误，不符合题意； D、，故计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 实数 a，b，c 在数轴上的对应点如图所示，则化简为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了代数式化简，涉及由数轴表示数的大小、绝对值代数意义、二次根式性质及整式的混合运算等知识，先由实数在数轴上的对应点的位置得到，且，进而得到，，，再由二次根式性质化简，然后利用绝对值的代数意义去绝对值，最后由整式加减运算法则化简即可得到答案． 【详解】解：根据数轴上点的位置得到，且， ∴，，， ∴ ， 故选：A． 4. 如图，，过点P作且，得，再过点作且，得的长；又过点作且，得的长……依此法继续作下去，得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律，分别求出、、、，根据所发现的规律即可解决问题． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 5. 如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连接，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，实数与数轴，坐标与图形的性质，关键是由勾股定理求出的长．根据勾股定理求出的长，即可得答案． 【详解】解：由题意可知，， 由勾股定理得到， ∴， 因为点D在x轴负半轴， 所以点D对应的实数为． 故选：B． 6. 如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理中最短路径问题，解题的关键是理解圆柱展开图，结合两点间线段最短得到最短线段．将圆柱展开，根据图形得到A，C两点的位置结合两点间距离公式及勾股定理直接求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，圆柱展开图如图所示，根据两点间线段最短，连接，即为最短距离， ∵圆柱体的底面圆周长为，高为， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 故选：C． 7. 在平行四边形中，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对边平行得到，再根据已知条件求出的度数即可得到答案． 【详解】解；∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 8. 如图所示，O是矩形的对角线的中点，M是的中点，若，，则四边形的周长为（ ） A. 22 B. 20 C. 19 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、三角形的中位线的性质、勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．根据题意可知，，，，为的中位线，进一步求得，，，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得即可求得四边形的周长． 【详解】解：∵O是矩形的对角线的中点，M是的中点， ∴，，，，为的中位线， ∴， ，， ∴， ∴四边形的周长为， 故选：B． 9. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点H，已知，，则（ ） A. B. C. D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等面积法，解题的关键是掌握菱形的性质． 根据菱形的性质得出对角线的关系，利用勾股定理及等面积法进行求解即可． 【详解】解：根据菱形的性质得，，， 根据菱形的面积公式得，， ∴， 由勾股定理得，， 根据等面积得，， ∴， 故选：A． 10. 如图，在正方形的外侧，作等边，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解决此题的关键是判断出是等腰三角形；根据正方形和等边三角形的性质，得到，判断出是等腰三角形，算出其底角的度数，进而利用得到答案即可． 【详解】解：∵在正方形的外侧，作等边， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 11. 如图，在中，，为边上一动点，于，于，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积公式、垂线段最短等知识点，根据题意求出的最小值是解答本题的关键．连接，先证明四边形是矩形，由勾股定理求出长，则的最小值即为的最小值，当时，的值最小，再根据等面积法求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，于，于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值即为的最小值， 当时，的值最小， ∴此时， ∴的最小值为， 故选：D． 12. 正方形，按如图放置，点B，C，E在同一条直线上，点P在边上，，且，连接交于点M，有下列结论：①；②；③；④．则下列结论正确个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理和全等三角形的判定等知识点，解决此题的关键是熟练掌握各个知识点间的联系；根据正方形的性质得到线段相等和角相等，可以判断②正确；由以上的条件也可证明三角形全等，进而可以得到①正确，运用两次勾股定理可以判断③正确，通过等量代换可以判断④正确； 【详解】解：在正方形，中 ，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵，，， ∴ ∴， ∴， 故①正确； 在中，， 即 在中，， ∴， 故③正确； ∵， ∴ ∵， ∴， 故④正确； 综上可知：①②③④都正确，共4个， 故选：D． 二、填空题（3×10=30分） 13. 使代数式有意义的的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了分式、二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于，分母不等于求解即可，熟练掌握分式、二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴的取值范围是， 解得：， 故答案为：． 14. 若最简二次根式与能进行合并，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，根据最简二次根式与可以合并，可得，据此即可求解，掌握最简二次根式和同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与能进行合并， ∴， 解得：． 故答案为：4 15. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为18，则小正方形的边长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，化为最简二次根式，由题意可知：中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为， ∵每一个直角三角形的面积为：， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 在中，，、的角平分线分别交于、，若，则_____ ． 【答案】4或7##7或4 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义、平行四边形的性质、等腰三角形的性质；分当、相交时和当、不相交时两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当、相交时，如下图，    ∵平分， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当、不相交时，如下图，    ∵平分， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4或7． 17. 如图中，为钝角，边，的垂直平分线分别交于点，．若，则_________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．连接、，根据线段垂直平分线的性质得到，， 得到，， ，根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：如图所示，连接、， 边，的垂直平分线分别交于点，， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 18. 如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是____ 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，根据菱形的性质求出，证明是等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，、是对角线，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：5． 19. 如图，在四边形中，P是对角线的中点，E、F分别是、的中点，，，则的度数是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据P是对角线的中点，E、F分别是、的中点，即可得到，，结合得到，结合即可得到答案； 【详解】解：∵P是对角线的中点，E、F分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； 【点睛】本题考查三角形中位线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是得到． 20. 如图，在矩形中，相交于点O，平分交于点E，若，，则的长为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形和等腰三角形的判定及三角形的内角和等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 根据矩形的性质得出，，，证明，得出．证出为等边三角形，得出，则可得出答案． 【详解】解：在矩形中，平分， ∴，，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：6． 21. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问：这根芦苇的长度是_____尺． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度是尺，根据题意可得芦苇底部到水池右边的距离为5尺，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度是尺， ∵水面是一个边长为10尺的正方形， ∴芦苇底部到水池右边的距离为5尺， ∴由勾股定理得， 解得， ∴， ∴这根芦苇的长度是13尺， 故答案为：13． 22. 如图，四边形中，E，F，G，H分别是边、、、的中点．若四边形为菱形，则对角线、应满足条件_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形，故应满足． 【详解】解：应满足的条件为：． 证明：∵E，F，G，H分别是边、、、的中点， ∴在中，为的中位线，所以且； 同理且，同理可得， 则且， ∴四边形为平行四边形，又，所以， ∴四边形为菱形． 故答案为：． 【点睛】此题考查学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及菱形的判断进行证明，是一道综合题． 三、解答题（共54分） 23. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的加减运算，负整数指数幂等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别计算乘方，零指数幂和负整数指数幂，化简绝对值，再进行加减计算； （2）先化简二次根式，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 24. 先化简，后求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先按照整式乘法运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： = = 将代入得 = 【点睛】本题考查了整式化简求值、平方差公式计算，掌握整式乘法运算法则是解题关键． 25. 在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上)，并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)原来的路线的长为千米 【解析】 【分析】（1）结合已知条件根据勾股定理的逆定理、垂直的定义、垂线段最短即可得解； （2）设千米，则千米、千米，根据勾股定理列出关于的方程求解即可． 【详解】解：（1）结论：是从村庄到河边最近的路． 理由： ∵在中，千米，千米，千米， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴． ∴． ∴是从村庄到河边最近的路． 设千米，则千米，千米， ∵在中，由勾股定理得：． ∴． ∴． 答：原来的路线的长为千米． 【点睛】本题考查了勾股定理以及其逆定理、垂直的定义、垂线段最短、利用方程求线段长等知识点，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键． 26. 已知：如图，在菱形中，点，分别在边，上，且，连结，.求证：. 【答案】 ∵四边形是菱形， ∴，， ∵ ∴． ∴ 【解析】 【分析】由菱形性质得，，，，根据全等三角形判定SAS可得，由全等三角形性质即可得证. 【详解】略 【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答． 27. 如图，在菱形中，，相交于点，过点作，使，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）若菱形的面积为48，求矩形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）24 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，，求得，得到，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形； （2）根据菱形的面积公式得，根据菱形的性质得，，再根据矩形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵菱形的面积为48， ∴，，， ∴， 矩形的面积． 28. 如图，在正方形ABCD中，点E为AB上的点（不与A，B重合），△ADE与△FDE关于DE对称，作射线CF，与DE的延长线相交于点G，连接AG， （1）当∠ADE=15°时，求∠DGC的度数； （2）若点E在AB上移动，请你判断∠DGC的度数是否发生变化，若不变化，请证明你的结论；若会发生变化，请说明理由； （3）如图2， 当点F落在对角线BD上时，点M为DE的中点，连接AM，FM，请你判断四边形AGFM的形状，并证明你的结论． 【答案】(1) ∠DGC=45°； (2) ∠DGC=45°不会变化； (3) 四边形AGFM是正方形 【解析】 【分析】（1）根据对称性及正方形性质可得∠CDF=60°=∠DFC，再利用三角形外角∠DFC=∠FDE+∠DPF可求∠DPC度数； （2）由(1)知△DFC为等腰三角形，得出DF=DC，求出∠DFC=45º+∠EDF，由∠DFC=∠DGC+∠EDF可得∠DGC=45º； （3）证明FG=MF=MA=AG，∠AGF=90º，即可得出结论. 【详解】(1)△FDE与ADE关于DE对称 ∴△FDE≌△ADE ∴∠FDE＝∠ADE＝15º，AD=FD ∴∠ADF=2∠FDE=30º ∵ABCD为正方形 ∴AD=DC=FD，∠ADC=∠DAC=∠DFE=90º ∴∠FDC=∠ADC-∠ADF=60º ∴△DFC为等边三角形 ∴∠DFC=60º ∵∠DFC为△DGF外角 ∴∠DFC=∠FDE+∠DGC ∴∠DGC=∠DFC-∠FDE=60-15º=45º (2)不变. 证明: 由(1)知△DFC为等腰三角形，DF=DC ∴∠DFC=∠DCF= (180º-∠CDF) =90º-∠CDF① ∵∠CDF=90º-∠ADF=90º-2∠EDF② 将②代入①得∠DFC=45º+∠EDF ∵∠DFC=∠DGC+∠EDF ∴∠DGC=45º (3)四边形AMFG为正方形. 证明: ∵M为Rt△ADE中斜边DE的中点 ∴AM＝DE ∵M为Rt△FED中斜边DE的中点 ∴FM=DE=AM=MD 由(1)知△AED≌△FED ∴AD=DF，∠ADG=∠FDG △ADG与△FDG中， AD=DF， ∠ADG=∠FDG，DG=DG ∴△ADG≌△FDG， 由(2)知∠DGC=45º ∴∠DGA=∠DGF=45º，AG=FG， ∠AGF=∠DGA+∠DGF=90º ∵DB为正方形对角线， ∴∠ADB=∠45º， ∵∠ADG=∠GDF=∠ADB=22.5º ∵DM＝FM ∴∠GDF=∠MFD=22.5º ∵∠GMF=∠GDF+∠MFD=45º ∴∠GMF=∠DGF＝45º ∴MF=FG ∴FG=MF=MA=AG，∠AGF=90º ∴四边形AMFG为正方形． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定. 解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学2025-2026学年度第一学期期中考试试卷 初三数学 一、选择题（3×12=36分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 实数 a，b，c 在数轴上的对应点如图所示，则化简为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，过点P作且，得，再过点作且，得的长；又过点作且，得的长……依此法继续作下去，得（ ） A. B. C. D. 5. 如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连接，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 6 7. 在平行四边形中，，则（    ） A. B. C. D. 8. 如图所示，O是矩形的对角线的中点，M是的中点，若，，则四边形的周长为（ ） A. 22 B. 20 C. 19 D. 18 9. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点H，已知，，则（ ） A. B. C. D. 15 10. 如图，在正方形的外侧，作等边，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，为边上一动点，于，于，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 12. 正方形，按如图放置，点B，C，E在同一条直线上，点P在边上，，且，连接交于点M，有下列结论：①；②；③；④．则下列结论正确个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（3×10=30分） 13. 使代数式有意义的的取值范围是______． 14. 若最简二次根式与能进行合并，则______． 15. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为18，则小正方形的边长为_______． 16. 在中，，、的角平分线分别交于、，若，则_____ ． 17. 如图中，为钝角，边，的垂直平分线分别交于点，．若，则_________度． 18. 如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是____ 19. 如图，在四边形中，P是对角线的中点，E、F分别是、的中点，，，则的度数是_______. 20. 如图，在矩形中，相交于点O，平分交于点E，若，，则的长为_______． 21. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问：这根芦苇的长度是_____尺． 22. 如图，四边形中，E，F，G，H分别是边、、、的中点．若四边形为菱形，则对角线、应满足条件_______． 三、解答题（共54分） 23. 计算： （1）； （2）． 24. 先化简，后求值：，其中． 25. 在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上)，并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 26. 已知：如图，在菱形中，点，分别在边，上，且，连结，.求证：. 27. 如图，在菱形中，，相交于点，过点作，使，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）若菱形的面积为48，求矩形的面积． 28. 如图，在正方形ABCD中，点E为AB上的点（不与A，B重合），△ADE与△FDE关于DE对称，作射线CF，与DE的延长线相交于点G，连接AG， （1）当∠ADE=15°时，求∠DGC的度数； （2）若点E在AB上移动，请你判断∠DGC的度数是否发生变化，若不变化，请证明你的结论；若会发生变化，请说明理由； （3）如图2， 当点F落在对角线BD上时，点M为DE的中点，连接AM，FM，请你判断四边形AGFM的形状，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $