精品解析：浙江省绍兴市柯桥区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025学年第一学期九年级期中教学质量调测试卷（2025.11） 数学试卷 考生须知： 1．全卷分试卷和答题卷二部分，考生须在答题卷上作答．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．试卷分试卷Ⅰ（选择题），试卷Ⅱ（非选择题）两部分，共7页． 试卷Ⅰ（选择题，共30分） 请将本卷的答案，用铅笔在答题纸上对应的选项位置涂黑，涂满． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 二次函数的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此即可求解． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 故二次函数的顶点坐标为． 故选：B． 2. 下列事件中是随机事件的是（ ） A. 太阳从东边升起 B. 水中捞月 C. 抛掷一枚硬币次，次都是正面朝上 D. 三角形任意两边之和大于第三边 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件和随机事件，解决本题的关键是弄清楚以上事件的定义；必然事件：每次随机试验中一定会出现的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，据此逐项分析，即可求解． 【详解】解：A、太阳从东边升起是必然事件； B、水中捞月是不可能事件； C、抛掷一枚硬币次都正面朝上可能发生也可能不发生，是随机事件； D、三角形任意两边之和大于第三边是必然事件． 故选：C． 3. 已知圆O外一点A到圆心O的距离为4，则圆O的半径可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系， 点A在圆外，因此点A到圆心的距离大于圆的半径，据此确定半径的取值范围即可得到答案． 【详解】∵点A在圆O外， ∴的长大于圆O的半径， ∵， ∴圆O的半径小于4， ∴圆O的半径可能是3， 故选：A． 4. 如图，在中，，，且，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 根据平行线分线段成比例得到，再代入数据求值即可． 【详解】解：， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：B． 5. 如图，等腰内接于点O，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，根据圆周角定理可得的度数，再由等边对等角可得的度数，据此利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵等腰内接于圆O，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6. 将抛物线先向左移动3个单位，再向下移动2个单位，所得新抛物线经过原点，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线的平移规律，掌握“左加右减”和“上加下减”的原则是解题的关键． 根据抛物线平移规律求出平移后的解析式，再代入原点求解a． 【详解】解：由题意得平移后的抛物线表达式为：。 ∵所得新抛物线经过原点(0,0)， ∴ 代入得， 解得， 故选：D． 7. 已知二次函数的顶点坐标为，若点，，在函数图象上，则，，的大小关系是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，二次函数图象的性质，先根据抛物线的顶点坐标和确定二次函数的解析式，再分别将这三个点的坐标代入解析式，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，且， ∴二次函数为， 当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴． 故选：D． 8. 如图，是圆O的直径，弦，且，已知，则弧的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，解直角三角形，求弧长．过点O作于点E，连接，根据垂径定理，可得，在中，利用特殊角锐角函数值可得，从而得到，再由弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，过点O作于点E，连接， ∴， ∵，，是圆O的直径， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴弧的长为． 故选：A 9. 如图，线段平行于轴，，动点在直线上移动，若的坐标为，线段与抛物线有一个交点，则的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一次函数的交点问题，先根据题意得出点的坐标为，联立方程组求出二次函数与一次函数的交点，再分为线段的端点和端点在二次函数的图象上这两种情况，分别分析，结合函数图象和线段的移动轨迹，即可求解． 【详解】解：∵的坐标为，线段平行于轴，， 故点的坐标为， 若线段的端点在抛物线上， 联立方程组，得， 整理得， 解得，， 即当、时，线段的端点在抛物线上， 当时，点的坐标为， 令，此时， 即当时，线段的端点在抛物线上， 此时线段与抛物线有两个交点， 故． 当时，点的坐标为， 令，此时， 即当时，线段与抛物线有一个交点． 若线段的端点在抛物线上， 即， 整理，得， 解得，（舍去）； 即当时，线段与抛物线有一个交点． 结合函数图象可得， 当时，线段端点在抛物线上， 当时，线段与抛物线有一个交点， 当时，线段与抛物线有两个交点， 当时，线段与抛物线有一个交点， 当时，线段端点在抛物线上， 综上，的取值范围为或． 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作圆，使其经过原点和点，若点是圆上异于的一点，点是弦的中点，则长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，连接，根据垂径定理得出，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出，，根据两点之间，线段最短可得点、、三点共线时，的值最小，即可求解． 【详解】解：连接、，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，连接，如图： ∵点的坐标是，， ∴，， ∴， 故是等腰直角三角形， ∴，， 故， 又∵，， ∴等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∵点是弦的中点， ∴， 故点是在以点为圆心的圆上， 当点、、三点共线时，的值最小； 此时． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理等，根据垂径定理得出点是在以点为圆心的圆上是解题的关键． 试卷Ⅱ（非选择题，共90分） 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 若正n边形的一个外角是，则_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，利用多边形的外角和即可解决问题． 【详解】解：因为正多边形的每一个外角都相等， 所以． 故答案为：10． 12. 一个袋子中有若干个白球和2个黄球，它们除颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到白球的概率是，则袋子中一共有______个球． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，分式方程的应用．设白球有x个，则总球数为个，则根据概率计算公式列出分式方程求解即可． 【详解】解：设白球有x个，则总球数为个， 依题意，得， 解得， 检验：当时，，且概率，符合题意， 因此，总球数为， 故答案为：8． 13. 如图，是圆的弦，直径于点，，，则线段的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，掌握数形结合、分类讨论的方法是解题关键．根据题意画出图形，分两种情况讨论，由垂径定理和勾股定理先求出的长，从而得到的长，再结合勾股定理即可求出的长． 【详解】解：分两种情况讨论， 第一种情况：如图，连接， ∵，，， ∴，， 在中，， ∴， 在中，； 第二种情况：如图，连接， ∵，，， ∴，， 在中，， ∴， 在中，； 综上，线段的长为或． 故答案为：或． 14. 如图，绕点顺时针旋转一定角度，得到，点的对应点恰好在线段上，且，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，，结合等边对等角得出，根据平行线的性质和平角的定义求出，根据等边三角形的判定和性质得出，结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，点的对应点在线段上， 故，， ∴， ∵， ∴， 故， ∵， ∴， 即， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，正确进行计算是解题关键． 15. 已知点在二次函数的图像上，当时，总有成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的性质，结合条件列出不等式，正确解出不等式是解题的关键． 由点 在二次函数图像上，代入得 ，根据 推出 ，结合 且 ，化为 ，要求对所有 成立，故 的最小值，即 ． 【详解】解：因为点 在二次函数 的图象上， 所以 ， 当 时，总有 成立，即 ， 整理得 ， 由于 ，不等式两边同时除以 ， 得 ，即 ， 对于所有 ， 恒成立， 故不大于的最小值，当 时，取得最小值 ， 因此 ， 故答案为：． 16. 如图，内接于直径为的圆，将弦顺时针旋转得到弦，且，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长，与圆交于点，连接、，连接与交于点，根据旋转的性质得出，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据勾股定理求出和的值，根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等以及平行线的判定和性质得出，根据相似三角形的判定和性质得出，，，根据线段的和差关系，列出方程求出的值，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：连接并延长，与圆交于点，连接、，连接与交于点，如图： ∵将弦顺时针旋转得到弦， 故， ∵是直径， ∴， 在中，， 中，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∵，，，， ∴，， ∴，， 设， 故，， 即，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故， 解得， 即，， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题（本题有8小题，第17~19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分） 17. 已知线段，，满足． （1）求的值； （2）当线段是，的比例中项且时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了比例线段，能根据题中所给等式，用表示出进而代入计算是解题的关键． （1）根据题意，用表示出，再进行计算，即可求解； （2）根据比例中项的定义进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题知， 故， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， 故， ∵线段是，的比例中项， ∴， 故（负值舍去）． 18. 如图，已知二次函数图象经过点和点 （1）求该二次函数的解析式 （2）结合函数图象，直接写出：当时，函数y的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式的知识及二次函数的顶点坐标的知识，属于基础题，解答本题的关键是待定系数法的运用． （1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据函数图象及其性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：将点A和点C的坐标代入函数解析式， 得， 解得， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 抛物线的对称轴为， ∵， ∴当时，y取得最大值为：， 当时，， 当时，， ∴函数y的取值范围：． 19. 一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“向”、“未”、“来”，小球除汉字外其余均相同．小明从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀：再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字．用画树状图（或列表）的方法，求小明两次摸出小球上的汉字不相同的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到小明两次摸出小球上的汉字不相同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设用A、B、C分别表示“向”、“未”、“来”，列表如下： 第一次 第二次 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中小明两次摸出小球上的汉字不相同的结果数有6种， ∴小明两次摸出小球上的汉字不相同的概率为． 20. 如图，在扇形中，，于点D，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，由垂径定理求出，根据题意得到，设，则，运用勾股定理计算即可解答． 【详解】解：∵在扇形中，，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴．  21. 如图，在中，，．以AC为直径的交BC于点，交BA的延长线于点，连结CE，DE． （1）求的度数． （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角的性质，等腰三角形性质，等边三角形判定及扇形面积和三角形面积计算，解题的关键是利用直径所对圆周角是直角，以及结合已知角度和边长关系进行推导计算． （1）根据圆的直径所对圆周角，再结合已知的，，得到，再由圆周角，最后求出相应角度； （2）通过作，垂足为．则，利用角度和边长关系判断出三是等边三角形，进而分别计算扇形面积和三角形面积，最后得出阴影部分面积． 【小问1详解】 解：为直径， ， ，， ， ， ． 【小问2详解】 解：作，垂足为．则， ， ．而， 是等边三角形． ，， 阴影部分的面积． 22. 某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价元，日销售量将减少千克． 当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？ 若商场只要求保证每天的盈利为元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？ 【答案】(1)每千克涨价7.5元时每天盈利最多，最多为6125元；(2)每千克应涨价为5元． 【解析】 【详解】（1）根据“每千克涨价1元，日销售量将减少20千克”即可得到关于利润的解析式，再根据函数的性质即可得到结果； （2）先求出y=6000时x的值，再比较即可得到结果． 23. 平面直角坐标系中，图形上任意两个点，其纵坐标分别是，，则称的最大值为图形的“竖直高” （1）直接写出下列图形的“竖直高” ①，其中，，； ②如图，以原点为圆心，作弧，四边形内接于，平分，，，弧与线段围成图形； （2）如果抛物线与经过点，的直线围成的图形“竖直高”是4，求实数a的值． 【答案】（1）①；② （2）实数a的值为 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，圆周角定理，二次函数的性质及一次函数的性质． （1）①根据“竖直高”的定义求解即可；②过点作于点E，由圆周角定理得到，利用勾股定理求出，进而得到，即，根据三角形面积公式求出，即可得到点的纵坐标为，根据“竖直高”的定义求解即可； （2）先求出一次函数的解析式，联立二次函数与一次函数，求出两个交点的纵坐标，再根据二次函数与直线围成的图形“竖直高”是4，分和两种情况讨论，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：①∵，，， ∴纵坐标最大为，最小为， ∴的“竖直高”为； ②过点作于点E， 根据题意得， ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即点的纵坐标为， ∴弧与线段围成的图形的“竖直高”为； 【小问2详解】 解：设过点，的直线的解析式为， 则，解得， ∴过点，的直线的解析式为， 设直线与抛物线交点坐标为，， 联立，即， 整理得， ∵， ∴， 解得， 则， ∵抛物线， ∴抛物线对称轴为，顶点坐标为， ∵与抛物线与经过点，的直线围成的图形“竖直高”是4，矛盾， ∴在之间，即， 当时，则， 整理得，即， 解得或， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意； 当时，则， 整理得，即， 解得或， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意； 综上，实数a的值为． 24. 如图，直径弦于点． （1），． ①求半径长； ②如图，点在弧上运动（点不与点和点重合），连接．当线段过圆心时，求的面积； （2）点在弧上运动（点不与点和点重合），连接．当，，时，求面积． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（）连接，由垂径定理得，设的半径长为，则，再利用勾股定理解答即可求解；②当线段过圆心时，如图，则为的直径，可得，，利用勾股定理求出进而求出即可求解； （）连接，在上取，过点作于，可得，由垂径定理可得，进而可证，得到，即得，得到，再利用勾股定理求出即可求解． 【小问1详解】 解：①如图，连接， ∵直径弦于点， ∴，， 设的半径长为，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径长为； ②当线段过圆心时，如图，则为的直径， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，在上取，过点作于，则， ∵， ∴， ∵直径弦于点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级期中教学质量调测试卷（2025.11） 数学试卷 考生须知： 1．全卷分试卷和答题卷二部分，考生须在答题卷上作答．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．试卷分试卷Ⅰ（选择题），试卷Ⅱ（非选择题）两部分，共7页． 试卷Ⅰ（选择题，共30分） 请将本卷的答案，用铅笔在答题纸上对应的选项位置涂黑，涂满． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 二次函数的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中是随机事件的是（ ） A. 太阳从东边升起 B. 水中捞月 C. 抛掷一枚硬币次，次都是正面朝上 D. 三角形任意两边之和大于第三边 3. 已知圆O外一点A到圆心O距离为4，则圆O的半径可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 如图，在中，，，且，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，等腰内接于点O，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线先向左移动3个单位，再向下移动2个单位，所得新抛物线经过原点，则a的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的顶点坐标为，若点，，在函数图象上，则，，的大小关系是（） A. B. C. D. 8. 如图，是圆O的直径，弦，且，已知，则弧的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，线段平行于轴，，动点在直线上移动，若的坐标为，线段与抛物线有一个交点，则的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 或 10. 如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作圆，使其经过原点和点，若点是圆上异于的一点，点是弦的中点，则长度的最小值是（ ） A B. C. D. 试卷Ⅱ（非选择题，共90分） 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 若正n边形的一个外角是，则_______． 12. 一个袋子中有若干个白球和2个黄球，它们除颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到白球的概率是，则袋子中一共有______个球． 13. 如图，是圆弦，直径于点，，，则线段的长为______． 14. 如图，绕点顺时针旋转一定角度，得到，点对应点恰好在线段上，且，若，则的度数为______． 15. 已知点在二次函数的图像上，当时，总有成立，则a的取值范围是______． 16. 如图，内接于直径为的圆，将弦顺时针旋转得到弦，且，若，则______． 三、解答题（本题有8小题，第17~19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分） 17. 已知线段，，满足． （1）求的值； （2）当线段是，的比例中项且时，求的值． 18. 如图，已知二次函数图象经过点和点 （1）求该二次函数的解析式 （2）结合函数图象，直接写出：当时，函数y的取值范围 19. 一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“向”、“未”、“来”，小球除汉字外其余均相同．小明从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀：再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字．用画树状图（或列表）的方法，求小明两次摸出小球上的汉字不相同的概率． 20. 如图，在扇形中，，于点D，求的长． 21. 如图，在中，，．以AC为直径的交BC于点，交BA的延长线于点，连结CE，DE． （1）求的度数． （2）若，求图中阴影部分的面积． 22. 某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价元，日销售量将减少千克． 当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？ 若商场只要求保证每天盈利为元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？ 23. 平面直角坐标系中，图形上任意两个点，其纵坐标分别是，，则称的最大值为图形的“竖直高” （1）直接写出下列图形的“竖直高” ①，其中，，； ②如图，以原点为圆心，作弧，四边形内接于，平分，，，弧与线段围成的图形； （2）如果抛物线与经过点，的直线围成的图形“竖直高”是4，求实数a的值． 24. 如图，直径弦于点． （1），． ①求半径长； ②如图，点在弧上运动（点不与点和点重合），连接．当线段过圆心时，求的面积； （2）点在弧上运动（点不与点和点重合），连接．当，，时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $