精品解析：天津市天津港保税区空港学校2024-2025学年上学期九年级数学月考试卷

2024-2025九年级数学——月考试卷 一、单选题 1. 抛物线的对称轴、顶点坐标分别是（ ） A. 直线， B. 直线， C. 直线， D. 直线， 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点坐标公式解答即可． 本题考查了抛物线的顶点坐标，熟练掌握坐标公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴、顶点坐标分别是直线，． 故答案为：A． 2. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，分和，两种情况，利用根的判别式进行求解即可． 【详解】解：当时，方程为，解得：，满足题意； 当时，为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得：， ∴且； 综上：； 故选C． 3. 若、是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 先由根与系数的关系得出，，代入即可求解． 【详解】∵是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选D． 4. 如图，在长为 54 米、宽为 38 米的矩形草地上修同样的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为 1800 平方米，设道路的宽为 x 米，则可列方程为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据矩形草地的长、宽及修建道路的宽度，可得出种植草坪的部分可合成一个长为米，宽为米的矩形，再结合草坪的面积为1800平方米，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形草地的长为54米，宽为38米，且道路的宽为x米， ∴种植草坪的部分可合成一个长为米，宽为米的矩形． 根据题意得：． 故选：D． 5. 用配方法解方程x2﹣4x﹣5=0时，原方程应变形为（ ） A. （x+1）2=6 B. （x+2）2=9 C. （x﹣1）2=6 D. （x﹣2）2=9 【答案】D 【解析】 【分析】把常数项﹣5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数一半的平方即可. 【详解】解：由原方程移项，得 x2﹣4x=5， 等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得 x2﹣4x+4=5+4， 配方得（x﹣2）2=9． 故选D． 【点睛】本题考查用配方法求解一元二次方程，记住移项变号，两边同时加一次项系数一半的平方是解答此题的关键. 6. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某新能源汽车4s店的汽车销量自2018年起逐月增加．据统计，该店第一季度的汽车销量就达244辆，其中1月份销售汽车64辆．若该店1月份到3月份新能源汽车销售量的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A. 64（1+x）2＝244 B. 64（1+2x）＝244 C. 64+64（1+x）+64（1+x）2＝244 D. 64+64（1+x）+64（1+2x）＝244 【答案】C 【解析】 【分析】设该店1月份到3月份新能源汽车销售量的月平均增长率为x，等量关系为：1月份的销售量+1月份的销售量×（1+增长率）+1月份的销售量×（1+增长率）2=第一季度的销售量，把相关数值代入求解即可． 【详解】设该店1月份到3月份新能源汽车销售量的月平均增长率为x， 根据题意列方程：64+64（1+x）+64（1+x）2＝244． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 7. 若关于x的一元二次方程的解是，则关于y的一元二次方程的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，根据题意两个方程可得出的解是，进而可求出． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的解是， ∴关于的一元二次方程的解是， ∴关于y的一元二次方程的解是． 故选：D． 8. 已知(﹣3，)，(﹣2，)，(1，)是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴，然后通过增减性判断即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为， ∵， ∴是y随x的增大而增大， 是y随x的增大而减小， 又∵(﹣3，)比(1，)距离对称轴较近， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，找到对称轴，注意二次函数的增减性是解题的关键． 9. 函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象，先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，即可得出答案，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线与y轴交于点， A、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，符合题意； B、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，不符合题意； C、由可得，则，故抛物线开口向下，即对称轴，不符合题意； D、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，不符合题意； 故选：A． 10. 如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，设雕像下部高，则下列结论不正确的是（） A. 雕像的上部高度与下部高度的关系为： B. 依题意可以列方程 C. 依题意可以列方程 D. 雕塑下部高度为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：或（舍去）， ， 雕塑下部高度为， 故A、C、D都正确，B不正确， 故选：B 11. 如图，等边的边长为，点P从点A出发，以的速度沿向点C运动，到达点C停止；同时点Q从点A出发，以的速度沿向点C运动，到达点C停止，设的面积为，运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据点Q的位置分类讨论，分别表示出的面积，再根据二次函数的性质进行判断即可． 【详解】由题意得，点Q移动的路程为，点P移动的路程为x， ∵为等边三角形， ∴， ①当点Q在线段上时，过点Q作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴当时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故选项A、B排除； ②当点Q在线段上时，过点Q作于点E， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴当时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分，故选项C排除； 故选：D． 12. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位，m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系为，其中．有下列结论： ①当时，小球运动到最大高度； ②当小球的运动高度为时，运动时间为或； ③小球运动中的最大高度为； ④小球从抛出到落地需要； 其中正确的结论有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】该题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握二次函数的性质； 根据二次函数的图像和性质解答即可； 【详解】 当时，小球运动到最大高度，最大高度为，故①③错误； 当小球的运动高度为时，有，解得或，故②正确； 小球从抛出到落地需要，故④正确． 故选：B． 二、填空题 13. 关于的方程的一个根是，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，把代入得，， 解得，， 故答案为： ． 14. 方程的二次项系数是______，一次项系数是_______，常数项是_______ 【答案】 ①. 1 ②. 2 ③. 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式．一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，c叫做常数项． 先把原方程整理成一元二次方程的一般形式得，所以二次项系数为，一次项系数为2，常数项是 【详解】解：由得到：， ∴其二次项系数是1，一次项系数为2，常数项为． 故答案为：1，，． 15. 若方程是关于x的一元二次方程，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要是注意一元二次方程的定义：未知数的最高次数是二次的整式方程，且二次项系数不得为0，根据一元二次方程的定义得到且，求得m的值即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义，得且， 解得. 故答案为：2 16. 把抛物线向上平移9个单位，那么所得抛物线与x轴的两个交点之间的距离是______________． 【答案】6 【解析】 【分析】先得到解析式为，令得到求得方程的根，计算解答即可． 本题考查了抛物线的平移，交点间距离，熟练掌握平移是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得解析式为， 令得， 解方程得， 故， 故答案为：6． 17. 飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，飞机着陆后滑行停下来，滑行的时间是________s． 【答案】32 【解析】 【分析】直接根据题意得出的对称轴，即可作答．本题主要考查了二次函数的图象性质． 【详解】解：由题意可得：飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是 ∴当对称轴时，飞机停下， 故答案为：32 18. 如图，在矩形中，，点是的中点，连接，以点为原点，建立平面直角坐标系，点是上一动点，取的中点为，连接，则的最小值是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形与坐标、二次函数的性质等知识点，根据平面直角坐标系找到各点坐标是解题关键． 先根据矩形的性质可得，，，再根据一次函数的性质可设点的坐标为，从而可得，然后利用两点之间的距离公式可得，最后利用二次函数的性质即可得． 【详解】解：在矩形中，，点是的中点， ，，， ，，， 直线的函数解析式为， 设点的坐标为， 点是上一动点， ， 点是的中点， ， 由两点之间的距离公式可得： ， 由二次函数的性质得：在内，随的增大而增大， 则当时，取得最小值，最小值为：， 因此，的最小值为， 故答案为： 三、解答题 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2）方程无实数解 【解析】 【分析】本题考查了利用因式分解法和公式法解一元二次方程． （1）利用因式分解法解方程； （2）利用公式法解方程． 【小问1详解】 解：因式分解得， 所以，； 【小问2详解】 解：， ，，， ， 所以，方程无实数解． 20. 已知关于x的一元二次方程（m为实数，m≠1） （1）若方程一个根是2，求m的值及方程的另一个根？ （2）求证：此方程总有两个实数根． 【答案】（1），方程的另一个根为-1 （2）见解答 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）先把代入一元二次方程可求得，则此时一元二次方程为，设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，然后解一次方程即可； （2）计算根的判别式的值得到，利用非负数的性质得到，然后根据根的判别式的意义得到结论． 【小问1详解】 解：把代入一元二次方程得， 解得， 此时一元二次方程为， 设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系得， 解得， 即方程的另一个根为-1； 【小问2详解】 证明：，， 此方程总有两个实数根． 21. 如图，观察图中的二次函数图象可得： （1）求该抛物线的解析式． （2）当x______时，y随x的增大而减小． （3）当x______时，y达到最______（填“大”或“小”）值是______． 【答案】（1） （2） （3），大，9 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，根据函数的图象，结合二次函数的性质即可逐个判断得解． 【小问1详解】 解：由题意，如图可得，抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点为， 设抛物线的解析式为：， ∵二次函数与x轴的一个交点为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 当时，y随x的增大而减小； 【小问3详解】 当时，y达到最大值9． 22. 为更好地开展劳动教育课程，我校计划用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开（如图所示）．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏宽忽略不计）． （1）若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长； （2）生态园的面积能否达到153平方米？请说明理由． 【答案】（1）生态园垂直于墙的边长为6米； （2） 生态园的面积不能达到153平方米，理由如下： 假设生态园的面积能达到153平方米，设生态园垂直于墙的边长为y米，则平行于墙的边长为米， 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即生态园的面积不能达到153平方米． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，正确列出一元二次方程并灵活运用根的判别式成为解题的关键． （1）设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据生态园的面积为144平方米，可列出关于x的一元二次方程求解即可； （2）假设生态园的面积能达到153平方米，设生态园垂直于墙的边长为y米，则平行于墙的边长为米，根据生态园的面积为153平方米，可列出关于y的一元二次方程，再根据根的判别式，可得出原方程没有实数根，即可完成判断． 【小问1详解】 解：设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：生态园垂直于墙的边长为6米； 【小问2详解】 略 23. 已知二次函数自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 0 m … （1）二次函数图象的开口方向 ，顶点坐标是 ，m的值为 ； （2）点、在函数图象上， （填、、）； （3）当时，x的取值范围是 ； （4）关于x的一元二次方程的解为 ； （5）求二次函数解析式． 【答案】（1）向上；；5 （2） （3） （4）或4 （5） 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． （1）由表格可见，函数的对称轴为x=1对称轴右侧，y随x的增大而增大，故可求出开口方向与顶点坐标，再根据对称性求出m ； （2）根据点Q离函数的对称轴近，即可判断y的大小； （3）根据表格的特点及二次函数的性质即可判断； （4）根据表格可得或4时，，即可求解； （5）根据待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：由表格可见，函数的对称轴为，对称轴右侧，y随x的增大而增大，故抛物线开口向上， 顶点坐标为，根据函数的对称性m=5； 故答案为：向上；；5； 【小问2详解】 解：从P、Q的横坐标看，点Q离函数的对称轴近，故； 故答案为：； 【小问3详解】 解：从表格看，当时，x的取值范围是：， 故答案为：； 【小问4详解】 解：从表格看，关于x的一元二次方程的解为：或4， 故答案为：或4； 【小问5详解】 解：∵二次函数经过点，，，代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 24. 某商品进货价为每件40元，将该商品每件的售价定为50元时，每星期可销售250件．现在计划提高该商品的售价增加利润，但不超过58元．市场调查反映：若该商品每件的售价在50元基础上每上涨1元，其每星期的销售量减少10件．设该商品每件的售价上涨 x 元(x为整数且)时，每星期的销售量为 y 件． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当该商品每件的售价定为多少元时，销售该商品每星期获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）若该商品每星期的销售利润不低于 3000 元，求商品售价上涨 x元的取值范围． 【答案】（1） （2）当该商品每件的售价为57或58元时，每星期获得的利润最大，最大利润为3060元 （3）且x为整数 【解析】 【分析】此题考查二次函数的销售利润问题，解题关键是明确利润公式，求利润最大值相当于数形结合，直接转化成求函数最大值． （1）直接根据利润（售价进价）数量列解析式即可； （2）将利润最大值转化成二次函数的函数最大值直接求解即可； （3）令，求出x的值即可得出答案． 【小问1详解】 解∶由题意可得，， y与x之间的函数解析式是； 【小问2详解】 解∶设当该商品每件的售价上涨 x元时，销售该商品每星期获得的利润为w元． 由题意可得∶ ，且x为整数 当或8时，w取得最大值3060，此时或58． 答∶当该商品每件的售价为57或58元时，每星期获得的利润最大，最大利润为3060元． 【小问3详解】 解∶由题意得： 解得， 当或10时，此时或60, 售价不超过58元, 且x为整数． 25. 已知抛物线 （，为常数，）与x轴相交于， B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C． （1）若点C的坐标为，求该抛物线的顶点坐标； （2）当时， 求b的值； （3）若点为x轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，M为y轴正半轴上的一点，过点M 作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，连接，当的最小值为17时，求b的值． 【答案】（1）抛物线的顶点坐标为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象的平移、平行四边形的性质等，确定的最小值是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）表示出点，令，则或，即点，即可求解； （3）通过作辅助线证明四边形为平行四边形，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，则：， ∴抛物线的表达式为：， 把代入，得：，解得：， 则抛物线的表达式为：； 抛物线的对称轴为：， 当时，； 则抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线的表达式为：，则点， 令，则或，即点， ∵， 则， 解得：； 【小问3详解】 解：由（2）知，点，点，抛物线的表达式为：， 则抛物线的对称轴为：， 当时，，即点， 作点关于抛物线对称轴的对称点，将点向右平移的长度， 则点， 连接，则四边形为平行四边形， 则， 连接交抛物线对称轴于点、连接， 则， 当、、共线时（此时在处），上式等式成立，即的最小值为：， 即， 解得：（舍去）或， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025九年级数学——月考试卷 一、单选题 1. 抛物线的对称轴、顶点坐标分别是（ ） A. 直线， B. 直线， C. 直线， D. 直线， 2. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 3. 若、是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 4. 如图，在长为 54 米、宽为 38 米的矩形草地上修同样的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为 1800 平方米，设道路的宽为 x 米，则可列方程为 （ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程x2﹣4x﹣5=0时，原方程应变形为（ ） A. （x+1）2=6 B. （x+2）2=9 C. （x﹣1）2=6 D. （x﹣2）2=9 6. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某新能源汽车4s店的汽车销量自2018年起逐月增加．据统计，该店第一季度的汽车销量就达244辆，其中1月份销售汽车64辆．若该店1月份到3月份新能源汽车销售量的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A. 64（1+x）2＝244 B. 64（1+2x）＝244 C. 64+64（1+x）+64（1+x）2＝244 D. 64+64（1+x）+64（1+2x）＝244 7. 若关于x的一元二次方程的解是，则关于y的一元二次方程的解是（　　） A. B. C. D. 8. 已知(﹣3，)，(﹣2，)，(1，)是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 9. 函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，设雕像下部高，则下列结论不正确的是（） A. 雕像的上部高度与下部高度的关系为： B. 依题意可以列方程 C. 依题意可以列方程 D. 雕塑下部高度为 11. 如图，等边的边长为，点P从点A出发，以的速度沿向点C运动，到达点C停止；同时点Q从点A出发，以的速度沿向点C运动，到达点C停止，设的面积为，运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 12. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位，m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系为，其中．有下列结论： ①当时，小球运动到最大高度； ②当小球的运动高度为时，运动时间为或； ③小球运动中的最大高度为； ④小球从抛出到落地需要； 其中正确的结论有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 13. 关于的方程的一个根是，则的值是________． 14. 方程的二次项系数是______，一次项系数是_______，常数项是_______ 15. 若方程是关于x的一元二次方程，则________． 16. 把抛物线向上平移9个单位，那么所得抛物线与x轴的两个交点之间的距离是______________． 17. 飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，飞机着陆后滑行停下来，滑行的时间是________s． 18. 如图，在矩形中，，点是的中点，连接，以点为原点，建立平面直角坐标系，点是上一动点，取的中点为，连接，则的最小值是 ________． 三、解答题 19. 解方程： （1） （2） 20. 已知关于x的一元二次方程（m为实数，m≠1） （1）若方程一个根是2，求m的值及方程的另一个根？ （2）求证：此方程总有两个实数根． 21. 如图，观察图中的二次函数图象可得： （1）求该抛物线的解析式． （2）当x______时，y随x的增大而减小． （3）当x______时，y达到最______（填“大”或“小”）值是______． 22. 为更好地开展劳动教育课程，我校计划用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开（如图所示）．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏宽忽略不计）． （1）若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长； （2）生态园的面积能否达到153平方米？请说明理由． 23. 已知二次函数自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 0 m … （1）二次函数图象的开口方向 ，顶点坐标是 ，m的值为 ； （2）点、在函数图象上， （填、、）； （3）当时，x的取值范围是 ； （4）关于x的一元二次方程的解为 ； （5）求二次函数解析式． 24. 某商品进货价为每件40元，将该商品每件的售价定为50元时，每星期可销售250件．现在计划提高该商品的售价增加利润，但不超过58元．市场调查反映：若该商品每件的售价在50元基础上每上涨1元，其每星期的销售量减少10件．设该商品每件的售价上涨 x 元(x为整数且)时，每星期的销售量为 y 件． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当该商品每件的售价定为多少元时，销售该商品每星期获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）若该商品每星期的销售利润不低于 3000 元，求商品售价上涨 x元的取值范围． 25. 已知抛物线 （，为常数，）与x轴相交于， B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C． （1）若点C的坐标为，求该抛物线的顶点坐标； （2）当时， 求b的值； （3）若点为x轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，M为y轴正半轴上的一点，过点M 作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，连接，当的最小值为17时，求b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $