18.1.2分式的基本性质（第2课时 约分与通分）（教学课件）数学人教版2024八年级上册

该初中数学课件聚焦分式的约分（含最简分式）与通分（含最简公分母），通过分数约分通分实例类比导入，先复习分式基本性质并结合练习题巩固，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是以类比思想引导探究，通过议一议、做一做让学生自主抽象法则，培养抽象能力。典例分析结合因式分解强化运算能力，课堂小结梳理步骤助数学语言表达，提升学生逻辑思维，也为教师提供完整教学流程与丰富例题。

第十八章分式 人教版2024·八年级上册 18.1.2 分式的基本性质 第2课时 分式的约分和通分 学 习 目 标 1 2 3 能利用分式的基本性质进行约分,了解最简分式的概念,能将分式化为最简分式 ． 由分数通分到分式的通分,激发学生学习数学的兴趣,感受数学知识间的内在联系,学会运用类比转化的思想方法研究数学问题 ． 理解最简公分母的含义,能灵活利用分式的基本性质进行通分,强化运算能力 ． 知识回顾 1、判断下列变形是否正确. ( ) (c≠0) ( ) ( ) （1） （2） （3） （4） ( ) √ × b≠0 × 不符合分式基本性质 × 2不是分子分母的公因式 分式分子字母也可以同乘以或同除以同一个不为0的数或式子，分式值不变 分式基本性质 知识回顾 练一练 2、下列计算错误的是（　　） 　　A． = 　 B． 　　 C． = －1　　 D． = A 解： A.分子分母通乘以𝟏𝟎 : = ∴A选项错误 B． ∴B选项正确 C．= －1 ∴C选项正确 D． = ∴D选项正确 4 导入新课 约分: ＝ ， ＝ ． 1.什么是分数的约分？关键是什么? 2.什么是分数通分?关键是什么? 3.约分与通分的依据是什么？ 把一个分数的分子与分母的公因数约去,叫作分数的约分 将分数 和 通分: ＝ , ＝ . 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫作分数的通分 依据是分数的基本性质, 约分是分子分母同除以同一个不为0的数， 通分是分子分母同乘以同一个不为0的数 关键是找公因数 关键是找公分母 类比分数，分式也可以进行约分和通分 新知探究 探究点1 约分及最简分式 议一议 （1）请将分数 约分 ． （2）由分数的约分,结合上一节课时的例 ２ (1) 你能想出如何对分式进行约分吗? 最大公因数12 2 3 第一步：确定分子分母的最大公因数12 第二步：分子分母的同时除以最大公因数12 (1) 公因式 根据分式基本性质，没有改变分式的值将分子分母公因式约去 新知探究 探究点1 约分及最简分式 归一归 根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫作分式的约分 ． 分式的约分 最简分式 分子与分母没有公因式的分式,叫作最简分式 ． 约分的依据是： 分式的基本性质 约分的基本方法是： 先把分式的分子、分母分解因式,约去公因式. 典例分析 探究点1 约分及最简分式 例1. 约分： （1）；　　　（2）；　（3）. 解：（1）＝－＝－； （2）＝＝； （3）＝＝2（x－y）. 约分的结果分子分母不能再有公因式了，是最简分式 约分的结果是： 整式或最简分式 探究点1 约分及最简分式 新知探究 议一议 （1）结合上面的例题，你认为约分有哪些基本步骤？ 约分具体办法： （1）当分子和分母都是单项式时，先约去系数的最大公因数，再约去相同字母的最低次幂； （2）当分子、分母有多项式时，先对分子、分母进行因式分解，把分子分母转化为几个因式的积后，然后约去分子、分母所有的公因式 对于分数而言，彻底约分后的分数叫什么？ 小颖： 小明： 你对他们俩的解法有何看法？说说看！ 彻底约分后的分式叫最简分式. 一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式. 新知探究 探究点1 约分及最简分式 议一议 在化简分式 时，小颖和小明的做法出现了分歧： 一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或整式. 新知探究 探究点2 最简公分母 议一议 （1）我们在做通分练习时，是如何确定和的公分母的？ （2）你能确定分数，的公分母吗？ 取9和12的最小公倍数是：3×3×4=36，36为公分母 公分母是：23×33×52 各分数分母因数分解后取所有的因数的积为最小公倍数 （3）若把上式中分数分母中的3，5用x，y来代替，则分式，的公分母如何确定呢？ 公分母为: 23x3y2 即：两式中所有因式的最高次幂的积 分母 系数 相同字母及指数 单独字母 公分母 利用分式基本性质把下列分式化为分母相同的分式 2 3 a²b ab a²b 6 c ∴== ∴= = 公分母： 6a²bc 分式通分 新知探究 探究点2 最简公分母 做一做 ∵6a²bc÷ =3ac c ∵6a²bc÷ =2b 分母相同 新知探究 探究点2 最简公分母 议一议 公分母唯一吗？有没有最简公分母？ = = = = 分母相同 分母相同 ∴= ∴= 分母相同 公分母： 6a²bc最简单 新知探究 探究点2 最简公分母 归一归 最简公分母应如何确定？ 由各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫作最简公分母. 最简公分母构成 系数：分式分母系数的最小公倍数 因式：凡各分母中出现的不同因式都要取到 因式的指数：相同因式取指数最高的 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分. 分式的通分 典例分析 探究点2 最简公分母 例2.（1）分式与的最简公分母是　　 ； （2）与的最简公分母为　 　 ； （3）分式，，的最简公分母为　 　. a2b2 x2－y2 abc 解： （1） 与中系数最小公倍数是1，字母a最高指数为2，字母b最高指数为2，所以最简公因式为 （2） ∵ ∴ 与最简公因式为 （3）、 与中系数最小公倍数是1，字母、 最高指数为1，所以最简公因式为 典例分析 探究点3 分式的通分 例3.通分 (１ ) 与; ( ２ ) 与． 分析 要先确定最简公分母，再根据最简公分母，分式分子分母同乘以一个适当的式子 （1） 与 ６ 最简公分母： ６ c 解: (１ )最简公分母是 ＝ ＝ ＝ ＝ 典例分析 探究点3 分式的通分 例3.通分 (１ ) 与; ( ２ ) 与． 分析 要先确定最简公分母，再根据最简公分母，分式分子分母同乘以一个适当的式子 （2） 与 2 最简公分母： ２(x －5)(x＋5) 解:(２ )最简公分母是 ２(x －5)(x＋5)． ＝ ＝ , ＝ ＝ ． 与 分母因式分解 新知探究 探究点3 分式的通分 议一议   约分 通分 分数 设法约去分子和分母中的最大公因数或公因式 找最小公倍数作为公分母进行通分 分式 找最简公分母作为公分母进行通分 依据 分数或分式的基本性质 答:更容易直观看出各分母之间的共同元素,便于找出最简公分母,从而实现通分 ． （2）分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点? 这些做法的根据是什么? （1）如果分式的分母是多项式,分解因式对于通分有什么作用? 典例分析 例4.通分： （1），； （2），； （3），； （4），. 解：（1）最简公分母是abc， ＝，＝. （2）最简公分母是10a2b2c， ＝，＝. （3）最简公分母是4x－2， ＝，＝. （4）最简公分母是2(x＋3) (x－3) ， ＝，＝. 例5. 当 x = – 2 时，求分式 的值 ∴ = = 当 x = – 2 时，原式 = = 典例分析 解：∵ = 有意义 ∴ 即 先约分化简再代值计算 拓展提升 1.已知 ＝３ ,求 的 值 ． 解:由题意得：即 ∴＝＝． ∵＝３ ,得 x ＝３ y , ∴＝＝＝＝3． 方法一 拓展提升 1.已知 ＝３ ,求 的 值 ． 解: 由题意得 ≠0， ＝ ∵＝３ ∴＝ 原式＝ 方法二 拓展提升 2.若分式 的值为0，分式 无意义，求的值 解：（1）由题意， ∵ ∴ ∴ ∵分式 无意义 ∴ ∴ ∴ ∴ 3. 已知 = ≠ 0，求 的值. 解：设 = =(≠0) ， 则 x = 2k，y = 3k， z= 4k . = = = 拓展提升 新知巩固 1. 约分： ⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ 解： ⑴原式= ; 教材P144练习 新知巩固 2. 通分： ⑴ 与 ; ⑵ 与 ; ⑶ 与 ; ⑷ 与 . 解：(1) 最简公分母是 abc . = = , = = ; (2) 最简公分母是 4b2d . = = , = = ; 教材P144练习 新知巩固 2. 通分： ⑴ 与 ; ⑵ 与 ; ⑶ 与 ; ⑷ 与 . (3) 最简公分母是 ab(x + 2) . = = , = = (4) 最简公分母是 (x + y)2(x – y) . 教材P144练习 真题感知 1．（25-26八年级上·湖南·阶段练习） 已知，则分式的值为 ． 解：， ，， ． ． 课堂小结 3﹑化简分式 通常要使结果成为最简分式或者整式。 1﹑分式的基本性质。 2﹑约分与最简分式 与分数的基本性质类似，但同乘以（除以）的整式值不能为0 利用分式基本性质进行约分，最简分式指分式分子分母不含公因式 把各分式化成相同分母的分式叫做分式的通分. 一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母。 4、通分 5、最简公分母 课堂小结 确定最简公分母的一般步骤 （1）找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最小公倍数。 （2）找字母：凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子都要选取。 （3）找指数：取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子中指数最大的。 （4）当分母是多项时，应先将各分母分解因式，再确定最简公分母 （5）分母的系数若是负数时，应利用符号法则，把负号提取到分式前面； 课后练习 6. 约分： ⑴ ; ⑵ ; ⑶ ; ⑷ . 解：(1)原式= = (2)原式= = = (3)原式==𝟑𝒂+𝒃 (4)原式= = 习题18.1 教材P145 课后练习 7. 通分： ⑴ 与 ； ⑵与 ； ⑶与 ； ⑷与 ； 解：(1)最简公分母为 6y2， == = = (2)最简公分母为 3a2b2， , = = . 习题18.1 教材P145 课后练习 7. 通分： ⑴ 与 ； ⑵与 ； ⑶与 ； ⑷与 ； 习题18.1 教材P145 (3)最简公分母为 2(x + y)2， = = , ==； (4)最简公分母为 (2m + 3)(2m – 3)， = , == 课后练习 8. 小李要打一份 12000 字的文件，第一天她打字 2 h，平均打字速度为 w 字/min，第二天她平均打字速度比第一天快了 10 字/min，两天打完全部文件，第二天她打字用了多长时间？ 解：由题意得，小李第一天打的字数为 w·2×60 = 120w， 所剩字数为 12000 – 120w， 小李第二天打字速度为(w + 10)字/min. 所以第二天她打字用了 = (h). 答:第二天她打字用了 h 习题18.1 教材P145 课后练习 9.某村种植了m 玉米,总产量为 n kg;水稻的种植面积比玉米的种植面积多 p ,水稻的总产量比玉米总产量的 ２ 倍多 q kg．写出表示玉米和水稻的单位面积产量(单位:kg/ )的式子 ． 解:玉米的单位面积产量为 kg/ , 水稻的单位面积产量为kg/ ． 习题18.1 教材P145 课后练习 10.有四块小场地：第一块是边长为 a m 的正方形，第二块是边长为 b m 的正方形，其余两块都是长为 a m、宽为 b m 的长方形. 另有一块大长方形场地，它的面积等于上面四块场地面积的和，它的长为 2(a + b) m，用最简单的式子表示出大长方形的宽. 解：由题意得，第一块场地的面积为 a2 m2； 第二块场地的面积为 b2 m2； 第三、四块场地的面积均为 ab m2. ∴大长方形场地的面积为 a2 + b2 + ab + ab = a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 (m2) 又大长方形的长为 2(a + b) m， 所以大长方形的宽为 (m) 习题18.1 教材P145 课后练习 11. 在什么条件下,下列分式的值为 0 ? (1); 　　　 (2) 习题18.1 教材P145 解: (1)由分式的值为 0,得 =0, ≠0． ∵ = ()( ) = 0 , ∴ =±2． ∵= ≠0 , ∴ ≠－2． ∴当 =2 时, 的值为 0． (2)由分式的值为 0 ,得 =0, ≠0 , ∴ ,且 ． 当 － 时,化简得 6 , ∴＝０ , ∴当 ＝ ,且 ≠0 时, 的值为 0． 感谢聆听! $