山东省烟台市2025-2026学年高三上学期期中学业水平诊断数学试题

2025~2026学年度第一学期期中学业水平诊断 高三数学 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟。 2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。 3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知集合A={x||x-2|≤2} ，则A∩B= A.[-3,0) B.[-3,3] C.[0,3) D.[0,3] 2．命题“∀x>1, ”的否定为 A.∀x>1, B.∃x>1, C.∀x≤1, D.∃x≤1, 3．若a>0,b>0，且a+b=1，则 A. B. C. D. 4．已知等差数列的前n项和为，若, ，则 A. B. C.2 D.3 5．在等腰直角三角形ABC中， AB⊥BC,AB=2，D为边AC上一动点，则 A．为定值4 B．为定值8 C．最大值为4 D．最大值为8 6．若实数a,b,c满足，则a,b,c的大小关系不可能是 A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a 7．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x)，且当0<x<1时，则 A.-3 B. C. D.3 8．已知锐角α,β满足，且，则β= A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数，则下列结论正确的有 A.f(x)在(1,+∞)上单调递增 B.f(x)的图象关于直线x=1对称 C.若f(x)有两个零点，则m<2 D.若f(x)的值域为R，则m>1 10．若等比数列的公比为2，且令，且数列的前n项积为则 A. B. C. D. 11．若函数有3个零点，则下列结论正确的有 A.为定值 B. C.存在a，使得f(x)的图象关于点对称 D.若对任意的x∈(2,+∞), f(x)+3≥0，则3<a≤4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若向量a,b的夹角为，且满足|a|=2, a-5b与2a+3b垂直，则|b|= 13．已知ΔABC三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=1,b=2，若求c时有两解，则A的取值范围为 14．已知函数y=f(x)的定义域为R， f(1)=f(2)=1，且对任意的x∈R，不等式f(x+2)-f(x)-x≥0和f(x+4)-f(x-2)-3x≤0均成立，则f(5)的值为 ;满足f(x)≥100的x的最小正整数为＿.（本题第一空2分，第二空3分） 高三数学试题（第2页，共4页） 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分）已知图象关于点0)对称. （1）求ω的值； （2）将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在[0,上的值域. 16.(15分）某企业生产某种电子产品的年固定成本为200万元，且每生产一万件该电子产品需另投入生产成本54万元，设该企业每年生产该电子产品x万件并全部销售完，年 销售收入（单位：万元）.已知当x=5时，该企业生 产该电子产品年利润为890万元．（年利润＝年销售收入一年固定成本-年生产成本） （1）求该企业生产该电子产品所获年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式； （2）求该企业生产该电子产品所获年利润最大时的年产量． 17.(15分）已知ΔABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且a-b=2bcosC. （1）证明： C=2B: （2）若b+c=2a，求 高三数学试题（第3页，共4页） 学科网（北京）股份有限公司 18.(17分）已知数列的前n项和为S且y>n，数列也满足且 （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前2n项和 19.(17分）已知m∈R. （1）若曲线f(x)在(1,yf(1))处的切线与直线x+2y-1=0垂直，求m的值； （2）讨论f(x)的单调性； （3)．若m=0，当In(a-lnb=2(a-b)时， a+b-t≥0,，求实数t的取值范围. 高三数学试题：（第4页，共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025~2026学年度第一学期期中学业水平诊断 高三数学参考答案 一、选择题： 1.C2.B3.D4.C5.A6.D7.B8.B 二、选择题 9.BC 10.ABD 11.AD 三、填空题 12.1 13.(0, 14.5,21 6 四、解答题 15.解：(1)由题知，f)=sin(ox+)+2cos(or+, 6 所以f=V3 1 sinco(cos- -sin ox), 2 即W-osmr- 3 -sin ox, 2 所以f(x)=V3cos(rx+ 6 2分 因为/)图象关于点（胥0对练。 所以0+ 3 兀=T+km,k∈Z, 4分 62 所以0=1+3k, 5分 又因为0<0<2，所以o=1. 6分 (2)由1)知，fd)=V5cos(c+ 6 将函数f()图象上各点横坐标缩短为原来的}倍（纵坐标不变）， 得到y=√3cos(2x+乃)， 8分 6 再将得到的图象向左平移汇个单位， 12 故得到函数g)=V5cos2x+孕】 …10分 当re0受时，2x+e5经， 放当2x+号e写，即xe0孕时，函数g单词逵读，当2x+e 3 4],即 x肾受引时，函数g)单润道有 …11分 所以ge-B,马 …13分 高三数学试题答案（第1页，共7页） 16.解(1)当0<x≤8时，W=R(x)-(200+54x)=297x-ax3-200-54x, 整理得W=243x-ax3-200: …2分 因为x=5时，年利润为890万元，所以243×5-125a-200=890, …3分 所以a=1, 4分 所以W=243x-x3-200, …5分 当x>8时，m=R(x)-(200+54)=2539-5400-200-54r =2339- 5400 -54x 6分 243x-x3-200,0<x≤8 综上：W= 5400 -54x,x>8 7分 2339- (2)当0<x≤8时，W=243x-x3-200,W'=243-3x2. 所以当0<x<8时，W'>0恒成立， 所以W在(0,8)上单调递增， …9分 所以当x=8时，Wnx=1232. -10分 当x>8时，W=2339-5400 54x 因为5400 5400 5400 +54x≥2， ×54x=1080,当且仅当 =54x, 即x=10时取“=” -12分 所以当x=10时，Wx=1259. 3分 因为1232<1259， 所以当年产量为10万件时，该企业生产该电子产品所获年利润最大. -15分 17.解：(1)证明：因为a-b=2 bcos C, 由正弦定理得：sinA-sinB=2 sin BcosC, 1分 因为A+B+C=元，所以sin(π-B-C)-sinB=2 sin BcosC, …2分 sin(B+C)-sin B=sin Bcos C+cos Bsin C-sin B=2sin BcosC, 所以cos Bsin C-sin Bcos C=sinB, 3分 即sin(C-B)=sinB, 4分 因为B,C∈(0，)，所以C-B∈(-元，π)， 所以C-B=B或C-B+B=π（舍）， …6分 综上，C=2B. 7分 b (2)法一：由正弦定理得， sin B sinC' 即、b sin B sin 2B 高三数学试题答案（第2页，共7页） 所以cosB=C …8分 2b 在△ABC中，由余弦定理得： cos B= a2+c2-b2_a2+(c-b)(c+b)_a2+2a(c-b) ..c.c.. …9分 2ac 2ac 2ac 1 整理得： cosB=4+2(c-b) c+b)+2(c-b) 2 53b_c, …11分 2c 2c 44c2b 解得9-3或=1， …13分 b2b 因为C=2B,所以c>b,所以S=3 …14分 b2 综上，cosB= -15分 2b4 法二：因为b+c=2a,由正弦定理得，sinB+sinC=2sinA, …8分 由(1)知，C=2B, 所以sinB+sin2B=2sin(B+2B), 9分 sin B+sin 2B=2sin Bcos 2B+2cos Bsin 2B, sin B+2sin Bcos B=2sin B(2cos2 B-1)+4cos2 Bsin B, …11分 因为sinB≠0，所以1+2cosB=2(2cos2B-1)+4cos2B, 即8cos2B-2cosB-3=0, -13分 1 解得cosB或cosB二N 14分 因为C>B,所以osB= 15分 18.解：(1)在数列{an}中，由Sn=n2+n知， 当n≥2时，Sn1=(n-1)2+n-1, -分 所以Sn-Sn1=2n,即an=2n,且当n=1时，S=a1=2, …2分 所以an=2n. 3分 由b.b1=2”得，bnbn2=21, 所以是2，故数列物的奇数项成以6=1,2为公比的等比数列，偶数项成以6,2 2为公比的等比数列， 4分 n-1 -1 所以当n为奇数时，b,=122=22, 5分 当n为偶数时，b,=2.221=22。 …6分 高三数学试题答案（第3页，共7页） n-1 22,n为奇数 所以bn 7分 22,n为偶数 n-1 2n22,n为奇数 (2)由(1)知，Cn= 6-四-2 ,n为偶数 2(n-1)·2(n+1) n,22,n为奇数 即Cn= 3-0-222 8分 ,n为偶数 (n-1)(n+1) 令An=C1+C3++C2m-3+C2m-’ 则An=12+322+…+(2n-3)2+(2n-1)2”,① 所以2An=122+6·23++(2n-3)2”+(2n-1)2m1,② …9分 所以①-②得， -A=2+2·(22+22+…+2")-(2n-1)2m =2+2.20-2）-2m-0-2 1-2 =-6-(2n-3)2"1, …11分 所以A,=6+(2n-3)2+1 12分 又因为3-刚22 n+2 1,2222 -14分 (n-1)(n+1)4n-1n+1 B=c2+C+..+c2n-2+c2n, 风号学苦等 212”， 2” 2n41 十· 2n-32n-12n-12n+ 120 …16分 22n+1 所以7.=A,+B,=6+(2n-3列-21+}2-13 2-1 22n+12 (2n-3)-2*1- 2n+1 所以1 1316n2-16n-13)2- 2 …17分 2n+1 高三数学试题答案（第4页，共7页） 19.解：f)的定义域为(0，+o）,f)）=mx+2-1=mr+2x-1。 l分 ①医为线f)-空r+2x-hx在，f0)处的切发与直线x+2y-1=0套直， 所以f'()=m+2-1=2,所以m=1. …3分 (2)令g(x)=mx2+2x-1, 当m>0时，g(x)=x2+2x-1的图象是开口向上的抛物线，且△=4+4m>0, 设m+2-1=0的两很分别为天=1+m,无=++m,则5<6 m m 因为g(x)=mx2+2x-1的图象过点(0，-1)，所以x<0<x2, 所以当0<x<++m时，<0，当x>1++m时，∫>0， m m 所以田的单调递减区间为0,1++m),单调递增区间为1+1+ ,+00). m m …5分 当m=0时，f09=2-1,所以当0<x<时，f<0,当x>时，f>0, 所以()的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为（亏+0）， …6分 当m<0时，g(x)=mx2+2x-1的图象是开口向下的抛物线，且△=4+4m, 若-1<m<0,△=4+4m>0, 设mx+2x-1=0的两根分别为5=1-+mx,=-1+V+m ,x2= 则x>’ m 因为g(x)=mx2+2x-1的图象过点(0，-1)，所以0<x2<x, 所以当0<x<-1++m或x>1-+m时，<0， m m 当1+i+m<x<1-1+m时，f)>0, m m 所以f9的单调递减区间为0,1+V1+m), 1-+m +o),单调递增区间为 m m 高三数学试题答案（第5页，共7页） 1+1+m-1-1+m 8分 m m 若m≤-1，△=4+4m≤0，f'(x)≤0恒成立， f(x)的单调递减区间为(0，+o), 9分 综上，当m>0时，f)的单调递减区间为0,1++m ,单调递增区间为 m (1++m +0), m 当m=0时，f)的单调适减区间为(0，，单调递增区间为(，+0)， 当-1<m<0时，的单调递减区间为0，-1++m),1-+ ,+o0),单 m 调递增区间为(1+1+m,=+严)， m m 当m≤-1时，f(x)的单调递减区间为(0，+oo). …10分 (3)m=0时，f(x)=2x-lnx, 因为0<a≤2≤b且na-lnb=2(a-b), 所以2a-lna=2b-lnb，即f(a)=f(b). …11分 由(2)知，f)的单调递减区间为0，)，单调递增区间为(+o), 所以当a=b=二时，a+b=1. …12分 当a≠b时，则0<a< <<b,下面i证明a+b>1,即b>1-a,-13分 2 因为0ca<分6所1-ae5+o6e兮o) 所以只需证f(b)>f(1-a),又因为f(a)=f(b), 所以只需证f(a)>f1-a),0<a<。 -14分 2 1 令F(x)=f(x)-f1-x),x∈(0，)， 所以F'()=f)-f1-)=2-1+2-,1 4、、1 1-x -x 因为x∈0，}，所以(x-x)∈0，)，即G-x2)>4 4 高三数学试题答案（第6页，共7页） 所以F()<0,所以F()在(0，宁上单调递减，且F(分）=0，…15分 所以F(x)>0,即F(a)>0,即f(a)>f(1-a),即a+b>1. …16分 综上，a+b≥1，因为a+b-t≥0，所以t≤1.…17分 高三数学试题答案（第7页，共7页）