25.2 用列举法求概率 教学设计（2课时）2025-2026学年人教版九年级上册数学

该初中数学教学设计聚焦“用列举法求概率”核心内容，涵盖直接列举法、列表法及树状图法。通过复习掷硬币、骰子概率导入第一课时，以蚂蚁觅食情境引入第二课时，搭建从旧知到新知的学习支架，逐步深化概率计算方法。 以核心素养为导向，通过试验探究（如掷硬币）培养数据意识（数学眼光），分步引导列表与树状图绘制发展推理能力（数学思维），结合摸球、游戏等生活情境强化应用意识（数学语言）。讲练结合与小组合作提升学生解题能力，清晰流程助力教师高效教学。

课时教学设计 第十六周 第1课时 新课题目 25.2 用列举法求概率 教学目标 （核心素养） 1. 会用数学的眼光观察世界：通过掷硬币活动，经历猜测、试验、收集试验数据、分析试验结果等过程，发展数据意识，进一步体会等可能结果. 2. 会用数学的思维思考问题：理解随机事件的概念，能用标记或分步的思想帮助思考，初步培养学生以科学数据为依据分析问题、解决问题的良好习惯. 3.会用数学的语言表达思想：通过创设游戏情景，使学生主动参与，做数学实验，增强学生的数学应用意识. 重点 知道如何利用“列表法”求随机事件的概率. 难点 会正确“列表”表示出所有可能出现的结果. 教具 课件 教学方法 引导法，讲练法，小组合作法 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、复习导入 问题1 填空，并说明理由. (1) 掷一枚硬币，“正面朝上”的概率是________； (2) 掷一个骰子，观察向上一面的点数，“点数大于4”的概率为_____. 师生活动：学生积极发言，预测学生能正确回答，教师再引出后面的探究. 二、探究新知 知识点1： 用直接列举法求概率 例1 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率： (1) 两枚硬币全部正面向上； (2) 两枚硬币全部反面向上； (3) 一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上. 师生活动：教师提问：上述三个事件是否代表了抛掷两枚硬币的所有可能的结果？ 学生可能会有疑惑，教师可以让学生列举所有可能，预测学生可能会列出两种情况，预测如下： 想一想：选择①还是②，为什么呢？ 师生活动：教师可以让列出这两种方式的同学分别叙述理由，教师对答案的合理性给予肯定，不对之处加以指正，最终得出结果： 答：选择①. 使用列举法的关键，是列举出试验中各种可能的结果，并且确保每种结果出现的可能性大小相等. 故上述事件的概率分别为 ，，. 归纳总结 上述这种列举法我们称为直接列举法，即把事件可能出现的结果一一列出. 注意： 直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素或分两步进行的试验，且事件总结果的种数比较少的等可能性事件. 练一练 1. 如果从长度分别为 2、4、6、7 的四条线段中随机抽取三条线段，求抽取的三条线段能构成三角形的概率. 师生活动：学生独立思考，学生代表回答，教师引导学生叙述思路，整理板书： 解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段，长度可能是2，4，6；2，4，7；2，6，7；4，6，7，共有4种等可能的结果， 其中三条线段能构成三角形的有2种结果， 所以抽取的三条线段能构成三角形的概率为 =. 想一想 问题2 对于抛掷两枚硬币的问题，如何才能不重复不漏地列举出来试验中所有可能的结果，并且保证各种结果出现可能性大小相等？ 师生活动：学生积极发言，教师适时评价与引导，为便于学生记忆，教师可举例如：将两枚硬币分别记为A、B，则所有可能的结果为 (A正、B正)，(A正、B反)，(A反、B正)，(A反、B反). 思考：“同时抛掷两枚质地均匀的硬币”与“先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？ 师生活动：学生独立思考，学生代表回答，教师引导学生叙述思路，整理板书： 答：一样. 抛掷两枚硬币，可想象先掷一枚，再掷一枚. 总结：“掷两枚硬币”的结果涉及两个因素(第一枚硬币与第二枚硬币)，可以采用“分步”的策略对两个因素逐一进行分析. 知识点2：用列表法求概率 合作探究 针对例1，能否设计出一种方式，将“分步”分析的所有结果更清晰地列出来呢？ 师生活动：学生独立思考然后积极发言，教师适时评价与引导，然后整理板书： 还可以用列表法求概率. 怎样列表格？ 师生活动：教师引导学生分析列表法中表格构造特点： 教师补充说明：如果第一个因素包含2种情况，第二个因素包含3种情况那么所有情况数n = 2×3 = 6. 例题精析 例2 同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： (1) 两枚骰子的点数相同； (2) 两枚骰子的点数的和是9； (3) 至少有一枚骰子的点数为2. 师生活动：学生独立思考，教师引导学生分析. 分析：首先要弄清楚一共有多少种可能结果. 第1 枚骰子可能掷出1，2，…，6中的任一种情况，第2枚骰子也可能掷出1，2，…，6中的任一种情况. 用“列表法”表示出所有可能的结果如下： 学生独立解答，学生代表发言，教师适时评价，并整理板书. 学生独立解答（2）（3），学生代表板书，教师与其余同学评价并完善板书. 归纳总结 当一次试验要涉及两个因素(例如掷两枚骰子)并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法. 想一想 如果把例2中的“同时掷两枚质地均匀的骰子”改为“把一枚质地均匀的骰子掷两次”，得到的结果有变化吗？ 师生活动：学生独立思考，学生代表发言，教师适时评价与引导，并整理板书. 答：“同时掷两个骰子”改为“把一个骰子掷两次”可以取同样的试验所有可能的结果，因此作此改动对所得结果没有影响. 总结：当试验涉及两个因素时，可以“分步”对问题进行分析. 链接中考 1. (江苏淮安) 一只不透明的袋子中装有 3 个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字 1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字. (1) 第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是______； 师生活动：学生独立思考，学生代表发言，教师适时评价与引导，并整理板书. (2) 用列表方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率. 师生活动：学生独立解答，学生代表板书，教师与其余同学评价并完善板书. 三、当堂练习 1. 小明与小红玩一次“石头、剪刀、布”游戏，则小明赢的概率是 ( ) 2. 某次考试中，每道单项选择题一般有 4 个选项，某同学有两道题不会做，于是他以“抓阄”的方式选定其中一个答案，则该同学的这两道题全对的概率是 ( ) 3. 如图，有两个转盘，指针落在每一个数的可能性大小一样(指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形)，求两个指针同时落在奇数的概率. 设计意图：通过复习上节课的知识引入，加强对概率计算公式的掌握，让学生快速进入课堂学习状态. 设计意图：让学生再次经历“猜测一试验和收集试验数据一分析试验结果一验证猜测”的过程.学生可能会根据日常生活经验猜测掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和正面朝下的可能性是相同的. 设计意图：引导学生自主观察发现，提高学习自信；加深对等可能性试验的理解与掌握. 设计意图：通过列举事件可能出现的结果，进一步掌握直接列举法. 设计意图：引导学生归纳列举等可能结果的方法，帮助学生高效解题. 设计意图：突破可能出现的误区，先后分步不影响结果，再次验证标记A、B的策略可行. 设计意图：由分布过度至列表法，起到承上启下的作用. 设计意图：讲解表格构造特点，让学生学会用表格分析数据，探索解决问题的思路. 设计意图：教师通过引导学生分析与解题，系统讲解列表法，学生通过后面两问学习锻炼. 设计意图：让学生自主思考与总结，强化学生思维能力. 设计意图：通过真题让学生了解考察方式，巩固列表法，锻炼学生解题能力. 作业设计 练习册 板书设计 运用直接列举或列表法求概率 课后反思 教研组长意见及签字 课时教学设计 第十六周 第2课时 新课题目 25.2 用列举法求概率 教学目标 （核心素养） 1.会用数学的眼光观察世界：通过掷骰子活动，经历猜测、试验、收集试验数据、分析试验结果等过程，体会数据的随机性. 2.会用数学的思维思考问题：学习树状图的画法，培养学生以科学数据为依据分析问题、解决问题的良好习惯. 3. 会用数学的语言表达思想：通过创设游戏情景，使学生主动参与，做数学实验，增强学生的数学应用意识与模型意识. 重点 会运用树状图计算事件的概率. 难点 会正确用画树状图法求出所有可能出现的结果，并计算事件的概率. 教具 课件 教学方法 引导法，讲练法，小组合作法 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、新课导入 一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，它获得食物的概率是多少? 师生活动：学生积极发言，预测学生能回答，教师重点讲解如何建立数学模型. 二、探究新知 知识点1：用画树状图法求概率 类比上题的方法求解下列问题. 问题：同时抛掷两枚均匀的硬币，出现两者都正面向上的概率是多少？ 师生活动：学生独立思考，学生代表发言，教师引导学生叙述建立模型的过程并整理板书. 树状图的画法 如一个试验中涉及2个因素，第一个因素中有2种可能情况；第二个因素中有3种可能的情况. 则其树状图如下图： 师生活动：教师展示画树形图的步骤，然后讲解 树状图法：按事件发生的次序，列出其可能出现的结果. 典例精析 例1 甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C，D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，分别写有字母H和I. 从三个口袋中各随机取出1个小球． (1) 取出的3个小球上恰好有1个，2个，3个有元音字母的概率分别是多少？ (2) 取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？ 师生活动：学生独立思考，教师请学生代表叙述分析过程，展示树形图和结果，板书如下. 预测学生知道元音字母和辅音字母，若学生不清楚也可给予提示，教师示范恰好有1个有元音字母的概率的过程. 学生独立解答，然后分别请3为学生代表板书，教师与其余学生评价与完善板书. 归纳总结 师生活动：教师引导学生总结画树状图求概率的基本步骤. 想一想 问题1 试验能够用树状图列举结果的前提条件是什么？ 师生活动：学生尝试回答，教师对学生言之有理的地方给予肯定，必要时可给予提示，然后然后让学生填空. (1) 每一次试验中，可能出现的结果只有有限个； (2) 每一次试验中，各种结果出现的可能性相等. 问题2 用树状图列举结果的优点是什么？ 师生活动：学生积极发言，对于合理的教师都可给予肯定，教师最终整理如下： 1 列举的结果一目了然，不重不漏； 2 特别适合3个或3个以上步骤的试验. 1. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么两辆汽车经过这个十字路口时，第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率 . 师生活动：学生独立思考，学生代表发言，教师适时评价与引导，并整理板书. 知识点2：树状图法与列表法的灵活运用 类型一：放回型 例2 (沈阳期末) 一个盒子中装有两个红球，一个蓝球，这些球除颜色外都相同. 甲乙两人进行摸球游戏：甲先从盒中随机摸出一球，记下颜色后放回，摇匀后再由乙从盒中随机摸出一球. (1) 试用树状图 (或列表法) 表示两次摸球游戏所有可能的结果； (2) 如果规定：若能配成紫色 (红色和蓝色配成紫色) 为甲胜，否则为乙胜，这个游戏公平吗? 请说明理由. 师生活动：学生独立解答，教师请学生代表板书，教师与其余学生评价与完善板书. 三、当堂练习 1. 三女一男四人同行，从中任意选出两人，其性别不同的概率为( ) 2. a、b、c、d 四本不同的书放入一个书包，至少放一本，最多放两本，共有 种不同的放法. 3. 在一个不透明的袋子里，装有三个分别写有数字 7，6，-2 的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同. 先从袋子里随机取出一个小球，记下数字后放回袋子里，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字. 请你用列表或画树状图的方法求下列事件的概率. (1) 两次取出的小球上的数字相同； (2) 两次取出的小球上的数字之和大于10. 设计意图：选用含树枝的题目为开头，让学生能快速形成树状图的模型意识，为后面讲解做好铺垫. 设计意图：构建简单的掷硬币情境，让学生树枝图片，尝试构建数学模型，增强模型意识. 设计意图：系统讲解树状图的画法，增强学生的解题技巧. 设计意图：逐步提升难度，三个口袋即三个因素，培养学生分析能力，学会用树状图解题，并体会该数学模型的优势. 设计意图：再此强调等可能性，让这个概念深入学生记忆. 设计意图：体会树状图列举的优势，增添学习积极性，强化模型意识. 设计意图：通过真题巩固画树状图解题，培养学生用数学的思维分析实际生活问题. 设计意图：巩固与摸球相关的概率问题的计算方法并从中总结游戏公平的原则，体会本节课在实际生活中的作用. 设计意图：与例2形成对比，这是不放回类型题目，培养学生具体问题具体分析的思维品质，发展理性思维. 设计意图：检查学生对用树状图解题的掌握情况. 设计意图：考查学生对不放回类型题目的解答. 设计意图：考查学生对放回类型题目的解答. 作业设计 练习册 板书设计 画树状图法求概率 1、 画树状图 应用：放回；不放回 课后反思 教研组长意见及签字 学科网（北京）股份有限公司 $