精品解析：北京市北京理工大学附属中学2025-2026学年高二上学期期中练习数学试卷

2025—2026学年度第一学期高二年级数学学科期中练习 出题人 高二数学备课组，审题人 高二数学备课组，审核人 金永涛，考试时间90分钟 一､选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 下列直线中，倾斜角为45°的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线倾斜角得出直线斜率，再由直线方程求出直线斜率，即可求解. 【详解】由直线的倾斜角为45°，可知直线的斜率为， 对于A，直线斜率为， 对于B，直线无斜率， 对于C，直线斜率， 对于D，直线斜率， 故选：C 2. 已知向量，，若与共线，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量共线有，，结合向量的坐标即可求的值. 【详解】由题设，有，，则，可得. 故选：D 3. 如图，在长方体中，化简（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】解：如图： ， 故选：A. 4. 如图，已知正方体的棱长为1，设，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先计算，再根据正方体的性质，结合向量数量积的运算求解即可； 【详解】解：根据向量的加法法则得， 因为正方体的边长为1，为体对角线，所以， 所以在直角三角形中， 所以 故选：A 5. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，且，共面，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面位置关系分别判断各选项. 【详解】A选项：，，，则与位置无法确定，可能平行，可能相交，可能异面，A选项错误； B选项：若，，则或，B选项错误； C选项：若，，则或，C选项错误； D选项：若，，且，共面，则，D选项正确； 故选：D. 6. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行得出的值，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】若直线与直线平行，则有解得或，所以当时，直线与直线平行，当直线与直线平行时，或. 故选：A 7. 如图是某个正方体的侧面展开图，是侧面的两条对角线，则在正方体中，与（ ） A. 互相平行 B. 相交且夹角为 C. 异面且夹角为 D. 异面且互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】先将平面展开图还原成正方体，结合正方体的性质再判断求解. 【详解】将平面展开图还原成正方体如图所示， 则B，C两点重合，可知与相交，连接， 则，可知为正三角形，所以与的夹角为. 故选：B. 8. 当点到直线的距离最大时，的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由于直线过定点Q(2，1)，所以当PQ垂直该直线时，点到直线的距离最大，从而可列方程可求得答案 【详解】直线过定点Q(2，1)， 所以点到直线的距离最大时，PQ垂直该直线， 即， 故选：C． 9. 如图，，面，面，，与面成30°角，则间的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出辅助线，首先求出，进而可以求出，然后证得，进而可以得到，证出四边形为矩形，进而求出相关线段的长度，从而在中即可求出结果. 【详解】 过点作平面于，连接，过作于， 因为与面成30°角，所以，由于平面,所以，由于，则，又因为平面,所以，且，由于，所以平面,且平面,由于，所以，则，由于，所以，因此四边形为矩形，所以，，且，则，而，因此, 故选：C. 10. 长方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把问题转化成点到直线上的点的距离垂线段最短解决. 【详解】如图： 根据题意，截面是边长为的正方形，为的中点. 点在上，在线段上取点，使得. 根据正方形的对称性，则，所以， 表示点沿着折线到直线的距离. 取的中点，则，根据垂线段最短可得：. 所以的最小值为. 故选：A 二､填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 已知直线经过点，且与轴平行，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知直线的斜率为0，即可得直线方程. 【详解】因为直线经过点，且与轴平行，可知直线的斜率为0， 所以直线的方程为. 故答案为：. 12. 正方形边长为，以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积. 【详解】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱， 则所得几何体的侧面积为：， 故答案为：. 13. 与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直关系可得所求直线的斜率，进而可得斜截式方程. 【详解】由题意可知：直线的斜率为， 因为所求直线与直线垂直，则所求直线的斜率， 且在轴上的截距为4，所以所求直线的斜截式方程是. 故答案为：. 14. 已知两点，动点在线段上运动，则的取值范围是__________，的取值范围是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分析可知表示动点与定点之间连线的斜率，结合斜率公式分析求解即可；表示动点与定点之间距离的平方，结合相关距离公式运算求解. 【详解】由题意可知：直线的方程为，即， 因为表示动点与定点之间连线的斜率，即， 且，，可得或， 所以的取值范围是； 又因为表示动点与定点之间距离的平方，即， 可知点到直线的距离为， 且，，可得，即， 所以的取值范围是. 故答案为：；. 15. 如图，直三棱柱中，为棱的中点，Q为线段上的动点，给出下列四个结论： ①对任意点，都有 ②存在点，使 ③不存在点，使 ④存在点，使平面 其中所有错误结论的序号是__________. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】设，，建系标点，设，可得.利用空间向量判断线、面关系，结合空间向量的坐标运算逐项分析判断. 【详解】由题意可知：平面，， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，， 则， 可得， 设，则， 对于①：因为， 则，可得， 所以对任意点，都有，故①正确； 对于②：因为， 令，则，方程组无解， 即不共线，所以不存在点，使，故②错误； 对于③：因为， 令，解得， 当且仅当点与点重合时，， 所以存在点，使，故③错误； 对于④：因为， 设平面的法向量为，则， 设，则，可得， 令，解得（舍去）， 所以不存在点，使平面，故④错误； 故答案为：②③④. 三､解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 16. 在三角形中，边所在直线方程分别为和. （1）求点的坐标； （2）若所在直线方程为，求点到直线的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意联立直线方程即可求点的坐标； （2）根据题意结合点到直线的距离公式求点到直线的距离. 【小问1详解】 因为边所在直线方程分别为和， 联立方程，解得， 所以点的坐标为. 【小问2详解】 由（1）可知点的坐标为， 且所在直线方程为，即， 所以点到直线的距离. 17. 已知向量，， . （1）若，求实数的值； （2）求； （3）若，，不能构成空间向量的一个基底，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由可知，，再由数量积的坐标运算即可. （2）模长公式的坐标运算即可. （3）利用空间共面向量定理即可. 【小问1详解】 ∵， ∴，即， ∴． 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴ 【小问3详解】 若，，不能构成空间向量的一个基底， 则与，共面， 故存在唯一的实数对，使得， 即， ， ∴，解得， ∴. 18. 如图，在三棱柱中，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）若， ①求直线与平面所成角的正弦值； ②求点到平面的距离. 【答案】（1） 取的中点，连接， 因为点为的中点，则，， 又因为点为的中点，且为平行四边形， 则，，可得，， 可知为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面. （2）①；② 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，可证，结合线面平行的判定定理证明线面平行； （2）①建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角；②根据①中的结论，利用空间向量求点到面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①因为， 则，可知， 且，以为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； ②由①可知：平面的法向量为，且， 所以点到平面的距离. 19. 已知四棱锥中，平面平面，，，为等腰直角三角形，. （1）证明：平面； （2）若是线段上一点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值； （3）点满足（2）中条件，在线段上是否存在点（不与端点重合）使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1） 取的中点，连接， 由题意可知：，，则， 且，即，可得， 可知四边形为正方形，可得， 则，可得， 又因为为等腰直角三角形，，可知， 且平面平面，平面平面，平面， 则平面，由平面可得， 且，平面， 所以平面. （2） （3） 由（2）可得：，， 设，，则， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 且平面的法向量， 由题意可得：， 整理可得，解得或（舍去）， 所以存在点，此时. 【解析】 【分析】（1）取的中点，结合题意可证，结合面面垂直的性质可得平面，进而可得，即可证线面垂直； （2）建系标点，设，结合线面平行可得，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求面面夹角； （3）设，求平面的法向量，利用空间向量结合二面角列式解出的值，进而分析判断. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：平面，， 以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 可得，， 设，， 则， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 又因为， 若平面， 则，解得，即， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 又因为，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期高二年级数学学科期中练习 出题人 高二数学备课组，审题人 高二数学备课组，审核人 金永涛，考试时间90分钟 一､选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 下列直线中，倾斜角为45°的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若与共线，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 如图，在长方体中，化简（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知正方体的棱长为1，设，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，且，共面，则 6. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如图是某个正方体的侧面展开图，是侧面的两条对角线，则在正方体中，与（ ） A. 互相平行 B. 相交且夹角为 C. 异面且夹角为 D. 异面且互相垂直 8. 当点到直线的距离最大时，的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 9. 如图，，面，面，，与面成30°角，则间的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 10. 长方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 已知直线经过点，且与轴平行，则直线的方程为__________. 12. 正方形边长为，以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为_______． 13. 与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是__________. 14. 已知两点，动点在线段上运动，则的取值范围是__________，的取值范围是__________. 15. 如图，直三棱柱中，为棱的中点，Q为线段上的动点，给出下列四个结论： ①对任意点，都有 ②存在点，使 ③不存在点，使 ④存在点，使平面 其中所有错误结论的序号是__________. 三､解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 16. 在三角形中，边所在直线方程分别为和. （1）求点的坐标； （2）若所在直线方程为，求点到直线的距离. 17. 已知向量，， . （1）若，求实数的值； （2）求； （3）若，，不能构成空间向量的一个基底，求实数的值. 18. 如图，在三棱柱中，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）若， ①求直线与平面所成角的正弦值； ②求点到平面的距离. 19. 已知四棱锥中，平面平面，，，为等腰直角三角形，. （1）证明：平面； （2）若是线段上一点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值； （3）点满足（2）中条件，在线段上是否存在点（不与端点重合）使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $