精品解析：黑龙江省牡丹江市第二高级中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题

牡丹江二中2025—2026学年度第一学期高二学年期中试题 数学 考生注意 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米，黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的斜率为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为（    ） A. B. C. D. 2. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知，点在轴上，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 4. 圆与圆的位置关系为（ ）． A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 5. “”是方程“”表示双曲线的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数满足方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，在该椭圆上，四边形是等腰梯形，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正方体的棱长为1，则以下说法正确的是（ ） A. 直线与平面所成角的正切值为 B. 二面角所成角的大小为 C. 直线与直线所成的角为 D. 点到平面的距离为 10. 以下四个命题中，正确的是（ ） A. 设，，动点满足，则动点的轨迹为双曲线 B. 若曲线表示椭圆，则 C. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D. 椭圆与双曲线有相同的焦点 11. 数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点，距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 圆方程为 B. 点的轨迹围成区域的面积为 C. 点的轨迹关于对称 D. 点在圆内 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若双曲线的右支上一点到右焦点的距离最短为，则双曲线为的渐近线方程为_______________． 13. 已知直线与圆相交于，两点，则弦长的取值范围是________． 14. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过点，求满足下列条件的直线方程： （1）直线与直线平行： （2）直线在两个坐标轴上的截距相等. 16. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程． 17. 如图，六面体是直四棱柱被过点的平面所截得到的几何体，底面，底面是边长为2的菱形，，， （1）求证：； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 已知双曲线的离心率为为上一点． （1）求的方程； （2）过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的面积. 19. 已知椭圆，左右焦点分别为，，左右顶点为，，离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若是椭圆上的点，且以点及焦点，为顶点的三角形面积等于，求点的坐标： （3）若直线与椭圆交于两点，直线不过原点、椭圆顶点且不垂直于轴．设直线和的斜率分别为，，用表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡丹江二中2025—2026学年度第一学期高二学年期中试题 数学 考生注意 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米，黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的斜率为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与垂直，可得直线的斜率为，再通过两点间的斜率公式列方程求出m即可. 【详解】由于直线的斜率为，且直线与垂直， 所以直线的斜率为， 所以，解得. 故选：D. 2. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行则法向量共线计算可判断A；根据直线与平面垂直则直线的方向向量与平面法向量共线计算可判断B；根据直线的方向向量与平面法向量垂直则直线与平面平行或直线在平面内可判断C；根据法向量垂直则面面垂直可判断D. 【详解】对于A，由，得，则，解得，故A错误； 对于B，由，得，则，解得，故B错误； 对于C，由，得，则或，故C错误； 对于D，由，得，则，故D正确. 故选：D. 3. 已知，点在轴上，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出N关于轴对称的点为，再利用对称性可求得的最小值. 【详解】设，则N关于轴对称的点为， 所以的最小值为； 故选：B. 4. 圆与圆的位置关系为（ ）． A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算得到两圆圆心和半径，根据得到答案. 【详解】，即，圆心，半径， ，圆心为，， ，故两圆外切. 故选：C. 5. “”是方程“”表示双曲线的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程表示双曲线，求得或，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若方程表示双曲线，则满足，解得或， 所以“”是方程“”表示双曲线的充分不必要条件. 故选：A. 6. 若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，作差可得斜率，再由直线方程的点斜式得答案． 【详解】设弦的两个端点分别为，， 则，， 两式相减可得， 所以， 所以弦所在的直线方程为，即. 故选：B. 7. 已知实数满足方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出的图像，设，问题转化为直线和曲线有共同点时，斜率取值范围的问题，数形结合计算即得. 【详解】可知， 两边平方整理可得，， 该方程表示的是圆心为，半径为的圆的右半部分曲线，如下图： 设，则是通过定点的直线， 显然该直线通过时，斜率最大，最大斜率， 当直线和圆相切于时，斜率最小。 由圆心到直线的距离是，解得，即， 于是，即. 故选：A 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，在该椭圆上，四边形是等腰梯形，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据条件求得，由椭圆定义得，从而利用求得离心率. 【详解】设椭圆的半焦距为，依题意，，又， 如图， 设，四边形为等腰梯形， ，即，； 由椭圆定义知，，， 解得. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正方体的棱长为1，则以下说法正确的是（ ） A. 直线与平面所成角的正切值为 B. 二面角所成角的大小为 C. 直线与直线所成的角为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系后借助空间向量夹角的余弦公式与点到平面距离公式逐项计算即可得. 【详解】以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、、、 、、； 对A：由轴平面，则平面的法向量可为， 又，则， 设直线与平面所成角为，则， 则，故A正确； 对B：、， 设平面的法向量为， 则有，取，则， 设二面角所成角的大小为，由图可知为锐角 又平面的法向量为， 则， 故二面角所成角的大小为，故B正确； 对C：、， 设直线与直线所成的角为 则， 故直线与直线所成的角为，故C正确； 对D：、、， 设平面的法向量为， 则有，取，则， 则点到平面的距离，故D错误. 故选：ABC. 10. 以下四个命题中，正确的是（ ） A. 设，，动点满足，则动点的轨迹为双曲线 B. 若曲线表示椭圆，则 C. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D. 椭圆与双曲线有相同的焦点 【答案】CD 【解析】 【分析】根据双曲线的定义判断A；由曲线方程表示椭圆列不等式求参数范围判断B；解一元二次方程，结合双曲线、椭圆离心率的性质判断C；根据方程直接写出椭圆、双曲线的焦点坐标判断D. 【详解】对于A，由， 结合双曲线的定义易知动点P的轨迹为双曲线的右支，故A错误； 对于B，由曲线为椭圆，则，解得且，故B错误； 对于C，，可得或， 可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故C正确； 对于D，椭圆中，则焦点为， 双曲线中，则焦点为， 即焦点相同，故D正确. 故选：CD. 11. 数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点，距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 圆方程为 B. 点的轨迹围成区域的面积为 C. 点的轨迹关于对称 D. 点在圆内 【答案】ABC 【解析】 【分析】设点，结合两点间距离公式化简即可得A；利用圆的面积公式可得B；由直线过圆心可得C；将点代入圆的方程即可得D. 【详解】对A：设，则有， 化简得，故点的轨迹是圆，故A正确； 对B：由点的轨迹是圆， 则点的轨迹围成区域的面积为，故B正确； 对C：由点的轨迹是圆，圆心为， 又直线过点，故点的轨迹关于对称，故C正确； 对D：，故点在圆外，故D错误. 故选：ABC. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若双曲线的右支上一点到右焦点的距离最短为，则双曲线为的渐近线方程为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的性质得到，即可求出双曲线方程，从而求出渐近线方程. 【详解】双曲线，则， 又右支上一点到右焦点的距离最短为，即，所以， 又，则， 所以双曲线，则双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 13. 已知直线与圆相交于，两点，则弦长的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】求出直线所过的定点并判断与圆的位置关系，再利用圆的性质求出范围. 【详解】由直线l：，得直线l恒过定点， 由圆C：，得，圆心，半径为， 又，即点在圆内， 当直线l经过圆心时，， 当直线时，，则， 所以的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】空间向量，，则向量在向量上的投影向量为： . 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过点，求满足下列条件的直线方程： （1）直线与直线平行： （2）直线在两个坐标轴上的截距相等. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由平行关系可假设直线，代入点即可； （2）分别讨论直线过坐标原点和不过坐标原点的情况，结合直线截距式和点坐标可求得结果. 【小问1详解】 设直线， 过点， ，解得：， 直线方程为. 【小问2详解】 若直线过坐标原点，则直线方程为：，满足题意； 若直线不过坐标原点，可设直线， ，即直线； 综上所述：直线方程为：或. 16. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心，通过半径求得，进而可求解： （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可. 【小问1详解】 由题意设圆心， 因为，即， 解得，即，半径， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件； 当切线的斜率存在时，设过的切线方程为， 即， 则圆心到切线的距离，解得， 此时切线的方程为：，即， 综上所述：过的切线方程为或． 17. 如图，六面体是直四棱柱被过点的平面所截得到的几何体，底面，底面是边长为2的菱形，，， （1）求证：； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：直四棱柱中，，则点F在平面内， 因为平面，且平面，所以， 又底面为菱形，所以， 又，平面，所以平面， 平面，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，由，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求面面角即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以底面为正方形，所以，由条件可求出， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，所以 设平面的一个法向量为， 则，令， 因为平面，所以是平面的一个法向量； 设平面与平面的夹角为， 则 所以平面与平面的夹角余弦值为． 18. 已知双曲线的离心率为为上一点． （1）求的方程； （2）过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件建立关于的方程组解出即可； （2）设，根据条件写出直线的方程，联立直线与双曲线方程求出两点的坐标，求出，利用点到直线的距离公式求出的高，代入公式求解即可. 【小问1详解】 由题得:， 解得， 所以双曲线的方程为：. 【小问2详解】 设，如图所示： 由题得直线的方程为， 联立得：， 整理得：， 所以， 所以 所以 又因为点到直线的距离为： ， 所以的面积为. 19. 已知椭圆，左右焦点分别为，，左右顶点为，，离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若是椭圆上的点，且以点及焦点，为顶点的三角形面积等于，求点的坐标： （3）若直线与椭圆交于两点，直线不过原点、椭圆顶点且不垂直于轴．设直线和的斜率分别为，，用表示． 【答案】（1） （2）或或或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程，求出即可. （2）首先求出，的坐标，设，由面积公式求出，再由点在椭圆上求出，即可得解； （3）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及斜率坐标公式求出. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为，得，解得， 由椭圆过点，得，解得（负值已舍去），则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 因为椭圆的方程为，所以， 则，，所以. 设，则，所以， 又，所以， 所以点的坐标为或或或； 【小问3详解】 由，消去整理得， 设点，则， 而，依题意， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $