4.1 数列的概念（第2课时）（题型专练）数学人教A版2019选择性必修第二册

4.1 数列的概念（第2课时） 题型一：根据数列递推公式写出数列的项 1．已知数列满足，，则（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．已知数列中，，，则 . 3．已知数列满足，，则（    ） A．5 B．10 C．11 D．12 4．数列满足，且，则 . 5．已知数列满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．已知数列满足，则数列的前4项的和为 ． 题型二：利用an与Sn关系求项 1．数列的前n项和，则（    ） A．140 B．120 C．40 D．52 2．已知数列的前项和，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知数列满足，则 . 4．数列的前n项和为，若，则 ． 5．若数列的前项和为，且，则 ． 题型三：利用an与Sn关系求an 1．已知数列的前项和为，且满足，则 . 2．已知数列的前项和，则的通项公式 . 3．若数列满足，则数列的通项公式 . 4．已知在数列中，，前项和为，若，求数列的通项． 5．已知数列满足，则 ． 题型一：数列周期性的应用 1．已知数列满足，，则 ． 2．在数列中，，若，则 . 3．设数列满足，且，则（    ） A．2 B． C． D．3 4．已知数列 满足 若 ，表示的前n项和，则 . 5．设数列中，，（），则（   ） A．-1 B． C．2 D． 题型二：根据数列的单调性求参数 1．数列满足，n为正整数.若数列是严格增数列，则实数a的取值范围为 . 2．数列的通项为，且为单调递增数列，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知数列满足：，数列是递增数列，则实数的取值范围为 ． 4．数列满足，若数列单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型三：递推数列的实际应用 1．某企业今年年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到，每年年底需要扣除下一年的消费基金50万元，剩余资金投入再生产，设该企业从今年起每年年初拥有的资金数依次为则表示与之间关系的递推公式为（    ） A． B． C． D． 2．雪花曲线因其形状类似雪花而得名，它的产生也与雪花类似，由等边三角形开始，把三角形的每一条边三等分，并以每一条边三等分后的中段为边，向外作新的等边三角形，但要去掉与原三角形叠合的边，接着对每-个等边三角形“尖出”的部分继续上述过程，即以每条边三等分后的中段为边向外作新的等边三角形（如图：（2），（3），（4）是等边三角形（1）经过第一次，第二次，第三次，变化所得雪花曲线）若按照上述规律，一个边长为的等边三角形，经过四次变化得到的雪花曲线的周长是（    ）        A． B． C． D． 3．造纸术是我国古代四大发明之一，目前我国纸张采用国际标准，复印纸A系列纸张尺寸的长宽比都是，.纸张的面积为1平方米，长宽比为，将纸张的长边对折切开得到两张纸张，将的长边对折切开得到两张纸张，依次类推得到纸张，，…，.则纸张的长等于（   ）（参考数据：，） A．210毫米 B．297毫米 C．149毫米 D．105毫米 4．“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法.例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为36，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为，能发出第三个基准音的乐器的长度为，……，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推.现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列用来研究数据的变化，已知，则（    ） A．324 B．297 C．256 D．168 1．已知数列满足，对任意都有，且对任意都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知数列的前项和为，，，则 . 3．已知数列是单调递增数列，，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足，，设数列的前 项和为 ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知数列的前项和为，，，求数列的通项公式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 数列的概念（第2课时） 题型一：根据数列递推公式写出数列的项 1．已知数列满足，，则（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】利用数列的递推公式，对依次赋值计算即得. 【详解】因，由可得，. 故选：A. 2．已知数列中，，，则 . 【答案】/ 【分析】根据递推式逐项求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以. 故答案为： 3．已知数列满足，，则（    ） A．5 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】应用递推公式计算求解. 【详解】因为数列满足，， ， 则. 故选：B. 4．数列满足，且，则 . 【答案】5 【分析】利用题中数列的递推公式依次代入求解即可. 【详解】因为，且，所以 当时，， 当时，， 当时， 故答案为：5 5．已知数列满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据递推关系计算即可. 【详解】令可得，；令可得，． 故选：C． 6．已知数列满足，则数列的前4项的和为 ． 【答案】/0.8 【分析】根据给定的递推公式求出数列的前4项，再利用裂项相消法求和. 【详解】数列中，由，得，而， 则， 所以 . 故答案为： 题型二：利用an与Sn关系求项 1．数列的前n项和，则（    ） A．140 B．120 C．40 D．52 【答案】D 【分析】利用与的关系即可求解. 【详解】由，得. 故选：D 2．已知数列的前项和，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据与之间的关系建立等式即可求解. 【详解】由可得：， 则，解得：. 故选：C. 3．已知数列满足，则 . 【答案】4100626 【分析】由题意，利用直接求解即可. 【详解】因为， 所以， ∴. 故答案为：. 4．数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】384 【分析】根据前项和的递推公式求得，然后求出，即可求解. 【详解】①，②， 两式相减得，故， 令中得，，所以． 故答案为：384 5．若数列的前项和为，且，则 ． 【答案】/ 【分析】由题意可知，从而可得答案. 【详解】因为数列的前项和为，且， 所以． 故答案为： 题型三：利用an与Sn关系求an 1．已知数列的前项和为，且满足，则 . 【答案】 【分析】根据与的关系求解可得. 【详解】当时，； 当时，. 综上，. 故答案为： 2．已知数列的前项和，则的通项公式 . 【答案】 【分析】利用递推关系计算可得，检验时不适合上式，由此可得分段式的通项公式. 【详解】由题意，时，， 时，不适合上式， 所以. 故答案为： 3．若数列满足，则数列的通项公式 . 【答案】 【分析】利用和的关系，降标作差即可求出. 【详解】因，则， 两式相减得， 当时，，不符合上式， 故. 故答案为： 4．已知在数列中，，前项和为，若，求数列的通项． 【答案】 【分析】利用将已知条件进行转化，得到与的关系式，再通过变形得到的表达式，然后利用累乘法求出的表达式，最后根据求出数列的通项公式，并且要单独验证时的情况. 【详解】由，当时，，得， 化简得：， 当时，， 因为，所以，那么， 当，， 当时，，满足， 数列的通项为. 5．已知数列满足，则 ． 【答案】 【分析】根据可求. 【详解】时，，与原式相减得 ，则， 经检验，时也成立， 故，即． 故答案为：. 题型一：数列周期性的应用 1．已知数列满足，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据数列的递推公式，确定数列的前几项，由此确定数列的周期，再求 ． 【详解】，， ， ， ， 数列是以为周期的周期数列， 所以． 故答案为：． 2．在数列中，，若，则 . 【答案】1 【分析】结合递推关系和首项，求出数列的前几项，归纳出数列周期为4，结合周期性求解. 【详解】因为且， 所以， ， ， ， ， 所以是以4为周期的周期数列， 所以. 故， 故答案为；1 3．设数列满足，且，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】利用递推公式求出数列的项，得出数列为周期为的数列，即可求解. 【详解】易得，，，， 又，则数列为周期为的数列， 则. 故选：A 4．已知数列 满足 若 ，表示的前n项和，则 . 【答案】/ 【分析】通过代入值，发现数列的周期，再利用周期性即可求该数列的前2025项和. 【详解】因 ，则，， ，，，， 可见4是数列的一个周期，且， 故. 故答案为：. 5．设数列中，，（），则（   ） A．-1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据数列的递推公式求出数列的周期，由此即可求得答案. 【详解】由题意知数列中，，（）， 则， ， 故数列是以3为周期的数列，则， 故选：A 题型二：根据数列的单调性求参数 1．数列满足，n为正整数.若数列是严格增数列，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意列不等式即可求解. 【详解】由题意若数列是严格增数列，则当且仅当，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 2．数列的通项为，且为单调递增数列，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列的单调性建立不等式，结合一次函数的单调性，可得答案. 【详解】由数列是递增的，则对恒成立， 即， 整理可得，对恒成立， 因函数在时单调递增，则得. 故选：B 3．已知数列满足：，数列是递增数列，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据递增数列的定义列不等式组求解即得. 【详解】因为，且为递增数列， 所以，即，解得， 故答案为： 4．数列满足，若数列单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为单调递增，所以，解得， 即实数的取值范围为. 故选：D 5．已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数列单调递增得到分段函数单调递增，然后建立不等式组，解得的取值范围. 【详解】由，数列是递增数列， 得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：C 题型三：递推数列的实际应用 1．某企业今年年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到，每年年底需要扣除下一年的消费基金50万元，剩余资金投入再生产，设该企业从今年起每年年初拥有的资金数依次为则表示与之间关系的递推公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列式即可得解. 【详解】依题意，，. 故选：A. 2．雪花曲线因其形状类似雪花而得名，它的产生也与雪花类似，由等边三角形开始，把三角形的每一条边三等分，并以每一条边三等分后的中段为边，向外作新的等边三角形，但要去掉与原三角形叠合的边，接着对每-个等边三角形“尖出”的部分继续上述过程，即以每条边三等分后的中段为边向外作新的等边三角形（如图：（2），（3），（4）是等边三角形（1）经过第一次，第二次，第三次，变化所得雪花曲线）若按照上述规律，一个边长为的等边三角形，经过四次变化得到的雪花曲线的周长是（    ）        A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找出相邻图形的边长之间的关系以及相邻图形边数之间的关系即可求解. 【详解】设雪花曲线的边长分别为，边数为， 周长为. ，，，， ，，，，， ，，，，， 故选：C. 3．造纸术是我国古代四大发明之一，目前我国纸张采用国际标准，复印纸A系列纸张尺寸的长宽比都是，.纸张的面积为1平方米，长宽比为，将纸张的长边对折切开得到两张纸张，将的长边对折切开得到两张纸张，依次类推得到纸张，，…，.则纸张的长等于（   ）（参考数据：，） A．210毫米 B．297毫米 C．149毫米 D．105毫米 【答案】C 【分析】依据题意先得出的面积，再由长宽比计算即可. 【详解】由已知的面积分别为平方米，的面积为平方米.设的长宽分别为，， 则， 故。 故选：C. 4．“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法.例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为36，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为，能发出第三个基准音的乐器的长度为，……，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推.现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列用来研究数据的变化，已知，则（    ） A．324 B．297 C．256 D．168 【答案】A 【分析】根据“三分损益法”的规律可得出数列中各项的关系，代入计算即可. 【详解】由损益规律可知， 即， 解得. 故选：A 1．已知数列满足，对任意都有，且对任意都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得数列在上是递减数列，数列在上是递增数列，再根据二次函数的单调性即可得解. 【详解】因为对任意都有， 所以数列在上是递减数列， 因为对任意都有， 所以数列在上是递增数列， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 2．已知数列的前项和为，，，则 . 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，结合累乘法，求得，再利用裂项求和，即可求解. 【详解】当时，，则，两式作差得，即，即， 所以，即， 又由且，即，所以，可得， 则. 显然时也符合，可得， 所以. 故答案为：. 3．已知数列是单调递增数列，，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数列为单调递增数列得，从而得，再令，求出的最大值，从而可求解. 【详解】由题意可得，由于数列为单调递增数列， 即，， 整理得， 令，则，， 所以数列单调递减，故是数列的最大项， 则的取值范围为，故C正确. 故选：C． 4．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足，，设数列的前 项和为 ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】求出数列的前几项，可得数列中从第4项起以4，2，1循环，然后一一分析判断即可. 【详解】因为数列满足，， 所以 ， 所以， 所以AB正确，C错误， 因为数列中从第4项起以4，2，1循环，而， 所以，所以D正确， 故选：ABD 5．已知数列的前项和为，，，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】根据题意，当时，，作差化简得，利用累乘法，即可求得答案。 【详解】因为，所以当时，， 两式作差可得， 整理得， 因为，， 令，则，所以， 所以，所以， 则， 当时，也符合上式，综上，. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $