4.1数列的概念（第2课时）（教学课件）数学人教A版2019选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦数列递推公式及前n项和，通过闯关游戏“能量累加”情境导入，结合谢尔宾斯基三角形实例，从具体问题抽象出递推关系与前n项和概念，构建“观察-归纳-验证”学习支架，衔接数列概念并为后续应用铺垫。 其亮点在于以情境化问题驱动教学，用数学眼光观察游戏与图形规律，通过“试探+找规律”培养数学思维，如周期性问题推导周期。题型分类明确，方法总结系统，帮助学生提升抽象与推理能力，也为教师提供清晰教学路径和丰富实例资源。

·选择性必修第二册· 第四章 数列 4.1 数列的概念 (第2课时) 1 2 学习目标 能结合具体事例说明数列递推公式的作用；能根据数列的递推公式写出数列的某一项，体会特殊与一般的数学思想 能说出数列的前n项和的含义，能根据数列的前n项和的定义推出数列的通项an与前n项和Sn之间的关系 并能根据这一关系由前n项和公式Sn求通项公式an,体会分类与整合的数学思想. 情景导入 01 4.1 数列的概念(第2课时) 引入新知 一款闯关游戏中，玩家初始能量为 5 点，每通过一关，能量会更新： 当前关的能量 = 上一关能量 ×3+2（比如第二关能量为17 点、第三关能量为 53点……）. 通关 10 关后，系统会统计 “累计获得的总能量” 发放奖励，玩家需要提前算出总能量是否能解锁终极皮肤. 闯关游戏的 “能量累加” 思 考 用数列的符号语言如何表示“当前关的能量 = 上一关能量 ×3+2”？ 用表示当前关的能量，那么上一关能量用________表示 追 问 用数列的符号语言如何表示“前10关累计获得的总能量”？ 递推公式 前n项和 新课探究 02 4.1 数列的概念(第2课时) 新课探究 例4：下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形。在图中4个大三 角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数 列的一个通项公式。 观察法求通项公式 第一步：写出以上4个图中，着色三角形的个数依次为： 第二步：观察数列前几项找规律： 第三步：得结论： 1，3，9，27， 这些数都是3的指数幂，且幂的指数为序号减1. 这个数列的一个通项公式是. 第四步：验证：用所得通项公式，再次验证是否符合同意. 新课探究 追问1：从着色三角形的个数演变角度再观察以上4个图形，你能观察出图中三角形的变化规律吗? 追问2：你能根据这个规律说出相邻两个图形中着色三角形个数的关系吗? 从第2个图形开始，每个图形着色三角形是前一个图片着色三角形的3倍 追问3：用表示第n个图形的着色三角形个数，写出的关系 预猜：由此可以猜测可以从第2项起，可以表示为： 每个图形中着色三角形都会分裂为3个着色小三角形+1个无色的三角形 新课探究 像这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. l 作用： 已知数列的第1项(或前几项)，就能写出数列的所有项. 递推公式的定义 牛刀小试 练 1 解 析 应用新知 解 析 答案　AD 所以数列 {an} 是周期为 3 的数列，故a22＝a28＝3. 练 2 新课探究 思考：一个数列的通项公式和递推公式有何联系与区别？ 通项公式 递推公式 区别 联系 表示an与n之间的关系 表示an与它的前一项an-1 (或前几项)之间的关系 (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式. 新课探究 数列的前n项和 如果数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式. 数列的前n项和公式 新课探究 数列的前n项和公式与通项公式有何联系？ 探究 递推公式 应用新知 解 析 思考 ① 令,求 ② 令, ③ 验证是否满足 ④ 下结论 牛刀小试 解 析 练 3 怎么办？如何下结论？ 结论用分段的形式呈现 重要题型 03 4.1 数列的概念(第2课时) 重要题型专练 题型一 利用递推公式求项的值 例题 解 析 重要题型专练 题型二 数列的周期性问题 例题 解 析 重要题型专练 方法总结 利用数列周期性解题的方法（试探+找规律） 先利用所给数列的递推公式,结合数列的首项,求出数列的前几项, 通过前几项观察发现数列的周期性,并确定数列的周期, 然后再解决相关的问题. 重要题型专练 题型三 已知求 例题 解 析 重要题型专练 题型三 已知求 例题 解 析 重要题型专练 题型三 已知求 例题 解 析 真题感知 04 4.1 数列的概念(第2课时) 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 课堂笔记 05 4.1 数列的概念(第2课时) 课堂笔记 课堂笔记 小结及课后作业 06 4.1 数列的概念(第2课时) 课堂小结 数列的前n项和 数列的递推公式 数列的递推公式及前n项和 数列的周期性问题 作业布置 巩固作业：教科书第9页习题4.1第4,5题 教材习题答案 07 4.1 数列的概念(第2课时) 课后作业答案 教科书第9页习题4.1第4题 课后作业答案 教科书第9页习题4.1第5题 5.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数．请你分别写出三角形数、正方形数和五边形数所构成的数列的第5项和第6项． 课后作业答案 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第二册· 在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一． 我们把数列从第1项起到第n项止的各项之和， 称为数列的前项和，记作，即： 于是我们有 显然， 已知数列的前n项和公式为，你能求出的 通项公式吗？ 当时，， 当时，， 并且当时，依然成立． 所以的通项公式是． 已知数列的前n项和为，求数列的通项公式； 当时，， 当时， 又，不符合上式. 所以 已知数列对任意正整数，均满足，则 ． 当时，， 当时，，所以 当时，，所以 数列满足，且，则 ． 由，，则，，， ，，所以数列是以5为周期的周期数列， 又，则． 故答案为：． (1)若前项和，求其通项公式； 当时，；当时， 不满足上式． 所以通项公式为 (2) 若前项和，求其通项公式； 当时，；当时，，不满足上式． 因此通项公式为. (3)已知，求其通项公式． 当时，----①， ----②， 两式相减可得，则，当时，，不满足上式． 故通项公式为. 1．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D．5 因为，所以，所以， 所以，所以，...， 所以数列是周期为3的数列，所以. 故选：A 2．（24-25高二上·福建南平·期末）已知数列满足：，若，则（ ） A． B． C． D． 因为且所以，， ，，，， 所以数列是周期数列，且周期为4，所以. 故选：C. 3．（24-25高二下·河南周口·期末） 已知数列的通项公式为，若，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 若，则，显然， 若，则，满足. 故选：B 4．（24-25高二下·江西·期末） （多选）已知数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 因为，若，则；若，则，可得； 显然不满足，所以. 则，，；，，， 可得，故AC错误，BD正确. 故选：BD. 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末） 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 . 当时，， ， 当时，，不符合上式， 所以. 1．如果已知数列的首项（或前几项），且数列的 或 的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系（也称递推公式或递归公式）. 2． 递推公式 通项公式 区别 表示与它的前一项 （或前几项）之间的关系 表示与 之间的关系 联系 （1）都是表示 的一种方法； （2）由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 3．一般地，给定数列，称 为数列的前n项和. 4．一般地，如果数列的前n项和为，那么当，有 ，. 所以 ， 因此 $