4.1 数列的概念（第2课时）（导学案）数学人教A版2019选择性必修第二册

4.1 数列的概念（第2课时） 导学案 (1) 能结合具体事例说明数列递推公式的作用；能根据数列的递推公式写出数列的某一项，体会特殊 与一般的数学思想 (2) 能说出数列的前项和的含义，能根据数列的前项和的定义推出数列的通项与前项和之间的关系 并能根据这一关系由前项和公式求通项公式,体会分类与整合的数学思想. 情境引入 闯关游戏的 “能量累加” 规则：一款闯关游戏中，玩家初始能量为 5 点，每通过一关，能量会更新： 当前关的能量 = 上一关能量 ×3+2（比如第二关能量为17 点、第三关能量为 53点……）. 通关 10 关后，系统会统计 “累计获得的总能量” 发放奖励，玩家需要提前算出总能量是否能解锁终极皮肤. 思考：用数列的符号语言如何表示“当前关的能量 = 上一关能量 ×3+2”？ 提示：用表示当前关的能量，那么上一关能量用________表示. 追问：用数列的符号语言如何表示“前10关累计获得的总能量”？ 问题1：图4.1-3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式. 尝试用观察法求通项公式. 预设：第一步：写出以上4个图中，着色三角形的个数依次为： ， 第二步：观察数列前几项找规律： ． 第三步：得结论：这个数列的一个通项公式是 第四步：验证：用所得通项公式，再次验证是否符合同意. 追问1：从着色三角形的个数演变角度再观察以上4个图形，你能观察出图中三角形的变化规律吗? 追问2：你能根据这个规律说出相邻两个图形中着色三角形个数的关系吗? 追问3：用表示第n个图形的着色三角形个数，写出的关系 预猜：由此可以猜测可以从第2项起，可以表示为： 定义：像这样，如果一个数列的 或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的 ．知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了． 思考：根据定义，递推公式的作用是什么？ 要求：请利用递推公式定义，写出对应数列的前六项. 牛刀小试： 练1：已知数列的首项为，递推公式为，写出这个数列的前5项. 练2： 思考：一个数列的通项公式和递推公式有何联系与区别？ 定义：我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的 ，记作 ，即： ______________________________ 如果数列的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的 . 探究：数列的前n项和公式与通项公式有何联系？ 思考：已知数列的前n项和公式为，你能求出的通项公式吗？ 牛刀小试： 练3：已知数列的前n项和为，求数列的通项公式； 题型一：利用递推公式求项的值 例题：已知数列对任意正整数，均满足，则 ． 题型二：数列的周期性问题 例题 数列满足，且，则 ． 方法总结：利用数列周期性解题的方法（试探+找规律） · 先利用所给数列的递推公式,结合数列的首项,求出数列的前几项, · 通过前几项观察发现数列的周期性,并确定数列的周期, · 然后再解决相关的问题. 题型三：已知求 例题：(1)若前项和，求其通项公式； (2) 若前项和，求其通项公式； (3)已知，求其通项公式． 1．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知数列中，，则（   ） A． B． C． D．5 2．（24-25高二上·福建南平·期末）已知数列满足：，若，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河南周口·期末）已知数列的通项公式为，若，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 4．（24-25高二下·江西·期末）(多选）已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 . 1．如果已知数列的首项（或前几项），且数列的 或 的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系（也称递推公式或递归公式）. 2． 递推公式 通项公式 区别 表示与它的前一项 （或前几项）之间的关系 表示与 之间的关系 联系 （1）都是表示 的一种方法； （2）由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 3．一般地，给定数列，称 为数列的前n项和. 4．一般地，如果数列的前n项和为，那么当，有 ，. 所以 ， 因此 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 数列的概念（第2课时） 导学案 (1) 能结合具体事例说明数列递推公式的作用；能根据数列的递推公式写出数列的某一项，体会特殊 与一般的数学思想 (2) 能说出数列的前项和的含义，能根据数列的前项和的定义推出数列的通项与前项和之间的关系 并能根据这一关系由前项和公式求通项公式,体会分类与整合的数学思想. 情境引入 闯关游戏的 “能量累加” 规则：一款闯关游戏中，玩家初始能量为 5 点，每通过一关，能量会更新： 当前关的能量 = 上一关能量 ×3+2（比如第二关能量为17 点、第三关能量为 53点……）. 通关 10 关后，系统会统计 “累计获得的总能量” 发放奖励，玩家需要提前算出总能量是否能解锁终极皮肤. 思考：用数列的符号语言如何表示“当前关的能量 = 上一关能量 ×3+2”？ 提示：用表示当前关的能量，那么上一关能量用________表示. 预设：上一关能量用表示，则有.(递推公式) 追问：用数列的符号语言如何表示“前10关累计获得的总能量”？ （前10项和） 问题1：图4.1-3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式. 尝试用观察法求通项公式. 预设：第一步：写出以上4个图中，着色三角形的个数依次为：1，3，9，27， 第二步：观察数列前几项找规律：都是3的指数幂，指数为序号减1． 第三步：得结论：这个数列的一个通项公式是 第四步：验证：用所得通项公式，再次验证是否符合同意. 追问1：从着色三角形的个数演变角度再观察以上4个图形，你能观察出图中三角形的变化规律吗? 每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂成3个着色小三角形和1个无色小三角形. 追问2：你能根据这个规律说出相邻两个图形中着色三角形个数的关系吗? 每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍. 追问3：用表示第n个图形的着色三角形个数，写出的关系 预猜：由此可以猜测可以从第2项起，可以表示为： 定义：像这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了． 思考：根据定义，递推公式的作用是什么？ 预设：已知数列的第1项(或前几项)，就能写出数列的所有项. 要求：请利用递推公式定义，写出对应数列的前六项. 预设： 牛刀小试： 练1：已知数列的首项为，递推公式为，写出这个数列的前5项. 预设：由题意可知， ， ， ， 练2： 预设： 所以数列 {an} 是周期为 3 的数列，故a22＝a28＝3. 答案　AD 思考：一个数列的通项公式和递推公式有何联系与区别？ 预设：学生将通项公式和递推公式相比较，发现和刚刚学习的通项公式一样，递推公式也是数列的一种表示方法.只不过通项公式反映的是项与序号之间的对应关系，而递推公式反映的则是相邻两项或多项之间的关系.学生在教师的引导下认识到通项公式和递推公式各有利弊，在数列的研究中都发挥着巨大的作用. 定义：我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即： 如果数列的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的前n项和公式. 探究：数列的前n项和公式与通项公式有何联系？ 做这个数列的前项和公式． 显然，而， 于是我们有 思考：已知数列的前n项和公式为，你能求出的通项公式吗？ 预设：因为当时，， 当时，， 并且当时，依然成立． 所以的通项公式是． 牛刀小试： 练3：已知数列的前n项和为，求数列的通项公式； 预设：数列的前n项和为， 时，， 时，， 不符合， 所以. 题型一：利用递推公式求项的值 例题：已知数列对任意正整数，均满足，则 ． 解析：当时，， 当时，，所以 当时，，所以 题型二：数列的周期性问题 例题 数列满足，且，则 ． 解析：由，，则，，， ，，所以数列是以5为周期的周期数列， 又，则． 故答案为：． 方法总结：利用数列周期性解题的方法（试探+找规律） · 先利用所给数列的递推公式,结合数列的首项,求出数列的前几项, · 通过前几项观察发现数列的周期性,并确定数列的周期, · 然后再解决相关的问题. 题型三：已知求 例题：(1)若前项和，求其通项公式； 解析：当时，；当时， 不满足上式． 所以通项公式为 (2) 若前项和，求其通项公式； 解析：当时，；当时，，不满足上式． 因此通项公式为. (3)已知，求其通项公式． 解析：当时，----①， ----②， 两式相减可得，则，当时，，不满足上式． 故通项公式为. 1．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知数列中，，则（   ） A． B． C． D．5 预设：因为，所以，所以，所以， 所以，...，所以数列是周期为3的数列，所以. 故选：A 2．（24-25高二上·福建南平·期末）已知数列满足：，若，则（ ） A． B． C． D． 预设：因为且 所以，， ，， ，， 所以数列是周期数列，且周期为4， 所以. 故选：C. 3．（24-25高二下·河南周口·期末）已知数列的通项公式为，若，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 预设：若，则，显然，若，则，满足. 故选：B 4．（24-25高二下·江西·期末）(多选）已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 预设：因为， 若，则； 若，则，可得； 显然不满足，所以. 则，，；，，， 可得，故AC错误，BD正确. 故选：BD. 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 . 预设：当时，， 当时，， 当时，， 经检验，不符合上式， 所以. 故答案为： 1．如果已知数列的首项（或前几项），且数列的 或 的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系（也称递推公式或递归公式）. 【答案】 2． 递推公式 通项公式 区别 表示与它的前一项 （或前几项）之间的关系 表示与 之间的关系 联系 （1）都是表示 的一种方法； （2）由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 【答案】 3．一般地，给定数列，称 为数列的前n项和. 【答案】 4．一般地，如果数列的前n项和为，那么当，有 ，. 所以 ， 因此 【答案】 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $