专题05 勾股定理 7大高频考点（期末真题汇编，江苏专用）八年级数学上学期

专题05 勾股定理 7大高频考点概览 考点01 勾股数 考点02 勾股定理解直角三角形 考点03 勾股定理解决面积关系问题 考点04 勾股定理与网格问题 考点05 勾股定理解决折叠问题 考点06 弦图背景的计算与证明 考点07 勾股定理的应用 地 城 考点01 勾股数 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）下列四组数中是勾股数的一组是（　　） A．，， B．，， C．5，， D．，， 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如果m表示大于1的整数，设，，，，其中任选三个数能构成勾股数的为（   ）． A．a，b，c B．a，b，d C．a，c，d D．b，c，d 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）下列各组数是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．，， C．1，1， D．2，12，14 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．1，2，3 B．1，1， C．5，12，13 D．，， 5．（24-25八年级上·江苏南京·期末）下列各组数中，不是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．10，15，20 D．7，24，25 6．（24-25八年级上·江苏南京·期末）下列各组数中，是勾股数的是（） A．1，，2 B．5，12，13 C．6，7，8 D．8，24，25 7．（24-25八年级上·江苏常州·期末）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：________； (2)若第一个数用字母n（n为奇数，且）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为________． 地 城 考点02 勾股定理解直角三角形 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在四边形中，，E是对角线的中点，F是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．5 D．2 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点D．则下列结论错误的是（   ） A．是的角平分线 B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的周长为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在直角中，，点D是边上一动点，以为直角边，B为直角顶点作等腰直角，交于点F，连接，点B作于点P，交于点下面结论中正确的个数是（   ） ①；②；③；④当时，；⑤当时，． A．2 B．3 C．4 D．5 5．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，是的高，，相交于点，连接，垂直平分，交于点．下列结论：①；②；③是等腰三角形；④，其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③④ C．①④ D．②③④ 6．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，等边三角形中，是它的角平分线，，，垂足分别为，．若，则等于（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，等腰中，垂直平分，交于点．若点为上一动点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．13 9．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）直角三角形的两边满足，那么这个三角形的面积是（    ） A． B．或 C． D．或 10．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，点是边上的中点，点是边上的一个动点，连接，将沿翻折得到．当时，则长为（   ） A． B． C． D．3 11．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在中，，若，则等于（   ） A．4 B．16 C．20 D．25 12．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，的平分线交于点E，过点C作，垂足为D，连接，则的面积是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，为斜边上的中线，过点作，连接、，若，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 14．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，，，交于点，是中点，过点作交于点．在线段上，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，当长度最小时，的面积是（　　） A． B． C． D． 地 城 考点03 勾股定理解决面积关系问题 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）勾股定理是数学史上的一颗玻璃珠．被誉为清代“历算第一名家”的名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅瑴成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在中，，四边形，，均为正方形，与相交于点，可以证明点在直线上．若，的面积分别为2和6，则直角边的长为（    ） A． B． C． D．2 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且，则的长为 ． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，两个阴影部分都是正方形，它们的面积分别为，，则边长的值为 ． 4．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，若，则阴影部分面积为 ． 5．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，Rt中，，以、、三边为边长的三个正方形面积分别为．若，则的值等于 ． 6．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则 ． 7．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，是的高，分别以线段为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为 ． 8．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在四边形中，，分别以为边向外作正方形，若乙的面积是22，丙的面积是18，丁的面积是9，则 ． 地 城 考点04 勾股定理与网格问题 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，以下正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）数形结合是一种重要的数学思想方法，请借助于几何直观来阐明下列“数”的某种关系．在方格纸中画出图形，并说明“”． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C均为格点． (1)的周长为_______； (2)中，边上的高的长度为________； (3)使用没有刻度的直尺，画出的平分线（保留画图痕迹）． 4．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图是6×5的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，回答下列问题．（要求：作图只用无刻度的直尺） (1)边的长度为 ； (2)作的角平分线； (3)已知点P在线段上，点Q在（2）作出的线段上，当的长度最小时，在网格中作出． 5．（23-24八年级上·江苏·期末）图，在的网格中，每个小正方形的边长为，小正方形的顶点叫做格点，点、、均为格点． (1)线段的长为______； (2)确定格点，使为等腰直角三角形，画出所有符合条件的格点． 6．（23-24八年级上·江苏南京·期末）（1）如图①，方格纸中有2个格点A，B．仅用无刻度的直尺画出线段的垂直平分线（E，F均为格点）； （2）如图②，点，点．用直尺和圆规在第一象限内作出点C，使得是等边三角形，其中点C的坐标为 ． 7．（23-24八年级上·江苏淮安·期末）如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上．下列格点中，与构成的三角形与不全等的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 地 城 考点05 勾股定理解决折叠问题 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，在上取一点E，连接，将沿翻折得到，使得点落在直线上，则的长度为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 2．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为（　　） A．3 B． C． D．1 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图1，M，N分别为锐角边上的点，把沿折叠，点在所在平面内的点处．若折叠后，直线与交于点E，且，垂足为点E，且，则此时的长为 ． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在中，，．如图D、E分别是和边上的点，把沿直线折叠，若点B落在边上的点F处，则的最小值是 ． 5．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，P是线段边上的动点（不与点A，B重合）．将沿所在直线翻折，得到，连接，当取最小值时，则的值为 ． 6．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，中，，，，点D为边的中点，连接，将沿直线翻折至所在平面内，得到，连接，则的长为 ． 7．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）有一张直角三角形的纸片，两条直角边长分别是和，将这张纸片折叠并压平，使得较短的直角边完全落在斜边上，此时折痕的长为 ． 8．（24-25八年级上·江苏南通·期末）在中，，，． (1)求的长； (2)点为上的一点，将沿直线翻折，点恰好落在边上的点处．请利用无刻度的直尺和圆规作出点（不写作法，保留作图痕迹），并求出的长． 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）折纸，操作简单，富有数学趣味，，现将纸片按如图1折叠，折痕为（点、分别在边上且、不与端点重合）． (1)当是以为顶角的等腰三角形时，翻折后点恰好落在边上，且（保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 地 城 考点06 弦图背景的计算与证明 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理． 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形． 设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为7，，则大正方形面积为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个推断：①；②；③；④．其中正确的推断是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3．（24-25八年级上·江苏南通·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．在一次数学活动中，小明利用如图1所示的5个连排正方形，分割后拼成如图2所示的一个大正方形，就得到了“赵爽弦图”．若图1中的小正方形边长为1，则图中的大正方形的边长为 ． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）综合实践 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”．他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．在一节八上数学复习课上，老师为了弘扬中国的数学文化，和同学们开启对“赵爽弦图”的深度研究． (1)类比“弦图”，证明定理 小明同学利用四张全等的直角三角形纸片（如图1），证明勾股定理． 因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为的小正方形组成，即面积表示为：，即，进而勾股定理得到了验证． 善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形的面积，也可证明勾股定理，请你和他一起证明． (2)利用“弦图”，割拼图形 如图3，老师给出由5个小正方形组成的十字形纸板，让同学们尝试剪开，使得剪成的若干块能够拼成一个无缝的大正方形，可以怎么剪？请你画出示意图． (3)构造“弦图”，应用计算 如图4，在等腰直角三角形中，，点是中点，过点作，垂足为点，交于点，若，求的长． 地 城 考点07 勾股定理的应用 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图1，荡秋千是小朋友非常喜爱的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉得很直，则绳索 m． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）某兴趣小组在进行旗杆高度测量活动时，由《九章算术》中“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”启发，设计了如下测量方式：已知旗杆与地面垂直，将升旗的绳索自然下垂，测得绳索比旗杆长1米，拉直绳索，使绳索下端点A落在地面上，如图所示，测得点A与旗杆底端点B的距离为6米．请根据测量数据计算旗杆的高度． 3．（24-25八年级上·江苏南通·期末）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量校园内旗杆的高度 测量工具 皮尺等 模型抽象 测绘过程 第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作QE，用皮尺量出QE的长度．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处用皮尺量出QF的长度． 数据信息 图①中QE的长度为3m；图②中QF的长度为9m． 请根据表格中提供的信息，求学校旗杆的高度． 4．（24-25八年级上·江苏·期末）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘察发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知， 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米； 第二步，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C， 再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算请你求旗杆的高度是 ． 5．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，一辆臂长，底座高的曲臂高空作业车沿着平行于墙面的直线方向行驶到点处，对离地面高的点处（）进行作业，，，作业后，还要到点正上方高的处（）继续作业，若要保持臂长不变，即，那么作业车水平行驶的距离（即的长）为多少米？（图是这辆车两次作业时的主视图） 6．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，学校高的教学楼上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点M处，伸长的云梯（云梯最长）刚好接触到的底部点A处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点C处？ 7．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，一艘轮船以20海里/小时的速度从A地向南偏西方向航行4小时到达B地后，又从B地以20海里/小时的速度航行5小时到达C地，这时轮船正好在A地北偏西方向，求此时轮船离A地多远？ 试卷第1页，共3页 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 勾股定理 7大高频考点概览 考点01 勾股数 考点02 勾股定理解直角三角形 考点03 勾股定理解决面积关系问题 考点04 勾股定理与网格问题 考点05 勾股定理解决折叠问题 考点06 弦图背景的计算与证明 考点07 勾股定理的应用 地 城 考点01 勾股数 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）下列四组数中是勾股数的一组是（　　） A．，， B．，， C．5，， D．，， 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】此题考查了勾股数的知识，满足的三个正整数，称为勾股数，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方，即可求解． 【详解】解：A、因为 ，，都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意； B、因为，，都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意； C、因为，所以它们是勾股数，故本选项符合题意； D、因为，，，，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如果m表示大于1的整数，设，，，，其中任选三个数能构成勾股数的为（   ）． A．a，b，c B．a，b，d C．a，c，d D．b，c，d 【答案】B 【知识点】运用完全平方公式进行运算、勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股定理、勾股数，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：∵，，，， ∴；； ； ． A．，因为（当时，），，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； B．，所以，，能构成勾股数，故本选项符合题意； C． ，，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； D．，，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）下列各组数是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．，， C．1，1， D．2，12，14 【答案】A 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股数，根据勾股数满足的两个条件：较小两数的平方和等于较大数的平方，三个数均为正整数，进行判断即可． 【详解】解：A、，是勾股数，符合题意； B、不是正整数，不是勾股数，不符合题意； C、不是正整数，不是勾股数，不符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选A． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．1，2，3 B．1，1， C．5，12，13 D．，， 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．根据勾股数的定义解答即可． 【详解】解：A、∵， ∴1，2，3，不是勾股数，本选项不符合题意； B、不是正整数，故这组数不是勾股数，本选项不符合题意； C、∵， ∴5，12，13是勾股数，本选项符合题意； D、，，这三个数都不是正整数，故这组数不是勾股数，本选项不符合题意； 故选：C． 5．（24-25八年级上·江苏南京·期末）下列各组数中，不是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．10，15，20 D．7，24，25 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】此题主要考查了勾股数的定义．判断是否为勾股数，首先这三个数都要是正整数，同时还需验证两较小数的平方和是否等于最大数的平方． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故选项符合题意； D、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 6．（24-25八年级上·江苏南京·期末）下列各组数中，是勾股数的是（） A．1，，2 B．5，12，13 C．6，7，8 D．8，24，25 【答案】B 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数，熟知勾股数是满足勾股定理的一组正整数是解题的关键．根据勾股数的定义解答即可． 【详解】解：A．不是正整数，不是勾股数，错误，不符合题意； В．，正确，是勾股数，符合题意； C．，错误，不是勾股数，不符合题意； D．，错误，不是勾股数，不符合题意． 故选：B． 7．（24-25八年级上·江苏常州·期末）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：________； (2)若第一个数用字母n（n为奇数，且）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为________． 【答案】(1)11，60，61 (2)和 【知识点】数字类规律探索、勾股树（数）问题 【分析】此题考查了勾股数之间的关系，解题的关键是根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可． （1）分析所给四组的勾股数∶3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41，可得下一组勾股数：11、60、61； （2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一． 【详解】（1）解：∵， ∴下一组勾股数为：11、60、61； 故答案为：11，60，61． （2）后两个数表示为和， ∵， ， ∴， 又∵，且为奇数， ∴由n，，三个数组成的数是勾股数． 故答案为：和． 地 城 考点02 勾股定理解直角三角形 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在四边形中，，E是对角线的中点，F是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．5 D．2 【答案】A 【知识点】垂线段最短、三线合一、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了垂线段最短，等腰三角形的性质，直角三角形的特征，勾股定理；连接、，由直角三角形的特征得，由垂线段最短得当时，取得最小值，结合等腰三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接、， ， E是对角线的中点， ， 当时，取得最小值， ， ， 的最小值为； 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点D．则下列结论错误的是（   ） A．是的角平分线 B． C． D． 【答案】C 【知识点】作角平分线(尺规作图)、含30度角的直角三角形、根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了含的直角三角形的性质、角平分线的尺规作图、等角对等边等知识．根据角平分线的作法即可判断A；根据三角形内角和定理和角平分线定义求出，即可判断B；根据含的直角三角形的性质和三角形面积公式即可判断C；根据含的直角三角形的性质即可判断D． 【详解】解：由作法得是的平分线，所以选项A的结论正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴，所以B的结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，所以C的结论错误，符合题意； 设， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴，所以D的结论正确，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的周长为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，由三角形周长计算公式可推出，设，则，由勾股定理得，解方程可得，由线段垂直平分线的性质可得到，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解；∵的周长为12， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴的周长， 故选：C． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在直角中，，点D是边上一动点，以为直角边，B为直角顶点作等腰直角，交于点F，连接，点B作于点P，交于点下面结论中正确的个数是（   ） ①；②；③；④当时，；⑤当时，． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．由“”可证，故①正确；由等腰直角三角形的性质和外角的性质可得，故②正确；由等腰三角形的性质可得是的中垂线，可得，由全等三角形的性质可得，由勾股定理可得；故③正确；分别求出的面积，可得，故④错误；根据，结合对顶角，根据等角对等边证得，设，则，可判断⑤． 【详解】解：由题意得：， ， 在和中， ， ，故①正确； ，， ， ，， ， ， ，故②正确； 如图，连接， ，，， 是的中垂线， ， ， ，， ， ， ；故③正确； ， 设，， ， ， ， ， ， 过点作于，在中，， ， ， ，故④错误； 如图，， ，为等腰三角形， ，， ，， ， ， 设，则， ， ，故⑤正确， 故选：． 5．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，是的高，，相交于点，连接，垂直平分，交于点．下列结论：①；②；③是等腰三角形；④，其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③④ C．①④ D．②③④ 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】先利用等腰三角形的“三线合一”得到平分，，再利用斜边上的中线性质可对①进行判断；由于垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，则利用可判断，从而得到与不全等，于是可对②进行判断；根据余角的性质可得，，结合对顶角的性质得出，根据等角对等边即可对③进行判断；连接，如图，根据线段垂直平分线的性质得到，在中利用勾股定理得到，然后利用等线段代换可对④进行判断． 【详解】解：∵，，是的高， ∴平分，， ∴为直角三角形斜边上的中线， ∴， ∴，所以①正确； ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， 即， ∴与不全等，所以②错误； ∵，， ∴， ， ∴， 又， ∴， 同理，， ∴， 又，， ∴ ∴，即是等腰三角形，所以③正确； 连接，如图， ∵垂直平分， ∴， 在中，， ∵，， ∴，所以④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，勾股定理等． 6．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，等边三角形中，是它的角平分线，，，垂足分别为，．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了等边三角形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，首先根据题意得到，，，求出，得到，，求出，，进而求解即可． 【详解】解：∵等边三角形中，是它的角平分线， ∴，，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：B． 7．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】由角平分线的定义和性质得，则选项B不符合题意；再证明，得，则选项C不符合题意；然后在中，由勾股定理求出，则，选项D不符合题意；进而证明不是等腰直角三角形，得，则选项A符合题意；即可得出结论． 【详解】解：∵平分， ∴，故选项B不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴，故选项C不符合题意； 在中，由勾股定理得：， ∴，故选项D不符合题意； ∵， ∴不是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴不是等腰直角三角形， ∴， ∴，故选项A符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的判定是解题的关键． 8．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，等腰中，垂直平分，交于点．若点为上一动点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】根据题意，结合“将军饮马”问题的求解方法步骤，利用对称性求解即可得到答案．本题考查动点最值问题-将军饮马问题，涉及中垂线性质、等腰三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握将军饮马问题求动点最值的方法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 垂直平分，交于点， ， ， 根据点到直线的距离最短是垂线段长，可知当三点共线，时，有最小值， 等腰中，，，点为的中点， 由等腰三角形“三线合一”可知，，，则， 当三点共线，时，有最小值，为， 故选：． 9．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）直角三角形的两边满足，那么这个三角形的面积是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【知识点】绝对值非负性、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，非负数的性质，先根据非负数的性质求出的值，再分情况讨论求出三角形的面积，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由， 则，， ∴，， ∴，， 当、为直角三角形两直角边时，三角形的面积是； 当为直角边、为斜边时，由勾股定理得另一直角边长为， 此时三角形的面积是； 综上可知：这个三角形的面积是或， 故选：． 10．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，点是边上的中点，点是边上的一个动点，连接，将沿翻折得到．当时，则长为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、折叠问题 【分析】连接，根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，，设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵在中，，，， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， 根据折叠可知：，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，折叠的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 11．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在中，，若，则等于（   ） A．4 B．16 C．20 D．25 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据勾股定理求得，代入式子即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 12．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，的平分线交于点E，过点C作，垂足为D，连接，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了直角三角形的特征，等腰三角形的判定及性质，勾股定理；延长交的延长线于，由直角三角形的特质及余角的性质得，由等腰三角形的判定及性质得，，由，即可求解；掌握等腰三角形的判定及性质，构建等腰是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交的延长线于， ∵ ， ∵平分， ， ， ， ，， ， ，， ， ； 故选：B． 13．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，为斜边上的中线，过点作，连接、，若，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在中，为斜边上的中线， ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 14．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，，，交于点，是中点，过点作交于点．在线段上，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】作点P关于的对称点F，过点M作交于点E，连接，，根据勾股定理得到，，根据平行线的性质得出，再利用勾股定理得出，求出，证明，得到，由此，当F，M，E三点共线时，的值最小，即线段的长，证是等边三角形，，利用勾股定理求出． 【详解】解：作点P关于的对称点F，过点M作交于点E，连接，，作，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∵是中点， ∴， 设，则， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，当F，M，E三点共线时，的值最小，即线段的长， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 15．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，当长度最小时，的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】由垂线段最短可知，当时，长度最小，由作图过程可知平分，结合角平分线性质得到，证明，利用全等三角形性质得到，根据勾股定理求出，设，则，在中，根据勾股定理列方程求出，最后利用三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，长度最小， 由作图过程可知平分， ， ， ， ， ， ， ，， 设，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂线段最短，角平分线的尺规作图及性质，全等三角形性质与判定，勾股定理，熟练掌握角平分线性质是解题的关键． 地 城 考点03 勾股定理解决面积关系问题 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）勾股定理是数学史上的一颗玻璃珠．被誉为清代“历算第一名家”的名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅瑴成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在中，，四边形，，均为正方形，与相交于点，可以证明点在直线上．若，的面积分别为2和6，则直角边的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，先证明得，设，，，由勾股定理得，，进而得，，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形，为正方形， ∴，，， ∴， ∴， 设，，， 由勾股定理得，， 即， , ∴， ∴，即， ∴，即， 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且，则的长为 ． 【答案】4 【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理以及正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 先求出，再由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：由正方形的性质得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：4． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，两个阴影部分都是正方形，它们的面积分别为，，则边长的值为 ． 【答案】8 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，算术平方根的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 根据勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，再结合正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，正方形的面积为边长的平方， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：8 ． 4．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，若，则阴影部分面积为 ． 【答案】5 【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出 是解题的关键．由勾股定理得出，再根据已知，得出的值，即可求出答案； 【详解】解：由勾股定理得， ， 即， ∵， ∴， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积， ∴阴影部分的面积为：5． 故答案为：5． 5．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，Rt中，，以、、三边为边长的三个正方形面积分别为．若，则的值等于 ． 【答案】20 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理与三角形、正方形的面积，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴ 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：20． 6．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则 ． 【答案】4 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理、正方形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出正方形的面积关系是解决问题的关键．由勾股定理得出，得出，得出，即可得出结果． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：4． 7．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，是的高，分别以线段为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为 ． 【答案】2 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理解题即可求解． 【详解】解：根据勾股定理可得： ， ∴， 故答案为：2． 8．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在四边形中，，分别以为边向外作正方形，若乙的面积是22，丙的面积是18，丁的面积是9，则 ． 【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．利用勾股定理的几何意义解答． 【详解】解：如图，连接， ， ， 乙的面积是22，丙的面积是18，丁的面积是9， ， ， ，或（舍去，不符合题意）， 故答案为：． 地 城 考点04 勾股定理与网格问题 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、勾股定理与网格问题 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用网格得，，，证明得，再由网格得，再由三角形内角和定理可得． 【详解】解：如图，连接，， 由图可得，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）数形结合是一种重要的数学思想方法，请借助于几何直观来阐明下列“数”的某种关系．在方格纸中画出图形，并说明“”． 【答案】图见解析，理由见解析． 【知识点】三角形三边关系的应用、勾股定理与网格问题 【分析】此题考查了勾股定理和网格，三角形三边关系， 设方格纸中每个小正方形的边长为1，在方格纸上构造，使，，，进而根据三角形三边之间的关系可得出结论． 【详解】解：如图，若网格的小正方形边长为1， 在网格中画，，， 在中，根据三角形三边之间的关系得：， 所以． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C均为格点． (1)的周长为_______； (2)中，边上的高的长度为________； (3)使用没有刻度的直尺，画出的平分线（保留画图痕迹）． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】三线合一、勾股定理与网格问题、利用网格求三角形面积、无刻度直尺作图 【分析】本题考查网格作图，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积，本题综合性较强，属中考常考题目． （1）由勾股定理求出长，再相加即可求解； （2）设边上的高的长度为，则有，即得，再求解即可； （3）延长至点F，使得，连接，并作出的中点E，作射线，根据等腰三角形的性质可得平分． 【详解】（1）解：， 的周长为， 故答案为：； （2）解：设边上的高的长度为，则有： ， ， ， 边上的高的长度为， 故答案为：； （3）解：如图，即为所求， 4．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图是6×5的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，回答下列问题．（要求：作图只用无刻度的直尺） (1)边的长度为 ； (2)作的角平分线； (3)已知点P在线段上，点Q在（2）作出的线段上，当的长度最小时，在网格中作出． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】垂线段最短、线段垂直平分线的性质、根据三线合一证明、勾股定理与网格问题 【分析】（1）根据勾股定理即可求解； （2）取出线段的中点，连接，即为的角平分线； （3）作于P，交于点Q，连接，即为所求的三角形． 【详解】（1）解：根据勾股定理得． 故答案为：5； （2）如图，即为所求；   ； 证明：∵， ∴， ∵为线段的中点， ∴是的角平分线； （3）解：如图，即为所求的三角形． 证明：∵，为线段的中点， ∴； ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当点B、Q、P在同一直线上，且时，的长度最小， ∴如图所示即为所求的三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短等知识，熟知相关知识，并根据网格的特点灵活应用是解题关键． 5．（23-24八年级上·江苏·期末）图，在的网格中，每个小正方形的边长为，小正方形的顶点叫做格点，点、、均为格点． (1)线段的长为______； (2)确定格点，使为等腰直角三角形，画出所有符合条件的格点． 【答案】(1)5 (2)见解析 【知识点】格点图中画等腰三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了网格问题，涉及了勾股定理以及等腰三角形的定义等知识点，熟记相关结论即可． （1）根据即可求解； （2）分类讨论即可完成作图； 【详解】（1）解：由勾股定理得，． 故答案为：． （2）解：如图，点，，，，均满足题意． 6．（23-24八年级上·江苏南京·期末）（1）如图①，方格纸中有2个格点A，B．仅用无刻度的直尺画出线段的垂直平分线（E，F均为格点）； （2）如图②，点，点．用直尺和圆规在第一象限内作出点C，使得是等边三角形，其中点C的坐标为 ． 【答案】（1）图见解析；（2）图见解析，． 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等边三角形的判定和性质、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查作图—复杂作图、等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理． （1）取格点，，使四边形为正方形，则为线段的垂直平分线． （2）分别以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，点的横坐标为2，，则点的纵坐标为，即可得出答案． 【详解】解：（1）如图①，即为所求． （2）如图②，由作图知 是等边三角形，   点在线段的垂直平分线上，， 点的横坐标为2，， ， 点的纵坐标为， 点的坐标为． 故答案为：． 7．（23-24八年级上·江苏淮安·期末）如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上．下列格点中，与构成的三角形与不全等的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由全等三角形的判定，即可判断． 【详解】解：由勾股定理得：， 在和中， ， ，故选项A不符合题意； 同理可得与构成的三角形与全等的点是点和点，故选项C、D不符合题意； ， 故选B． 地 城 考点05 勾股定理解决折叠问题 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，在上取一点E，连接，将沿翻折得到，使得点落在直线上，则的长度为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】C 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查勾股定理的应用和折叠的性质，由勾股定理求出，设，由折叠得，得，，，在中，由勾股定理得方程，求出的值即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， 设，则， 由折叠得，， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为（　　） A．3 B． C． D．1 【答案】A 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】根据折叠性质，勾股定理，解答即可． 本题考查了折叠性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， 故选：A． 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图1，M，N分别为锐角边上的点，把沿折叠，点在所在平面内的点处．若折叠后，直线与交于点E，且，垂足为点E，且，则此时的长为 ． 【答案】或 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理．分点N在线段上，点N在线段的延长线上，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：①若折叠后，直线于点E， ∵， ∴， 若点N在线段上，如图所示： 由折叠的性质可知：， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得； ②若点N在线段的延长线上，如图所示， 由折叠可知：， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得． 综上所述，或． 故答案为：或． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在中，，．如图D、E分别是和边上的点，把沿直线折叠，若点B落在边上的点F处，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题、折叠问题 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图形中隐含的等量关系；借助勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答． 【详解】解：如图，根据题意，得， 设，则， 根据题意，得， ∴ 当取最大值，有最小值， 当时，最大，此时点B落在A处时，取得最小值， 解得：，即CE的长为． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，P是线段边上的动点（不与点A，B重合）．将沿所在直线翻折，得到，连接，当取最小值时，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】最短路径问题、角平分线的性质定理、勾股定理与折叠问题 【分析】此题重点考查勾股定理、轴对称的性质、两点之间线段最短、角平分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．根据折叠的性质，得，故，，当点落在上时，，此时的值最小，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， 如图1，由翻折得， ∵， ∴， ∴， ∴当点落在上时，，此时的值最小， 如图2，当点落在上时，则， 作于点F，于点E，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，中，，，，点D为边的中点，连接，将沿直线翻折至所在平面内，得到，连接，则的长为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的判定、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查翻折变换、线段垂直平分线的判定和性质、勾股定理等知识．如图，连接交于O，作于H．首先证明垂直平分线段，是直角三角形，求出，在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接交于O，作于H． 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∴垂直平分线段， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）有一张直角三角形的纸片，两条直角边长分别是和，将这张纸片折叠并压平，使得较短的直角边完全落在斜边上，此时折痕的长为 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查勾股定理，由图，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理求出的长，再在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，，将沿着折叠，使完全落在斜边上， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴，， 设，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴； 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江苏南通·期末）在中，，，． (1)求的长； (2)点为上的一点，将沿直线翻折，点恰好落在边上的点处．请利用无刻度的直尺和圆规作出点（不写作法，保留作图痕迹），并求出的长． 【答案】(1)； (2)图见解析，． 【知识点】作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了尺规作图－作角平分线，勾股定理与折叠问题． （1）根据勾股定理计算即可求解； （2）根据折叠的性质得到，，设，则，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：如图，点即为所求作， ∵将沿直线翻折，点恰好落在边上的点处， ∴，， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴． 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）折纸，操作简单，富有数学趣味，，现将纸片按如图1折叠，折痕为（点、分别在边上且、不与端点重合）． (1)当是以为顶角的等腰三角形时，翻折后点恰好落在边上，且（保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题 【分析】（1）作的平分线交于，再作线段的垂直平分线分别交于，，则为所求作； （2）连接；设，则，在中由勾股定理建立方程求出的值，再在中由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：作图如下：作的平分线交于，再作线段的垂直平分线分别交于，，则关于对称，且是等腰三角形，，则为所求作折痕； （2）解：如图，连接； 设， ∵是等腰三角形， ∴； 由折叠知，， ∴； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： 【点睛】此题考查了折叠的性质、勾股定理、线段垂直平分线的作图和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，准确作图是解题的关键． 地 城 考点06 弦图背景的计算与证明 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理． 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形． 设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为7，，则大正方形面积为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理．根据小正方形面积为7得出，结合，得出的值，即可得出结果． 【详解】解：∵小正方形面积为7， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵大正方形的面积， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个推断：①；②；③；④．其中正确的推断是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、以弦图为背景的计算题 【分析】本题利用了勾股定理、面积分割法等知识．根据大正方形的面积和勾股定理可判断①正确；根据四个三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积可判断②③正确；根据①③可知即可判断④不正确． 【详解】解：①大正方形的面积是，则其边长是7，利用勾股定理可得，故①正确； ②小正方形面积为，则其边长是2， 因为是四个全等三角形，所以有，即，故②正确； ③根据图形可得四个三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积，即，化简得，故③正确； ④因为，所以，故④不正确． 综上，①②③正确． 故选：A． 3．（24-25八年级上·江苏南通·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．在一次数学活动中，小明利用如图1所示的5个连排正方形，分割后拼成如图2所示的一个大正方形，就得到了“赵爽弦图”．若图1中的小正方形边长为1，则图中的大正方形的边长为 ． 【答案】 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】此题考查了正方形的面积和边长、求算术平方根等知识，根据题意得到大正方形的面积为，利用正方形的面积和算术平方根即可求出答案． 【详解】解：根据题意可得，大正方形的面积为， ∴图中的大正方形的边长为， 故答案为： 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）综合实践 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”．他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．在一节八上数学复习课上，老师为了弘扬中国的数学文化，和同学们开启对“赵爽弦图”的深度研究． (1)类比“弦图”，证明定理 小明同学利用四张全等的直角三角形纸片（如图1），证明勾股定理． 因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为的小正方形组成，即面积表示为：，即，进而勾股定理得到了验证． 善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形的面积，也可证明勾股定理，请你和他一起证明． (2)利用“弦图”，割拼图形 如图3，老师给出由5个小正方形组成的十字形纸板，让同学们尝试剪开，使得剪成的若干块能够拼成一个无缝的大正方形，可以怎么剪？请你画出示意图． (3)构造“弦图”，应用计算 如图4，在等腰直角三角形中，，点是中点，过点作，垂足为点，交于点，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析， (3)9 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】（1）依据题意，四边形的面积从大的一方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形的面积公式进行表示；从组成来看，由三个直角三角形组成．应利用三角形的面积公式来进行表示； （2）由5个小正方形组成的十字形纸板得，拼成的大正方形边长应为，由此可得出要沿宽为1，长为2的长方形对角线剪开，才能形成边长为，然后沿垂直于该对角线的一端点再剪一刀，形成虚线部分的三块，分别将这三块放在实线部分，这样就形成了四个边长为，且有一个角的四边形即符合题意要求的正方形； （3）依据题意，过B作交的延长线于点，先证明，从而，再由是的中点，可得，故，又，可得，取的中点为，的中点为，连，构造中位线，证出，，进而可证出得到，最后结合，求出后即可判断得解． 【详解】（1）证明：由题意，图中的四边形为直角梯形，为等腰直角三角形，和的形状和大小完全一样， 设梯形的面积为，则 ， 又， ， ． （2）由题意，把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图）剪开，可拼成一个大正方形． ， （3）由题意，过B作交的延长线于点G，取的中点为，的中点为，连， ， ， ， ． ． 又，， ． ． 又是的中点， ． ． ， ， 的中点为，的中点为， ，， ，， ，， ， ， 又， ， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明、完全平方式、 全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形，解题时要熟练掌握并能读懂题意，找出关键图形是关键． 地 城 考点07 勾股定理的应用 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图1，荡秋千是小朋友非常喜爱的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉得很直，则绳索 m． 【答案】10 【知识点】用勾股定理解三角形、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查了勾股定理解直角三角形，线段的和差，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 设，表示出相关线段的长度，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设， , ∴， 由勾股定理得 即， 解得， ∴， 故答案为：10． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）某兴趣小组在进行旗杆高度测量活动时，由《九章算术》中“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”启发，设计了如下测量方式：已知旗杆与地面垂直，将升旗的绳索自然下垂，测得绳索比旗杆长1米，拉直绳索，使绳索下端点A落在地面上，如图所示，测得点A与旗杆底端点B的距离为6米．请根据测量数据计算旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为17.5米． 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设旗杆的高度为x米，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，则绳长为米， 是直角三角形， ， ， 解得. 答：旗杆的高度为17.5米． 3．（24-25八年级上·江苏南通·期末）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量校园内旗杆的高度 测量工具 皮尺等 模型抽象 测绘过程 第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作QE，用皮尺量出QE的长度．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处用皮尺量出QF的长度． 数据信息 图①中QE的长度为3m；图②中QF的长度为9m． 请根据表格中提供的信息，求学校旗杆的高度． 【答案】学校旗杆的高度为． 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设学校旗杆的高度为，则图②中，，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设学校旗杆的高度为，则图②中，． 在中，由勾股定理得，． ． 解得． 答：学校旗杆的高度为． 4．（24-25八年级上·江苏·期末）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘察发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知， 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米； 第二步，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C， 再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算请你求旗杆的高度是 ． 【答案】12米 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】根据题意可得米，米．在直角中，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． 【详解】解：根据题意知：米，米． 在直角中，由勾股定理得： ， 故． 解得， 答：旗杆的高度为12米． 故答案为：12． 5．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，一辆臂长，底座高的曲臂高空作业车沿着平行于墙面的直线方向行驶到点处，对离地面高的点处（）进行作业，，，作业后，还要到点正上方高的处（）继续作业，若要保持臂长不变，即，那么作业车水平行驶的距离（即的长）为多少米？（图是这辆车两次作业时的主视图） 【答案】作业车水平行驶的距离为米． 【知识点】用勾股定理解三角形、求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，则，然后由勾股定理得，由，，求出，然后再由勾股定理和线段和差即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 答：作业车水平行驶的距离为米． 6．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，学校高的教学楼上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点M处，伸长的云梯（云梯最长）刚好接触到的底部点A处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点C处？ 【答案】工程车再向教学楼方向行驶5米． 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】过点作交于点，在根据勾股定理求出的长，设，则，在中根据勾股定理列方程求出x即可． 本题主要考查了根据勾股定理解决实际问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】过点作交于点， 由题意得， 在中， ， 设，则， 在中， ， ∴， 解得， 工程车再向教学楼方向行驶5米，云梯刚好接触到的顶部点处． 7．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，一艘轮船以20海里/小时的速度从A地向南偏西方向航行4小时到达B地后，又从B地以20海里/小时的速度航行5小时到达C地，这时轮船正好在A地北偏西方向，求此时轮船离A地多远？ 【答案】此时轮船离A地60海里 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的实际应用题-方向角问题，根据题意，结合图形，准确找到各个方向角、掌握勾股定理的含义是解决问题的关键．先求解，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图所示：    由题意可知：， （海里），（海里）， （海里）． 答：此时轮船离A地60海里． 试卷第1页，共3页 1 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $