3.3幂函数教学设计--2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦幂函数的概念、图象和性质，从购物付款、正方形面积等生活实例出发，引导学生写出函数解析式，观察共同特征，衔接一次函数、二次函数旧知，构建概念学习支架。 以核心素养为导向，通过实例抽象概念培养数学抽象，画图分析性质发展直观想象，小组讨论归纳性质提升逻辑推理。例题设计注重方法指导，如证明单调性用分子有理化，助力学生掌握技能，教师教学流程清晰，重难点突破有效。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 3.3 幂函数 教科书 书 名：普通高中教科书数学必修第一册教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月 教学目标 1. 数学抽象：通过具体实例抽象出幂函数的定义，理解幂函数的本质特征。 2. 直观想象：借助函数图像探究幂函数的性质，培养数形结合思想。 3. 逻辑推理：通过对具体幂函数性质的分析，归纳出幂函数的一般性质。 4. 数学运算：能利用幂函数的性质解决简单的比较大小、求定义域等问题。 教学内容 教学重点：常见幂函数的概念、图象和性质； 教学难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小． 教学过程 1、 情境导入 教师提问："同学们，我们之前学习过一次函数、二次函数，今天我们先来看几个生活和数学中常见的函数实例，请大家写出它们的函数解析式： （1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数p=w元，这里p是w的函数. （2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数. （3）如果正方体的边长为b，那么正方体的体积V=b3，这里V是b的函数. （4）如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长a=S，这里a是S的函数. （5）如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v=t－1 km/s，这里v是t的函数. 学生独立书写解析式，教师巡视指导，请5名学生分别回答，教师在黑板上板书答案. 教师引导：请大家观察黑板上的函数解析式，它们有什么共同特征？ 设计意图：从学生熟悉的实际问题和数学实例出发，通过写解析式、观察对比，自然抽象出幂函数的定义，让学生感受幂函数的实际背景，激发学习兴趣，同时衔接之前所学的一次函数、二次函数，形成知识对比，为概念建构奠定基础。 二、新知探究 1.探究幂函数的概念 追问1：观察这5个函数的解析式（p=w、S=a²、V=b³、a=√S、v=t⁻¹），它们在形式上有什么共同特征？ 提示：从 “变量的运算形式”“常数的位置” 两个角度思考，比如是否都是 “一个变量的某次幂” 形式？ 设计意图：引导学生从具体函数实例出发，主动观察解析式的外在结构，避免直接灌输概念。通过提示，降低观察难度，帮助学生初步感知“单一变量的幂运算”这一核心共性，为后续抽象幂函数定义铺垫基础。 追问2：如果把每个函数的自变量统一记为x，因变量统一记为y，你能将所有函数改写为 “y=？” 的形式吗？改写后再观察：等式右边的结构是否都满足“系数为1，且只有一个自变量x的幂”？ 设计意图：通过统一变量符号，消除不同实例中变量名称（w、a、b、S、t）的干扰，让学生聚焦函数的本质结构。“系数为 1”“单一自变量的幂” 的设问，精准指向幂函数的核心形式特征，帮助学生从“感知共性”向“提炼本质”过渡。 追问3：这5个函数中，自变量x的指数分别是多少？这些指数可以是哪些类型的数（整数、分数、负数）？ 延伸：如果函数是 y=2x²、y=x²+1，它们和上面的函数在形式上有什么不同？能否归为同一类函数？ 设计意图：通过分析指数的类型，拓宽学生对“幂”的认知（不仅是正整数，还包括分数、负数），为幂函数定义中“k 为常数”的广泛性做铺垫。通过对比非幂函数实例，突出幂函数 “系数为 1”“无其他项” 的限定条件，加深对概念的精准理解。 追问4：如果我们规定 “形如 y=xᵏ（k 为常数）的函数叫做幂函数”，请判断这5个函数是否都是幂函数？并说明理由。 重点关注：a=√S（即 a=S^(1/2)）、v=t⁻¹ 这两个含分数指数、负指数的函数，是否符合定义？ 设计意图：通过“定义→判断”的逆向过程，检验学生对幂函数概念的掌握程度。破解学生对“幂”的传统认知局限（仅认为是正整数次幂）。同时，通过“说明理由”的要求，培养学生逻辑表达能力，确保概念理解落地。 幂函数的概念：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 教师强调注意点，学生做笔记： （1）自变量前的系数是1； （2）幂的系数是1； （3）α是任意常数； （4）函数的定义域与α有关。 设计意图：通过明确幂函数的定义及关键特征，帮助学生准确区分幂函数与其他函数，避免概念混淆；同时引导学生思考幂函数的定义域，培养学生分类讨论的意识，为后续性质探究做好铺垫。 2.探究幂函数的性质 教师：明确了幂函数的定义后，接下来我们该围绕幂函数展开哪些探究呢？对于一类新的函数，大家觉得可以通过哪些思路和方法来分析它的性质？ 引导学生：通常可以先根据函数解析式求出函数定义域，画出函数的图象，再利用函数的图象探究函数的值域、单调性、奇偶性等问题。 教师：请同学们拿出草稿本，在同一坐标系内画出函数 的图象。教师巡视指导，待学生基本画出之后教师利用信息技术在黑板上展示几个函数的图象。 学生独立思考后小组讨论，观察函数图象并结合函数解析式，完成表格。 幂函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 定义域 R R R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上是增函数 在[0,+∞)上是增函数,在(-∞,0]上是减函数 在R上是增函数 在[0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数,在(-∞,0)上是减函数 公共点 (1,1) 教师板书补充完整，并强调关键性质： 奇偶性：是奇函数，y = x2 是偶函数，的定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数； 单调性：y = x、y = x3 、在 [0, +) 上单调递增； y = x2 在 (-, 0] 上单调递减，在 [0, +) 上单调递增； y = x-1 在 (-, 0) 和 (0, +) 上分别单调递减（注意不能说在定义域上单调递减）； 过定点：所有幂函数都过定点 (1, 1) ，因为当 x = 1时， y = 1α = 1 （α为常数）。 归纳一般性质。 教师提问：“结合这5个常见幂函数的性质，当α > 0和α < 0时，幂函数 y = xα的性质有什么共性？” 学生小组讨论3分钟，发言分享，教师总结： 当α> 0 时：①定义域一般为R 或 [0, +) ；②图像过原点 (0, 0) 和定点 (1, 1) ；③在 [0, +) 上单调递增。 当α< 0 时：①定义域一般为{x | x ≠ 0} ；②图像不过原点，但过定点 (1, 1) ；③在 (0, +) 上单调递减；④图像在第一、三象限（当α为奇数时）或第一象限（当α为偶数时）。 设计意图：遵循“画图—分析—归纳”的思路，让学生亲身参与函数图像的绘制过程，增强直观感受；通过填写表格、小组讨论，系统梳理常见幂函数的性质，培养学生的观察能力、归纳能力和合作意识；同时结合课本内容，突出重点，突破难点，让学生理解幂指数α对函数图像和性质的影响，落实数形结合思想。 三、例题讲解 例1 函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数，且当x∈(0，+∞)时，f(x)是增函数，试确定m的值. 【答案】m=3 【解析】根据幂函数的定义,得m2-m-5=1，解得m=3或m=-2. 当m=3时，f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数; 当m=-2时，f(x)=x-3在(0，+∞)上是减函数，不符合要求.故m=3. 总结：判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式, 即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式. 设计意图：通过求解幂函数中的参数m，让学生在实践中巩固幂函数的定义（紧扣“系数为 1”），同时结合函数单调性筛选参数，实现定义与性质的综合应用。既帮助学生形成规范解题思路，又为后续研究幂函数性质埋下伏笔，深化对幂函数本质的认知。 例2 证明幂函数 f(x) = 在 [0, +∞) 上是增函数。 证明：函数的定义域是 且 有 因为 所以 即幂函数 是增函数. 教师强调：变形步骤是关键，这里我们采用了分子有理化的方法，大家要注意掌握这种变形技巧。 设计意图：以证明幂函数f(x)=在 [0,+∞)上是增函数为载体，让学生掌握利用定义证明函数单调性的完整流程，同时重点突破“分子有理化”这一关键变形技巧。通过具体实例，将抽象的单调性证明方法落地，既巩固了函数单调性的定义应用，又为后续研究其他幂函数的单调性提供了可借鉴的思路，同时强化学生对代数变形技巧的掌握。 例3 比较下列各组中两个数的大小: (1) ; (2); (3). 【解析】(1)∵幂函数y=在[0,+∞)上是增函数,又,∴. (2)∵幂函数y=x-1在(-∞,0)上是减函数,又-<-,∴. (3)∵函数y1=在定义域内为减函数,且,∴. 又函数y2=在[0,+∞)上是增函数,且,∴.∴. 总结：比较幂大小的三种常用方法 直接法：当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较； 转化法：当幂指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小 中间量法：当底数不同且幂指数也不同时，不能运用单调性比较大小时，可选取适当的中间值与两数分别比较，从而达到比较大小的目的。 设计意图：通过三组不同类型的幂大小比较问题，让学生灵活运用幂函数的单调性解决实际问题。针对幂指数相同、不同及底数和幂指数均不同的情况，分别对应直接法、转化法和中间量法，既巩固了前文所学的幂函数单调性知识，又帮助学生掌握比较幂大小的常用技巧。同时，通过总结三种方法，梳理解题逻辑，提升学生分类讨论和灵活运用知识的能力，实现从性质理解到实际应用的衔接。 四、课堂小结 教师提问：本节课你学到了什么？你能说出幂函数的定义和性质吗？ 设计意图：通过学生自主总结，梳理知识脉络，形成完整的知识体系，培养归纳总结能力。 五、课后作业 1. 教科书P91练习第1, 2, 3题。 2. 课时作业对应小节。 学科网（北京）股份有限公司 $