专题03 函数与方程（八大题型）（题型归纳+题型训练+易错精练）-2025-2026学年高一数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

专题03 函数与方程（八大题型） 【题型1：判断零点所在的区间】 【题型2：已知零点所在区间求参数】 【题型3：判断函数零点的个数】 【题型4：已知零点个数求参】 【题型5：复合函数的零点问题】 【题型6：根据函数的零点性质求参】 【题型7：二分法求函数的近似解】 【题型8：函数新定义】 【题型1：判断零点所在的区间】 1．（25-26高一上·北京房山·期中）函数的零点所在的区间（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·北京·期中）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值 1 2 3 4 5 2025 11 8 则不一定包含零点的区间是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏盐城·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 5．（2025高一·全国·专题练习）函数的零点所在区间为（    ）． A． B． C． D． 6．（24-25高一上·山东·期末）函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【题型2：已知零点所在区间求参数】 1．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南·期中）已知函数在区间上有零点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的零点在区间内，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·辽宁·期中）已知函数至少有一个零点在区间内，求实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 6．（2024·四川巴中·一模）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（    ） A． B．或. C． D．或. 【题型3：判断函数零点的个数】 1．（25-26高三上·福建漳州·阶段练习）已知函数则方程的解的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26高三上·广东·阶段练习）函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则方程的根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（24-25高一下·江西·期中）已知函数，则函数的零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）设定义域为的函数，则关于的函数的零点的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（2025·河北保定·一模）已知是定义在上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数，，若， 则的零点个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 9．（24-25高一上·新疆·期末）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型4：已知零点个数求参】 1．（25-26高三上·青海西宁·期中）已知函数，若函数有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ） A．B．C． D． 2．（25-26高一上·广东深圳·开学考试）函数与的图像有四个交点，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·安徽·阶段练习）函数，若有2个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（        ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，若，方程有三个实根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6.（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·河南·开学考试）已知表示不超过实数的最大整数，函数的部分图象如图所示，若方程在有2个解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2025高三·全国·专题练习）已知函数若关于的方程恰有两个不同的根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·重庆江北·期末）已知函数若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型5：复合函数的零点问题】 1．（24-25高一上·广东·期末）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·贵州铜仁·期中）已知是函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2025高一·全国·专题练习）设方程的两个根为，则（    ）． A． B． C． D． 【题型6：根据函数的零点性质求参】 1．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高三上·河南洛阳·阶段练习）函数,若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）已知偶函数，当时，，若关于的方程有8个不同的实根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2025高一上·全国·专题练习）若函数在上恰有一个零点，则（   ） A． B． C．或 D．或 【题型7：二分法求函数的近似解】 1．（2026高三·全国·专题练习）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·单元测试）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 3．（24-25高一下·江苏南京·期中）在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江西吉安·期末）已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广东深圳·期末）用二分法求方程的近似解时，所取的第一个区间可以是（    ） A． B． C． D． 【题型8：函数新定义】 1．（24-25高一下·云南丽江·期末）对实数 和 ，定义运算 “ ”: .设函数 . 若函数 的图象与 轴恰有两个公共点，则实数 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·广东汕头·期末）已知是定义在上的函数，当时，且的图象关于对称．对于给定的正数，定义函数，若函数有零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·期末）已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点.则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·陕西西安·期末）定义在上的，满足对关于x的方程有8个不同的实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·山西太原·期中）对实数和，定义运算“”：，设函数.若函数的图象与轴恰有2个公共点，则实数的取值范围是 . 1．（24-25高一下·湖南邵阳·阶段练习）已知函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·四川·期末）已知为定义在上的奇函数，当时，，若函数恰有5个零点，则的取值范围是（    ） A．B． C． D． 3．多选题（24-25高一上·陕西·期末）对任意两个实数，定义，若，，函数，则下列说法正确的有（    ） A．函数是偶函数 B．函数可能有5个零点 C．若函数只有3个零点，且，则 D．若，则函数有3个零点 4．多选题（24-25高一上·浙江丽水·期中）定义，已知函数，，则函数的零点个数可能为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数与方程（八大题型） 【题型1：判断零点所在的区间】 【题型2：已知零点所在区间求参数】 【题型3：判断函数零点的个数】 【题型4：已知零点个数求参】 【题型5：复合函数的零点问题】 【题型6：根据函数的零点性质求参】 【题型7：二分法求函数的近似解】 【题型8：函数新定义】 【题型1：判断零点所在的区间】 1．（25-26高一上·北京房山·期中）函数的零点所在的区间（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定函数，构造函数并确定单调性，利用零点存在性定理推理判断. 【详解】函数的定义域为，而， 当时，，令函数， 函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 又， 因此函数的零点在上，所以函数的零点在上. 故选：C 2．（25-26高一上·北京·期中）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值 1 2 3 4 5 2025 11 8 则不一定包含零点的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零点存在性定理判断各选项即可． 【详解】因为，，，且函数的图象是一条连续不断的曲线， 所以函数在区间，，上均有零点． 而，所以函数在区间上不一定有零点． 故选：A． 3．（24-25高一上·江苏盐城·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性和零点存在定理即可判断. 【详解】因为函数为上的增函数，又， 所以，故函数仅有一个零点，其所在的区间是. 故选：A. 4．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在性定理即可判断. 【详解】的定义域为． 因为和均在上单调递减，所以也在单调递减． 又，，，则，故零点位于区间内． 故选：B 5．（2025高一·全国·专题练习）函数的零点所在区间为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由零点存在定理即可求解. 【详解】函数在上单调递增，且， 则函数的零点所在区间为． 故选：C. 6．（24-25高一上·山东·期末）函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可. 【详解】函数在R上都单调递增，则函数在R上单调递增， 而， 则，由零点存在性定理得函数的零点所在的区间为. 故选：C 7．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的性质判断函数在内单调递增，最多有一个零点，分别计算选项中涉及区间的函数值，根据判断区间内存在零点. 【详解】在上单调递增，在上单调递增， 在单调递增，即最多有一个零点. 的零点位于区间 故选：C. 【题型2：已知零点所在区间求参数】 1．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理列式计算即可. 【详解】因为在上单调递增， 所以，即， 解得． 故选：D. 2．（24-25高一下·湖南·期中）已知函数在区间上有零点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得方程在区间上有解，然后由函数知识求得函数在区间上的值域可得答案. 【详解】函数在区间上有零点方程在区间上有解， 函数在区间上单调递减，在上单调递增， 则，则. 故选：D． 3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，分析可知函数在上为增函数，且该函数在区间内有零点，可得出，即可解得实数的取值范围. 【详解】当时，由可得， 令， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的零点在区间内，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由零点存在定理求解． 【详解】易知在上是增函数， 它的零点在区间上， 则，解得， 故选：C． 5．（24-25高一上·辽宁·期中）已知函数至少有一个零点在区间内，求实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据判别式、零点存在性定理、二次函数的性质等知识确定正确答案. 【详解】对于函数， ， 当，即时，没有零点，不符合题意. 当，即或时， 当时，，零点为， ，符合题意. 当时，，零点为， ，不符合题意. 当，即或时，有两个不相等的零点， 至少有一个零点在区间内， 则需或， 解得，， 另外若， 则，零点为或，不符合题意. 若， 则，零点为或， ，符合题意. 综上所述，的取值范围是：. 故选：C 6．（2024·四川巴中·一模）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（    ） A． B．或. C． D．或. 【答案】D 【分析】根据题意，分和，结合二次函数的性质，以及零点存在性定理，列出不等式，即可求解. 由函数， 【详解】由函数， 若，可得，令，即，解得，符合题意； 若，令，即，可得， 当时，即，解得，此时，解得，符合题意； 当时，即且，则满足， 解得且， 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 综上可得，实数的取值范围为或. 故选：D. 【题型3：判断函数零点的个数】 1．（25-26高三上·福建漳州·阶段练习）已知函数则方程的解的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据函数解析式以及分段函数的性质，画图，利用换元法，整理化简方程，再利用方程与函数的关系，结合图象，可得答案. 【详解】函数的图象如图所示： 设，则方程即，由图象可知，与有三个交点， 横坐标分别为，其中，，， 方程解的个数转化为方程，，解的个数之和， 由图象可知，与有一个交点，与有三个交点， 与没有交点， 所以方程解的个数为. 故选：B. 2．（25-26高三上·广东·阶段练习）函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】设，则解方程，进而利用数形结合求出与的交点个数，从而可得函数的零点个数. 【详解】设，则， 当时，，解得或（舍去），则； 当时，，解得. 画出的函数图象，如下图所示： 由图象可知，与有3个交点，与有2个交点， 所以函数的零点个数为5. 故选：C 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则方程的根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】转化问题为函数和函数的图象在上的交点问题，进而结合图象求解即可. 【详解】原方程即为，变形得， 要求方程根的个数， 即求函数和函数的图象在上的交点个数， 作出两函数的图象如图所示，    由图可知，两函数图象在上共有2个交点，故原方程共有2个根． 故选：C. 4．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】求分段函数的零点，令每段等于0解方程，取符合每段范围的的值即可． 【详解】当时，令，得（舍去）或（舍去）； 当时，令，得； 所以零点有1个. 故选：B. 5．（24-25高一下·江西·期中）已知函数，则函数的零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】令，由可得，，，分类讨论结合函数图象分析求解即可. 【详解】求函数的零点个数，即求方程的不同实数根的个数， 如图，作出函数的大致图象， 令，则，解得，，． 当时，，则，此时方程无解； 当时，，则，此时方程有3个不同实数根； 当时，，则，此时方程有2个不同实数根． 综上可知，函数的零点个数为5． 故选：A． 6．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）设定义域为的函数，则关于的函数的零点的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】先求解方程，再根据图象确定零点个数. 【详解】方程的解为或，作出的图象，由图象可知零点的个数为6． 故选：C. 7．（2025·河北保定·一模）已知是定义在上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由已知，讨论的范围，求出函数的解析式，画出函数的图象，然后判断方程根的个数即可． 【详解】是定义在上的函数，且有， 当时，， 则时，，则 时， 时， 时， 画出函数与函数的图象， 由图象可知方程的根的个数为3. 故选：C. 8．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数，，若， 则的零点个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据已知有并画出函数大致图象，数形结合确定的零点个数即可. 【详解】由题设，函数大致图象如下， 其中当趋近于时，；当趋近于时，， 判断的图象与直线的交点个数： 由图知，时它们有3个不同的交点， 所以函数的零点个数为3. 故选：B 9．（24-25高一上·新疆·期末）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将的零点转化为和的图象的交点，结合图象确定正确选项. 【详解】由，得， 在同一坐标系中，作出和的图象， 观察图象知，两个函数图象有两个交点，所以零点个数为. 故选：C      【题型4：已知零点个数求参】 1．（25-26高三上·青海西宁·期中）已知函数，若函数有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知与有2个交点，作出函数的图象，结合图象即可得结果. 【详解】函数有且仅有2个零点，则与有2个交点， 当时，单调递增，； 当时，在]上单调递减，在上单调递增， 且，最小值为， 可得函数的图象，如图所示：    利用的图象知的取值范围是. 故选：B. 2．（25-26高一上·广东深圳·开学考试）函数与的图像有四个交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数的表达式，然后画出其图象，再结合函数与的图象有四个交点的条件来确定的取值范围. 【详解】令，因式分解可得，解得或； 所以当，即或时，； 当，即时，；    要使函数与的图象有四个交点，则. 故选：B. 3．（25-26高三上·安徽·阶段练习）函数，若有2个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将有2个零点转化为函数与有2个交点的问题，再数形结合即可求解. 【详解】，图象如下：    又有2个零点相当于与有2个交点， 根据图象可得，故， 则实数的取值范围为. 故选：A. 4．（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，得到，，，进一步将所求转换为二次函数的值域即可. 【详解】如图所示，   ， 设，， 则，，是方程，即的两个正根，所以， 令，解得或， 所以，由题意， 所以的取值范围是. 故选：D. 5．（25-26高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，若，方程有三个实根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数和一次函数的单调性，结合数形结合思想进行求解即可. 【详解】当时，函数在上单调递增，且最小值为， 函数在单调递增，且，如图所示： 由图象可知，无论，还是，函数的图象与直线都不可能有三个交点，不符合题意； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，则有， 函数在单调递增，且，如图所示： 要想函数的图象与直线可能有三个交点， 只需，即， 故选：D 6.（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意对实数进行讨论，分，，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解. 【详解】当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，函数图象如下： 令，，解得或， 即或，根据图象有2个解，有1个解， 所以此时有3个零点，不符合题意； 当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，在单调递减，函数图像如下： 令，，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 又有6个零点，所以要有1个解， 即，解得， 故选：D. 7．（25-26高一上·河南·开学考试）已知表示不超过实数的最大整数，函数的部分图象如图所示，若方程在有2个解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】讨论取值的三种情况，再对a进行分离变量，解出三种不同情况下a的取值范围，最后综合三种情况即可得到答案． 【详解】由题意，在内的取值为0、1和2，且易知不可能是原方程的解， 当时，，，得， 由于，所以，也即当时，方程在上必有一解， 当时，，，得，由于，所以，也即当时，方程在上必有一解， 当时，，，得，由于，所以，也即当时，方程在上必有一解， 由题意知，方程在有2个解， 根据上述讨论，a所属的范围必须同时满足其中两个才能成立，也即， 故选：A． 8．（2025高三·全国·专题练习）已知函数若关于的方程恰有两个不同的根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数有意义的条件求出，然后分和进行讨论，再利用数学结合的思想，列出不等式组进行求解即可． 【详解】因为对任意恒成立，所以． 当时，在上单调递减，且当时，，要使得关于的方程恰有两个不同的根，则函数的图象与直线恰有两个交点，如图，      所以，，解得． 当时，，，不满足方程有两个根，故舍去， 故选：B． 9．（24-25高一上·重庆江北·期末）已知函数若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出或，再就不同的情况分类求解即得参数的取值范围. 【详解】令，则， 故或， 令，则或，故或， 故有3个不同的解，且解异于. 故有一个解且有两个解且解不为， 故，且，，解得. 故选：B. 【点睛】思路点睛：嵌套方程的零点问题，应该利用换元法转化内外两个方程的解的问题，先考虑外方程的解，再考虑内方程的解，结合总的解的个数，考虑内方程中参数的变化形式即可. 【题型5：复合函数的零点问题】 1．（24-25高一上·广东·期末）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合求解即可. 【详解】令，即，令，即， 令，即， 则三个函数的零点即为对应两函数交点的横坐标， 分别作出，，和的图象， 如图所示： 由图象可知：. 故选：B 2．（24-25高一下·贵州铜仁·期中）已知是函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】结合零点的定义及指数与对数的相互转化求解即可. 【详解】由题意可得，，则， 则，所以. 故选：D. 3．（2025高一·全国·专题练习）设方程的两个根为，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】等价于，作出方程左右两边所对应的函数图象，结合图象可知答案． 【详解】等价于，作出函数与的图象，如图．    结合图象易知这两个函数的图象有两个交点， 交点的横坐标即为方程的两个根，可知，． 根据在上是减函数，可得，所以． 又，，所以，即， 则，所以． 而，所以． 故选：D． 【题型6：根据函数的零点性质求参】 1．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数的图象与直线交点的横坐标，即为的零点，因此作出函数的图象，直线，由它们有三个交点可得出的范围，的关系，从而求得结论． 【详解】的零点，即为函数的图象与直线交点的横坐标，作出的大致图象及直线，如图，它们有三个交点， 由于，，因此，，， 而，即，所以， 所以， 故选：B． 2．（22-23高三上·河南洛阳·阶段练习）函数,若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化为函数与y＝－x＋m的图象有两个不同的交点，作出函数图象，由图象可得结果. 【详解】因为方程有两个不同的实数根， 所以函数与y＝－x＋m的图象有两个不同的交点， 如图，当直线y＝－x＋m经过点时，m＝2， 所以当方程有两个不同的实数根时， . 故选：D． 3．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，作出函数的图象，结合图象可得出的取值范围，结合二次函数图象的对称性可得出，进而可求得的取值范围. 【详解】设，作出函数的图象如下图所示： 设， 当时，， 由图象可知，，则，可得， 由于二次函数的图象的对称轴为直线，所以， 因此，. 故选：A. 4．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）已知偶函数，当时，，若关于的方程有8个不同的实根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出的图象，令，判断出的范围，将问题转化为二次方程在区间上有两个不等实根问题，再结合二次函数根的分布列不等式组即可得到的范围. 【详解】因为为偶函数，且当时，， 所以的大致图象如题所示， 令，则方程化为， 结合图象可知当时，有4个不同的实根， 所以原问题转化为关于的方程在上有两个不相等的实根， 令，则，解得， 即实数的取值范围为， 故选：A 5．（2025高一上·全国·专题练习）若函数在上恰有一个零点，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】讨论二次函数的零点的分布求参数的范围. 【详解】由函数在上恰有一个零点， 当时，，令，解得，符合题意， 当时，由，要使函数在上恰有一个零点， 则，即， 解得，即， 当时，在上只有一个零点，符合题意； 当时，要使函数在上恰有一个零点， 则或，即或， 解得或，即或， 时，在上只有一个零点，符合题意； 综上，实数的取值范围为或. 故选：C. 【题型7：二分法求函数的近似解】 1．（2026高三·全国·专题练习）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理可知结果. 【详解】根据已知，，，，， 根据二分法可知该近似解所在的区间是. 故选：C 2．（25-26高一上·全国·单元测试）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【分析】由二分法，结合表格可知函数的零点在区间内，然后根据选项判断即可. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间内， 且，结合选项可知，方程的近似解可取1.8． 故选：C. 3．（24-25高一下·江苏南京·期中）在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二分法即可判断. 【详解】由题意，，，，，， 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. 4．（24-25高一上·江西吉安·期末）已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法的定义和计算方法求解即可. 【详解】由函数的解析式可得函数的定义域为，且函数单调递增， 因为， ， ，， 结合函数零点存在定理可知函数的零点位于的区间为， 故选：B 5．（24-25高一上·广东深圳·期末）用二分法求方程的近似解时，所取的第一个区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二分法可知，连续函数在区间上满足，则函数在区间上存在零点. 【详解】令，则， ， ， ， ， 故选：B. 【题型8：函数新定义】 1．（24-25高一下·云南丽江·期末）对实数 和 ，定义运算 “ ”: .设函数 . 若函数 的图象与 轴恰有两个公共点，则实数 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义化简函数 的解析式，绘制函数图象，将问题转化为函数 的图象与 的图象有 2 个交点， 结合图象求得结果即可. 【详解】令 ，解得 ， ∴ 作出函数 的图象如图所示: 函数 的图象与 轴恰有两个公共点，即函数 与 的图象有 2 个交点， 由函数图象可得 或 ; 故选：B. 2.（24-25高一上·广东汕头·期末）已知是定义在上的函数，当时，且的图象关于对称．对于给定的正数，定义函数，若函数有零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的图象关于对称，可得出的奇偶性，然后利用奇偶性求出的解析式，根据函数定义，再结合的解析式即可画出的图象，最后将函数有零点问题转化为函数图象有交点问题，从而可得解. 【详解】因为的图象关于对称，所以函数的图象关于， 所以函数为偶函数，即， 又当时，当时，，， 即，所以， 由题意可得，函数的图象如下图所示： 若函数有零点，等价于方程有解，等价于函数与函数的图象有交点，由上图可知，当时，满足题意. 故选：A 3．（24-25高一上·上海·期末）已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点.则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】探讨函数的性质并画出函数图象，然后把函数仅有4个零点，转化为函数图象与直线有4个交点，数形结合即可求解. 【详解】当时，在上单调递增，函数值集合为， 当时，在上单调递减，函数值集合为， 又函数是定义在R上偶函数，其图象关于y轴对称，作出函数图象： 函数仅有4个零点，则函数图象与直线有4个交点， 当时，函数图象与直线有4个交点， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 4．（24-25高一上·陕西西安·期末）定义在上的，满足对关于x的方程有8个不同的实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数的图象，再变形给定方程得或，数形结合求出范围. 【详解】作出函数的图象，如图， 方程，解得或， 关于x的方程有8个不同的实数根， 而直线与函数的图象有4个交点，即方程有4个不同的实根， 因此直线与函数的图象有4个交点，由图象得， 所以实数a的取值范围是. 故选：A 5．（24-25高一上·山西太原·期中）对实数和，定义运算“”：，设函数.若函数的图象与轴恰有2个公共点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出函数解析式，画出函数图象，将函数的图象与轴恰有2个公共点转化为函数与的图象有两个交点，可求得结果. 【详解】解不等式，可得； 所以可得， 画出函数的图象如下图所示： 若函数的图象与轴恰有2个公共点，即函数与的图象有两个交点， 结合图象可知，当或或时，满足题意； 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据分段函数性质画出函数图象，再由函数与方程思想求得参数取值范围. 1．（24-25高一下·湖南邵阳·阶段练习）已知函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在定理判断函数的零点范围比较即可. 【详解】由复合函数的单调性易知三个函数均连续且在定义域内单调递增. 对于，由零点存在定理知. 对于. 对于，可知的零点. 故选：B 2．（23-24高三上·四川·期末）已知为定义在上的奇函数，当时，，若函数恰有5个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件及函数性质，作出的大致图象，利用图象即可求出结果. 【详解】依题意作出的大致图象，如图所示，    令，得， 当时，， 又时，，易知在区间上单调递增， 又，所以时，，又为奇函数， 所以由图可知，当时，直线与的图象有5个公共点，从而有5个零点， 故选：D. 3．多选题（24-25高一上·陕西·期末）对任意两个实数，定义，若，，函数，则下列说法正确的有（    ） A．函数是偶函数 B．函数可能有5个零点 C．若函数只有3个零点，且，则 D．若，则函数有3个零点 【答案】ACD 【分析】根据题意，作出函数的图象，利用函数图象，结合函数奇偶性，零点，求解判断. 【详解】由，，作出它们的图象， 则，作图如下， 对于A，由图象可知，为偶函数，故A正确； 对于B，令，即，由图象可知， 当时，的无零点， 当和时，有2个零点， 当时，有4个零点， 当时，有3个零点，故B错误； 对于C，由B选项可知，，此时，，，且， 解得，，则，故C正确； 对于D，当时，，令， 可得或， 当时，函数无零点， 当时，函数有3个零点， 综上，函数有3个零点，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是作出函数的图象，数形结合分析判断. 4．多选题（24-25高一上·浙江丽水·期中）定义，已知函数，，则函数的零点个数可能为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】BCD 【分析】分别令内的两个表达式为函数，先求出这两个函数的所有零点，再分别讨论每个零点.当其中一个函数取零点时，另一个函数的函数值小于0，则这个值一定为函数的零点；当其中一个函数取零点时，另一个函数的函数值可能小于0也可能大于0 ，则这个值可能为函数的零点；当其中一个函数取零点时，另一个函数的函数值大于0，则这个值一定不为函数的零点.由此判断的这四个零点中哪些一定是函数的零点，哪些可能是零点，哪些一定不是零点. 【详解】令， 当时，或， 当时，或， ①当时，，， 令，则， 即当时， 是的零点；当时， 不是的零点. ②当时，，， ∵，∴，即是的零点； ③当时，，， ∵，∴， 即当时， 是的零点；当时， 不是的零点. ④当时，，， ∵，∴， 是的零点. 综上所述：和一定是的零点，和可能是的零点. 故选：BCD. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $